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2013届高考理科数学第一轮复习测试题31-40


A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.cos 300° =( 3 A.- 2 ). 1 B.-2 1 C.2

3 D. 2

1 解析 cos 300° =cos 60° 2. = 答案 C 2.若 tan α=2,则 A.0

解析 3 B.4 2sin α-cos α 的值为( sin α+2cos α C.1 ). 5 D.4

2sin α-cos α 2tan α-1 2×2-1 3 = = =4. sin α+2cos α tan α+2 2+2

答案 B 5 ? π ? 3.(2011· 济南模拟)若 cos(2π-α)= 3 且 α∈?-2,0?,则 sin(π-α)=( ? ? 5 A.- 3 2 B.-3 1 C.-3 2 D.± 3 ).

5 ? π ? 解析 cos(2π-α)=cos α= 3 ,又 α∈?-2,0?, ? ? ∴sin α=- 1-cos2α=- 2 ∴sin(π-α)=sin α=-3. 答案 B 1-cos2α sin α 4. (2011· 深圳调研)若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上, 则 + cos α 1-sin2α 的值等于( A.-2 ). B.2 C.-2 或 2 D.0 2 ? 5? 1-? ?2=-3. ?3?

sin α |sin α| 解析 原式=|cos α|+ cos α ,由题意知角 α 的终边在第二、四象限,sin α 与 cos α 的符号相反,所以原式=0. 答案 D 5 5.已知 sin α= 5 ,则 sin4α-cos4α 的值为( 1 A.-5 3 B.-5 1 C.5 ). 3 D.5

解析 sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1 2 3 =5-1=-5. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 ?π ? 6.若 sin(π+α)=-2,α∈?2,π?,则 cos α=________. ? ? 1 ?π ? 解析 ∵sin(π+α)=-sin α,∴sin α=2,又 α∈?2,π?, ? ? 3 ∴cos α=- 1-sin2α=- 2 . 3 答案 - 2 1 ?3π ? 7.如果 sin α=5,且 α 为第二象限角,则 sin? 2 +α?=_____________________. ? ? 1 解析 ∵sin α=5,且 α 为第二象限角, ∴cos α=- 1-sin2α=- 2 6 ?3π ? ∴sin? 2 +α?=-cos α= . 5 ? ? 答案 2 6 5 1 2 6 1-25=- 5 ,

3 8.(2010· 全国)已知 α 为第三象限的角,cos 2α=-5,则 ?π ? tan?4+2α?________. ? ?

3 解析 ∵2kπ+π<α<2kπ+2π(k∈Z),∴4kπ+2π<2α<4kπ+3π(k∈Z),∴sin 2α >0, 3 而 cos 2α=-5, 4 4 ∴sin 2α=5,得 tan 2α=-3, ?π ? 1+tan 2α ∴tan?4+2α?= = ? ? 1-tan 2α 1 答案 -7 三、解答题(共 23 分) π? ?π ? ? 9.(11 分)已知 cos?2+α?=2sin?α-2?. ? ? ? ? sin?π-α?+cos?α+π? 求: . ?5π ? ?7π ? 5cos? 2 -α?+3sin? 2 -α? ? ? ? ? π? ?π ? ? 解 ∵cos?2+α?=2sin?α-2?, ? ? ? ? ∴-sin α=-2cos α,即 sin α=2cos α, ∴原式= sin α-cos α 2cos α-cos α 1 = =7. 5sin α-3cos α 10cos α-3 cos α 4 1-3 1 4=-7. 1+3

1 10.(★)(12 分)已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α=5. (1)求 tan α 的值; (2)把 1 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α
2

思路分析

(思路一):由已知条件与平方关系联立方程组求解;(思路二):先求

sinα-cosα 再与已知条件联立方程组求解. 1 ? ?sin α+cos α= 5 联立方程? ?sin2α+cos2α=1 ? ① ②

解 (1)法一

1 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,

整理得 25sin2α-5sin α-12=0.

?sin α=4, ? 5 ∵α 是三角形内角,∴sin α>0,∴? 3 ? ?cos α=-5,
4 ∴tan α=-3. 1 ?1? 法二 ∵sin α+cos α=5,∴(sin α+cos α)2=?5?2, ? ? 即 1+2sin αcos α= 1 24 ,∴2sin αcos α=- , 25 25

24 49 ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+25=25. 12 ∵sin αcos α=-25<0 且 0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, 7 ∴sin α-cos α=5,

?sin α+cos α=1, ? 5 由? 7 ?sin α-cos α=5, ?
4 ∴tan α=-3.

?sin α=4, ? 5 得? 3 ?cos α=-5, ?

sin2α+cos2α cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 1 (2) 2 = 2 = 2 = , cos α-sin2α cos α-sin2α cos α-sin2α 1-tan2α cos2α 4 ∵tan α=-3, ? 4?2 - tan2α+1 ? 3? +1 ? ? 1 25 ∴ 2 = = =- 7 . 2 2 cos α-sin α 1-tan α ? 4? 1-?-3?2 ? ? 【点评】 要善于挖掘隐含条件,要具有方程的思想意识,针对一些综合问题, 需要构造方程来解决,在平时的学习中应该不断积累用方程的思想解题的方法. B级 综合创新备选

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

满分:40 分)

1.已知 f(cos x)=cos 3x,则 f(sin 30° )的值为( A.0 B.1 C.-1

). 3 D. 2

解析 ∵f(cos x)=cos 3x, ∴f(sin 30° )=f(cos 60° )=cos 180° =-1. 答案 C 2.(2012· 揭阳模拟)若 sin θ,cos θ 是方程 4x2+2mx+m=0 的两根,则 m 的值为 ( A.1+ 5 C.1± 5 B.1- 5 D.-1- 5 ).

m m 解析 由题意知:sin θ+cos θ=- 2 ,sin θcos θ= 4 , 又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, m2 m ∴ 4 =1+ 2 , 解得:m=1± 5,又 Δ=4m2-16m≥0, ∴m≤0 或 m≥4,∴m=1- 5. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 1 π π 3.已知 sin αcos α=8,且4<α<2,则 cos α-sin α 的值是________. 3 解析 (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=4, π π 3 又∵4<α<2,sin α>cos α.∴cos α-sin α=- 2 . 3 答案 - 2 π? 1 cos 2α ? 4. (2011· 重庆)已知 sin α=2+cos α, α∈?0,2?, 且 则 π?的值为________. ? ? ? sin?α-4? ? ? 1 解析 依题意得 sin α-cos α=2,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,即(sin α

π? 7 7 ?1? ? +cos α)2+?2?2=2, 故(sin α+cos α)2=4; α∈?0,2?, 又 因此有 sin α+cos α= 2 , ? ? ? ? cos2α-sin2α cos 2α 所以 = =- 2(sin α+cos α)= π? ? 2 sin?α-4? ? ? 2 ?sin α-cos α? 14 - 2 . 14 答案 - 2 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)化简: sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

解 当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] 原式= sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α? sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = = =-1; sin?π+α?· α cos -sin α· α cos 当 k=2n+1(n∈Z)时, sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] 原式= sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α] sin?π-α?· α cos sin α· α cos = = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α? 综上,原式=-1. 6. 分)已知关于 x 的方程 2x2-( 3+1)x+m=0 的两根 sin θ 和 cos θ, (12 θ∈(0,2π), 求: (1) sin2θ cos θ + 的值; sin θ-cos θ 1-tan θ

(2)m 的值; (3)方程的两根及此时 θ 的值. 解 (1)原式= sin2θ cos θ + sin θ sin θ-cos θ 1-cos θ

sin2θ cos2θ = + sin θ-cos θ cos θ-sin θ

sin2θ-cos2θ = =sin θ+cos θ. sin θ-cos θ 由条件知 sin θ+cos θ= 3+1 2 ,

3+1 sin2θ cos θ 故 + = 2 . sin θ-cos θ 1-tan θ (2)由 sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ 3 ? 3+1?2 ? ,即 m= . =(sin θ+cos θ)2,得 1+m=? 2 2 ? ?

?sin θ+cos θ= 3+1, ? 2 (3)由? ?sin θ· θ= 43 ? cos
π π 又 θ∈(0,2π),故 θ=6或 θ=3.

?sin θ= 23, ? 得? 1 ?cos θ=2 ?

?sin θ=1, 2 ? 或? 3 ?cos θ= 2 . ?

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 B.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 ).

解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 答案 C π? ? 2.函数 y=sin?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ? ? π A.x=-6 π B.x=-12 π C.x=6 ). π D.x=12

kπ π π π 解析 令 2x+3=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +12(k∈Z),令 k=0 得该函数的一条对 π 称轴为 x=12.本题也可用代入验证法来解. 答案 D 3.(2012· 南昌质检)函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π 3π B. 2 C.π π D.2 ).

? π? 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+6?.故最小正周期为 2π. ? ? 答案 A ?π π? 4.(★)下列函数中,周期为 π,且在?4,2?上为减函数的是( ? ? π? ? A.y=sin?2x+2? ? ? ? π? C.y=sin?x+2? ? ? ).

π? ? B.y=cos?2x+2? ? ? ? π? D.y=cos?x+2? ? ?

?π π? 解析 (筛选法)∵函数的周期为 π.∴排除 C、D,∵函数在?4,2?上是减函数,∴ ? ?

排除 B. 答案 A 【点评】 本题采用了筛选法,体现了筛选法的方便、快捷、准确性,在解选择 题时应注意应用. ? π? 5.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π? ? B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π? ? π? ? 解析 ∵y=sin?x-2?=-cos x,∴T=2π,在?0,2?上是增函数,图象关于 y 轴 ? ? ? ? 对称,为偶函数. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) ?π ? 6. 若函数 f(x)=cos ωxcos?2-ωx?(ω>0)的最小正周期为 π, ω 的值为________. 则 ? ? ?π ? 解析 f(x)=cos ωxcos?2-ωx? ? ? 1 =cos ωxsin ωx=2sin 2ωx, 2π ∴T=2ω=π.∴ω=1. 答案 1 ? ? π π?? 7.(★)(2011· 开封质检)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ∈?-2,2??是偶 ? ? ?? 函数,则 θ 的值为________. π? ? 解析 (回顾检验法)据已知可得 f(x)=2sin?x+θ+3?,若函数为偶函数,则必有 θ ? ? π π π π π ? π π? +3=kπ+2(k∈Z),又由于 θ∈?-2,2?,故有 θ+3=2,解得 θ=6,经代入检 ? ? 验符合题意. π 答案 6 ).

【点评】 本题根据条件直接求出 θ 的值,应将 θ 再代入已知函数式检验一下. ? π? 2sin?x+4?+2x2+x ? ? 8.(★)函数 f(x)= 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m= 2 2x +cos x ________. 解析 =1+ (构造法)根据分子和分母同次的特点,把分子展开,得到部分分式,f(x) x+sin x ,f(x)-1 为奇函数,则 m-1=-(M-1),所以 M+m=2. 2x2+cos x

答案 2 【点评】 整体思考,联想奇函数,利用其对称性简化求解,这是整体观念与构 造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征,借助分式类函数最值的处理 方法,部分分式法,变形发现辅助函数为奇函数,整体处理最大值和最小值的问 题以使问题简单化, 这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻 理解. 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 解 (1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知: 5 13π 定义域为{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}. (2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3,∵1-2sin x≥0, 3π ∴0≤1-2sin x≤3,∴f(x)的值域为[0, 3],当 x=2kπ+ 2 ,k∈Z 时,f(x)取得 最大值. ?π ? 10.(12 分)(2011· 中山模拟)已知 f(x)=sin x+sin?2-x?. ? ? 1 (1)若 α∈[0,π],且 sin 2α=3,求 f(α)的值; (2)若 x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由题设知,f(α)=sin α+cos α. 1 ∵sin 2α=3=2sin α· α>0,α∈[0,π], cos

π? ? ∴α∈?0,2?,sin α+cos α>0. ? ? 4 由(sin α+cos α)2=1+2sin α· α=3, cos 2 2 得 sin α+cos α=3 3,∴f(α)=3 3. ? π? (2)f(x)= 2sin?x+4?,又 0≤x≤π, ? ? π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ? B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(★)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] ? 5 ? C.?-4,1? ? ?

). ? 5 ? B.?-4,-1? ? ? 5? ? D.?-1,4? ? ?

解析 (数形结合法)y=sin2x+sin x-1, sin x=t, 令 则有 y=t2+t-1, t∈[-1,1], 1 画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当 t=-2及 t=1 时,函数取最值, ? 5 ? 代入 y=t2+t-1 可得 y∈?-4,1?. ? ?

答案 C 【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题,再用数形结合来解 决,但换元后注意新元的范围. π? ? ?π π? 2. (2011· 山东)若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区间?3,2? ? ? ? ? 上单调递减,则 ω=( 2 A.3 3 B.2 ). C.2 D.3

π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为 x=3,和它相邻的一个对称中心为原点,则 4π 3 f(x)的周期 T= 3 ,从而 ω=2. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) π? ? 3.(2011· 绍兴模拟)关于函数 f(x)=4sin?2x+3?(x∈R),有下列命题: ? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π? ? ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x-6?; ? ? ? π ? ③y=f(x)的图象关于点?-6,0?对称; ? ? π ④y=f(x)的图象关于直线 x=-6对称. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上). π? ? 解析 函数 f(x)=4sin?2x+3?的最小正周期 T=π, 由相邻两个零点的横坐标间的 ? ? T π 距离是2=2知①错. π?? ?π ? 利用诱导公式得 f(x)=4cos?2-?2x+3??= ? ?? ? π? ?π ? ? 4cos?6-2x?=4cos?2x-6?,知②正确. ? ? ? ? π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x=- 6 代入得 f(x)= ? ? π? π? 4sin?2×?-6?+3?=4sin 0=0, ? ? ? ? ? π ? 因此点?-6,0?是 f(x)图象的一个对称中心, 故命题③正确. 曲线 f(x)的对称轴必 ? ? π ? π ? 经过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=-6时 y=0,点?-6,0?不 ? ? π 是最高点也不是最低点, 故直线 x=-6不是图象的对称轴, 因此命题④不正确. 答案 ②③ π? ? 4. 函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增, 且在这个区间上的最大值是 3, ? ?

那么 ω 等于________. π? ? 解析 因为 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增,且在这个区间上的最大值 ? ? π π π 4 是 3,所以 2sin4ω= 3,且 0<4ω<2,因此 ω=3. 4 答案 3 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 南通调研)设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一 π 条对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 解 (1)令 2×8+φ=kπ+2,k∈Z, π ∴φ=kπ+4,k∈Z, 5 1 又-π<φ<0,则-4<k<-4,k∈Z, 3π ∴k=-1,则 φ=- 4 . 3π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 令-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 可解得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ? π? π? ? ? 6.(12 分)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,- ? ? ? ? 5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ?

π? π ?π 7π? ? 解 (1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. ? ? ? ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+6?∈?-2,1?, ? ? ? ? π? ? ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a]. ? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? 7π? ? π? ? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 ? ? ? ? π? ? =4sin?2x+6?-1, ? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π? ? ∴4sin?2x+6?-1>1, ? ? π? 1 ? ∴sin?2x+6?>2, ? ? π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+6,k ∈Z, π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ? π π 5π π π 又∵当 2kπ+2<2x+6<2kπ+ 6 , k∈Z 时, g(x)单调递减, kπ+6<x<kπ+3, 即 k∈Z. π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ?

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

π ? π? 1. 若将某正弦函数的图象向右平移2以后, 所得到的图象的函数式是 y=sin?x+4?, ? ? 则原来的函数表达式为( ? 3π? A.y=sin?x+ 4 ? ? ? ? π? C.y=sin?x-4? ? ? ? π π? ? 3π? 解析 y=sin?x+4+2?=sin?x+ 4 ?. ? ? ? ? 答案 A π? π? ? ? 2.(2011· 新课标)设函数 f(x)=sin?2x+4?+cos?2x+4?,则( ? ? ? ? π? π ? A.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图象关于直线 x=4对称 ? ? π? π ? B.y=f(x)在?0,2?单调递增,其图象关于直线 x=2对称 ? ? π? π ? C.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图象关于直线 x=4对称 ? ? π? π ? D.y=f(x)在?0,2?单调递减,其图象关于直线 x=2对称 ? ? π? π? π? ? ? ? 解析 因为 y=sin?2x+4?+cos?2x+4?= 2sin?2x+2? ? ? ? ? ? ? π? ? = 2cos 2x,所以 y= 2cos 2x 在?0,2?单调递减,对称轴为 2x=kπ(k∈Z),即 x ? ? kπ π = 2 (k∈Z),当 k=1 时,x=2. 答案 D π 3.若函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中 ω>0,|φ|<2)的最小正周期是 π,且 f(0) = 3,则( ). ). ). ? π? B.y=sin?x+2? ? ? ? π? π D.y=sin?x+4?-4 ? ?

1 π A.ω=2,φ=6 π C.ω=2,φ=6

1 π B.ω=2,φ=3 π D.ω=2,φ=3

2π 解析 由 T= ω =π,∴ω=2.由 f(0)= 3?2sin φ= 3, 3 π π ∴sin φ= 2 ,又|φ|<2,∴φ=3. 答案 D π 4.(2012· 龙岩模拟)将函数 y=f(x)· x 的图象向右平移 个单位后,再作关于 x sin 4 轴对称变换,得到函数 y=1-2sin2x 的图象,则 f(x)可以是( A.sin x B.cos x C.2sin x D.2cos x ).

解析 运用逆变换方法:作 y=1-2sin2x=cos 2x 的图象关于 x 轴的对称图象得 π ? π? y=-cos 2x=-sin 2?x+4?的图象,再向左平移4个单位得 y=f(x)· x=-sin sin ? ? ? π? 2?x+2?=sin 2x=2sin xcos x 的图象.∴f(x)=2cos x. ? ? 答案 D π? ? 5.(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?,y=f(x)的部分图象如 ? ? ?π? 图,则 f?24?=( ? ? ).

A.2+ 3

B. 3

3 C. 3

D.2- 3

?3π π? π 解析 由题中的图象可知:T=2? 8 -8?=2,∴ω=2, ? ? π π π π ∴2×8+φ=kπ+2(k∈Z).又|φ|<2,∴φ=4. π? π π ? ?π? ? π π? 又 f(0)=1, ∴Atan4=1, A=1, 得 ∴f(x)=tan?2x+4?, ?24?=tan?12+4?=tan3 ∴f ? ? ? ? ? ?

= 3. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) π ? π? 6.将函数 y=sin?x+3?的图象向右平移6个单位,再向上平移 2 个单位所得图象 ? ? 对应的函数解析式是________. π ? π? 解析 y=sin?x+3?向右平移6个单位得: ? ? ? π π? ? π? ? π? y=sin?x-6+3?=sin?x+6?,再向上平移 2 个单位得 y=sin?x+6?+2. ? ? ? ? ? ? ? π? 答案 y=sin?x+6?+2 ? ? π? ? 7.已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完 ? ? π? ? 全相同.若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ? π? ? 解析 由题意知 ω=2,∴f(x)=3sin?2x-6?, ? ? π? π ? π 5 ? ? 当 x∈?0,2?时,2x- ∈?-6,6π?, 6 ? ? ? ? ? 3 ? ∴f(x)的取值范围是?-2,3?. ? ? ? 3 ? 答案 ?-2,3? ? ? ?π ? ?π ? 8.若 f(x)=2sin(ωx+φ)+m,对任意实数 t 都有 f?8+t?=f?8-t?,且 ? ? ? ? 则实数 m 的值等于________. π π 解析 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x=8对称,于是当 x=8时,函数 f(x) 取得最值,因此有± 2+m=-3,解得 m=-5 或 m=-1. 答案 -1 或-5 三、解答题(共 23 分) π 9. 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, (11 ω>0, |φ|<2)的部分图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; ?π? f?8?=-3, ? ?

(2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,试写出变 换过程.

解 (1)由图象知 A=2. 2π ?5π π? f(x)的最小正周期 T=4×?12-6?=π,故 ω= T =2. ? ? ?π ? ?π ? 将点?6,2?代入 f(x)的解析式,得 sin?3+φ?=1. ? ? ? ? π π 又|φ|<2,∴φ=6. π? ? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

? x π? ?x π? 10. (★)(12 分)(2011· 深圳一调)已知函数 f(x)=2 3· ?2+4?cos?2+4?-sin(x+π). sin ? ? ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位, 得到函数 g(x)的图象, 求函数 g(x)在区间[0, 6 π]上的最大值和最小值. 解 ? 3 ? 1 ? π? (1)因为 f(x)= 3sin ?x+2? +sin x= 3cos x+sin x=2 ? cos x+ sin x? = ? ? 2 2 ? ?

? π? 2sin?x+3?, ? ? 所以 f(x)的最小正周期为 2π.

π ? π? (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,∴g(x)=f?x-6?= ? ? π ?π 7π? ?? π? π? ? π? 2sin??x-6?+3?=2sin?x+6?.∵x∈[0,π],∴x+6∈?6, 6 ?, ? ? ? ? ? ? ?? π π π ? π? ∴当 x+6=2,即 x=3时,sin?x+6?=1,g(x)取得最大值 2. ? ? π 7π 1 ? π? 当 x+6= 6 ,即 x=π 时,sin?x+6?=-2,g(x)取得最小值-1. ? ? 【点评】 解决三角函数的单调性及最值?值域?问题主要步骤有: 第一步: 三角函数式的化简, 一般化成 y=Asin?ωx+φ?+h 或 y=Acos?ωx+φ?+h 的形式. 第二步:根据 sin x、cos x 的单调性解决问题,将“ωx+φ”看作一个整体,转化 为不等式问题. 第三步:根据已知 x 的范围,确定“ωx+φ”的范围. 第四步:确定最大值或最小值. 第五步:明确规范表述结论. B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.(2011· 天津)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中 ω>0,-π<φ≤π.若 f(x) π 的最小正周期为 6π,且当 x=2时,f(x)取得最大值,则( A.f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B.f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C.f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D.f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 1 π 1 π 解析 ∵f(x)的最小正周期为 6π, ∴ω=3, ∵当 x=2时, f(x)有最大值, 3×2+ ∴ π π π ? x π? φ=2+2kπ(k∈Z), 3+2kπ(k∈Z), φ= ∵-π<φ≤π, ∴φ=3.∴f(x)=2sin?3+3?, ? ? 由此函数图象易得,在区间[-2π,0]上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π, 5π]上均不是单调的,在区间[4π,6π]上是单调增函数. 答案 A ).

π 2.(2011· 全国)设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移3个单位长 度后,所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于( 1 A.3 B.3 C.6 ). D.9

π ? π? 解析 依题意得, y=f(x)的图象向右平移3个单位长度后得到的是 f?x-3?=cos 将 ? ? ωπ? ? π? ? ω?x-3?=cos?ωx- 3 ? ? ? ? ? ωπ? ωπ? ? ? 的图象, 故有 cos ωx=cos?ωx- 3 ?, cos ωx=cos?2kπ+ωx- 3 ?(k∈Z), ωx 而 故 ? ? ? ? ωπ? ? -?ωx- 3 ?=2kπ(k∈Z), ? ? 即 ω=6k(k∈Z),∵ω>0,因此 ω 的最小值是 6. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011· 福州模拟)在函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的一个周期内,当 x π? π 1 4π 1 ? =9时有最大值2,当 x= 9 时有最小值-2,若 φ∈?0,2?,则函数解析式 f(x)= ? ? ________. 1 π 1 4π 1 解析 首先易知 A=2, 由于 x=9时 f(x)有最大值2, x= 9 时 f(x)有最小值-2, 当 π π? 2π 1 ? π ?4π π? ? 1 ? 所以 T=? 9 -9?×2= 3 ,ω=3.又2sin?3×9+φ?=2,φ∈?0,2?,解得 φ=6, ? ? ? ? ? ? π? 1 ? 故 f(x)=2sin?3x+6?. ? ? π? 1 ? 答案 2sin?3x+6? ? ? ? ? π π?? 4.设函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,φ∈?-2,2??的最小正周期为 π,且其图象关于 ? ? ?? π 直线 x=12对称,则在下面四个结论中: π? ?π ? ?π ? ? ①图象关于点?4,0?对称;②图象关于点?3,0?对称;③在?0,6?上是增函数; ? ? ? ? ? ? ? π ? ④在?-6,0?上是增函数. ? ?

以上正确结论的编号为________. 解析 ∵y=sin(ωx+φ)最小正周期为 π, 2π π ∴ω= π =2,又其图象关于直线 x=12对称, π π π ∴2×12+φ=kπ+2(k∈Z),∴φ=kπ+3,k∈Z. π? π ? π π? ? 由 φ∈?-2,2?,得 φ=3,∴y=sin?2x+3?. ? ? ? ? kπ π π 令 2x+3=kπ(k∈Z),得 x= 2 -6(k∈Z). π? ? ?π ? ∴y=sin?2x+3?关于点?3,0?对称.故②正确. ? ? ? ? π π π 令 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z),得 5π π kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). π? ? ∴函数 y=sin?2x+3?的单调递增区间为 ? ? 5π π? ? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). ? ? 5π π? ? π ? ? ∵?-6,0???kπ-12,kπ+12?(k∈Z).∴④正确. ? ? ? ? 答案 ②④ 三、解答题(共 22 分) π? ? 5.(10 分)(2011· 潍坊质检)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,0<φ<2?的部分 ? ? 图象如图所示.

(1)求 f(x)的解析式; π ?? ?? ? π π? (2)设 g(x)=?f?x-12??2,求函数 g(x)在 x∈?-6,3?上的最大值,并确定此时 x 的 ?? ?? ? ? 值.

T π 2π π 3 解 (1)由题图知 A=2,4 =3,则 ω =4×3,∴ω=2. ?3 ? π? ? ? π? 又 f?-6?=2sin?2×?-6?+φ? ? ? ? ? ? ? ? π ? =2sin?-4+φ?=0, ? ? π? π π π π ? ∴sin?φ-4?=0,∵0<φ<2,∴-4<φ-4<4, ? ? π π ∴φ-4=0,即 φ=4, ?3 π? ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+4?. ? ? π ? π? π? ?3? ? ? (2)由(1)可得 f?x-12?=2sin?2?x-12?+4? ? ? ? ? ? ?3 π? =2sin?2x+8?, ? ? π? ? 1-cos?3x+4? π ?? ? ? ?? ∴g(x)=?f?x-12??2=4× 2 ?? ?? π? ? =2-2cos?3x+4?, ? ? π π 5π ? π π? ∵x∈?-6,3?,∴-4≤3x+4≤ 4 , ? ? π π ∴当 3x+4=π,即 x=4时,g(x)max=4. 6.(12 分)(2012· 华东师大附中模拟)已知函数 f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A、B、ω 是 1 常数,ω>0)的最小正周期为 2,并且当 x=3时,f(x)max=2. (1)求 f(x)的解析式; ?21 23? (2)在闭区间? 4 , 4 ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程; ? ? 如果不存在,请说明理由. 2π 解 (1)因为 f(x)= A2+B2sin(ωx+φ), 由它的最小正周期为 2, ω =2, 知 ω=π, 1 1 π π 又因为当 x=3时,f(x)max=2,知3π+φ=2kπ+2(k∈Z),φ=2kπ+6(k∈Z),所以 π? π? ? ? f(x)=2sin?πx+2kπ+6?=2sin?πx+6?(k∈Z). ? ? ? ?

π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?πx+6?. ? ? (2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线 π π 1 21 1 23 的对称轴,令 πx+6=kπ+2(k∈Z),解得 x=k+3(k∈Z),由 4 ≤k+3≤ 4 ,解 59 65 ?21 23? 得12≤k≤12,又 k∈Z,知 k=5,由此可知在闭区间? 4 , 4 ?上存在 f(x)的对称 ? ? 16 轴,其方程为 x= 3 .

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.计算 1-2sin222.5° 的结果等于( 1 A.2 2 B. 2 3 C. 3 3 D. 2 ).

2 解析 1-2sin222.5° =cos 45° 2 . = 答案 B π? 4 ? 2. (2011· 北京西城月考)若 cos α=-5, 是第三象限的角, sin?α+4?等于( α 则 ? ? 7 2 A.- 10 7 2 B. 10 2 C.- 10 2 D. 10 ).

π? 3 π π 2? 4 3? ? 解析 由已知得 sin α=-5, ∴sin?α+4?=sin αcos 4+cos αsin 4= 2 ?-5-5?= ? ? ? ? 7 2 - 10 . 答案 A 4 ? π ? 3.已知 x∈?-2,0?,cos x=5,则 tan 2x 等于( ? ? 7 A.24 7 B.-24 24 C. 7 24 D.- 7 ).

4 3 ? π ? 解析 ∵x∈?-2,0?,cos x=5.∴sin x=-5, ? ? ? 3? 2×?-4? ? ? 3 2tan x 24 ∴tan x=- .∴tan 2x= = =- . 4 3?2 7 1-tan2x ? 1-?-4? ? ? 答案 D 5 10 4. (2012· 银川模拟)已知 α, 都是锐角, sin α= 5 , β= 10 , α+β= ( β 若 sin 则 π A.4 3π B. 4 ).

π 3π C.4和 4

π 3π D.-4和- 4

2 5 3 10 解析 由 α, 都为锐角, β 所以 cos α= 1-sin2α= 5 , β= 1-sin2β= 10 . cos 2 π 所以 cos(α+β)=cos α· β-sin α· β= 2 ,所以 α+β=4. cos sin 答案 A β? π π 3 ?π ? 1 ?π β? ? 5. 0<α<2, 2<β<0, ?4+α?=3, ?4-2?= 3 , cos?α+2?=( 若 - cos cos 则 ? ? ? ? ? ? 3 A. 3 5 3 C. 9 3 B.- 3 6 D.- 9 ).

β? ? ??π ? ?π β?? 解析 对于 cos ?α+2?=cos??4+α?-?4-2??= ? ? ?? ? ? ?? ?π ? ? π β? ?π ? ?π β? cos?4+α?cos?4-2?+sin?4+α?sin?4-2?, ? ? ? ? ? ? ? ? π ?π 3π? π β ?π π? 而4+α∈?4, 4 ?,4-2∈?4,2?, ? ? ? ? 6 ?π ? 2 2 ? π β? 因此 sin?4+α?= 3 ,sin?4-2?= 3 , ? ? ? ? β? 1 3 2 2 6 5 3 ? 则 cos?α+2?=3× 3 + 3 × 3 = 9 . ? ? 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 1 6.已知 sin(π+α)=-3,且 α 是第二象限角,那么 sin 2α=________. 1 解析 ∵由题意知,sin α=3,且 α 是第二象限角, 2 2 ∴cos α=- 3 , 1 ? 2 2? 4 2 ?=- ∴sin 2α=2sin αcos α=2×3×?- 9 . 3 ? ? 4 2 答案 - 9

?π ? 7.已知 tan?4+θ?=3,则 sin 2θ-2cos2θ 的值为________. ? ? 解析 法一 ?π ? ∵tan?4+θ?=3, ? ?

1+tan θ ∴ =3, 1-tan θ 1 解得 tan θ=2. ∵sin 2θ-2cos2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1
2 2 2sin θcos θ cos θ-sin θ = 2 - -1 sin θ+cos2θ sin2θ+cos2θ

1-tan2 θ 2tan θ = - -1 1+tan2 θ 1+tan2 θ 4 3 4 =5-5-1=-5. 法二 sin 2θ-2cos2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1 ?π ? ?π ? =-cos?2+2 θ?-sin?2+2θ?-1 ? ? ? ? ?π ? ?π ? 1-tan2?4+θ? 2tan?4+θ? ? ? ? ? =- π ?- π ?-1 ? ? 1+tan2?4+θ? 1+tan2?4+θ? ? ? ? ? 1-9 2×3 4 =- - -1=-5. 1+9 1+9 4 答案 -5 8.函数 f(x)=2cos2x+sin 2x 的最小值是________. π? ? 解析 ∵f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin?2x+4?,∴f(x)min=1 ? ? - 2. 答案 1- 2 三、解答题(共 23 分) 1-tan x ?π ? 5 ?π 3π? 9.(11 分)已知 sin?4+x?=13,且 x∈?4, 4 ?,求 . ? ? ? ? 1+tan x π ?π 3π? ?π ? 解 ∵x∈?4, 4 ?,∴4+x∈?2,π?, ? ? ? ?

12 ?π ? ∴cos?4+x?=-13, ? ? 5 ?π ? ∴tan?4+x?=-12, ? ? 1-tan x ∴ = 1+tan x 12 =- 5 . ? π? tan?x+4? ? ? 1

? 7π? ? 3π? 10.(12 分)(2011· 四川)已知函数 f(x)=sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x∈R. ? ? ? ? (1)求 f(x)最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5,0<α<β ≤2, 求证:[f(β)]2-2=0. (1)解 7π 7π 3π 3π f(x)=sin xcos 4 +cos xsin 4 +cos xcos 4 +sin xsin 4 = 2sin x- 2cos x

? π? =2sin?x-4?,∴f(x)的最小正周期 T=2π,最小值 f(x)min=-2. ? ? (2)证明 4 由已知得 cos αcos β+sin αsin β=5,

4 cos αcos β-sin αsin β=-5,两式相加得 2cos αcos β=0. π ∵0<α<β≤2, π ∴cos β=0,则 β=2, π ∴[f(β)]2-2=4sin24-2=0.

B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

2sin2α+sin 2α π? 1 π ? 1. (2011· 东莞模拟)已知 tan?α+4?=2, 且-2<α<0, 则 π? 等于( ? ? ? cos?α-4? ? ? 2 5 A.- 5 3 5 B.- 10

).

3 10 C.- 10

2 5 D. 5

π? tan α+1 1 ? 解析 由 tan?α+4?= = , ? ? 1-tan α 2 1 π 得 tan α=-3.又-2<α<0, 10 所以 sin α=- 10 . 2sin2α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 2 5 故 = =2 2sin α=- 5 . π? ? 2 cos?α-4? ?sin α+cos α? ? ? 2 答案 A π? 7π? 4 3 ? ? 2.(2012· 泉州模拟)已知 cos?α-6?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值是( ? ? ? ? 2 3 A.- 5 2 3 B. 6 4 C.-5 4 D.5 ).

π? 4 3 3 3 ? 解析 cos?α-6?+sin α= 5 ?2sin α+ 2 cos α ? ? π? 4 4 3 ? = ?sin?α+6?= , 5 ? ? 5 7π? π? 4 ? ? 所以 sin?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. ? ? ? ? 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) tan?45° -α? sin αcos α 3.化简 · 2 =________. 2 1-tan ?45° -α? cos α-sin2α 1 2sin 2α 1 解析 原式=2tan(90° -2α)· 2α cos 1 sin 2α -2α? 2 1 sin?90° =2 · 2α cos?90° -2α? cos 1cos 2α 1 sin 2α 1 =2 sin 2α ·cos 2α=4. 2 1 答案 4

1 3 4.若 cos(α+β)=5,cos(α-β)=5,则 tan αtan β=________. 1 3 解析 由已知,得 cos αcos β-sin αsin β=5,cos αcos β+sin αsin β=5,则有 cos 2 1 sin αsin β 1 1 αcos β=5,sin αsin β=5,cos αcos β=2,即 tan αtan β=2. 1 答案 2 三、解答题(共 22 分) ?π B? 5.(10 分)在△ABC 中,A、B、C 为三个内角,f(B)=4cos B· 2?4+ 2 ?+ 3cos 2B sin ? ? -2cos B. (1)若 f(B)=2,求角 B; (2)若 f(B)-m>2 恒成立,求实数 m 的取值范围. ?π ? 1-cos?2+B? ? ? 解 (1)f(B)=4cos B× + 3cos 2B-2cos B 2 =2cos B(1+sin B)+ 3cos 2B-2cos B =2cos Bsin B+ 3cos 2B π? ? =sin 2B+ 3cos 2B=2sin?2B+3?. ? ? π? π π 7 ? ∵f(B)=2,∴2sin?2B+3?=2,3<2B+3<3π, ? ? π π π ∴2B+3=2.∴B=12. π? ? (2)f(B)-m>2 恒成立,即 2sin?2B+3?>2+m 恒成立. ? ? π? ? ∵0<B<π,∴2sin?2B+3?∈[-2,2],∴2+m<-2. ? ? ∴m<-4. 6. 分)(1)①证明两角和的余弦公式 C(α+β): (12 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; ②由 C(α+β)推导两角和的正弦公式 S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 3 ? 4 1 ? ?π ? (2)已知 cos α=-5,α∈?π,2π?,tan β=-3,β∈?2,π?,求 cos(α+β). ? ? ? ? (1)证明 ①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α,β 与-β,使

角 α 的始边为 Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边 为 OP2,终边交⊙O 于点 P3,角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0),P2(cos α,sin α),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cos α]2+[sin(-β)-sin α]2, 展开并整理, 得 2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sin αsin β). ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. ?π ? ②由①易得,cos?2-α?=sin α, ? ? ?π ? sin?2-α?=cos α. ? ? ?π ? sin(α+β)=cos ?2-?α+β?? ? ? ??π ? ? =cos??2-α?+?-β?? ?? ? ? ?π ? ?π ? =cos?2-α?cos(-β)-sin?2-α?sin(-β) ? ? ? ? =sin αcos β+cos αsin β. ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. (2)解 3 ? 4 3 ? ∵α∈?π,2π?,cos α=-5,∴sin α=-5. ? ?

1 ?π ? ∵β∈?2,π?,tan β=-3, ? ? 3 10 10 ∴cos β=- 10 ,sin β= 10 . cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β 10 3 10 ? 4? ? 3 10? ? 3? ?-?- ?× =?-5?×?- = . 10 ? ? ? 10 ? ? 5? 10

A级

基础达标演练

(时间:40 分钟 满分:60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 湖北八校第二次联考)在△ABC 中,C=60° ,AB= 3,BC = 2,那么 A 等于( ).

A.135° B.105° C.45° D.75° BC AB 2 3 2 解析 由正弦定理知sin A=sin C, sin A=sin 60° 所以 sin A= 2 , 即 , 又由题知,BC<AB,∴A=45° . 答案 C 2.已知 a,b,c 是△ABC 三边之长,若满足等式(a+b-c)(a+b+c) =ab,则角 C 的大小为( ).

A.60° B.90° C.120° D.150° 解析 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得(a+b)2-c2=ab, ∴c2=a2+b2+ab=a2+b2-2abcos C, 1 ∴cos C=-2,∴C=120° . 答案 C 3.在△ABC 中,已知 sin Acos B=sin C,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 ).

a2+c2-b2 解析 由正弦定理、余弦定理得 a· 2ac =c,∴b2+c2=a2,∴A

=90° . 答案 A 4.(2011· 浙江)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos2B 等于( 1 1 A.-2 B.2 C.-1 D.1 解析 根据正弦定理,由 acos A=bsin B,得 sin Acos A=sin2B,∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1. 答案 D 5.若满足条件 C=60° ,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( ). C.( 3,2) D.(1,2) ).

A.(1, 2) B.( 2, 3)

AB BC 解析 由正弦定理得:sin C=sin A,∴a=2sin A. ∵C=60° ,∴0° <A<120° . 又∵△ABC 有两个,∴asin 60° 3<a,即 3<a<2. < 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 福建)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于________.

3 解析 在△ABC 中,∵AB=AC=2,BC=2 3,∴cos C= 2 ,∴sin 1 AD AC C=2;在△ADC 中,由正弦定理得,sin C= , ∴ AD = sin∠ADC 2 1 ×2= 2. sin 45°

答案

2

2π 7.在△ABC 中,若 b=1,c= 3,C= 3 ,则 a=________. 2π 解析 ∵c2=a2+b2-2abcos C,∴( 3)2=a2+1-2acos 3 , ∴a2+a-2=0.解得:a=1,或 a=-2(舍). 答案 1 8.(2011· 新课标全国)在△ABC 中,B=120° ,AC=7,AB=5,则△ ABC 的面积为________. 解析 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 49=a2+25-2×5×acos 120° . 整理得 a2+5a-24=0,解得 a=3 或 a=-8(舍). 1 1 15 3 ∴S△ABC=2acsin B=2×3×5sin 120° 4 . = 答案 15 3 4

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)(2011· 陕西)叙述并证明余弦定理. 解 余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这 两边与它们夹角的余弦之积的两倍. 或: 在△ABC 中, b, 为 A, a, c B,C 的对边,有 a2=b2+c2-2bccos A,b2=c2+a2-2cacos B,c2= a2+b2-2abcos C, 法一 如图(1),

图(1) → BC → a2=BC·

→ → (AC → =(AC-AB)·→ -AB) → → AB → → =AC2-2AC· +AB2 → → |AB → → =AC2-2|AC|· |cos A+AB2 =b2-2bccos A+c2,即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B,c2=a2+b2-2abcos C. 法二

图(2) 已知△ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,以 A 为原点,AB 所 在直线为 x 轴建立直角坐标系, 如图(2)则 C(bcos A, bsin A), B(c,0), ∴a2=|BC|2=(bcos A-c)2+(bsin A)2 =b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A =b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=c2+a2-2cacos B, c2=a2+b2-2abcos C. 10.(12 分)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,asin A+ csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 解 (1)由正弦定理得 a2+c2- 2ac=b2. 由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B. 2 故 cos B= 2 ,又 0° <B<180° ,因此 B=45° . (2)sin A=sin(30° +45° )=sin 30° 45° cos +cos 30° 45° sin = 2+ 6 4 .故

2+ 6 sin A a=b· B= =1+ 3, sin 2 sin C sin 60° c=b· B=2· 45° 6. = sin sin

B级

综合创新备选

(时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2011· 四川)在△ABC 中,sin2 A≤sin2 B+sin2 C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( ).

π? π? ? ?π ? ? ?π ? A.?0,6? B.?6,π? C.?0,3? D.?3,π? ? ? ? ? ? ? ? ? 解析 由已知及正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,而由余弦定理可知 a2= b2+c2-2bccos A,于是可得 b2+c2-2bccos A≤b2+c2-bc,可得 cos π? ? 1 A≥2,注意到在△ABC 中,0<A<π,故 A∈?0,3?. ? ? 答案 C 2.(2011· 重庆)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a+ b)2-c2=4,且 C=60° ,则 ab 的值为( 4 2 A.3 B.8-4 3 C.1 D.3 解析 选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(★)若 AB=2,AC= 2BC,则 S△ABC 的最大值________. 解析 (数形结合法)因为 AB=2(定长), 可以令 AB 所在的直线为 x 轴,
2 2 ? ??a+b? -c =4 4 依题意得? 2 2 2 ,两式相减得 ab=3, ?a +b -c =2abcos 60° =ab ?

).

其中垂线为 y 轴建立直角坐标系,则 A(-1,0),B(1,0),设 C(x,y), 由 AC= 2BC, 得 ?x+1?2+y2= 2 ?x-1?2+y2,化简得(x-3)2+y2=8,

即 C 在以(3,0)为圆心,2 2为半径的圆上运动, 1 所以 S△ABC=2· |yC|=|yC|≤2 2,故答案为 2 2. |AB|· 答案 2 2 【点评】 有效地借助图象、表格等能使解题化难为易、一目了然, 且不易出错.

4.(2012· 汕头质检)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b a tan C tan C b,c,若a+b=6cos C,则tan A+tan B的值是________. 1 解析 法一 取 a=b=1,则 cos C=3,由余弦定理得 c2=a2+b2- 4 2 3 2abcos C=3,∴c= 3 ,在如图所示的等腰三角形 ABC 中,可得 tan 2 2 tan C tan C A=tan B= 2,又 sin C= 3 ,tan C=2 2,∴tan A+tan B=4. a2+b2 a2+b2-c2 b a 法二 由a+b=6cos C,得 ab =6· 2ab ,
?cos A cos B? 3 tan C tan C 即 a2+b2=2c2,∴ tan A+tan B=tan C? sin A + sin B ?= ? ?

sin2C 2c2 cos Csin Asin B=a2+b2-c2=4. 答案 4 三、解答题(共 22 分)

5.(10 分)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已 知 a2-c2=2b,且 sin Acos C=3cos Asin C,求 b. 解 由余弦定理得:a2-c2=b2-2bccos A, 又 a2-c2=2b(b≠0),∴b=2ccos A+2① 又 sin Acos C=3cos Asin C, ∴sin Acos C+cos Asin C=4cos Asin C, ∴sin(A+C)=4cos Asin C,即 sin B=4cos Asin C. b 由正弦定理得 sin B=c sin C,∴b=4ccos A② 由①②解得 b=4. 6. 分)(2011· (12 山东)在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, B, b, cos A-2cos C 2c-a c.已知 = b . cos B sin C (1)求sin A的值; 1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长. a b c 解 (1)由正弦定理,设sin A=sin B=sin C=k, 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = . cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又 A+B+C=π, sin C 所以 sin C=2sin A,因此sin A=2.

sin C (2)由sin A=2 得 c=2a. 1 由余弦定理及 cos B=4得 1 b2=a2+c2-2accos B=a2+4a2-4a2×4=4a2. 所以 b=2a.又 a+b+c=5.从而 a=1,因此 b=2.

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

1.渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120° 角的方向行驶,水流速度为 4 km/h,则渡轮实际航行的速度为(精确到 0.1 km/h)( A.14.5 km/h C.13.5 km/h B. 15.6 km/h D.11.3 km/h ).

解析 画示意图直接求. 答案 C 2.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A,B 间的距离,给定下列四组数据,不 能确定 A,B 间距离的是( ).

A.α,a,b C.a,b,γ

B.α,β,a D.α,β,b

解析 选项 B 中由正弦定理可求 b,再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中可由余弦 定理确定 AB.选项 D 同 B 类似,故选 A. 答案 A 3.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他离 出发点恰好是 3 km,那么 x 的值为( A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 ).

解析 如图所示, 设此人从 A 出发,则 AB=x, BC=3,AC= 3,∠ABC=30° , 由余弦定理得( 3)2=x2+32-2x· cos 30° 3· ,整理得 x2-3 3x+6=0,解得 x= 3 或 2 3.

答案 C

4. (2011· 青岛模拟)如图, 在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30° , 测得湖中之影的俯角为 45° ,则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( ).

A.2.7 m C.37.3 m

B.17.3 m D.373 m

CE CM-10 解析 在△ACE 中,tan 30° AE= AE . = CM-10 ∴AE= tan 30°. DE CM+10 在△AED 中,tan 45° AE = AE , = CM+10 ∴AE= tan 45°, CM-10 CM+10 ∴ tan 30°= tan 45°, ∴CM= 10? 3+1? =10(2+ 3)≈37.3(m). 3-1

答案 C 5.如图所示,D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是 β、α(α<β),则点 A 离地面的高 AB 等于( ).

asin αsin β A. sin?β-α? acos αcos β C. sin?β-α?

B.

asin αsin β cos?β-α? acos αcos β cos?β-α?

D.

解析 在△ADC 中,∠DAC=β-α,由正弦定理, AC a asin α = ,得 AC= . sin α sin?β-α? sin?β-α?

在 Rt△ABC 中, AB=AC· β= sin 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮 台顶部测得俯角分别为 45° 60° 和 ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条 船相距________m. 解析 如图,OM=AOtan 45° =30, 3 ON=AOtan 30° 3 ×30=10 3 , = 由余弦定理得, MN= 3 900+300-2×30×10 3× 2 asin αsin β . sin?β-α?

= 300=10 3 (m). 答案 10 3 7.(2011· 大连部分中学联考)如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________米.

解析 在△BCD 中,CD=10,∠BDC=45° ,∠BCD=15° +90° =105° ,∠DBC BC CD CDsin 45° AB =30° sin 45° sin 30° , = ,BC= sin 30° =10 2.在 Rt△ABC 中,tan 60° BC, = AB=BCtan 60° =10 6(米). 答案 10 6 8.(2011· 安徽三校联考)2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式.如图, 在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面, 在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60° 和

30° ,且座位 A、B 的距离为 10 6米,则旗杆的高度为________米.

AN 10 6 解析 由题可知∠BAN=105° ,∠BNA=30° ,由正弦定理得sin 45° sin 30° = ,解 得 AN=20 3(米),在 Rt△AMN 中,MN=20 3 sin 60° =30(米).故旗杆的高度 为 30 米. 答案 30 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)隔河看两目标 A 与 B,但不能到达,在岸边先选取相距 3千米的 C, D 两点,同时,测得∠ACB=75° ,∠BCD=45° ,∠ADC=30° ,∠ADB=45° (A, B,C,D 在同一平面内),求两目标 A,B 之间的距离. 解 如图所示,在△ACD 中,∵∠ADC=30° ,∠ACD=120° , ∴∠CAD=30° ,AC=CD= 3(千米), 在△BDC 中,∠CBD=180° -45° -75° =60° .

3sin 75° 6+ 2 由正弦定理得,BC= sin 60° = 2 (千米). 在△ABC 中,由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2AC· BCcos∠BCA, 6+ 2 ? 6+ 2?2 ? -2 3· 即 AB2=( 3)2+? =5. 2 cos 75° ? 2 ? ∴AB= 5 (千米). 所以两目标 A、B 间的距离为 5千米. 10.(12 分)(2011· 广州二测)如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60° 方向的 B 处, 且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向 航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 小时 追上,此时到达 C 处.

(1)求渔船甲的速度; (2)求 sin α 的值. 解 (1)依题意知,∠BAC=120° ,AB=12(海里),AC=10×2=20(海里),∠BCA =α, 在△ABC 中,由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2AB· cos∠BAC AC· =122+202-2×12×20×cos 120° =784. 解得 BC=28(海里). BC 所以渔船甲的速度为 2 =14 海里/时. (2)在△ABC 中, 因为 AB=12(海里), ∠BAC=120° BC=28(海里), , ∠BCA=α, AB BC 由正弦定理,得sin α=sin 120° . 3 12× 2 ABsin 120° 3 3 即 sin α= = 28 = 14 . BC

B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到 12 级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干 被台风吹断后,折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角,树干底部 与树尖着地处相距 20 米,则折断点与树干底部的距离是( ).

20 6 A. 3 米

B.10 6米

10 6 C. 3 米

D.20 2米

解析 如图所示,设树干底部为 O,树尖着地处为 B,折断点为 A,则∠ABO= AO 20 45° ,∠AOB=75° ,∴∠OAB=60° .由正弦定理知,sin 45° sin 60° = , 20 6 ∴AO= 3 (米). 答案 A 2.(2011· 贵阳模拟)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度 为海拔 18 km,速度为 1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为 30° ,经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75° ,则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( ).

A.11.4 B.6.6 C.6.5 D.5.6 1 50 000 解析 AB=1 000×1 000×60= 3 (m), AB 50 000 ∴BC=sin 45°sin 30° · = (m). 3 2 ∴航线离山顶 h= 50 000 ×sin 75° ≈11.4 (km). 3 2

∴山高为 18-11.4=6.6 (km). 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.如图,在日本地震灾区的搜救现场,一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象,然后向右转 105° ,进行 10 m 到达 C 处发现另一生 命迹象,这时它向右转 135° 后继续前行回到出发点,那么 x=________.

解析 由题知,∠CBA=75° ,∠BCA=45° ,∴∠BAC=180° -75° -45° =60° ,

x 10 ∴sin 45° sin 60° = . 10 6 ∴x= 3 m. 答案 10 6 3 m

4.(2011· 合肥一检)如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位 角为北偏东 α 角,前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角,已知 该岛周围 n 海里范围内(包括边界)有暗礁,现该船继续东行,当 α 与 β 满足条件 ________时,该船没有触礁危险.

解析 BM=

由题可知,在△ABM 中,根据正弦定理得

BM m = ,解得 sin?90° -α? sin?α-β?

mcos α mcos αcos β , 要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90° -β)= >n, sin?α-β? sin?α-β?

所以当 α 与 β 的关系满足 mcos αcos β>nsin(α-β)时,该船没有触礁危险. 答案 mcos αcos β>nsin(α-β) 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2010· 陕西)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两 个观测点.现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救 的 信号,位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营 救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

解 由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° ,

DB AB 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB ∴DB= AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· 45° sin = sin 105° sin∠ADB

5?3+ 3?· 45° sin = sin 45° 60° cos +cos 45° 60° sin 5 3? 3+1? = =10 3(海里). 3+1 2

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° BC=20 3(海里), , 在△DBC 中,由余弦定理得 1 CD2=BD2+BC2-2BD· cos∠DBC=300+1 200-2×10 3×20 3×2=900, BC· 30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t=30=1(小时). 所以,救援船到达 D 点需要 1 小时. 6. (★)(12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 在 小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正 以 30 海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里 /时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时,试设计航行方案(即确定航行 方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式;第(2)问建立速度与时间

的函数关系式. 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 20· 30t· cos?90° -30° ? = 900t2-600t+400= ? 1? 900?t-3?2+300. ? ?

1 故当 t=3时,Smin=10 3(海里),

10 3 此时 v= 1 =30 3(海里/时). 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在 B 处相遇,则 v2t2=400+900t2-2· 30t· 20· cos(90° -30° ), 600 400 600 400 2 3 故 v2=900- t + t2 ,∵0<v≤30,∴900- t + t2 ≤900,即t2- t ≤0,解 2 得 t≥3. 2 又 t= 时,v=30 海里/时. 3 2 故 v=30 海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于3. 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20 海里,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30° 航行速度为 30 海里/时, , 小艇能以最短时间与轮船相遇. 【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式,利用函数的 有关知识解决问题,充分体现了函数与方程思想的重要性.

A级

基础达标演练

(时间:40 分钟

满分:60 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( ).

→ → A.AB=DC → → → B.AD+AB=AC → C.AB-A→=BD D → → → D.AD+CB=0 → → → → 解析 AB-AD=DB=-BD. 答案 C 2.(2011· 皖南八校联考)对于非零向量 a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 若 a+b=0,则 a=-b. ∴a∥b; 若 a∥b,则 a=λb,a+b=0 不一定成立. 答案 A → 则( 3. (2011· 宁波模拟)设 P 是△ABC 所在平面内的一点,→ +BA=2BP, BC → → → A.PA+PB=0 → → C.PB+PC=0 → → B.PC+PA=0 → → → D.PA+PB+PC=0 ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ).

→ → → → 解析 如图,根据向量加法的几何意义,BC+BA=2BP?P 是 AC 的中点,∴PA

→ +PC=0. 答案 B → CD 1 → 4. (2011· 厦门质检)在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, → =2DB,→ =3CA 若AD → +λCB,则 λ=( 2 A.3 1 B.3 ). 1 C.-3 2 D.-3

→ → → → → → 2→ 解析 由AD=2DB,得CD=CA+AD=CA+3AB → 2 → → 1→ 2→ =CA+3(CB-CA)=3CA+3CB, 2 → 1→ → 结合CD=3CA+λCB,知 λ=3. 答案 A → → → 5.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形 ABCD 的形状是( A.矩形 C.梯形 ). B.平行四边形 D.以上都不对

→ → → → → → → 解析 由已知AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC.∴AD∥BC,又 → → AB与CD不平行, ∴四边形 ABCD 是梯形. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → → → 6.在?ABCD 中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M 为 BC 的中点,则 → MN=________.(用 a,b 表示) 解析 1 → → → → → → 3 由AN=3NC得 4AN=3 AC=3(a+b),AM=a+2b,所以MN=4(a+b)-

1 ? 1 1 ? ?a+2b?=- a+ b. 4 4 ? ?

1 1 答案 -4a+4b 7.(2012· 湖州模拟)给出下列命题: → → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量; → → ⑤向量AB与向量CD是共线向量,则点 A、B、C、D 必在同一条直线上. 其中不正确的个数为________. → → 解析 ①中,∵向量AB与BA为相反向量, ∴它们的长度相等,此命题正确. ②中若 a 或 b 为零向量, 则满足 a 与 b 平行, a 与 b 的方向不一定相同或相反, 但 ∴此命题错误. ③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相 同,∴该命题正确. ④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误. → → ⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量, ∴若AB与CD是共线向量, A, C, 则 B, D 四点不一定在一条直线上,∴该命题错误. 答案 3 → → 8. 在平行四边形 ABCD 中, 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点. → =λAE+μAF, E 若AC 其中 λ,μ∈R,则 λ+μ=________. → → → 解析 AC=AB+AD, → 1→ → → 1 → → AE=2AB+AD,∴λAE=2λAB+λAD. ?→ ? 1 ? → → → 1 → ∴μAF → 1 → ∴AC → → ?1 AF=AB+2AD, → =μAB+2μAD, → =AB+AD=?2λ+μ?AB+?λ+2μ?AD, ? ? ? ?

?1λ+μ=1, ?2 则? 1 ?λ+2μ=1. ?

4 ∴λ+μ=3.

4 答案 3 三、解答题(共 23 分) → 2→ 9.(11 分)如图所示,△ABC 中,AD=3AB,DE∥BC 交 AC 于 E,AM 是 BC 边 → → → → → 上的中线,交 DE 于 N.设AB=a,AC=b,用 a,b 分别表示向量AE,BC,DE,

→ → → DN,AM,AN. → 2 → → 2 → 1 解 AE=3b,BC=b-a,DE=3(b-a),DN=3(b-a), → 1 → 1 AM=2(a+b),AN=3(a+b). 10.(12 分)设 a,b 是两个不共线的非零向量,若 a 与 b 起点相同,t∈R,t 为何 1 值时,a,tb,3(a+b)三向量的终点在一条直线上? 1 ? ? ?2 ? ? 1 ? 解 设 a-tb=λ?a-3?a+b??(λ∈R),化简整理得?3λ-1?a+?t-3λ?b=0, ? ? ? ? ? ? ∵a 与 b 不共线,∴由平面向量基本定理有

?2λ-1=0, ?3 ? λ ?t-3=0, ?

?λ=3, ? 2 ∴? 1 ?t=2. ?

1 1 故 t=2时,a,tb,3(a+b)的终点在一条直线上.

B级

综合创新备选

(时间:30 分钟

满分:40 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) → → → 1.(2010· 湖北)已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m,使得 → → → AB+AC=mAM成立,则 m=( ).

A.2

B.3

C.4

D.5

→ → → 解析 ∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心, → → → ∴AB+AC=3AM,∴m=3. 答案 B → → ? AB AC ? → → ?,λ∈ + 2.O 是△ABC 所在平面内的一定点,动点 P 满足OP=OA+λ? ?→ →|? ?|AB| |A C ? [0,+∞),则 P 点的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 B.内心 解析 C.重心 D.垂心 ).

→? →? ?→ ? → → = OA + λ ? AB + AC ? , 化 为 OP - OA = λ ? AB + AC ? , 即 AP = → → → → OP ?→ ? → → |? → |? ?|AB| |AC ? ?|A B | |AC ?

→ → → → ? A→ AC ? B → → ?.由于 AB 是AB上的单位向量 i, A C 是AC上的单位向量 j,所以 AB + λ? ? → →? → → → |AB| |AC| |AB| ?|A B | |AC|? → AC → + =i+j,由加法几何意义知,AP在∠BAC 的平分线上,选 B. → |AC| 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) → → → → 则△PBC 与△ABC 3. 在△ABC 所在的平面上有一点 P, 满足PA+PB+PC=AB, 的面积之比是________. → → → → → → → → → → → → 解析 因为PA+PB+PC=AB,所以PC=AB-PB-PA=AB+BP+AP=2 AP, 所以点 P 在边 CA 上,且是靠近点 A 一侧的三等分点,所以△PBC 和△ABC 的 2 面积之比为3. 2 答案 3 → → → → → 4. (★)若点 O 是△ABC 所在平面内的一点, 且满足|OB-OC|=|OB+OC-2OA|, 则△ABC 的形状为________. → → → → → → → → → 解析 (等价转化法)OB+OC-2OA=OB-OA+OC-OA=AB+AC, → → → → → OB-OC=CB=AB-AC,

→ → → → ∴|AB+AC|=|AB-AC|. 故 A,B,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形 【点评】 本题采用的是等价转化法,将△ABC 的三个顶点转化到相应矩形中, 从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论. 三、解答题(共 22 分) → → → 1→ → 1 → 5.(10 分)如图,以向量OA=a,OB=b 为边作?OADB,BM=3BC,CN=3CD,

→ → → 用 a,b 表示OM,ON,MN. 1 → → → → 1→ 1 解 ∵BA=OA-OB=a-b,BM= BA= a- b, 6 6 6

5 → → → 1 → ∴OM=OB+BM=6a+6b.又OD=a+b. → → 1→ 1→ 1→ 2→ 2 ∴ON=OC+3CD=2OD+6OD=3OD=3(a+b). 2 1 5 1 1 → → → 2 ∴MN=ON-OM=3a+3b-6a-6b=2a-6b. 5 2 1 → 1 → 2 → 1 即OM=6a+6b,ON=3a+3b,MN=2a-6b. → → → 6.(12 分)已知 O,A,B 三点不共线,且OP=mOA+nOB,(m,n∈R). (1)若 m+n=1,求证:A,P,B 三点共线; (2)若 A,P,B 三点共线,求证:m+n=1. 证明 (1)m,n∈R,且 m+n=1, → → → → → ∴OP=mOA+nOB=mOA+(1-m)OB, → → → → 即OP-OB=m(OA-OB). → → → ∴BP=mBA,而BA≠0,且 m∈R. → → → → 故BP与BA共线,又BP,BA有公共点 B. ∴A,P,B 三点共线.

→ → → → → (2)若 A,P,B 三点共线,则BP与BA共线,故存在实数 λ,使BP=λBA,∴OP- → → → OB=λ(OA-OB). → → → 即OP=λOA+(1-λ)OB. → → → 由OP=mOA+nOB. → → → → 故 mOA+nOB=λOA+(1-λ)OB. → → 又 O,A,B 不共线,∴OA,OB不共线. ?m=λ, 由平面向量基本定理得? ?n=1-λ. ∴m+n=1.

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 合肥二模)设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b=( A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) ).

解析 依题意得 a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3). 答案 A 2.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x2),则向量 a+b( A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析 由题意得 a+b=(x-x,1+x2)=(0,1+x2),易知 a+b 平行于 y 轴. 答案 C 3.(2011· 宁波十校联考)已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a +3b=( ). B.(-3,-6) D.(-5,-10) ).

A.(-2,-4) C.(-4,-8)

解析 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)?m=-4,从而 b=(-2,-4),那么 2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8). 答案 C → → 4.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD, 则顶点 D 的坐标为( 7? ? A.?2,2? ? ? C.(3,2) ). 1? ? B.?2,-2? ? ? D.(1,3)

→ → 解析 设 D(x,y),AD=(x,y-2),BC=(4,3), ?x=2, → → ? ?4=2x, 又BC=2AD,∴? ∴? 7 ?3=2?y-2?, ?y=2. ? 答案 A 5.(2011· 广东)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c, 则 λ=( 1 A.4 ). 1 B.2 C.1 D.2

故选 A.

解析 ∵a+λb=(1+λ,2),c=(3,4)且(a+λb)∥c, 1+λ 2 1 ∴ 3 =4,∴λ=2. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 北京)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3),若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. 解析 a-2b=( 3,3),∴3k-3=0,∴k=1. 答案 1 1 1 7.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则a+b的值为________. → → 解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以a+b=2. 1 答案 2

8.(2011· 湖南)设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 解析 设 a=λb(λ<0),则|a|=|λ||b|, |a| ∴|λ|=|b|,

又|b|= 5,|a|=2 5. ∴|λ|=2,∴λ=-2. ∴a=λb=-2(2,1)=(-4,-2). 答案 (-4,-2) 三、解答题(共 23 分) → → → → 1 1 9.(11 分)已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC=3AB,DA=-3BA,求点 C,D 的坐 → 标和CD的坐标. 解 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), → → DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6). → → → → 1 1 因为AC=3AB,DA=-3BA,所以有 ?x1+1=1, ?-1-x2=1, ? 和? ?y1-2=2, ?2-y2=2. ?x1=0, ?x2=-2, 解得? 和? ?y1=4, ?y2=0. → 所以点 C,D 的坐标分别是(0,4)、(-2,0),从而CD=(-2,-4). 10.(12 分)已知向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. 解 (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1), ?-m+4n=3, 所以? ?2m+n=2,

?m=5, ? 9 得? 8 ?n=9. ?

(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a),

16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=-13. B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.(2011· 湖北)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等 式|x|+|y|≤1,则 z 的取值范围为( A.[-2,2] C.[-3,2] ).

B.[-2,3] D.[-3,3]

解析 因为 a⊥b,所以 a· b=0,所以 2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1

?x-y≤1 ?x≥0,y<0?, 可转化为? -x+y≤1 ?x<0,y≥0?, ?-x-y≤1 ?x<0,y<0?,
x+y≤1

?x≥0,y≥0?,

由图可得其对应的可行域为边长为

2,以点(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形,结合图象可知当直线 2x+3y=z 过点(0,-1)时 z 有最小值-3,当过点(0,1)时 z 有最大值 3.所以 z 的 取值范围为[-3,3]. 答案 D m ? ? 2.(2012· 绍兴模拟)设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2 α)和 b=?m, 2 +sin α?,其中 ? ? λ λ,m,α 为实数.若 a=2b,则m的取值范围是( A.[-6,1] C.(-∞,1] B.[4,8] D.[-1,6] ).

?λ+2=2m, 解析 由 a=2b,得? 2 2 ?λ -cos α=m+2sin α. 由 λ2-m=cos2α+2sin α=2-(sin α-1)2,得 -2≤λ2-m≤2,又 λ=2m-2,

2 ?4m -9m+2≤0, ? 2 则-2≤4(m-1) -m≤2,∴ ?4m -9m+6≥0. 2

1 λ 2m-2 2 解得4≤m≤2,而m= m =2-m, λ 故-6≤m≤1,即选 A. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb. 又因为 a=e1+2e2, b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1 +(2m+n)e2. ?m-n=1, 由平面向量基本定理,得? ?2m+n=1, 2 答案 3 1 -3

?m=2, ? 3 所以? 1 ?n=-3. ?

4.(2011· 海南质检)在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD ∥BC.已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为________. 解析 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行,可以判断该四边形 ABCD 是 → → 平行四边形.设 D(x,y),则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得 (x,y)=(0,-2). 答案 (0,-2) 三、解答题(共 22 分) → → → 5.(10 分)已知向量OA=(3,4),OB=(6,-3),O C =(5-m,-3-m).若点 A, B,C 能构成三角形,求实数 m 满足的条件. → → → 解 ∵AB=OB-OA=(3,-7),

→ → → AC=OC-OA=(2-m,-7-m), → → 又 A,B,C 能构成三角形,故点 A,B,C 不共线,即AB,AC不共线, ∴3×(-7-m)-(-7)×(2-m)≠0, 7 7 得 m≠-10,故 m 应满足 m≠-10. → → → 6.(12 分)已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,求 (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明 理由. → → → 2 解 (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t=-3; ?1+3t<0, 1 若 P 在 y 轴上,只需 1+3t=0,∴t=-3;若 P 在第二象限,则? ?2+3t>0. 2 1 ∴-3<t<-3. → → → → (2)因为OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t).若 OABP 为平行四边形,则OA=PB,∵ ?3-3t=1, ? 无解.所以四边形 OABP 不能成为平行四边形. ?3-3t=2

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

?1 1? 1.(★)设向量 a=(1,0),b=?2,2?,则下列结论中正确的是( ? ? A.|a|=|b| C.a∥b 2 B.a· 2 b= D.a-b 与 b 垂直

).

解析 (筛选法)A 项,∵|a|=1, |b|= 2 ?1?2 ?1?2 ?2? +?2? = ,∴|a|≠|b|; 2 ? ? ? ?

1 1 1 B 项,a· b=1×2+0×2=2; 1 1 C 项,∵1×2-0×2≠0,∴a 不平行于 b; 1? 1? ?1 ?1 D 项,∵a-b=?2,-2?,(a-b)· ?2,-2?· b= ? ? ? ? ?1 1? ?2,2?=0,∴(a-b)⊥b. ? ? 答案 D 【点评】 本题采用了筛选法.数学选择题的解题本质就是去伪存真,舍弃不符合 题目要求的选项, 找到符合题意的正确结论.筛选法?又叫排除法?就是通过观察分 析或推理运算各项提供的信息或通过特例,对于错误的选项,逐一剔除,从而获 得正确的结论. → → 2.(2011· 武汉模拟)在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB· =( AC 3 A.-2 2 B.-3 2 C.3 3 D.2 ).

→ → → → → → → 1 1 2 2 解析 由于AB· =|AB||AC|cos∠BAC=2(|AB| +|AC| -|BC|2)=2×(9+4-10)= AC 3 2.

答案 D 3. (2011· 湖北)若向量 a=(1,2), b=(1, -1), 2a+b 与 a-b 的夹角等于( 则 π A.-4 π B.6 π C.4 3π D. 4 ).

解析 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3).在平面直 π 角坐标系中,根据图形得 2a+b 与 a-b 的夹角为4. 答案 C 4.(2011· 东北三校联考(二))已知|a|=6,|b|=3,a· b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 ). B.4 C.-2 D.2

解析 设 a 与 b 的夹角为 θ,∵a· 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的投 b a· b 2 影的乘积,而 cos θ=|a||b|=-3, ? 2? ∴|a|cos θ=6×?-3?=-4. ? ? 答案 A 5.(2011· 辽宁)若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b -c|的最大值为( A. 2-1 ). B.1 C. 2 D.2

解析 由已知条件, 向量 a, c 都是单位向量可以求出, 2=1, 2=1, 2=1, b, a b c 由 a· b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)· 2=1,因为|a+b-c|2=a2 c≥c +b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,所以有|a+b-c|2=3-2(a· c+b· c)≤1, 故|a+b-c|≤1. 答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 重庆)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则|2e1-e2|=________.
2 解析 依题意得(2e1-e2)2=4e2+e2-4e1·2=4+1-4×12×cos 60° e =3,故|2e1- 1

e2|= 3. 答案 3

7.(2011· 安徽)已知向量 a,b 满足(a+2b)· (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则 a

与 b 的夹角为________. 解析 由(a+2b)· (a-b)=-6,得 a2-2b2+a· b=-6,又|a|=1,|b|=2,所以 a· b =1, a· b 1 1 π 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 cos θ=|a||b|= =2,而 0≤θ≤π,所以 θ=3. 1×2 π 答案 3 8.(2011· 全国新课标)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a +b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. 解析 设 a 与 b 夹角为 θ,由题意知|a|=1,|b|=1,θ≠0 且 θ≠π.由 a+b 与向量 ka-b 垂直,得 (a+b)· (ka-b)=0,即 k|a|2+(k-1)|a||b|cos θ-|b|2=0,(k-1)(1+cos θ)=0. 又 1+cos θ≠0,∴k-1=0,k=1. 答案 1 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)设向量 a,b 满足|a|=|b|=1 及|3a-2b|= 7. (1)求 a,b 夹角的大小; (2)求|3a+b|的值. 解 (1)设 a 与 b 夹角为 θ,(3a-2b)2=7,9|a|2+4|b|2-12a· b=7,而|a|=|b|=1, 1 1 1 ∴a· 2,∴|a||b|cos θ=2,即 cos θ=2 b= π 又 θ∈[0,π],∴a,b 所成的角为3. (2)(3a+b)2=9|a|2+6a· b+|b|2=9+3+1=13, ∴|3a+b|= 13. → → → 10.(12 分)如图所示,AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3). → → (1)若BC∥DA,求 x 与 y 之间的关系式;

→ → (2)在(1)条件下,若AC⊥BD,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.

→ → → → → → 解 (1)∵AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),DA=-AD=(-x-4,2-y). → → → 又BC∥DA且BC=(x,y),∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① → → → → → → → → (2)由于AC=AB+BC=(x+6, y+1), =BC+CD=(x-2, BD y-3), 又AC⊥BD, → → ∴AC· =0. BD 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0, ∴y=3 或 y=-1. → → 故当 y=3 时,x=-6,此时AC=(0,4),BD=(-8,0), → → 1 ∴SABCD=2|AC|· |=16; |BD → → 当 y=-1 时,x=2,此时AC=(8,0),BD=(0,-4), → → 1 ∴SABCD=2|AC|· |=16. |BD

B级

综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1 1.(2012· 杭州模拟)已知非零向量 a、b 满足|a|= 3|b|,若函数 f(x)=3x3+|a|x2+ 2a· bx+1 在 x∈R 上有极值,则〈a,b〉的取值范围是( ).

π? ? A.?0,6? ? ? ?π π? C.?6,2? ? ?

π? ? B.?0,3? ? ? ?π ? D.?6,π? ? ?

1 解析 ∵f(x)=3x3+|a|x2+2a· bx+1 在 x∈R 上有极值, ∴f′(x)=0 有两不相等的 实根,∵f′(x)=x2+2|a|x+2a· b,∴x2+2|a|x+2a· b=0 有两个不相等的实根,∴ 1 a· b Δ=4|a|2-8a· b>0,即 a· 2|a|2,∵cos〈a,b〉=|a||b|,|a|= 3|b|,∴cos〈a, b< 1 2 2|a| 3 b〉<|a||b|= 2 ,∵0≤〈a,b〉≤π, π ∴6<〈a,b〉≤π. 答案 D 2.(2011· 北京东城 4 月抽检)如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数

量积中最大的是( → → A.P1P2· 1P3 P → → B.P1P2· 1P4 P → → C.P1P2· 1P5 P → → D.P1P2· 1P6 P

).

→ → → → 2π 解析 由于P1P2⊥P1P5,故其数量积是 0,可排除 C;P1P2与P1P6的夹角是 3 , → → → → 故其数量积小于零,可排除 D;设正六边形的边长是 a,则P1P2· 1P3=|P1P2||P1P3 P → → → → 3 2 |cos 30° 2a ,P1P2· 1P4=|P1P2||P1P4|cos 60° 2. = P =a 答案 A

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 2π 3.(2011· 江苏)已知 e1,e2 是夹角为 3 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2. 若 a· b=0,则实数 k 的值为________.
2 解析 由题意知:a· b=(e1-2e2)· 1+e2)=0,即 ke1+e1e2-2ke1e2-2e2=0,即 (ke 2

2π 2π 5 k+cos 3 -2kcos 3 -2=0, 化简可求得 k=4. 5 答案 4 4.(2011· 浙江)若平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|≤1,且以向量 a,b 为邻边的平 1 行四边形的面积为2,则 a 和 b 的夹角 θ 的取值范围是________. 1 1 1 解析 依题意有|a||b|sin θ=2, sin θ=2|b|, 即 由|b|≤1, sin θ≥2, 0≤θ≤π, 得 又 π 5π 故有6≤θ≤ 6 . ?π 5π? 答案 ?6, 6 ? ? ? 三、解答题(共 22 分) → → → → → 5.(10 分)已知平面上三点 A,B,C 满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,求AB· + BC → → → → BC· +CA· 的值. CA AB → → 解 由题意知△ABC 为直角三角形,AB⊥BC, → → 3 ∴AB· =0,cos∠BAC=5, BC 4 cos∠BCA=5, → → 4 ∴BC和CA夹角的余弦值为-5, → → 3 CA和AB夹角的余弦值为-5, → → → → → → ∴AB· +BC· +CA· BC CA AB

? 4? ? 3? =20×?-5?+15×?-5?=-25. ? ? ? ? 6.(★)(12 分)设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60° ,若向量 2t e1+7e2 与向量 e1+t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

思路分析 转化为(2te1+7e2)· 1+te2)<0 且 2te1+7e2≠λ(e1+te2)(λ<0). (e
2 解 由已知得 e1=4,e2=1,e1·2=2×1×cos 60° e =1. 2 2 ∴(2te1+7e2)· 1+te2)=2te2+(2t2+7)e1·2+7te2=2t2+15t+7. (e e 1

欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0. 1 得-7<t<- . 2 设 2t e1+7e2=λ(e1+t e2)(λ<0). ?2t=λ, ∴? ∴2t2=7. ?7=tλ. 14 ∴t=- 2 ,此时 λ=- 14. 14 即 t=- 2 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π. ∴夹角为钝角时,t 的取值范围是 ? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪?- ,-2? 2 ? ? 2 ? ? 【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分 重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转 化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转 化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.

A级

基础达标演练 满分:60 分)

(时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

→ → → 1.(2012· 武汉质检)已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若CB=λPA+PB,其中 λ ∈R,则点 P 一定在( A.△ABC 的内部 C.AB 边所在直线上 ). B.AC 边所在直线上 D.BC 边所在直线上

→ → → → → → 解析 由题意知:CB-PB=λPA,即CB+BP=λPA, → → → → ∴CP=λPA,即CP与PA共线,∴点 P 在 AC 边所在直线上. 答案 B → → → 2.△ABC 的三个内角成等差数列,且(AB+AC)· =0,则△ABC 一定是 BC ( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 B.非等腰直角三角形 D.钝角三角形 ).

解析 △ABC 中 BC 边的中线又是 BC 边的高,故△ABC 为等腰三角形,又 A, π B,C 成等差数列,故 B=3. 答案 C 3.(2011· 湖南十二校联考(二))设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A),若 m· n=1+cos(A+B),则 C=( π π 2π 5π A.6 B.3 C. 3 D. 6 解析 依题意得 3sin Acos B+ 3cos Asin B=1+cos(A+B), 3sin(A+B)=1+ cos(A+B), π? π? 1 π π 7π ? ? 3sin C+cos C=1,2sin?C+6?=1,sin?C+6?=2.又6<C+6< 6 , ? ? ? ? ).

π 5π 2π 因此 C+6= 6 ,C= 3 .

答案 C → → 4.(2011· 济南模拟)已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA· =x2,则点 PB P 的轨迹是( A.圆 ). B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

→ → 解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), → → ∴PA· =(-2-x,-y)· PB (3-x,-y) =(-2-x)(3-x)+y2=x2. 即 y2=x+6. 答案 D 5. (★)(2011· 洛阳模拟)如图所示, 已知点 G 是△ABC 的重心, G 作直线与 AB, 过 → → → → x· y AC 两边分别交于 M,N 两点,且AM=xAB,AN=yAC,则 的值为( x+y ).

A.3

1 B.3

C.2

1 D.2 x· 1 y = . x+y 3

解析 (特例法)利用等边三角形, 过重心作平行于底边 BC 的直线, 易得 答案 B

【点评】 本题采用特殊点法,因为过点 G 的直线有无数条,其中包含平行于底 边 BC 的直线,所以\f(xy,x+y)的值不随 M、N 的位置变化而变化. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → 6.在菱形 ABCD 中,若 AC=4,则CA· =________. AB 解析 设∠CAB=θ,AB=BC=a, 由余弦定理得:a2=16+a2-8acos θ,∴acos θ=2. → → ∴CA· =4×a×cos(π-θ)=-4acos θ=-8. CB 答案 -8

7.已知向量 m=(cos ωx+sin ωx, 3cos ωx),n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx),其 中 ω>0.设函数 f(x)=m· 且函数 f(x)的最小正周期为 π, ω 的值为________. n, 则 解析 ∵m=(cos ωx+sin ωx, n=(cos ωx-sin ωx,2sin ωx), ∴f(x)=m· n=cos2ωx-sin2ωx+2 3cos ωxsin ωx π? ? =cos 2ωx+ 3sin 2ωx=2sin?2ωx+6?. ? ? π? ? ∴f(x)=2sin?2ωx+6?. ? ? 2π ∵函数 f(x)的最小正周期为 π,∴T=2ω=π,ω=1. 答案 1 π 8. (2011· 南京二模)已知平面向量 a, 满足|a|=1, b |b|=2, 与 b 的夹角为3.以 a, a b 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 ________. π 解析 ∵|a+b|2-|a-b|2=4a· b=4|a||b|cos3=4>0, ∴|a+b|>|a-b|,又|a-b|2=a2+b2-2a· b=3,∴|a-b|= 3. 答案 3 3cos ωx),

三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知向量 a=(sin θ, (1)若 a⊥b,求 θ 的值; (2)求|a+b|的最大值. 解 (1)∵a⊥b,∴a· b=sin θ+ 3cos θ=0. π ? π π? 即 tan θ=- 3,又 θ∈?-2,2?,故 θ=-3. ? ? ? π? (2)|a+b|2=(sin θ+1)2+( 3+cos θ)2=5+4sin?θ+3?, ? ? π 故当 θ=6时,|a+b|2 的最大值为 9,故|a+b|的最大值为 3. 10.(12 分)(2011· 杭州模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 ? π π? 3),b=(1,cos θ),θ∈?-2,2?. ? ?

→ → → → AB· =BA· =k(k∈R). AC BC (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值. → → → → 解 (1)∵AB· =cbcos A,BA· =cacos B, AC BC → → → → 又AB· =BA· ,∴bccos A=accos B, AC BC ∴sin Bcos A=sin Acos B, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,∴sin(A-B)=0, ∵-π<A-B<π,∴A=B,即△ABC 为等腰三角形. → → b2+c2-a2 c2 (2)由(1)知,AB· =bccos A=bc· 2bc AC = 2 =k, ∵c= 2,∴k=1. B级 综合创新备选 满分:40 分)

(时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

→ → → 1.(2011· 厦门二检)已知点 O,N,P 在△ABC 所在的平面内,且|OA|=|OB|=|OC → → → → → → → → → |,NA+NB+NC=0,PA· =PB· =PC· ,则点 O,N,P 依次是△ABC 的 PB PC PA ( A.重心、外心、垂心 C.外心、重心、垂心 B.重心、外心、内心 D.外心、重心、内心 ).

→ → → 解析 因为|OA|=|OB|=|OC|,所以点 O 到三角形的三个顶点的距离相等,所以 → → → → → → → O 为三角形 ABC 的外心;由NA+NB+NC=0,得NA+NB=-NC=CN,由中线 的性质可知点 N 在三角形 AB 边的中线上, 同理可得点 N 在其他边的中线上, 所 → → → → → → → → → → 以点 N 为三角形 ABC 的重心;由PA· =PB· =PC· 得,PA· -PB· = PB PC PA PB PC → → PB· =0,则点 P 在 AC 边的垂线上,同理可得点 P 在其他边的垂线上,所以 CA

点 P 为三角形 ABC 的垂心. 答案 C 2.设向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中 0<α<β<π,若|2a+b|=|a -2b|,则 β-α=( π A.2 ). π C.4 π D.-4

π B.-2

解析 由|2a+b|=|a-2b|得 3|a|2-3|b|2+8a· b=0,而|a|=|b|=1,故 a· b=0,即 π cos(α-β)=0,由于 0<α<β<π,故-π<α-β<0,故 β-α=2. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.已知向量 a=( 3sin θ,1),b=(1,cos θ),则 a· 的最大值为________. b ? π? 解析 a· b= 3sin θ+cos θ=2sin?θ+6?≤2. ? ? 答案 2 → → 1 4. (★)(2011· 太原模拟)若等边△ABC 的边长为 2 3, 平面内一点 M 满足CM=6CB → → → 2 +3CA,则MA· =________. MB 解析 (构造法)∵等边三角形的边长为 2 3, ∴如图建立直角坐标系, → ∴CB=( 3,-3),

→ CA=(- 3,-3), → → → 1 2 ? 3 5? ∴CM=6CB+3CA=?- ,- ?. 2? ? 2 → → → ∴OM=OC+CM

? 3 5? ? 3 1? =(0,3)+?- ,- ?=?- , ?. 2 2? ? 2 2? ? → → ? 3 1? ?3 3 1? ? ∴MA· =?- ,- ?· MB ,-2?=-2. 2? ? 2 ? 2 ? 答案 -2 【点评】 本题构造直角坐标系,通过坐标运算容易理解和运算. 三、解答题(共 22 分) 5. 分)(2011· (10 淄博模拟)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(- 1,0). π (1)若 x=6,求向量 a 与 c 的夹角; ?π 9π? (2)当 x∈?2, 8 ?时,求函数 f(x)=2a· b+1 的最大值,并求此时 x 的值. ? ? π ? 3 1? 解 (1)设 a 与 c 夹角为 θ,当 x=6时,a=? , ?, ? 2 2? a· c cos θ=|a||c|= 3 1 2 ×?-1?+2×0 ? 3?2 ?1?2 ? ? +?2? × ?-1?2+02 ?2? ? ?

3 5π =- 2 .∵θ∈[0,π],∴θ= 6 . (2)f(x)=2a· b+1=2(-cos2x+sin xcos x)+1=2sin xcos x-(2cos2x-1)=sin 2x- π? ? cos 2x= 2sin?2x-4?, ? ? π ?3π ?π 9π? ? ∵x∈?2, 8 ?,∴2x-4∈? 4 ,2π?, ? ? ? ? π? ? π 3π 2? ? 故 sin?2x-4?∈?-1, ?,∴当 2x-4= 4 , ? ? ? 2? π 即 x=2时,f(x)max=1. x ? ? 6.(12 分)(2011· 南通模拟)已知向量 m=? 3sin 4,1?, ? ? x x? ? n=?cos 4,cos2 4?. ? ? ?2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? ?

(2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a -c)cos B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围. x x x 解 (1)m· n= 3sin 4· 4+cos2 4 cos x 1+cos 2 3 x = 2 sin 2+ =sin 2 ? x π? 1 ∵m· n=1,∴sin?2+6?=2. ? ? ? π? ? x π? 1 cos?x+3?=1-2sin2?2+6?= , ? ? ? ? 2 1 ?2π ? ? π? cos? 3 -x?=-cos?x+3?=-2. ? ? ? ? (2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B=2,∵0<B<π,∴B=3,∴0<A< 3 . π A π π ?A π? ?1 ? ∴6< 2 +6<2,sin? 2 +6?∈?2,1?. ? ? ? ? ?x π? 1 ?A π? 1 又∵f(x)=sin? + ?+ .∴f(A)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2 ?2 6 ? 2 ? x π? 1 ?2+6?+ , ? ? 2


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