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2006年高考第一轮复习数学:9.5 两个平面垂直


9.5 两个平面垂直 ●知识梳理 1.两个平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相 垂直. 2.两个平面垂直的判定定理: 如果一个平面经过另一个平面的垂线, 那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么过其中一个平面内的一点作它的 交线的垂线与另一个平面垂直. ●点击双基 1.在三棱锥 A—BCD 中,若 AD⊥BC,

BD⊥AD,△BCD 是锐角三角形,那么必有 A.平面 ABD⊥平面 ADC B.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ADC⊥平面 BCD D.平面 ABC⊥平面 BCD 解析:由 AD⊥BC,BD⊥AD ? AD⊥平面 BCD,面 AD ? 平面 ADC, ∴平面 ADC⊥平面 BCD. 答案:C 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是 A.a B. 2a C. 2 a 2 D. 3a 解析:取 A1C 的中点 O,连结 AO. ∵AC=AA1,∴AO⊥A1C. 又该三棱柱是直三棱柱, ∴平面 A1C⊥平面 ABC. 又∵BC⊥AC,∴BC⊥AO. 因此 AO⊥平面 A1BC,即 A1O 等于 A 到平面 ABC 的距离.解得 A1O= 2 a. 2 答案:C 3.设两个平面α 、β ,直线 l,下列三个条件:①l⊥α ;②l∥β ;③α ⊥β .若以其中 两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.0 解析: 答案:C 4.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,截面 A1BD 与底面 ABCD 所成的二面角 A1—BD—A 的正切值为_____________. 答案: 2 5.夹在互相垂直的两个平面之间长为 2a 的线段和这两个平面所成的角分别为 45°和 30 °,过这条线段的两个端点分别向这两个平面的交线作垂线,则两垂足间的距离为 _____________. 解析:如下图,平面α ⊥β ,α ∩β =l,A∈α ,B∈β ,AB=2a. AC⊥l 于点 C,BD⊥l 于点 D, 则 CD 即为所求. ∵α ⊥β ,AC⊥l,∴AC⊥β ,∠ABC 就是 AB 与平面β 所成的角. 故∠ABC=30°,故 AC=a. 同理,在 Rt△ADB 中求得 AD= 2 a. 在 Rt△ACD,CD= 2a 2 ? a 2 =a. ? A D B ? C l 答案:a ●典例剖析 【例 1】 如下图, 过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、 SB、 SC, 且∠ASB=∠ASC=60°, ∠BSC=90°,求证:平面 ABC⊥平面 BSC. A B O S C 剖析:本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路,即先证明其中一个平面 经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线,故作辅助线.根据已知条件 的特点, 取 BC 的中点 O, 连结 AO、 SO, 既可证明 AO⊥平面 BSC, 又可证明 SO⊥平面 ABC. 另一条是从定义出发的思路,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,注意到∠AOS 是 二面角 A—BC—S 的平面角,转化为证明∠AOS 是直角. 证法一:取 BC 的中点 O,连结 AO、SO. ∵AS=BS=CS,SO⊥BC, 又∵∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC, 从而 AO⊥BC. 设 AS=a,又∠BSC=90°,则 SO= 又 AO= AB 2 ?

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