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2018届高三数学一轮复习:课时作业56 Word版


课时作业 56

定点、定值、探索性问题

1.过抛物线 y2=2px(p>0)上一定点 P(x0,y0)(y0≠0)分别作斜率 为 k 和-k 的直线 l1,l2,设 l1,l2 分别与抛物线 y2=2px 交于 A,B 两点,证明:直线 AB 的斜率为定值.
2 ? ?y =2px, 证明: 设 A(x1, y1), B(x2, y2), 由题易知 k≠0.由? ?y-y0=k?x-x0?, ?

2p 2py0 2p 消去 x,得 y2- k y+ k -2px0=0,由韦达定理得 y0+y1= k ,所以 2p y1= k -y0.① 2p 2p 同理 y0+y2=- k ,得 y2=- k -y0.② 由①②得 y1+y2=-2y0, 所以 kAB= y2-y1 y2-y1 2p p = y2 y2 = =-y , 故直线 AB 的斜率为定 x2-x1 y1+y2 2 1 0 2p-2p

值. x2 y2 2 2.已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)经过点 M( 6,1),离心率为 2 . (1)求椭圆的标准方程; → → (2)已知点 P( 6, 0), 若 A, B 为已知椭圆上两动点, 且满足PA· PB =-2,试问直线 AB 是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点的坐 标;若不过定点,请说明理由. c 2 解:(1)由题意得a= 2 ,①

6 1 因为椭圆经过点 M( 6,1),所以a2+b2=1.② 又 a2=b2+c2,③ 由①②③解得 a2=8,b2=c2=4, x2 y2 所以椭圆的标准方程为 8 + 4 =1. (2)①当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y=kx+m, x2 y2 代入 8 + 4 =1,消去 y,整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. 由 Δ>0,得 8k2+4-m2>0.① 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2m2-8 4km 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 , 2k +1 2 k +1 → → 所以PA· PB=(x1- 6)(x2- 6)+y1y2=(x1- 6)(x2- 6)+(kx1+ m)(kx2+ m)= (k2+ 1)x1x2+ (km- 6)· (x1+ x2)+ 6+ m2=- 2 ,得 (k2+ 2m2-8 1)x1x2 + (km - 6 )(x1 + x2) + 8 + m = 0 , 即 (k + 1) 2 + (km - 2 k +1
2 2

6)

-4km +8+m2=0, 2 2 k +1 整理得( 3m+2 2k)2=0, 2 6 从而 m=- 3 k,满足①,
? 2 6? ?, 所以直线 AB 的方程为 y=k?x- 3 ? ?

故直线 AB 恒过定点?

?2 6 ? ?. , 0 ? 3 ?

2 6 ②当直线 AB 与 x 轴垂直时,若直线为 x= 3 ,此时点 A,B 的

坐标分别为?

?2 6 2 6? ?2 6 → → 2 6? ? ,? ?,满足PA· PB=-2, , ,- 3 ? ? 3 3 ? ? 3

?2 6 ? 2 6 ?. 此时直线 x= 3 也过定点? , 0 ? 3 ?

综上,直线 AB 恒过定点?

?2 6 ? ?. , 0 ? 3 ?

x2 y2 3. (2017· 河北质量监测)已知椭圆 E: a2+b2=1 的右焦点为 F(c,0) 3 且 a>b>c>0, 设短轴的一个端点为 D, 原点 O 到直线 DF 的距离为 2 , → → 过原点和 x 轴不重合的直线与椭圆 E 相交于 C, G 两点, 且|GF|+|CF |=4. (1)求椭圆 E 的方程; (2)是否存在过点 P(2,1)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 A, → → → B 且使得OP2=4PA· PB成立?若存在,试求出直线 l 的方程;若不存 在,请说明理由. → → 解:(1)由椭圆的对称性知|GF|+|CF|=2a=4,∴a=2.又原点 O 3 bc 3 到直线 DF 的距离为 2 ,∴ a = 2 ,∴bc= 3,又 a2=b2+c2=4, x2 y2 a>b>c>0,∴b= 3,c=1.故椭圆 E 的方程为 4 + 3 =1. (2)当直线 l 与 x 轴垂直时不满足条件. 故可设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y=k(x-2)+1,代 入椭圆方程得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0,∴x1+x2= 8k?2k-1? 16k2-16k-8 1 → ,Δ=32(6k+3)>0,∴k>-2.∵OP2= 2 ,x1x2= 2 3+4k 3+4k → → 4PA· PB,即 4[(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)]=5,∴4(x1-2)(x2-2)(1

+k2)=5,即 4[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=5, 16k2-16k-8 8k?2k-1? 4+4k2 2 ∴4[ - 2× +4](1+k )=4× =5,解 3+4k2 3+4k2 3+4k2 1 1 得 k=± , k =- 2 2不符合题意,舍去.∴存在满足条件的直线 l,其 1 方程为 y=2x.

1.(2017· 江西联考)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, 2 离心率为 2 ,它的一个焦点恰好与抛物线 y2=4x 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆的上顶点为 A,过点 A 作椭圆 C 的两条动弦 AB,AC, 1 若直线 AB,AC 斜率之积为4,直线 BC 是否一定经过一定点?若经 过,求出该定点坐标;若不经过,请说明理由. x2 y2 c 2 解:(1)设椭圆 C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0),则 e=a= 2 , x2 2 c=1,故 a =2,b =1,椭圆 C 的标准方程为 2 +y =1.
2 2

(2)由(1)知 A(0,1),当直线 BC 的斜率不存在时,设 BC:x=x0, 1 2 x 2 y0-1 -y0-1 1-y0 2 0 1 C(x0,-y0),kAB· kAC= x · x = x2 = x2 =2 0 0 0 0

设 B(x0,y0),则

1 ≠4,不合题意. 故直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为:y=kx+m(m≠1), 并代入椭圆方程,得:

(1+2k2)x2+4kmx+2(m2-1)=0,① 由 Δ=(4km)2-8(1+2k2)(m2-1)>0 得 2k2-m2+1>0.② 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1,x2 是方程①的两根,由根与系数 的关系得, 2?m2-1? 4km x1+x2=- ,x · x= , 1+2k2 1 2 1+2k2 y1-1 y2-1 1 由 kAB· kAC= x · x =4得:
1 2

4y1y2-4(y1+y2)+4=x1x2, 即(4k2-1)x1x2+4k(m-1)(x1+x2)+4(m-1)2=0, 整理得(m-1)(m -3)=0,又因为 m≠1,所以 m=3,此时直线 BC 的方程为 y=kx+ 3. 所以直线 BC 恒过一定点(0,3).

2.(2017· 西安质检)如图所示,已知椭圆 C 的中心在原点,焦点 3 在 x 轴上,离心率等于 2 ,它的一个顶点恰好在抛物线 x2=8y 的准 线上. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)点 P(2, 3),Q(2,- 3)在椭圆上,A,B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点,当 A,B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

x2 y2 解:(1)设椭圆 C 的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线 x2=8y 的准线 y=-2 上, ∴-b =-2,解得 b=2. c 3 又a= 2 ,a2=b2+c2, ∴a=4,c=2 3. x2 y2 可得椭圆 C 的标准方程为16+ 4 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵∠APQ=∠BPQ,则 PA,PB 的斜率互为相反数,可设直线 PA 的斜率为 k,则 PB 的斜率为-k,直线 PA 的方程为:y- 3=k(x-
? ?y- 3=k?x-2?, 2),联立? 2 化为 (1+ 4k2)x2+ 8k( 3 - 2k)x+ 4( 3- 2 ?x +4y =16, ?

2k)2-16=0, ∴x1+2= x2+2= 8k?2k- 3? .同理可得: 1+4k2

-8k?-2k- 3? 8k?2k+ 3? = , 1+4k2 1+4k2

16k2-4 -16 3k ∴x1+x2= , 2 ,x1-x2= 1+4k 1+4k2 y1-y2 k?x1+x2?-4k 3 kAB= = =6. x1-x2 x1-x2 3 ∴直线 AB 的斜率为定值 6 .

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