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2009年上海市初中数学竞赛(新知杯)试题


蕴秀斋

2009 年新知杯上海市初中数学竞赛
一,填空题(第 1-5 小题每题 8 分,第 6-10 小题每题 10 分,共 90 分) 1 ,对于任意实数 a , b ,定义 a b = a ( a + b) + b ,已知 a 2.5 = 28.5 ,则实数 a 的值 是 .
2 2

2,在三角形 ABC 中, AB = b 1, BC = a , CA = 2a ,其中 a , b 是大于 1 的整数,则

ba = . 3,一个平行四边形可以被分成 92 个边长为 1 的正三角形,它的周长可能是
4 3 2

.

4,已知关于 x 的方程 x + 2 x + (3 + k ) x + (2 + k ) x + 2k = 0 有实根,并且所有实根的乘 积为 2 ,则所有实根的平方和为 .

B

5,如图,直角三角形 ABC 中 AC = 1, BC = 2 , P 为斜边 AB 上一动 点. PE ⊥ BC , PF ⊥ CA ,则线段 EF 长的最小值为 .

E

P

6 , 设 a , b 是 方 程 x 2 + 68 x + 1 = 0 的 两 个 根 , c, d 是 方 程

x 2 86 x + 1 = 0 的 两 个 根 , 则 ( a + c )(b + c )( a d )(b d ) 的 值
为 .

C

F

A

7,在平面直角坐标系中有两点 P( 1,1), Q (2, 2) ,函数 y = kx 1 的图像与线段 PQ 延长线 ,则实数 k 的取值范围是 相交(交点不包括 Q ) 8,方程 xyz = 2009 的所有整数解有 组. .

9,如图,四边形 ABCD 中 AB = BC = CD , ∠ABC = 78° , ∠BCD = 162° .设 AD, BC 延长线交于 E ,则 ∠AEB = .

A

D

C

D

M E A B

B

C

10,如图,在直角梯形 ABCD 中, ∠ABC = ∠BCD = 90° , AB = BC = 10 ,点 M 在 BC 上,使得 ADM 是正三角形,则 ABM 与 DCM 的面积和是 .

蕴秀斋
二, (本题 15 分)如图, ABC 中 ∠ACB = 90° ,点 D 在 CA 上,使得 CD = 1, AD = 3 , 并且 ∠BDC = 3∠BAC ,求 BC 的长.

三, (本题 15 分)求所有满足下列条件的四位数 abcd : abcd = ab + cd 以是 0 .

(

) ,其中数字 c 可
2

四, (本题 15 分)正整数 n 满足以下条件:任意 n 个大于 1 且不超过 2009 的两两互素的正 整数中,至少有一个素数,求最小的 n .

五, (本题 15 分) 若两个实数 a , b 使得 a 2 + b 与 a + b 2 都是有理数, 称数对 ( a, b ) 是和谐的. ①试找出一对无理数,使得 ( a, b ) 是和谐的; ②证明:若 ( a, b ) 是和谐的,且 a + b 是不等于 1 的有理数,则 a , b 都是有理数; ③证明:若 ( a, b ) 是和谐的,且

a 是有理数,则 a , b 都是有理数. b

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