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河北省唐山市2014届高三数学上学期期末考试试题 理


河北省唐山市 2014 届高三数学上学期期末考试试题 理 (扫描版) 新 人教 A 版

1

2

3

唐山市 2013—2014 学年度高三年级第一学期期末考试 理科数学参考答案 一、选择题 A 卷:ADDCC B 卷:BBDCC 二、填空题 ABCDB ABCDB BA DD

4

(13)8 三、解答题 (17)解:

(14)45

(15)-12

(16)(2n+1)3

n-1

(Ⅰ)因为 A+B+C=?,所以 sin

B+C

2 7 7 2 2 所以由已知得 4cos -cos 2A= ,变形得 2(1+cos A)-(2cos A-1)= , 2 2 2 1 2 整理得(2cos A-1) =0,解得 cos A= . 2 ? 因为 A 是三角形内角,所以 A= . ?5 分 3

=sin

?-A A =cos , 2 2

A

(Ⅱ)△ABC 的面积 S=

1 1 1 1 3 3 bcsin A= × × × = . 2 2 sin B sin C 2 4sin Bsin C

设 y=4sin Bsin C, 2? 2 则 y=4sin Bsin( -B)=2 3sin Bcos B+2sin B 3 ? = 3sin 2B+1-cos 2B=2sin(2B- )+1. ?9 分 6 2? ? ? ? ? ? ? 5? 因为 0<B< ,0< -B< ,所以 <B< ,从而 <2B- < , 2 3 2 6 2 6 6 6 故当 B= 3 ? 时,S 的最小值为 . 3 3 ?12 分

(18)解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O,连结 OD,OP. 因为 PA=PB,所以 AB⊥OP. 又 AB⊥PD,OP∩PD=P,所以 AB⊥平面 POD, 因为 OD?平面 POD,所以 AB⊥OD.
z P

?3 分

A D B x O y C

由已知,BC⊥PB,又 OD∥BC,所以 OD⊥PB, 因为 AB∩PB=B,所以 OD⊥平面 PAB. 又 OD?平面 ABC,所以平面 PAB⊥平面 ABC. ?5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,OB,OD,OP 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,→ OB 的方向为 x 轴的方向,|→ OB |为单位长,建立如图所示的空间直 角坐标系 O-xyz. 由题设知 B (1,0,0),P (0,0, 3),D (0,1,0),C (1,2,0). 则→ BD =(-1,1,0),→ PD =(0,1,- 3),→ DC =(1,1,0). 设 m=(x,y,z)是平面 PDB 的法向量,则 ?m·→ BD =0, ?-x+y=0, 即? 可取 m=( 3, 3,1). ? → ?m· PD =0, ?y- 3z=0.

?9 分

5

同理可取平面 PDC 的法向量 n=( 3,- 3,-1). m·n 1 故 cos ?m,n?= =- . ?11 分 |m||n| 7 1 所以二面角 B-PD-C 的余弦值为- . ?12 分 7 (19)解: 记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件 A, “初查阶段乙类的一个指标项合格” 为事件 B, “复查阶段一个指标项合格”为事件 C,则 2 1 P (A)= ,P (B)=P (C)= . 3 2 (Ⅰ)记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件 D,则 5 3 2 - P (D)=[P (A)]4[P (- B )]2[P (C)]2+C3 . ?4 分 4[P (A)] [P ( A )][P (B)] [P (C)]= 81 (Ⅱ)X 的可能取值为-1,0,8,18. 4 P (X=18)=[P (A)]4[P (B)]2= , 81 8 - P (X=8)=[P (A)]4C1 , 2[P (B)][P ( B )]= 81 5 P (X=0)=P (D)= , 81 64 P (X=-1)=1-P (X=5)-P (X=2)-P (X=0)= . 81 X 的分布列为 X -1 0 8 18 64 5 8 4 P ?10 分 81 81 81 81

X 的数学期望 E (X)=-1× +0× +8× +18× =
(20)解: 2 2 (Ⅰ)将 y=kx+2 代入 x =2py,得 x -2pkx-4p=0. 2 2 其中 Δ =4p k +16p>0 设 A (x1,y1),B (x2,y2),则 x1+x2=2pk,x1x2=-4p.

64 81

5 81

8 81

4 81

8 (万元) . ?12 分 9 ?2 分

?4 分

x2 x2 1 2 → OA ·→ OB =x1x2+y1y2=x1x2+ · =-4p+4. 2p 2 p
1 . 2 2 所以抛物线 E 的方程 x =y. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1+x2=k,x1x2=-2. y1+2 x2 x2 1+2 1-x1x2 k1= = = =x1-x2,同理 k2=x2-x1, 由已知,-4p+4=2,p= (21)解: x x (Ⅰ)设 g (x)=xe +1,则 g ?(x)=(x+1)e . 当 x∈(-∞,-1)时,g ?(x)<0,g (x)单调递减; 当 x∈(-1,+∞)时,g ?(x)>0,g (x)单调递增. -1 所以 g (x)≥g (-1)=1-e >0. x 又 e >0,故 f (x)>0.

?6 分 ?10 分 ?12 分

x1 x1 x1 2 2 2 2 2 所以 k1+k2-2k =2(x1-x2) -2(x1+x2) =-8x1x2=16.

?2 分

6

e (1-e ) x 2. (xe +1) 当 x∈(-∞,0)时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; 当 x∈(0,+∞)时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. 所以 f (x)≤f (0)=1. 综上,有 0<f (x)≤1. 1 (Ⅱ) (1)若 a=0,则 x>0 时,f (x)<1= 2 ,不等式不成立. ax +1 1 1 (2)若 a<0,则当 0<x< 时, 2 >1,不等式不成立. ax +1 -a

x

x

f ?(x)=

?5 分 ?6 分 ?7 分

1 2 x 等价于(ax -x+1)e -1>0. ① ax +1 2 x x 设 h (x)=(ax -x+1)e -1,则 h ?(x)=x(ax+2a-1)e . 1 若 a≥ ,则当 x∈(0,+∞),h ?(x)>0,h (x)单调递增,h (x)>h (0)=0.?9 分 2 1 1-2a 若 0<a< ,则当 x∈(0, ),h ?(x)<0,h (x)单调递减,h (x)<h (0)=0. 2 a 1 于是,若 a>0,不等式①成立当且仅当 a≥ . ?11 分 2 1 综上,a 的取值范围是[ ,+∞). ?12 分 2 (22)证明: (Ⅰ)连结 BD. 因为 AD⊥AB,所以 BD 是⊙O 的直径. 因为 AE=AF,所以∠FBA=∠EBA. 又因为 AB=AC,所以∠FBA=∠C. ?4 分 又因为∠C=∠D,∠D+∠ABD=90?, 所以∠FBA+∠ABD=90?,即∠FBD=90?, 所以 BF 是⊙O 的切线. ?7 分 (3)若 a>0,则 f (x)>
2

B O D C E A F

(Ⅱ)由切割线定理,得 BF =AF·DF. 因为 AF=AE,BE=BF, 2 所以 BE =AE·DF. ?10 分 (23)解: (Ⅰ)将 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ 分别代入圆 C 和直线 l 的直角坐标方程得其极坐标 方程为 C:ρ =2,l:ρ (cos θ +sin θ )=2. ?4 分 (Ⅱ)设 P,Q,R 的极坐标分别为(ρ 1,θ ),(ρ ,θ ),(ρ 2,θ ),则 2 2 由|OQ|·|OP|=|OR| 得 ρ ρ 1=ρ 2. ?6 分 2 又 ρ 2=2,ρ 1= , cos θ +sin θ 2ρ 所以 =4, cos θ +sin θ
7

2

故点 Q 轨迹的极坐标方程为 ρ =2(cos θ +sin θ )(ρ ≠0) . (24)解: (Ⅰ)因为 x+y+z≥3 xyz>0, 所以(x+y+z)( 1
3

?10 分

1

x



1

y
1

+ +

1

z
1

≥ +

3
3

xyz

>0,

x



1

y



1

z
1

)≥9,即 + 1

1

x
1

y

z

≥3, ?5

当且仅当 x=y=z=1 时, 分 (Ⅱ)x +y +z =
2 2 2

x

y



z

取最小值 3.

x2+y2+z2+(x2+y2)+(y2+z2)+(z2+x2)
3

= =3. 3 3 2 2 2 2 2 2 2 又 x +y +z -9=x +y +z -(x+y+z) =-2(xy+yz+zx)<0, 2 2 2 所以 3≤x +y +z <9.



x2+y2+z2+2(xy+yz+zx) (x+y+z)2

?10 分

8


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