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高三数学数列综合练习题


高三数学数列综合练习题
1、在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=

( D.176 ( D. ? ?



A.58

B.88

C.143

2.已知 ? a n ? 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? ? 8 ,则 a 1 ? a 1 0 ?



A. 7

B. 5

C. ? ?

3、已知{an}为等差数列,其公差为-2,且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和,n ∈N*,则 S10 的值为( (A). -110 ) (B). -90 (C). 90 (D). 110 ) D.31

4、设 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和,若 a 2 ? 1, a 4 ? 5 ,则 S 5 等于( A.7 B.15 C.30

5.夏季高山上气温从山脚起每升高 100 m 降低 0.7 ℃,已知山顶的气温是 14.1 ℃,山脚的气 温是 26 ℃.那么,此山相对于山脚的高度是( ) A.1500 m B.1600 m C.1700 m D.1800 m 6、公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项,S 8 ? 3 2 ,则 S 1 0 等于 ( A.18 ) B.24 C.60 D.90 )

7.已知等比数列{an}中,a2=1,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是( A.(-∞,-1] C.[3,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

8. 满足 a1 ? 1, lo g 2 a n ? 1 ? lo g 2 a n ? 1 ( n ? N * ) , 它的前 n 项和为 S n , 则满足 S n ? 1 0 2 5 的最小 n 值是( )A.9 B.10 C.11 D.12

9 、 2012 江 西 理 ) 设 数 列 ? a n ? , ? b n ? 都 是 等 差 数 列 , 若 a 1 ? b1 ? 7 , a 3 ? b 3 ? 2 1 , 则 (
a 5 ? b 5 ? _________

10. 2012 年 高考( 福建理 ) 数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? n c o s ( )
S 2 0 1 2 ? ___________.

n? 2

? 1 ,前 n 项和为 S n ,则

11、已知数列 ?a n ? 满足: a 1 ? 1, a 2 ? 2 , 2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ( n ? 2 , n ? N ) ,数列 ?b n ? 满足
*

b 1 ? 2 , a n b n ? 1 ? 2 a n ? 1 b n .(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项 a n ; (Ⅱ)求证:数列 ?

? bn ? ? ? n ?

为等比数列;并

求数列 ?b n ? 的通项公式

12.已知数列 a n 满足 a 1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? ? ? 2
2

n ?1

an ?

n 2

(n ? N * )

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项;(Ⅱ)若 b n ?

n an

求数列 ?b n ? 的前 n 项 S n 和

13、数列 { a n } 的前 n 项和记为 S n , a 1 ? t ,点 ( S n , a n ? 1 ) 在直线 y ? 3 x ? 1 上, n ? N ? .(Ⅰ)当实 数 t 为 何 值 时 , 数 列 { a n } 是 等 比 数 列 ? (Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的 结 论 下 , 设
b n ? lo g 4 a n ? 1 , c n ? a n ? b n , T n 是数列 { c n } 的前 n 项和,求 T n 。
1 ?
n ?1

1 1? a
n

14、设数列 (Ⅰ)求

?an?

满足

a1 ? 0



1? a

? 1.

?a n?
bn ?

的通项公式;
1? a n ?1 n ,记 Sn ?

(Ⅱ)设

?b
k ?1

n

k

, 证 明 : S n ? 1.

15、等比数列

?an?

中,

a1 , a 2 , a 3

分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

a1 , a 2 , a 3

中的任

何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)若数列 3 6 9

?an? ? bn ?

的通项公式; 满足:
b n ? a n ? ( ? 1) ln a n

,求数列

? bn ?

的前 n 项和

Sn



高三数学数列综合练习题一
1. B 在等差数列中,? a 1 ? a 1 1 ? a 4 ? a 8 ? 1 6 ,? s1 1 ?
1 1 ? ( a1 ? a1 1 ) 2 ? 8 8 ,答案为 B

2. D a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? a 4 a 7 ? ? 8 ? a 4 ? 4, a 7 ? ? 2 或 a 4 ? ? 2 , a 7 ? 4
a 4 ? 4, a 7 ? ? 2 ? a 1 ? ? 8, a 1 0 ? 1 ? a 1 ? a 1 0 ? ? 7 a 4 ? ? 2, a 7 ? 4 ? a 1 0 ? ? 8, a 1 ? 1 ? a 1 ? a 1 0 ? ? 7

3、 D 解:a7 是 a3 与 a9 的等比中项,公差为-2,所以 a7 =a3?a9,所以 a7 =(a7+8) 7-4) (a ,所以 a7=8, 所以 a1=20,所以 S10= 10×20+10×9/2×(-2)=110。故选 D 4、B 5、C 6、C
2 2 由 a 4 ? a 3 a 7 得 ( a 1 ? 3 d ) ? ( a 1 ? 2 d )( a 1 ? 6 d ) 得 2 a 1 ? 3 d ? 0 ,

2

2

由等差数列通项公式得: 5 ? 1 ? 2 d , d ? 2 , a 1 ? ? 1, S 5 ? 15

再由 S 8 ? 8 a 1 ?

56 2

d ? 3 2 得 2 a 1 ? 7 d ? 8 则 d ? 2, a 1 ? ? 3 , d ? 6 0 .故选 C.
9

所以 S 1 0 ? 1 0 a 1?
7. B

90 2
2

a 3 a 1 1 ? 1 6 ? a 7 ? 1 6 ? a 7 ? 4 ? a 1 6 ? a 7 ? q ? 3 2 ? lo g 2 a 1 6 ? 5

1 1 8.D 解析:设 a1=x,且 x≠0,则 S3=x+1+ ,由函数 y=x+ 的图像知: x x 1 1 x+x≥2 或 x+x≤-2,∴y∈(-∞,-1]∪[3,+∞). 9、 C
* 因为 a1 ? 1, lo g 2 a n ? 1 ? lo g 2 a n ? 1 ( n ? N )

, 所以

a n ?1 ? 2 a n



an ? 2

n ?1



Sn ? 2

n

?1



则满足 S n ? 1 0 2 5 的最小 n 值是 11; 10、C 1 1 2 1 2 3 1 将数列分为第 1 组一个,第 2 组二个,…,第 n 组 n 个,( ),( , ),( , , ),…,( , n 1 2 1 3 2 1

n 2 5 ,…, ),则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1,则 为第 10 组中的第 5 个,其项数为 1 6 n-1 (1+2+3+…+9)+5=50 11、35 (解法一)因为数列 { a n } , { b n } 都是等差数列,所以数列 ? a n ? b n ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质,得 ? a 5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a 3 ? b3 ? ,即 ? a 5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 2 1 ,解得
a 5 ? b5 ? 3 5 .

(解法二)设数列 { a n } , { b n } 的公差分别为 d 1 , d 2 , 因为 a 3 ? b3 ? ( a 1 ? 2 d 1 ) ? ( b1 ? 2 d 2 ) ? ( a1 ? b1 ) ? 2 ( d 1 ? d 2 ) ? 7 ? 2 ( d 1 ? d 2 ) ? 2 1 , 所以 d 1 ? d 2 ? 7 .所以 a 5 ? b5 ? ( a 3 ? b3 ) ? 2 ( d 1 ? d 2 ) ? 3 5 . 12、 S n ?
n 2n ? 1

因为 S n ? n ( 2 n ? 1) a n , S n ? 1 ? ( n ? 1)( 2 n ? 3 ) a n ?1 ( n ? 2 ) , 两式相减得 ( 2 n ? 1) a n ? ( 2 n ? 3 ) a n ? 1 , ( n ? 2 ) ,求得 a n ?
13. 2 n ? 1
1 4n
2

?1

,Sn ?

n 2n ? 1

解析:设公差为 d ( d ? 0 ),则有 1 ? 2 d ? ? 1 ? d ? ? 4 ,解得 d ? 2 ,所以 a n ? 2 n ? 1 .
2

14、 3 0 1 8

由 an ? n cos

n? 2

? 1 ,可得 S 2 0 1 2 ? (1 ? 0 ? 2 ? 1 ? 3 ? 0 ? 4 ? 1 ? ? ? 2 0 1 2 ? 1) ? 2 0 1 2

? (?2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2010 ? 2012) ? 2012 ? 2 ? 503 ? 2012 ? 3018

15(1)由已知 ?

? a 1 ? 2 d ? 10 , ? a 1 ? 5 d ? 22 .

解得

1 4

为公比的等比数列

16.(Ⅰ) ? 2 a n ? a n ? 1 ? a n ? 1 ? 数列 ?a n ? 为等差数列……3 分又 a 1 ? 1, a 2 ? 2 所以 d ? a 2 ? a 1
? 2 ? 1 ? 1, 数列 ?a n ? 的通项 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n …………6 分
b n ?1 n ?1 bn n
n ?1

(Ⅱ)∵ a n ? n ,∴ nb n ? 1 ? 2 ( n ? 1) b n .∴
q ? 2 为公比的等比数列…………10 分?

? 2?

.所以数列 ?

? bn ? ? ? n ?

是以

b1 1

? 2 为首项,

bn n

? 2?2
n ?1

? bn ? n ? 2 n 2

n

17(Ⅰ) n ? 1时 a 1 ?

1 2

a1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? ? 2
n?2

an ?

………………(1)

n ? 2时 a 1 ? 2 a 2 ? 2 a 3 ? ? ? ? 2

a n ?1 ?

n -1 2 1 2

………..(2)
1 2
n

(1)-(2)得 2

n ?1

an ?
n

1 2

即an ?

1 2
n

又 a1 ?
2

也适合上式? a n ?
3 n

(Ⅱ) b n ? n ? 2

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ??? ? n ? 2

2 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ( n ? 1) ? 2 ? n ? 2
2 3 n
n ?1

n ?1

?

2 (1 ? 2 )
n

1? 2

? n?2

n ?1

? 2

n ?1

? 2 ? n ?2

n ?1

? S n ? ( n ? 1) 2

?2

18(Ⅰ)∵点 ( S n , a n ? 1 ) 在直线 y ? 3 x ? 1 上∴ a n ? 1 ? 3 S n ? 1,
a n ? 1 ? a n ? 3( S n ? S n ? 1 ) ? 3 a n , , a 2 ? 3 S 1 ? 1 ? 3 a 1 ? 1 ? 3 t ? 1,

a n ? 3 S n ? 1 ? 1, ( n ? 1) ...2 分

∴ a n ?1 ? 4 a n ,

n ? 1 ......4 分

∴当 t=1 时, a 2 ? 4 a 1 , 数列 { a n } 是等比数列。.....6 分
a n ?1 ? 4 ,
n

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下, a n ?1 ? 4 a n ,

...........8 分

b n ? lo g 4 a n ? 1 ? n ,....9 分 c n ? a n ? b n ? 4
0 1

n ?1

?n,
n ?1

.....10 分

T n ? c1 ? c 2 ? ... ? c n ? ( 4 ? 1) ? ( 4 ? 2 ) ? ... ? ( 4 ? (1 ? 4 ? 4 ? ... ? 4
2 n ?1

? n) ? (1 ? n ) n .......12 分 2

) ? (1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ) ?

4 ?1
n

3

1

14、解: (I)由题设
{ 1 1 ? an }

1 ? a n ?1

?

1 1 ? an

? 1,

1



是公差为 1 的等差数列。 又
1 n .

1 ? a1

? 1, 故

1 1 ? an

? n.

所以

an ? 1 ?

(II)由(I)得
bn ? ? ? 1? a n ?1 n n ?1 ? n ?1? 1 n
n

,

n n 1

?

n ?1 ,

…………8 分
1 k ? 1 k ?1 ) ? 1? 1 n ?1 ? 1.

Sn ?

?
k ?1

bk ?

?(
k ?1

n

…………12 分

15、解: (I)当 当 当
a1 ? 2

a1 ? 3

时,不合题意;
a 2 ? 6, a 3 ? 1 8

时,当且仅当

时,符合题意;

a1 ? 1 0

时,不合题意。

因此

a 1 ? 2, a 2 ? 6, a 3 ? 1 8,

所以公式 q=3,



an ? 2 ? 3

n ?1

.
n

(II)因为
? 2 ?3 ? 2 ?3 ? 2 ?3
n ?1 n ?1 n ?1

b n ? a n ? ( ? 1) ln a n
n n ?1

? ( ? 1) ( 2 ? 3
n

)

? ( ? 1) [ln 2 ? ( n ? 1) ln 3] ? ( ? 1) (ln 2 ? ln 3) ? ( ? 1) n ln 3,
n n

所以
S 2 n ? 2 (1 ? 3 ? ? ? 3
2 n ?1

) ? [ ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ( ? 1)

2n

](ln 2 ? ln 3) ? [ ? 1 ? 2 ? 5 ? ? ? ( ? 1) n ] ln 3,
n

所以
Sn ? 2 ? 1? 3
n

当 n 为偶数时,
? 3 ?
n

1? 3

?

n 2

ln 3

n 2

ln 3 ? 1;

当 n 为奇数时,
? 3 ?
n

Sn ? 2 ?

1? 3

n

1? 3

? (ln 2 ? ln 3) ? (

n ?1 2

? n ) ln 3

n ?1 2

ln 3 ? ln 2 ? 1 .

综上所述,
? n n 3 ? ln 3 ? 1, n 为 偶 数 ? ? 2 Sn ? ? ?3 n - n ? 1 ln3-ln2-1,n为 奇 数 ? ? 2


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