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高中数学论文 图形计算器应用能力测试活动学生 关于运用CASIO图形计算器解决超越方程解的个数的探究


辽宁省沈阳市第十五中学 2013 年高中数学论文 图形计算器应用能 力测试活动学生 关于运用 CASIO 图形计算器解决超越方程解的个数 的探究
在日常的数学学习中,我们经常会遇到这样一些问题,例如求解方程 cosx

? lgx 的实数解

个数, 这类方程被称为超越方程, 超越方程一般指的是等号两边至少有一个含有未知数的初 等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。超越方程一般没 有解析解,而只有数值解或近似解,只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。而这样的题 便是令大多数同学的十分头痛的难题。 而适当地运用 CASIO 图形计算器并辅以一定的数学运 算,就能方便而准确地解决这类问题。 首先,对于文章开头所提出的 cosx

? lgx ,采用以下简单的解法来解决问题:

在 CASIO 计算器中选取图形模块,输入方程:

然后绘图,很容易得到有三个交点:

1

那么,当面对比较复杂的,例如带参数的超越方程时,应当如何解决呢? 例如下题: 当方程 sin
* x ? lg ? ? k ? x ? 1? ? 1? ? 对于 k ? 0 解的个数为 n n ? 1, n ? N

?

?

个时, k 的取值范围是? 为解决这道题,首先利用图形计算器中的动态函数,初步了解题目: 先取 k =1,2,3,观察图形:

2

从图形中可以发现,由于 n 与 k 的值都是不定的,无法直接从图中得出准确的答案。 当 n 为偶数时,对数函数与 sin 函数的最后一个交点应该在 sin 函数的最大值,即 y=1 时取 到, 根据这一点, 可以联想到当 n 为奇数时, 对数函数的最后两个交点会穿过 sin 函数的 “山 峰” , 即类似于 k=1 时的部分图像:

那么,根据以上分析,分类讨论: 1.当 n 为偶数时:

? ? ? ? ? ? lg k 2 m ? ? ? 1? ? 1? ? 1 , 设 n=2m, 此时代入数据, ? ? 即当 x ? 2m? ? 2 ? ? 2 ? ?
为最后一个交点时,将共有 2m 个交点。

k? 解得:

18 2m? ?

?
2

? ?1

18 2n? ? ? ? 2

2.当 n 为奇数时,既要保证 x

? 2m? ?

?
2

时的 sin 函数值小于 1,又要保证

x ? 2(m ? 1)? ?

?
2
的 sin 函数值大于 1, 这样才能保证对数函数与 sin 函数共有 n 个交

点,根据上述分析列出不等式:

? ? ? ? ? ? ?lg ? k ? 2m? ? ? 1? ? 1? ? 1 2 ? ? ? ? ? ? ?lg ? k ? 2(m ? 1)? ? ? ? 1? ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ?
3

根据上述不等式解出 n 为奇数时 k 的范围:

18 18 ?k? (2n ? 3)? ? 2 (2n ? 1)? ? 2
那么,综上所述:
* x ? lg ? ? k ? x ? 1? ? 1? ? 对于 k ? 0 解的个数为 n n ? 1, n ? N

当方程 sin 个时,

?

?

k? 当 n 为偶数时,

18 2m? ?

?
2

? ?1

18 2n? ? ? ? 2

18 18 ? k ? 当 n 为奇数时, (2n ? 3)? ? 2 (2n ? 1)? ? 2
从这道题中我们不难发现, 对于一些含参数的超越方程解的个数问题, 并不是简单地使用计 算器画图就可以得出解答, 而是要先经过计算器画图得出直观的印象, 再进行精确的数学分 析与解答,才能解出答案。 由此,可以引申出另一道题,即解答方程 2sin x

? lg x 的交点个数:

此时,运用计算器画图就成为非常重要的先行步骤:

可以看到,现在这道题由于 sin 函数前的系数为 2,与文章开篇的简单问题 cosx 生了很大的不同,那么,对于这道题就需要合理的推断与想象。 当

? lgx 产

x ? 100 时, lg x ? 2 ? 2sin x ,此时已经没有交点。
x ? 100 共有 15 个完整的“峰” ,那么此时,解题就变得十分便捷。
? lg x 共有 15*2+1=31 个交点。

而在 1 ?

所以,算上第一个交点, 2sin x

通过上述三道题的分析, 可以看出合理适当地运用 CASIO 计算器在解决超越方程解的个数上
4

十分有很大的作用。由于手画草图并不能准确地显示图像的细节,会产生很大的误差,因此 在解决超越方程解的个数问题时, 需要先经过计算器画图得出直观的印象, 再进行精确的数 学分析,同时合理地想象推理,并加以验证,这样就能获得正确的答案。

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