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张丹海《简明大学物理》2-4 动量定理


2-4 动量定理
力的累积效应

第二章 质点动力学
? ? ? F 对 t 积累 ? p , I ? ? F 对 r 积累 ? W , E

一、动量 牛顿第二定律的另一种形式
1 动量 物体的质量与其速度的乘积,称为物体的动量。

? ? p ? m?
说明
1) 动

量是矢量,它的方向与速度的方向相同 -1 2)SI 单位: kg? m? s 3) 动量是相对量,与参考系的选择有关。
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2-4 动量定理
2 牛顿第二定律的另一种形式

第二章 质点动力学

? f ?

? dp dt

?

d( m? ) dt

?

物体的动量物体动量的时间变化率与其所受合外力 成正比,方向相同。 因为通常情况下物体的质量可以视为恒量,于是

? ? d? ? f ?m ? ma dt
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2-4 动量定理

第二章 质点动力学
? p2 ? p1

二、冲量

质点的动量定理

? ? d p ? f d t 两边对t积分,有 ? ? ? p2 ? p1 ? I

?

? dp?

?

t2

? f dt

t1

1 冲量:

? I ?

?

t2

? f dt

t1

说明

? ? 1)冲量是矢量,若力为恒力, I ? f ? t2 ? t1 ?

它的方向与外力方向相同,若力为变力,其方向由力对 时间的积分决定
2) SI单位:N· S
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2-4 动量定理
2 质点的动量定理

第二章 质点动力学
? ? ? f d t ? m? 2 ? m?1

? I ?

?

t2

t1

力在一段时间内的冲量等于物体在该时间内动量的增量. 这就是质点的动量定理 。

说明

1)动量定理是矢量式,运算时通常用标量式. 在直角坐标系中的分量式为
?I ? ? x ? ? ?Iy ? ? ?I ? ? z ?

? ? ?

t2 t1 t2 t1 t2 t1

f x d t ? m v 2 x ? m v1 x f y d t ? m v 2 y ? m v1 y f z d t ? m v 2 z ? m v1 z
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2-4 动量定理
2)变力常用平均力表示。定义
fx ? 1 t2 ? t1
t2

第二章 质点动力学
对时间的平均值为平均力

?

t1

fx d t

I x ? f x ? t 2 ? t1 ? ?

?

t2 t1 t2 t1 t2 t1

f xdt f ydt f zdt

同理

I y ? f y ? t 2 ? t1 ? ? I z ? f z ? t 2 ? t1 ? ?

? ?

写成矢量式

? ? ? ? I ? f ? t 2 ? t1 ? ? m ? 2 ? m ? 1

3)外力在时间上的累积效果是使物体动量发生变化。
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2-4 动量定理
f

第二章 质点动力学
3 冲力
在打击和碰撞过程中,物体相互作用 的时间很短,力很大且随时间变化,这 种力称冲力。 冲力的瞬时值很难确定,通常用 平均力来表示。

f

t1

t2 t

图中曲线是冲力随时间变换的示意图。直线为平均力。

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2-4 动量定理

第二章 质点动力学

例2-4 体重60.0kg的运动员跳过20m高的横杆后,垂直落 在海绵垫子上,假设人与垫子相互作用的时间为20s.试求出 运动员所受到的平均冲力.若运动员落在地上,作用时间为 0.20s,试问运动员受到的平均冲力又是多少? 解 以运动员为研究对象,选竖直向下为y轴正方向. ? 运动员受到两个力: 重力 G 竖直向下,垫子给他 ? 的平均冲力 f ,竖直向上.
由 动量定理 其中, ? 1 ?
f ? ?t
(G ? f )?t ? m?2 ? m?1

2 gh

,? 2 ? 0 可解出
2 gh ?h ? ? g? ?
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m ?? 1 ? ? 2 ?

? ?G ? m? ?

2-4 动量定理
代入数据,当
? f ? 6 0 .0 ? ? ?

第二章 质点动力学
?t ? 2 s
2 ? 9 .8 0 ? 2 .0 2


? ? 9 .8 0 ? ?
2

= 6 0 .0 ? ? 3 .1 3 ? 9 .8 0 ? ? 7 .8 ? 1 0 N



? t ? 0 .2 s


? ? 9 .8 0 ? ?
3

? f ? 6 0 .0 ? ? ?

2 ? 9 .8 0 ? 2 .0 0 .2

= 6 0 .0 ? ? 3 1 .3 ? 9 .8 0 ? ? 2 .5 ? 1 0 N

可见,当相互作用时间极短时,重力往往可以忽略不计
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