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§1.4.2 微积分基本定理


1.4.2 微积分基本定理
一:教学目标 知识与技能目标
通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分

过程与方法
通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法

情感态度与价值观
通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证 唯物主

义观点,提高理性思维能力。

二:教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系, 使学生直观了解微积分基本定理的含
义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义

三:教学过程:
1、复习: 定积分的概念及用定义计算 2、引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂, 所以不是求定积分的一般方 法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t ) ? o ) , 则物体在时间间隔 [T1 , T2 ] 内经过的路程可用速度函数表示为 达,即

?

T2

T1

v(t )dt 。

另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 [T1 , T2 ] 上的增量 S (T1 ) ? S (T2 ) 来表

?

T2

T1

v(t )dt = S (T1 ) ? S (T2 )

而 S ?(t ) ? v(t ) 。 对于一般函数 f ( x) ,设 F ?( x) ? f ( x) ,是否也有

若 上 式 成 立 , 我 们 就 找 到 了 用 f ( x) 的 原 函 数 ( 即 满 足 F ?( x) ? f ( x) ) 的 数 值 差

?

b

a

f ( x) d x ?

F ? ( b )

F a ( )

F (b) ? F (a) 来计算 f ( x) 在 [a, b] 上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数 F ( x) 是 [a, b] 上的连续函数 f ( x) 的任意一个原函数,则

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)

证明:因为 ?( x) =

F ( x) - ?( x) =C( a ? x ? b ) 其中 C 为某一常数。
令 x ? a 得 F (a) - ?(a) =C,且 ?(a) = 即有 C= F (a) ,故 F ( x) = ?( x) + F (a)

?

x

a

f (t )dt 与 F ( x) 都是 f ( x) 的原函数,故

?

a

a

f (t )dt =0

? ?( x) = F ( x) - F (a) = ? f (t )dt
a

x

令 x ? b ,有

?

b

a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a)
b

此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见,还常用 F ( x) |a 表示 F (b) ? F (a) ,即

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b ? F (b) ? F (a) a

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的 一般方法,把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后 面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅 如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例 1.计算下列定积分:
3 1 1 dx ; (2) ? (2 x ? 2 )dx 。 1 x x 1 ' 解: (1)因为 (ln x) ? , x 21 2 所以 ? dx ? ln x |1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 。 1 x 1 ' 1 2 ' (2) )因为 ( x ) ? 2 x, ( ) ? ? 2 , x x 3 3 3 1 1 所以 ? (2 x ? 2 )dx ? ? 2 xdx ? ? 2 dx 1 1 1 x x 1 3 1 22 3 。 ? x 2 |1 ? |1 ? (9 ? 1) ? ( ? 1) ? x 3 3

(1)

?

2

1

练习:计算 解:由于

? x dx
2 0

1

1 3 x 是 x 2 的一个原函数,所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 2 ?0 x d x= 3 x |0 = 3 ?1 ? 3 ? 0 = 3
2? 2?

例 2.计算下列定积分:

?

?

0

sin xdx, ? sin xdx, ? sin xdx 。
?
0
'

由计算结果你能发现什么结论?试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解:因为 (? cos x) ? sin x , 所以

? sin xdx ? (? cos x) | ? (? cos ? ) ? (? cos 0) ? 2 , ? ? ?? sin xdx ? (? cos x) |? ? (? cos 2? ) ? (? cos ? ) ? ?2 , ? ? ? sin xdx ? (? cos x) | ? (? cos 2? ) ? (? cos 0) ? 0 .
?
0 0 2
2

?

2

0

2 0

可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是 0: ( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图 1 ) ,定积分的值取正值,且等于曲边梯 形的面积;

图1 (2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值,且等于曲边梯形的面积 的相反数;

( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分 的值为 0,且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积.

例 3.汽车以每小时 32 公里速度行驶,到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 a =1.8 米/秒 2 刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离? 解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。 t=0 时, 当 汽车速度 v0 =32 公里/小时

32 ? 1000 米/秒 ? 8.88 米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为 v(t)=v0 ? at=8.88-1.8t 当汽车 3600 8.88 停住时,速度 v(t)=0 ,故从 v(t)=8.88-1.8t=0 解得 t= ? 4.93 秒 1.8
= 于是在这段时间内,汽车所走过的距离是

s??

4.93

0

v(t)dt ? ?

4.93

0

1 (8.88 ? 1.8t)dt = (8.88 ? 1.8 ? t 2 ) 2 0

4.93

? 21.90 米,即在刹车后,汽

车需走过 21.90 米才能停住. 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时它也提供了计算定积分的一 种有效方法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成 为一门影响深远的学科,可以毫不夸张地说,微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的 成果.

四:课堂小结:
本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布 尼兹公式.成立,进而推广到了一般的函数,得出了微积分基本定理,得到了一种求定积分的 简便方法,运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数,这就要求大家前面的求导数的知 识比较熟练,希望,不明白的同学,回头来多复习!


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