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(滕州西岗中学杨秋莉)1.2直角三角形(1)


课 题:1.2 直角三角形(1) 课 型:
新授课 杨秋莉

授课人:滕州市西岗中学

授课时间:2013 年 9 月 9 号第一、二节课 教学目标:
1.要求学生掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理,并能应用定理解决与 直角三角形有关的问题. 2.了解逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的含义,能结合自己的生活

及学习体验举 出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子. 3.进一步掌握推理证明的方法,拓发展演绎推理能力,培养思维能力.

教学重点:
直角三角形的性质和判定定理,会识别两个互逆命题以及判断两个互逆命题的真假性.

教学难点:
勾股定理逆定理的证明方法及对互逆命题的叙述.

教法学法指导:
学生在前面学习了勾股定理, 对直角三角形三条边之间的数量关系有了一定的认识, 但 由于学生的知识脱节,推理能力不强,并且对于教材先构造一个直角三角形,然后证明其全 等的证明方法,学生从未接触过,若让学生自己去证明,难度较大,所以在学习勾股定理的 证明方法时,为便于学生接受,以学生小组交流,自主探索为主,教师适时引导、示范为辅.

课前准备:多媒体课件 教学过程:

基本作图工具 四张全等的直角三角形纸片

一、 温故知新,情境导入
教师多媒体展示 1.每个命题都是由 、 两部分组成.命题“直角三角形两直 角边的平方和等于斜边的平方”的条件是 ,结论是 . 2.把“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”改写成“如果??那么??”的形式: . 3.“我们是小学生”是 (填“真”或“假” )命题.“直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方”是 命题,这也是我们以前所学过的著名的 定理. 设计意图:从学生原有的认知结构提出问题,通过找命题“勾股定理”的条件和结论,顺利地 过渡到本节课所要讲的重点内容,知识衔接自然.

二、 建立模型,自主探究
师:前面我们研究了特殊的三角形----等腰三角形, 知道了它的性质定理及判定定理.从今天 开始,我们将研究另一类特殊的三角形----直角三角形.(板书课题§1.2 直角三角形(1))

(展示学习目标) 今天我们将学习什么? 1. 直角三角形的的判定-----勾股定理的逆定理. 2. 了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,知道不是所有命题的逆命题都是真命题. 生:阅读学习目标. 师:大家想一下,我们对直角三角形有哪些认识? 生 1:两锐角互余. 生 2:判定全等可以用 HL,来进行证明. 生 3:斜边上的中线等于斜边的一半,两直角边的平方和等于斜边的一半. 师:大家说的比较全面.对刚才那位同学说的“两直角边的平方和等于斜边的一半”.我们称 之为勾股定理.大家还记的怎样得到勾股定理这个结论的呢? 生 1:在方格纸中数格子,虽然直观,有点麻烦. 生 2:利用图形的面积--割补法,借助完全平方式,面积公式推导. 师: (利用实物展台展示同学们拼的好一些的正方形)

b a b a c

c

c a b
(b﹣a)

图2 图1 师:这两个图形都能够证明勾股定理,并且这两个图形的证明方法几乎一样,因此我们共同来 证明一个,剩下的一个由同学们自己给证明出来.那么,我们选择哪一个呢? 生:选图 1!(生动手去拼图) 师: (课件展示)

1.大正方形的边长为 , 因此大正方形的面积为________. a 2.大正方形由 个全等的直角三角形和 一个 组成,因此大正方形的面积还可以 表示为 . 3.以上两问表示的是同一个正方形的面积,因此这两者 b 存在 关系,利用这个关系便能证明出来 勾股定理了.那么你能证明出来吗?

b c c c

a b

c

a a b

生 1:边长为 a+b 生 2:4 个

面积为(a+b) ?

正方形

1 ab ? 4+c ? ? 2

生 3:存在相等关系 (a+b) ? =

1 ab ? 4+c ? ? 2

师:很好了!下面我们来证明出来. 解:因为 S 正方形=(a+b) ?

1 ab ? 4+c ? ? 2 1 所以(a+b) ? ab ? 4+c ? = ? 2
S 正方形= a? +2ab+b ? =2ab+ c ? a? =c? +b? 设计意图:为了让学生在活动中体会图形的构成,既为勾股定理的验证复习作了铺垫,同时 也培养学生的动手、创新能力. 师:对于图 2 的证明方法几乎和图 1 的证明方法一样,也是都表示正方形的面积,寻找相等 关系,便能证明出勾股定理了.下面自己做出来,然后小组选出代表来回答. (师巡视,多注意有困难的学生,给出适当的提示和帮助) 生 2:因为 S 正方形=c ? S 正方形= 所以 c ? =

1 ab ? 4+(b-a) ? ? 2
(课件展示图形)

1 ab ? 4+(b-a) ? ? 2

c ? 2ab+ b ? = -2ab+a ? c? a? = +b? 即:a ? = c ? +b? 设计题图:让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思 想并加以运用,体会成功的快乐. 师:刚才我们用拼图的方式简单回顾了勾股定理的推导过程,可有的同学还是很想用一般的推 理论证的方式想证明一下,到底能行吗?请大家阅读课本 19-20 页的“读一读”,是否有收获 呢?

生:阅读课本. A c b D a B

E

C

师:大家阅读课本“读一读”可知梯形的构造过程,而梯形的面积两种表示形式: S 梯=

1 1 1 (a ? b)( a ? b) ? (a ? b) 2 ? (a 2 ? 2ab ? b 2 ) 2 2 2 1 1 ab ? c 2 , 2 2

S 梯=2×

故有

1 1 1 1 1 (a ? b)( a ? b) ? (a ? b) 2 ? (a 2 ? 2ab ? b 2 ) =2× ab ? c 2 2 2 2 2 2
2 2 2

化简得: a ? b ? c

师:大家觉得解决这个推理过程的关键是什么? 生:添加辅助线,构造全等三角形. 师:很好!大家知道勾股定理是在已知三角形是直角三角形的前提下,得到三角形的三边关 系的.利用勾股定理我们可以已知直角三角形的两边求第三边. 练习: 1.直角三角形的两直角边是 9、12,则斜边为( ). 2.当直角三角形的斜边为 13,一直角边为 5,另一直角边为( (易错题)3.直角三角形的两边为 3,4,则第三边为( ).

).

设计意图:复习巩固勾股定理的证明推理过程,加深对定理的理解,为下面证明逆定理做铺 垫. 师:大家想过没有,反过来,如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方,这个三角形 是直角三角形吗? 生:思考!应该是吧! 师:光靠猜想不行,要进行验证,证明.(课件展示探究活动) 1. 三边长分别为 3 ㎝,4 ㎝,5 ㎝的三角形,你能用尺规作出来吗?它与直角边是 3 ㎝,4 ㎝的直角三角形什么关系? 生:动手作图,比较验证,小组交流,得出结论. 生:全等. 2 2 2 师:那么大家验算一下:3 +4 是否等于 5 ?这个三角形又是不是直角三角形呢? 生:肯定地做出判断. 师:课件展示

已知:如右图,在△ABC 中,AC2+BC2=AB2,求证: △ABC 是直角三角形. A

C

B

师:刚才我们在证明三边是 3,4,5 的三角形是直角三角形时,是构造了一个两直角边是 3, 4 的直角三角形,然后比对得全等,大家可以仿造上述思想解决这个问题吗? 生: (思考) 生: (恍然大悟)构造全等三角形. 师:对!我们要构造一个以 AC,BC 为直角边的直角三角形.课件展示(教材 16-17 页的证明过 程) 已知:在△ABC 中,AB= c ,BC= a ,AC= b ,并且 a ? b ? c .
2 2 2

求证:△ABC 为直角三角形.即∠C=90° . 证明 : 作△A’B’C’,使∠C’=90°,A’C’= b , B’C’= a , 那么 A’B’
2 2

2

= a ? b (勾股定理)
2 2 2

又∵ a ? b ? c (已知) ∴A’B’ = c ,A’B’=c (A’B’>0) 在△ABC 和△A’B’C’中, BC= a =B’C’ CA= b =C’A’ AB= c =A’B’ ∴△ABC≌△A’B’C’(SSS) ∴∠C=∠C’=90°, ∴△ABC 是直角三角形. 生:再次理解定理的推导过程. 师:课件展示 定理 :如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 设计意图:通过特殊到一般的探索归纳过程,把 “构造直角三角形” 这一方法的获取过程交给 学生,让学生在不断尝试,探索中体验证明勾股定理的逆定理,有效的理解和掌握重点,同时 也突破了本节课的难点. 师:下面看看大家对这个定理理解的怎么样?(课件展示) 练习 1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ). A.5,6,7 B.10,8,4 C.7,25,24 D.9,17,15 2.如图,BA⊥DA 于 A,AD=12,DC=9,CA=15,求证:BA∥DC.
2
2

三、通过议论,形成概念
师:大家观察上面的有关勾股定理的两个命题,你能发现它们的条件和结论有什么关系? 生:互换了.勾股定理的条件和结论正好是第二个定理的结论和条件. 师:很好!大家观察比较仔细,分析的也比较到位!那么,大家在观察下列几组命题,它们的条 件和结论是否也有类似的关系?(课件展示) 如果两个角是对顶角,那么它们相等. 如果两个角相等,那么它们是对顶角. 如果小明患了肺炎,那么他一定发烧. 如果小明发烧,那么他一定患了肺炎. 三角形中相等的边所对的角相等. 三角形中相等的角所对的边相等. 生:通过观察,讨论,上述两个命题的条件和结论正好是相反的,也就是一个命题的条件和结 论正好是另一个命题的结论与条件. 师:很好!在两个个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论与条件,那 么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题是另一命题的逆命题.(课件给出定义) 设计意图:通过几对数学与生活中的命题,让学生观察这些成对命题的条件与结论之间的关 系要求学生归纳出他们的共性,以得到互逆命题的概念. 师:请同学们举出一些互逆命题,并思考原命题正确,它的逆命题是否一定也正确? 生:以小组为单位,讨论交流. ① 老虎有四条腿. ② 内错角相等,两直线平行. ③ 全等三角形对应角相等. 生:讨论后,发表见解. 生 1:所有的命题都可以有逆命题. 生 2:原命题正确,逆命题不一定正确. 生 3:定理的逆命题也不一定正确. 师:大家总结的很到位!掌声鼓励一下. 生:鼓掌! 师:给出互逆定理的概念.如果一个定理的逆命题经过证明以后是真命题,那么它也是一个定 理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理是另一个的逆定理.大家能举一下互为互逆定理 的命题吗? 生:举例

数学游戏
把准备好的卡片随机地发给学生,学生按卡片的种类被分成 A、B 两组,要求拿 A 类卡片的 学生 a 说出自己卡片上的内容, 然后寻找拿 B 类卡片的与自己的命题相反的同学 b.b 要自己 主动站起来,并说出自己卡片上的命题是什么,由学生 a 来判断他(她)和自己是否在一组. 师:注提取学生回答中的合理性成分,总结归纳,然后提问拿 A 类卡片的学生:你是如何判 断 b 是否和你在同一组? 肯定学生的认识, 提问拿 B 类卡片的但没找到组的学生: 为什么他 们的命题和 A 类同学的命题不能互相构成反面? (A、B 类卡片上的内容要出现适量的不能构成互逆命题、互逆定理的例子,但不能太多.这

样既有利于学生分析、辨别互逆命题、互逆定理,又有利于他们从正例中归纳、总结出互逆 命题、互逆定理的内涵). 师:对学生的表现予以表扬、 肯定和鼓励.然后提问拿 B 卡片的找到组的学生: 你是如何判断 和谁在一组的?是不是互逆定理呢? 设计意图:在学生讨论,举例的基础上,知道命题的条件和结论互换后的命题不一定成立,对 命题表述的严谨性和正确性有了更深的认识,也更加有效地让学生掌握了本节的又一重点, 尤其是游戏的设置,提高学习的兴趣.

四、 随堂练习,巩固深化
师:课件展示 1.完成教材 18 页随堂练习 说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假; (1)四边形是多边形; (2)两直线平行,内旁内角互补; (3)如果 ab=0,那么 a=0, b=0 2.填空题: 1)命题“两条平行线被第三条直线所截,同位角相等”的逆命题 是 ; 2) “矩形是正方形” 命题 是一个 命题, 它的逆命题是 这是一个 命题. 3.选择题: 1) .若等腰三角形的顶角是 120°, 底边长为 2cm, 则它的腰长等于 ( A.
3 cm 3



) ;

B.

2 3 cm 3

C. 2cm

D.

4 3 cm 3

2).若直角三角形两直角边上的中线长分别为 5cm 和 2 10 cm,则这个直角 三角形的斜边长为( ). A. 10cm B. 4 10 cm C. 13 cm D. 2 13 生:独立完成 设计意图:通过随堂练习,加深学生对几个概念的理解,勾股勾股定理及及其逆 定理在直角三角形中的应用.

五、 课堂小结
师:学而不思则罔,让我们对本节课所学的内容简单总结一下吧. 生 1: 所有的命题都可以有逆命题.原命题正确,逆命题不一定正确. 生 2:定理的逆命题也不一定正确. 生 3:了解了互逆命题,互逆定理的概念. 生 4:知道了构造全等三角形可以证明勾股定理及其逆定理.?? 设计意图:让学生总结本节的收获,鼓励学生大胆交流,有利于学生熟练掌握所 学知识,同时培养学生的归纳,口头表达能力.

六、 达标测试 完成助学 11 页 1--5

(补充) 6.已知: 如图, 梯形 ABCD 中, AB∥DC, BC = CD = DA = 试求该梯形的面积.
D

1 AB = 10cm. 2
C

A 图1-19

B

【综合练习】 如图 1-20,Rt△ABC 中,AB = AC, D 是斜边 BC 的中点,E、F 分别是 AB、AC 上的点, 且 DE⊥DF. 若 BE = 12cm, CF = 5cm, 求△DEF 的面积.
A E F B D 图1-20 C

七、作业布置 (必做)习题 1.4 知识技能 1 (选做) 选 1)习题 1.4 问题解决 5 (2 八、板书设计

助学 12 页第 9 题 设计意图:布置分层作业,可以巩固学生本节课的知识内容,了解和检查学生 对所学知识的掌握情况,有利于不同层次的学生都能得到很好地发展.

§1.2 直角三角形
勾股定理: 互逆命题: 勾股定理逆定 理的推导

勾股定理的逆 定理:

互逆定理“

九、教后反思
学生对于命题和逆命题中题设和结论分析和把握不是太准, 部分学生尤其是在语言表述方面 仍然有些欠缺,显然,作为教师要关注到学生的个体差异,对于学习本节知识有困难的学生 要给予及时的帮助和指导.使每一个学生都能经历证明的过程,为他们提供充分地寻找证明 思路的时间、空间和方法,体会证明的必要性.另外学生对于命题成立的证明方法,锻炼他 们的演绎推理能力离目标还是有一定的差距.所以作为教师一定要重视这个事实, 不能急躁, 要本着以学生为本的目的,注意学生个体差异,对学习证明有困难的学生给予帮助和指导. 成功之处:利用实物展台和多媒体展示勾股定理的拼图证明过程,较形象,有助于理解.后面的 游戏设置较好,调动了学生的兴趣和积极性. 不足之处:前面用时较多,后面的练习处理的有些仓促.还要在时间的安排上下功夫.


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