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成才之路人教A版数学必修2-3.3.3、4


成才之路 · 数学
人教A版 · 必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
直线与方程

第三章

直线与方程

成才之路 · 高中新课程 · 学习指

导 · 人教A版 · 数学 · 必修2

第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离

第三章

直线与方程

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1

预习导学

3

随堂测评

2

互动课堂

4

课后强化作业

第三章

3.3

3.3.3

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预习导学

第三章

3.3

3.3.3

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●课标展示 1 .掌握点到直线的距离公式,明确公式中各字母表示的 含义. 2.掌握两条平行直线间距离的定义.

3.能利用点到直线的距离公式两平行直线间的距离.

第三章

3.3

3.3.3

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●温故知新 旧知再现 1 . 平 面 内 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 |P1P2| =
?x1-x2?2+?y1-y2?2 ,其推导方法是利用勾股定理. ______________________ 4 2 两点A(1,-2),B(-3,2)间的距离是________.

2.直线方程的一般形式:Ax+By+C=0(A、B不全为0).

第三章

3.3

3.3.3

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3.与直线Ax+By+C=0(A、B不全为0)垂直的直线可设为 Bx-Ay+λ=0 ,与之平行的直线可设为 _______________ Ax+By+λ=0 ________________ (λ≠C) . __________ 4.点到直线的距离即点到直线的垂线段的长度. 任一点 5 .两条平行直线间的距离可转化为一条直线上 ________ 到另一直线的距离.

第三章

3.3

3.3.3

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新知导学 1.点到直线的距离公式 点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离

|Ax0+By0+C| 2 2 A + B d=________________.

第三章

3.3

3.3.3

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[破疑点] 点到几种特殊直线的距离: (1)点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|; (2)点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|; (3)点P(x0,y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|;

(4)点P(x0,y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.

第三章

3.3

3.3.3

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2.两条平行直线间的距离 公垂线段 的长叫做这两条 (1)定义:夹在两条平行直线间__________ 平行直线间的距离.

点到直线 的距离,即在其中任意一条 (2)求法:转化为求__________
直线上任取一点,这点到另一条直线的距离就是这两条平行直 线间的距离.

第三章

3.3

3.3.3

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(3)公式 一般地,已知两条平行直线 l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+ By+C2=0(C1≠C2).设 P(x0,y0)是直线 l2 上的任意一点,则 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,于是 P(x0,y0)到直线 l1: Ax+By+C1=0 的距离 |Ax0+By0+C1| |C1-C2| d= = 2 2 2 2. A +B A +B 此式就是两条平行直线 l1 与 l2 间的距离公式.

第三章

3.3

3.3.3

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[ 破疑点 ] 件:

(1) 使用两条平行直线间的距离公式的前提条

①把直线方程化为直线的一般式方程; ②两条直线方程中x,y系数必须分别相等.

(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任
意一点到另一条直线的距离,且两平行线间距离与其中一条直 线上点的选取无关.

第三章

3.3

3.3.3

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(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时,可利用数形结合来解 决. ①两直线都与 x轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2,则d=|x2 -x1|;

②两直线都与y轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则d=|y2
-y1|.

第三章

3.3

3.3.3

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●自我检测 1.点(1,-5)到直线2x-y-2=0的距离d=________.

[答案]

5

|2×1-?-5?-2| [解析] d= = 5. 2 2 2 +?-1?

第三章

3.3

3.3.3

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2. 两平行直线 x+y+2=0 与 x+y-3=0 的距离等于( 5 A.2 2 C.5 2
[答案] A

)

2 B. 2 D. 2

[解析] 直线 x+y+2=0 与 x 轴的交点是 P(-2,0),点 P |-2+0-3| 5 到直线 x+y-3=0 的距离 d= 2 2 =2 2,即这两条平 1 +1 5 行线间的距离为2 2.

第三章

3.3

3.3.3

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3 x y 3.直线4-6=1 与 y=2x+1 之间的距离为( 4 13 A. 13 13 C. 2 14 13 B. 13 D.24

)

[答案] B
[解析] 两直线变形为:3x-2y-12=0 与 3x-2y+2=0, |-12-2| 14 14 13 d= 2 = 13 ,故选 B. 2= 13 3 +?-2?

第三章

3.3

3.3.3

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互动课堂

第三章

3.3

3.3.3

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●典例探究
点到直线的距离公式

已知点 A(2,1),B(3,4),C(-2,-1),求△ABC 的面积.

[分析]

利用两点间的距离 根据两点式求出该 → 公式求出一边长 边所在直线方程

利用点到直线的 三角形面 → → 距离公式求高 积可求

第三章

3.3

3.3.3

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1 [解析] 设 AB 边上的高为 h,则 S△ABC=2|AB|· h. |AB|= ?3-2?2+?4-1?2= 10. AB 边上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离.



y-1 x-2 AB 边所在直线的方程为 = ,即 3x-y-5=0.② 4-1 3-2 点 C( - 2 , - 1) 到 直 线 3x - y - 5 = 0 的 距 离 h = |3×?-2?-?-1?-5| 1 1 = 10, 所以 S△ABC=2|AB|· h=2× 10× 10 2 2 3 +?-1? =5.
第三章 3.3 3.3.3

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[注释 ]

①求边|BC| 及 BC边上的高或求边 |AC| 及 AC边上的

高,得出结果是一样的. ②此处一定要将直线的两点方程化一般方程,便于利用点

到直线的距离公式.

第三章

3.3

3.3.3

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规律总结:透析点到直线的距离公式:
(1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短距 离; (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况,特 别地点在直线上时,该距离为0;

(3)求点到直线的距离的步骤: ①将直线方程化为一般式 Ax+By+C=0; |Ax0+By0+C| ②将点(x0,y0)代入公式 d= ,计算可得. 2 2 A +B

第三章

3.3

3.3.3

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求点 P(3,-2)到下列直线的距离. 3 1 (1)y=4x+4;(2)y=6;(3)x=4.

[分析]

解答本题可先把直线方程化为一般式 (特殊直线可

以不化),然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应

的距离.

第三章

3.3

3.3.3

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3 1 [解析] (1)把方程 y=4x+4写成 3x-4y+1=0,由点到直 |3×3-4×?-2?+1| 18 线的距离公式得 d= =5. 2 2 3 +?-4? (2)方法 1:把方程 y=6 写成 0· x+y-6=0,由点到直线的 |0×3+?-2?-6| 距离公式得 d= =8. 2 2 0 +1

第三章

3.3

3.3.3

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方法2:因为直线y=6平行于x轴, 所以d=|6-(-2)|=8. (3)因为直线x=4平行于y轴,

所以d=|4-3|=1.

第三章

3.3

3.3.3

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规律总结: 针对这个类型的题目一般先把直线的方 程化为一般式,然后直接利用点到直线的距离公式求得.对于 与坐标轴平行的直线x=a或y=b,求点到它们的距离时,既可 以用点到直线的距离公式,也可以直接写成d=|x0-a| 或d=|y0 -b|.

第三章

3.3

3.3.3

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两条平行直线间距离公式的应用

求与直线 2x-y-1=0 平行, 且与直线 2x-y-1 =0 的距离为 2 的直线方程.

[分析] 思路 1: 设出直 由两平行直线间的距 求解 → → 线方程 离公式得含参方程 即可 思路 2: 设直线上任意 利用点到直线距 化简可得所 → → 一点的坐标 离公式列式子 求直线方程
第三章 3.3 3.3.3

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[解析] 方法 1:由已知,可设所求的直线方程为 2x-y+ C=0(C≠-1), |C-?-1?| |C+1| 则它到直线 2x-y-1=0 的距离 d= 2 = 2= 5 2 +?-1? 2, ∴|C+1|=2 5,C=± 2 5-1, ∴所求直线的方程为 2x-y+2 5-1=0 或 2x-y-2 5-1 =0.

第三章

3.3

3.3.3

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方法 2:设所求直线上任意一点 P(x,y), |2x-y-1| 则 点 P 到 2x - y - 1 = 0 的 距 离 为 d = 2 2= 2 +?-1? |2x-y-1| =2, 5 ∴2x-y-1=± 2 5, ∴所求直线的方程为 2x-y+2 5-1=0 或 2x-y-2 5-1 =0.

[温馨提示]

利用两行平直线间的距离公式解决含参问题

时,一般有两个结果,注意加以检验.

第三章

3.3

3.3.3

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规律总结: 已知两平行直线间的距离及其中一直线 的方程求另一直线的方程,一般先根据题意设出直线方程,然 后利用两平行直线间的距离公式求解.也可以把两平行直线间

的距离问题转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离问
题,然后利用点到直线的距离公式求解.

第三章

3.3

3.3.3

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(1) 两直线 3x + 4y - 2 = 0 与 6x + 8y - 5 = 0 的距离等于 ( ) A.3 1 C.10 B.7 1 D.2

(2)已知直线 l 与两直线 l1:2x-y+3=0 和 l2:2x-y-1= 0 平行且距离相等,则 l 的方程为________.
[答案] (1)C (2)2x-y+1=0 [分析] (1)求两平行线间的距离的依据是什么? (2)与已知直线Ax+By+C=0平行的直线应如何表示?
第三章 3.3 3.3.3

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1 [解析] (1)在 3x+4y-2=0 上取一点(0,2),其到 6x+8y 1 |0+8×2-5| 1 -5=0 的距离即为两平行线间的距离,d= =10. 2 2 6 +8 (2)设所求的直线方程为 2x-y+c=0, 分别在 l1: 2x-y+3 =0 和 l2:2x-y-1=0 上取点 A(0,3)和 B(0,-1),则此两点到 |-3+c| |1+c| 2x-y+c=0 距离相等,即 2 2= 2 2,解得 c 2 +?-1? 2 +?-1? =1,直线 l 的方程为 2x-y+1=0.

第三章

3.3

3.3.3

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距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(-3,-1), 并且各自绕着 A、B 旋转,如果两条平行线间的距离为 d, (1)求 d 的变化范围; (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程.

第三章

3.3

3.3.3

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[解析] 解法 1:(1)设两条直线方程分别为 y=kx+b1 和 y=kx+b2,
? ?2=6k+b1, 则? ? ?-1=-3k+b2, ? ?b1=2-6k, 即? ? ?b2=3k-1,

|b2-b1| |9k-3| 而 d= 2= 2,两边平方整理得 1+k 1+k 即(81-d2)k2-54k+9-d2=0, 由于 k∈R, 所以 Δ=542-4(81-d2)(9-d2)≥0, 整理得 4d2(d2-90)≤0,∴0<d≤3 10.
第三章 3.3 3.3.3

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54 (2)因 d=3 10时,k= =-3, ?81-90?×2 故两直线方程分别为 3x+y-20=0 和 3x+y+10=0. 解法 2:(1)由图形可知,当两平行线均与线段 AB 垂直时, 距离 d=|AB|=3 10最大,当两直线都过 A、B 点时距离 d=0 最小,但平行线不能重合. ∴0<d≤3 10. (2)两直线方程分别是:3x+y-20=0 和 3x+y+10=0.

第三章

3.3

3.3.3

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规律总结: 上面我们用两种思路作了解答,不难发 现解法2比解法1简捷的多,这足以显示数形结合的威力,在学 习解析几何过程中,一定要有意识的往形上联系,以促进数形

结合能力的提高和思维能力的发展.

第三章

3.3

3.3.3

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若A(1,4),B(-3,1),过点B的直线l与点A的距离为d. (1)d的取值范围为________;

(2)当d取最大值时,直线l的方程为________.
(3)当d=4时,直线l的方程为________. [答案] (1)[0,5] (2)4x+3y+9=0 (3)24x+7y+65=0

第三章

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[解析]

(1)用数形结合法容易得到,当直线 l⊥AB 时,d

取最大值,当 l 经过 A、B 时,d 取最小值, ∴0≤d≤5. 1 (2)当 d=5 时,kl=-k , AB 4-1 3 kAB= = , 1-?-3? 4 4 ∴l 方程 y-1=-3(x+3),即:4x+3y+9=0.

第三章

3.3

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(3)设 l:y-1=k(x+3),即:kx-y+3k+1=0, 由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k-4+3k+1| 7 =4,∴k=-24, 2 1+k 故所求直线方程为:7x+24y+45=0.

第三章

3.3

3.3.3

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●误区警示 易错点 求直线方程时,忽略斜率不存在的情况 已知直线 l 过点 A(1,2),且原点到直线 l 的距离 为 1,求直线 l 的方程.

[错解] 由题意设 l 的方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k |-k+2| +2=0.因为原点到直线 l 的距离为 1,所以 2 =1,解得 k k +1 3 3 =4.所以所求直线 l 的方程为 y-2=4(x-1),即 3x-4y+5=0.

第三章

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[错因分析]

符合题意的直线有两条,错解中忽略了斜率

不存在的情况,从而只得到了一条直线.
[正解] 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率不存在时,直线 l 的方 程为 x=1,原点到直线 l 的距离为 1,满足题意. 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时, 由题意设直线 l 的方程 为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0.因为原点到直线 l 的距离 |-k+2| 3 为 1,所以 2 =1,解得 k=4.所以所求直线 l 的方程为 y k +1 3 -2=4(x-1),即 3x-4y+5=0. 综上所述,所求直线 l 的方程为 x=1 或 2x-4y+5=0.
第三章 3.3 3.3.3

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[总结]

当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜

率是否存在进行讨论,否则容易犯解析不全的错误.

第三章

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直线l1过点A(0,1), l2过点B(5,0),如果l1∥l2 ,且l1与l2的距 离为5,求l1,l2的方程. [解析 ] (1) 若直线 l1 ,l2 的斜率存在,设直线的斜率为 k ,

由点斜式得l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,
由点斜式可得l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0, 因为直线l1过点A(0,1),

第三章

3.3

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|-1-5k| 则点 A 到直线 l2 的距离 d= 2 2=5, k +?-1? 所以 25k2+10k+1=25k2+25, 12 所以 k= 5 , 所以 l1 的方程为 12x-5y+5=0,l2 的方程为 12x-5y-60 =0.

第三章

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(2)若l1,l2的斜率不存在, 则 l1 的方程为 x = 0 , l2 的方程为 x = 5 ,它们之间的距离为 5,同样满足条件. 综上所述,满足条件的直线方程组有两组:

l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;
或l1:x=0,l2:x=5.

第三章

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随堂测评

第三章

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1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( A.1 C.2 B. 3 D. 5

)

[答案] D
|0+2×0-5| [解析] d= = 5. 2 2 1 +2

第三章

3.3

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2.平行直线 l1:3x-y=0 与 l2:3x-y+ 10=0 的距离等 于( ) A.1 C. 10 B.0 D.3

[答案] A

|0- 10| [解析] d= 2 2=1. 3 +?-1?

第三章

3.3

3.3.3

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3.已知点 M(1,4)到直线 l:mx+y-1=0 的距离等于 1, 则实数 m 等于( 3 A.4 4 C.-3
[答案] C

) 3 B.-4 4 D.3

|m+4-1| 4 [解析] 由题意得 =1,解得 m=-3. 2 m +1

第三章

3.3

3.3.3

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4.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有( A.3条 C.1条 [答案] B B.2条 D.0条

)

[解析] 画图可知符合条件的直线有两条.

第三章

3.3

3.3.3

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5.点P(m,1)到直线l:2x+y-1=0的距离d=1,则实数m

的值等于________.
5 [答案] ± 2
|2m+1-1| 5 [解析] 由题意得 2 2 =1,解得 m=± 2 . 2 +1

第三章

3.3

3.3.3

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6.求与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线
方程. [分析] 设直线方程为 5x-12y+m=0(m≠6),利用平行线 间的距离公式列出方程,解得m的值.
[解析] 设所求直线的方程为 5x-12y+m=0(m≠6), ∵两直线的距离为 2, |6-m| ∴ 2 2=2.∴m=32 或 m=-20, 5 +12 故所求直线方程为 5x-12y+32=0 或 5x-12y-20=0.

第三章

3.3

3.3.3

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课后强化作业
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第三章

3.3

3.3.3


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