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2.3.1 变量之间的相关关系--2.3.2 两个变量的线性相关


2.3

变量间的相关关系

2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关

【选题明细表】 知识点、方法 利用散点图判断两个变量的相关性 回归直线方程 利用回归直线方程对总体估计 题号 1 2、3、4、7、9 5、6、8、10

基础达标
1.观察下列散点图(如图),则①

正相关,②负相关,③不相关各自对应的顺序是(从左至右)( D )

(A)①②③ (B)②③① (C)②①③ (D)①③② 解析:点分布在某一条直线附近,若是从左下角区域到右上角区域,则是正相关;若是从左上角区域到右下角区 域,则是负相关;点的分布无规律,则不相关.故选 D. 2.(2011 年福建检测)设有一个回归直线方程为 y =2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时( (A)y 平均增加 1.5 个单位 (B)y 平均增加 2 个单位 (C)y 平均减少 1.5 个单位 (D)y 平均减少 2 个单位 解析:∵两个变量负相关, ∴变量 x 增加一个单位,y 平均减少 1.5 个单位. 故选 C. 3.(2011 年湛江检测)在一次实验中测得(x,y)的四组值分别为 A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则 y 与 x 之间的回 归直线方程为(
^ ^ ^

C )

A

)

(A) y =x+1 (B) y =x+2 (C) y =2x+1 解析:由=


(D) y =x-1



1+2+3+4 5 2+3+4+5 7 = ,= = , 4 2 4 2

又回归直线过点( ,),检验可得 A 正确. 4.(2010 年高考湖南卷) 某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( (A) y =-10x+200 (B) y =10x+200 (C) y =-10x-200 (D) y =10x-200 解析:∵销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,
^ ^ ^ ^

A )

∴x 的系数为负. 又∵y 不能为负值, ∴常数项必须是正值.故选 A. 5.一位母亲记录了儿子 3~9 岁的身高,由此建立的身高与年龄的回归模型为 y =7.19x+73.93,用这个模型预 测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( (A)身高一定是 145.83 cm (B)身高在 145.83 cm 以上 (C)身高在 145.83 cm 以下 (D)身高在 145.83 cm 左右 解析:回归直线是用来估计总体的,所以我们求的值都是估算值,所以我们得到的结果也是近似的.只要把自变 量的值代入回归直线方程即可求得结果为 145.83(cm). 6.下列说法: ①回归方程适用于一切样本和总体; ②回归方程一般都有局限性; ③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围; ④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值. 正确的是 (将你认为正确的序号都填上). 解析:样本或总体具有线性相关关系时,才可求回归方程,而且由回归方程得到的函数值是近似值,而非精确值, 因此回归方程有一定的局限性.所以①④错. 答案:②③ 7.某商店统计了最近 6 个月某商品的进价 x 与售价 y(单位:元)的对应数据如表: x y 3 4
6 ^

D )

5 6
6

2 3

8 9

9 12

12 14

则=

,=

,∑
=1

2 =

, ∑ xiyi=
=1

,回归直线方程为

.

解析:=

3+5+2+8+9+12 =6.5, 6

=
6

4+6+3+9+12+14 =8, 6

=1 6

∑ 2 =32+52+22+82+92+122=327,

∑ xiyi=3×4+5×6+2×3+8×9+9×12+12×14=396.
=1 ^

b=


396-6×6.5×8 327-6×6.52

≈1.143,

a =8-1.143×6.5≈0.57.



y =1.143x+0.57.

答案:6.5

8

327

396



y =1.143x+0.57

能力提升
8.(2010 年福建师大附中高一检测)某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据: x y 2 30
^ ^

4 40
^ ^

5 60

6 50

8 70

根据上表提供的数据得到回归方程 y = b x+ a 中的 b =6.5,预测销售额为 115 万元时约需 解析:= ×(2+4+5+6+8)=5,
1 5

万元广告费.

=5×(30+40+60+50+70)=50,


1

∵ b =6.5,直线 y = b x+ a 过点(,), ∴50=6.5×5+ a , ∴ a = 17.5, ∴ y = 6.5x + 17.5, 当 y =115 时,则 115=6.5x+17.5,解得 x=15. 答案:15 9.某个服装店经营某种服装,在某周内获纯利 y(元),与该周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数据关系见 表 x y
7 ^ ^ ^ ^

^ ^



3 66
7

4 69
7

5 73

6 81

7 89

8 90

9 91

已知 ∑ 2 =280, ∑ 2 =45309, ∑ xiyi=3487. =1 =1 =1 (1)求,; (2)求回归方程. 解:(1)= ×(3+4+5+6+7+8+9)=6,
1 7

= ×(66+69+73+81+89+90+91)=


1 7

559 . 7

(2) b =


3487-7×6× 7 19 = , 4 280-7×36

559

∴a=

559 19 719 - ×6= , 7 4 14

∴所求回归方程为 y = x+



19 4

719 . 14

10.(2011 年厦门检测)在一段时间内,某种商品价格 x(万元/吨)和需求量 y(吨)之间的一组数据为: 价格 x/(万元/吨) 需求量 y/吨 (1)画出散点图; (2)求出 y 对 x 的回归直线方程,并在(1)的散点图中画出它的图象; (3)如果价格定为 1.9 万元,预测需求量大约是多少?(精确到 0.01 吨) 解:(1)散点图,如图. 1.4 12 1.6 10 1.8 7 2 5 2.2 3

(2)采用列表的方法计算 a 与回归系数 b . 序号 1 2 3 4 5 合计
1 1





x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 9

y 12 10 7 5 3 37

x2 1.96 2.56 3.24 4 4.84 16.6

xy 16.8 16 12.6 10 6.6 62

=5×9=1.8,=5×37=7.4,


b=


62-5×1.8×7.4 16.6-5×1.82

=-11.5,

a =7.4+11.5×1.8=28.1,
^ ^ ^

y 对 x 的回归直线方程为 y = a + b x=28.1-11.5x. (3)当 x=1.9 时, y =28.1-11.5×1.9=6.25, 所以价格定为 1.9 万元时,需求量大约是 6.25 吨.



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