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湖南省长沙市一中高中数学必修5教案(全套)高一数学《等比数列复习》


等比数列复习
1,等比数列的定义 , 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示. 注意(1),q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,顺序不要错,即

(2),由定义可知,等比数列的任意一项都不为 0,因而公比 q 也不为 0. (3),公比 q 可为正数,负数,特别当 q=1 时,为常数列 a1,a1,……; q=-1 时,数列为 a1,-a1,a1,-a1,……. (4),要证明一个数列是等比数列,必须对任意 n∈N+, an+1÷an=q,或 an÷an-1=q(n≥2)都成立. 2,等比数列的通项公式 , 由 a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,……,归纳出 an=a1qn-1.此式对 n=1 也成立. 3,等比中项 , 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4,等比数列的判定方法 ,等比数列的判定方法 ),a ),q (1), n=an-1q(n≥2), 是不为零的常数,an-1≠0 ), ( ), 是不为零的常数, ),a (2), n2=an-1an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0) ), ) ),a (3), n=cqn(c,q 均是不为零的常数) ), , 均是不为零的常数) 5,等比数列的性质 , 设{an}为等比数列,首项为 a1,公比为 q. ),当 是递增数列; (1),当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列;当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,{an} ), , , 是递增数列 , 是递减数列; 是常数列; 是摆动数列. 是递减数列;当 q=1 时,{an}是常数列;当 q<0 时,{an}是摆动数列 是常数列 是摆动数列
n ),a (2), n=amq ),
-m

{an}是等比数列 是等比数列. 是等比数列

{an}是等比数列 是等比数列. 是等比数列 {an}是等比数列 是等比数列. 是等比数列

(m,n∈N*). , )

),当 + (3),当 m+n=p+q(m,n,q,p∈N*)时,有 aman=apaq. ), + ( , , , ) 是有穷数列, ),{a 是有穷数列 则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积. (4), n}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等,且等于首末两项之积 ), ),数列 的等比数列; (5),数列 n}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;若{bn}是公比为 q′的等比 ),数列{λa ( 为不等于零的常数) 是公比为 的等比 数列, 则数列{anbn}是公比为 qq′的等比数列; 的等比数列; 数列, 则数列 是公比为 的等比数列 数列 的等比数列. 的等比数列 的等比数列; {|a 是公比为 是公比为|q| 是公比为 的等比数列; n|}是公比为

),在 项取出一项, (6),在{an}中,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公 ), 中 项取出一项 按原来顺序排列, 比为 qk+1. + ),当数列 是各项均为正数的等比数列时, 的等差数列. (7),当数列 n}是各项均为正数的等比数列时,数列 ),当数列{a 是各项均为正数的等比数列时 数列{lgan}是公差为 lgq 的等差数列 是公差为 ),{a 中 连续取相邻两项的和(或差) 的等比数列. (8), n}中,连续取相邻两项的和(或差)构成公比为 q 的等比数列 ), ),若 , , ( , , 成等比数列. (9),若 m,n,p(m,n,p∈N*)成等差数列时,am,an,ap 成等比数列 ), )成等差数列时,

6,等比数列的前 n 项和公式 ,

由此得 q≠1 时等比数列{an}的前 n 项和的公式

.

因为 an=a1qn 1,所以上面公式还可以写成 当 q=1 时,Sn=na1. 7,等比数列前 n 项和的一般形式 , 一般地,如果 a1,q 是确定的,那么

-

.

8,等比数列的前 n 项和的性质 ,
- 成等比数列. ),若某数列前 (1),若某数列前 n 项和公式为 Sn=an 1(a≠0,±1),则{an}成等比数列 ), , 成等比数列 -

),若数列 (2),若数列 n}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+qnSm. ),若数列{a 是公比为 的等比数列,

),在等比数列中 (3),在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则 ),在等比数列中, , ),Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列 成等比数列. (4), ), 二,举例讲解 举例讲解 1,利用等比数列的通项公式进行计算. 【例 1】 在等比数列{an}中,a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8 ②求通项公式,②求 a1a3a5a7a9. 解析:②设公比为 q,则由已知得

【例 2】 有四个数,前三个成等差,后三个成等比,首末两项和 37,中间两项和 36,求这四个 数.

解析 1:按前三个数成等差可设四个数为:a-d,a,a+d,

,由已知得:

解析 2:按后三个数成等比可设四个数为 2a-aq,a,aq,aq2, 由已知得:

解析 3:依条件设四个数分别为 x,y,36-y,37-x,

2,利用等比数列的性质解题. 【例 3】等比数列{an}中, (1),已知 a 2 = 4, a5 =

1 ,求通项公式.(2),已知 a3a4a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 2

3,如何证明所给数列是否为等比数列. 【例 4】 设{an}是等差数列, bn = ( ) n ,已知 b1 + b2 + b3 =
a

1 2

21 1 , b1b2 b3 = ,求等差数列的 8 8

通项 an. 4,利用等比数列的前 n 项和公式进行计算. 【例 5】 若数列{an}成等比数列, an>0,前 n 项和为 80, 且 其中最大项为 54, 2n 项之和为 6560, 前 求 S100=? 5,利用 an,Sn 的公式及等比数列的性质解题. 【例 6】 数列{an}中,a1=1,且 anan+1=4n,求前 n 项和 Sn. 解析:由已知得 anan+1=4n ……②

an+1an+2=4n

+1

……②

a1≠0,②÷②得 ∴a1,a3,a5,…,a2n-1,…;

.

a2,a4,a6,…,a2n,…都是公比 q=4 的等比数列,a1=1,a2=4. ②当 n 为奇数时,

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