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3.1.3概率


3.1.3 概率的基本性质

在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件 C1={出现 1 点}; C2={出现 2 点}; C3={出现 3 点}; C4={出现 4 点}; C5={出现 5 点}; C6={出现 6 点}; D1={出现的点数不大于1}; D2={出现的点数大于3}; D3={出现的点数小于5}; 问题1: 事件C1发生,则哪些事件一定发生

? E ={出现的点数小于7}; F ={出现的点数大于6}; 问题2: G ={出现的点数为偶数};事件C1与事件D1是什么关系? H ={出现的点数为奇数}; ??

(1)包含事件 一般地,对于事件A与事件B,如果事件A 发生,则事件B一定发生,这时称事件B包 含事件A(或称事件A包含于事件B),记作

B

A

B ? A 或 ( A ? B)
例 事件 C1={出现1点}发生,则事件 H={出现的点数为奇数} 也一定会发生,所以 H ? C1
试验结果的全体 每一个事件 注 不可能事件记作 全集 子集

? ,任何事件都包括不可能事件

(2)相等事件 一般地,对事件A与事件B,若 A ? B 且 B ? A , 那么称事件A与事件B 相等, 记作 A=B

B

A

例 事件 C1={出现1点}发生,则事件 D1={出现的点数不大于1} 就一定会发生,反过来也一样,所以 C1=D1

C1

D1

在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件 C1={出现 1 点}; C2={出现 2 点}; C3={出现 3 点}; C4={出现 4 点}; C5={出现 5 点}; C6={出现 6 点}; D1={出现的点数不大于1}; D2={出现的点数大于3}; 问题3: D3={出现的点数小于5}; C1∪C5是什么事件? E ={出现的点数小于7}; F ={出现的点数大于6}; 问题4: G ={出现的点数为偶数}; 事件D2,D3和C4是什么关系? H ={出现的点数为奇数}; 交事件 ??

(3)并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为 事件A和事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B)

B

A∪B

A

例 若事件K={出现1点或5点}发生,则事件C1={出现1点} 与事件C5={出现5点}中至少有一个会发生,即K=C1∪C5

(1)交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件 为事件A和事件B的交事件(或积事件)记作 A∩B(或AB)

B

A∩B

A

例 若事件C4={出现4点}发生,则事件D2 ={出现的点数大于3} 与事件D3={出现的点数小于5}同时发生,即 C4=D2∩D3

在掷骰子的试验中,我们可以定义许多事件 C1={出现 1 点}; C2={出现 2 点}; C3={出现 3 点}; C4={出现 4 点}; C5={出现 5 点}; C6={出现 6 点}; 互斥事件 D1={出现的点数不大于1}; 问题5: D2={出现的点数大于3}; 若只掷一次骰子,则事件C1和事件 D3={出现的点数小于5}; C2有可能同时发生吗? E ={出现的点数小于7}; 问题6: F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; 在掷骰子实验中事件G和事件H是否 H ={出现的点数为奇数}; 一定有一个会发生? ?? 对立事件

(5)互斥事件 若A∩B 为不可能事件(A∩B= ? ),那么称事件A与事件B互斥,

其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生

B

A

例 因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点}不可能同时发 生,故这两个事件互斥

(6)对立事件 若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件,那么称事件A与事件 B互为对立事件,其含义是:事件A与事件B在任何一次试验中 有且仅有一个发生

A

B

例 事件G={出现的点数为偶数}与事件H={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件 注 互斥事件和对立事件的关系

互斥事件

对立事件

判断下列各事件是否为互斥事件,是否为对立事件 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去 参加演讲比赛,其中:

(1) 恰有1名男生和恰有2名男生 (3) 至少有1名男生和全是男生
(4) 至少有1名男生和全是女生

互斥,非对立事件 不互斥 互斥且对立事件

(2) 至少有1名男生和至少有1名女生 不互斥

(1)对于任何事件的概率的范围是:0≤P(A)≤1

不可能事件的概率是:P(A)=0 必然事件的概率是: P(A)=1
(2)概率的加法公式:如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B) (3)特别地,当事件A与事件B互为对立事件时,有:P(A)=1- P(B)

注1 注2

当事件A,B,C两两互斥时,有: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) 常将事件的对立事件记为 A

如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取 一张,那么取到红心(事件A)的概率是0.25,取到 方片(事件B)的概率是0.25,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?

(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少?
解:(1)因为C=A∪B,且A与B是互斥事件,所以 P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5 (2)因为C与D是对立事件,所以 P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5

盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件A 表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件B表示“3个 球中有2个红球,1个白球”.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5, 求“3个球中既有红球又有白球”的概率

解: 记“3个球中既有红球又有白球”为事件C, 则C=A∪B,且事件A与事件B互斥,所以 P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8

经统计,某储蓄所一个窗口等候的人数及相应概率如下 排队 0 1 2 3 4 5人及5人 人数 以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排队的概率是多少?

(2)至少3人排队等候的概率是多少?

解: 记在窗口等候的人数为0,1,2分别记为事件A,B,C,
则A,B,C 彼此互斥

(1)至多2人排队的概率是 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56
(2)至少3人排队的概率是 1-P(A∪B∪C)=1-0.56=0.44

把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、 丁4个人,每人分得一张,事件“甲分得红牌” 与事件“乙分得红牌”是


D

A B C

对立事件 互斥但不对立事件 不可能事件 以上都不对


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