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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第3章3.1.3两角和与差的正切


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【学习要求】
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两角和与差的正切

1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切 公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.

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【学法指导】 1.两角和与差的正切公式变形较多, 这样变式在解决某些问题 时十分便捷,应当利用公式能熟练推导,务必熟悉它们.例
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如,tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan αtan β=1 tan α+tan β - ,tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α tan?α+β? +β)等. 2.在三角函数题目中,有时,也对一些特殊的常数进行代换, π 3 π 例如 1=tan 45° 3=tan , =tan 等等.这样做的前 , 3 3 6 提是识别出公式结构,凑出相应公式.

填一填·知识要点、记下疑难点

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1.两角和与差的正切公式

tan α+tan β (1)T(α+β):tan(α+β)= 1-tan αtan β . tan α-tan β (2)T(α-β):tan(α-β)= 1+tan αtan β .
(1)T(α+β)的变形: tan α+tan β=
tan(α+β)(1-tan αtan β) .

2.两角和与差的正切公式的变形

填一填·知识要点、记下疑难点

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tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)= tan(α+β) . tan αtan β=
tan α+tan β 1- tan?α+β?

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.

(2)T(α-β)的变形:
tan(α-β)(1+tan αtan β) . tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)= tan(α-β) . tan α-tan β -1 tan αtan β= tan?α-β? .

tan α-tan β=

研一研·问题探究、课堂更高效

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探究点一
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两角和与差的正切公式的推导

sin α 问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式 tan α= ,从 cos α 两角和与差的正弦、余弦公式出发,推导出用任意角 α,β 的正切值表示 tan(α+β),tan(α-β)的公式吗?试一试. sin?α+β? 答 当 cos(α+β)≠0 时,tan(α+β)= cos?α+β? sin αcos β+cos αsin β = . cos αcos β-sin αsin β

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当 cos αcos β≠0 时,分子分母同除以 cos αcos β,得
tan α+tan β tan(α+β)= . 1-tan αtan β 根据 α,β 的任意性,在上面式子中,以-β 代替 β 得 tan α+tan?-β? tan α-tan β tan(α-β)= = . 1-tan αtan?-β? 1+tan αtan β

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问题 2 在两角和与差的正切公式中,α,β,α± 的取值是任 β 意的吗?
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π 在公式 T(α+β), (α-β)中 α, α± 都不能等于 kπ+2(k∈Z). T β, β

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探究点二

两角和与差的正切公式的变形公式

两角和与差的正切公式变形形式较多,例如:
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tan α± β=tan(α± tan β)(1?tan αtan β), tan α+tan β tan α-tan β tan αtan β=1- = -1. tan?α+β? tan?α-β? 这些变式在解决某些问题时是十分方便的.请利用两角和 与差的正切公式或变形公式完成以下练习.

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练习 1:直接写出下列式子的结果: tan 12° +tan 33° (1) =________; 1 1-tan 12° 33° tan
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(2)tan 75° 2+ 3 =________;

3 1-tan 15° (3) =________. 3 1+tan 15°

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练习 2:求值:tan 20° +tan 40° 3tan 20° 40° + tan .
解 方法一 ∵tan 20° +tan 40° =tan 60° (1-tan 20° 40° tan ), ∴原式=tan 60° (1-tan 20° 40° tan )+ 3tan 20° 40° tan
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= 3- 3tan 20° 40° 3tan 20° 40° 3. tan + tan =

方法二

tan 20° +tan 40° ∵tan 20° 40° tan =1- tan?20° +40° ?

1 =1- (tan 20° +tan 40° ), 3
∴原式=tan 20° +tan 40° 3-(tan 20° + +tan 40° )= 3.

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[典型例题] 例 1 求下列各式的值: 3+tan 15° (1) ; 1- 3tan 15°
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(2)tan 15° +tan 30° +tan 15° 30° tan . tan 60° +tan 15° 解 (1)原式= =tan(60° +15° ) 1-tan 60° 15° tan
tan 30° +tan 45° =tan 75° =tan(30° +45° )= 1-tan 30° 45° tan 3 3 +1 = =2+ 3. 3 1- 3

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tan 15° +tan 30° (2)∵tan 45° = =1, 1-tan 15° 30° tan
∴tan 15° +tan 30° =1-tan 15° 30° tan
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∴原式=(1-tan 15° 30° tan )+tan 15° 30° tan =1. 小结 公式 T(α+β) ,T(α -β) 是变形较多的两个公式,公式中有

tan αtan β, α+tan β(或 tan α-tan β), tan tan(α+β)(或 tan(α-β)) 三者知二可表示或求出第三个.

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跟踪训练 1 求下列各式的值: cos 75° -sin 75° (1) ; cos 75° +sin 75°
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(2)tan 36° +tan 84° 3tan 36° 84° - tan . 1-tan 75° tan 45° -tan 75° 解 (1)原式= = 1+tan 75° 1+tan 45° 75° tan
3 =tan(45° -75° )=tan(-30° )=-tan 30° =- 3 . (2)原式=tan 120° (1-tan 36° 84° tan )- 3tan 36° 84° tan =tan 120° -tan 120° 36° 84° 3tan 36° 84° tan tan - tan
=tan 120° =- 3.

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例 2 若 α,β 均为钝角,且(1-tan α)(1-tan β)=2,求 α+β. 解 ∵(1-tan α)(1-tan β)=2, ∴1-(tan α+tan β)+tan αtan β=2,
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∴tan α+tan β=tan αtan β-1
tan α+tan β ∴ =-1.∴tan(α+β)=-1. 1-tan αtan β
?π ? 7π ? ,π?,∴α+β∈(π,2π).∴α+β= . ∵α,β∈ 2 4 ? ?

小结

此类题是给值求角题,解题步骤如下:(1)求所求角的

某一个三角函数值,(2)确定所求角的范围.此类题常犯的错 误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,会 使求出的角不合题意或者漏解.

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跟踪训练 2 已知 tan α,tan β 是方程 x2+3 3x+4=0 的两 π π π π 根,且- <α< ,- <β< ,求角 α+β. 2 2 2 2 ?tan α+tan β=-3 3 ? 解 由已知得? , ?tan α· β=4 tan ? π π ∴tan α、tan β 均为负,∴-2<α<0,-2<β<0.
tan α+tan β -3 3 ∴tan(α+β)= = = 3. 1-tan αtan β 1-4
2π ∵-π<α+β<0,∴α+β=- 3 .

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例 3 已知△ABC 中,tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,且 3tan A+ 3tan B=tan Atan B-1,试判断△ABC 的形状.
解 ∵ 3tan A+ 3tan B=tan Atan B-1,
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∴ 3(tan A+tan B)=tan Atan B-1, tan A+tan B 3 3 ∴ =- 3 ,∴tan(A+B)=- 3 . 1-tan Atan B 5π π 又∵0<A+B<π,∴A+B= 6 ,∴C=6, 3 ∵tan B+tan C+ 3tan Btan C= 3,tan C= 3 , 3 3 ∴tan B+ 3 +tan B= 3,tan B= 3 , π 2π ∴B=6,∴A= 3 ,
∴△ABC 为等腰钝角三角形.

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小结 三角形中的问题,A+B+C=π 肯定要用,有时与诱导 公式结合,有时利用它寻找角之间的关系减少角.

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跟踪训练 3 已知 A、 C 为锐角三角形 ABC 的内角. B、 求证: tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C. 证明 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C.
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tan A+tan B ∴tan(A+B)= =-tan C. 1-tan Atan B ∴tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C. 即 tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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1 π -2 1.若 tan( -α)=3,则 tan α=________. 4 ?π ?π ?? ? 解析 tan α=tan?4-?4-α?? ? ?? ? ? ?π ? 1-tan?4-α? 1-3 1 ? ? = ?π ?=1+3=-2. 1+tan?4-α? ? ?

练一练·当堂检测、目标达成落实处

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2.已知 A+B=45° ,则(1+tan A)(1+tan B)的值为________. 2
解析 (1+tan A)· (1+tan B)
=1+(tan A+tan B)+tan Atan B
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=1+tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan Atan B =1+1-tan Atan B+tan Atan B=2.

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1 5 3.已知 A,B 都是锐角,且 tan A= ,sin B= ,则 A+B= 3 5 π ____. 4
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5 2 5 1 解析 ∵B 为锐角,sin B= 5 ,∴cos B= 5 ,∴tan B=2, 1 1 + tan A+tan B 3 2 ∴tan(A+B)= = 1 1=1. 1-tan Atan B 1- × 3 2 π ∵0<A+B<π,∴A+B=4.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
? ? β? 1 α? 1 ?α- ?= , ?β- ?=- , tan 则 2? 2 tan? 2? 3 ?
?α+β? ?? β? ? α?? ? ? tan? ?=tan??α-2?+?β-2?? ?? ? ? ?? ? 2 ?

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4. 已知
解析

1 ?α+β? ? ? 7 tan? ?=________. ? 2 ?

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? ? β? α? 1 ? 1? +?-3? tan?α-2?+tan?β-2? 2 ? 1 ? ? ? ? ? = = . ? β? ? α?= 1 ? 1? 7 1-tan?α-2?tan?β-2? 1-2×?-3? ? ? ? ? ? ?

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1.公式 T(α±β)的适用范围 由正切函数的定义可知 α、β、α+β(或 α-β)的终边不能落 π 在 y 轴上,即不为 kπ+ (k∈Z). 2 2.公式 T(α±β)的逆用 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换. π π 3 π 如 tan =1,tan = ,tan = 3等. 4 6 3 3 ?π ? 1+tan α ?π ? 1-tan α 要特别注意 tan?4+α?= ,tan?4-α?= . ? ? 1-tan α ? ? 1+tan α 3.公式 T(α±β)的变形应用 只要见到 tan α± β,tan αtan β 时,要有灵活应用公式 tan T(α±β)的意识,就不难想到解题思路.

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