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26.1.2 二次函数y=ax^2+k的图象与性质课件(21张ppt)


y ? ax ? k的图象与性质
2

y=ax2 (a≠0) 图 象
O

a>0 y
O

a<0 y x

x

开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 增 当x<0

时, y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。 减 当x>0时, 当x>0时, y随着x的增大而减小。 性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.

1 2 试研究二次函数y ? x ? 2x ? 3 的图象。 2

将函数关系式配方,得 1 2 y ? (x ? 2) ? 1 2

将函数关系式配方,得 1 2 y ? (x ? 2) ? 1 2
1 2 我们设法寻求它与函数 y ? x 的联系。 2
我们先来看几个简单的例子。

在同一直角坐标系中,
1 2 1 2 画出函数 y ? x 与 y ? x ? 1的图象。 2 2

列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … …

1 2 … y? x 2 1 2 y ? x ?1 … 2

列表
x … -3 -2 -1 2 0 0 1 2 2 3 … … …

1 2 … 9 y? x 2 2 1 2 y ? x ?1 … 2

1 2

1 2

9 2

列表
x … -3 -2 -1 0 0 1 1 2 3 …

1 2 … 9 y? x 2 2 2 1 2 11 … y ? x ?1 3 2 2
这两个函数有什么 不一样的地方?

1 2 3 2

1 2 3 2

9 … 2 2 11 … 3 2

x
1 y ? x2 ?1 2

… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2

0

1
1 2 3 2

2

3
9 2
11 2

… … …

1 2 y? x 2

2
3

1 2 3 2

0
1

2
3

描点

x
1 y ? x2 ?1 2

… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2

0

1
1 2 3 2

2

3
9 2
11 2

… … …

1 2 y? x 2

2
3

1 2 3 2

0
1

2
3

描点

x
1 y ? x2 ?1 2

… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2

0

1
1 2 3 2

2

3
9 2
11 2

… … …

1 2 y? x 2

2
3

1 2 3 2

0
1

2
3

连线
相同

1 2 y ? x ?1 2

1 2 y? x 2

你会比较这两 个函数吗?

这两个函数的图 象的形状相同吗?

x
1 y ? x2 ?1 2

… -3 -2 -1 … …
9 2 11 2

0

1

2

3

… … …

1 2 y? x 2

2
3

1 2 3 2

0
1

1 9 2 2 2 3 11 3 2 2 1 2 y ? x ?1 2

函数y=

的图象沿y轴向上 平移1个单位长度 得到.

1 2 x +1的 2 1 图象可由y= 2 x2

1 2 y? x 2
函数y= x2+1的图象与

1 2 y= x 的图象的位置有 2 什么关系?

1 2

函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到. 函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.

y=-x2+3

y=-x2

图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?

y=-x2-2

函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状 相同 ,只是位置不同; 当k>0时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的 上 个单位得到,当 k 图象向 平移 k<0 时,函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象 |k| 向 平移 下个单位得到。 上加下减

(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到;y=4x2-11的图象 可由 y=4x2的图象向下 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象;将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 (3)将抛物线y=4x2向上平移3个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。

10

y
8

y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5

4

y
2

6

y=-x2+3
5

4

-10

-5

O
-2

x

10

2

y=-x2 y=-x2-2

-4
-10 -5

O
-2

x

10

-6

-8

当a>0时,抛物线y=ax2+k的开口 向上 ,对称轴 是 y轴 ,顶点坐标是(0,k),在对称轴的左侧,y随x的 增大而 减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大, 当x= 0 时,函数取得最 小 值,这个值等于 k ; 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下,对称轴 是y轴 ,顶点坐标是(0,k),在对称轴的左侧,y随x的 增大而 增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小, 当x= 0 时,函数取得最 大 值,这个值等于 k 。

(4)抛物线y=-3x2+5的开口 下 ,对称轴是 y轴 , 顶点坐标是 (0,5) ,在对称轴的左侧,y随x的增大 而 增大 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小 , 当x= 0 时,取得最 大 值,这个值等于 5 。 (5)抛物线y=7x2-3的开口 上 ,对称轴是 y轴 , 顶点坐标是 (0,-3) ,在对称轴的左侧,y随x的增大 而 减小,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大, 当x= 0 时,取得最 小 值,这个值等于 -3 。

y=ax2+k (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值

a>0 向上 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而减小。 当x>0时, y随着x的增大而增大。

a<0 向下 (0 ,k) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时, y随着x的增大而减小。

x=0时,y最小=k

x=0时,y最大=k

抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移得到.

3.试说出函数 y ? ax ? k 的图象的开口方向、
2

对称轴和顶点坐标, 并填写下表。
开口方向 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0 , k) (0 , k)

y ? ax ? k
2

a>0

向上 向下

a<0


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