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直线与平面垂直习题课


【例1】 如图,在四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD , AC⊥CD , ∠ ABC = 60° , PA = AB = BC , E 是 PC 的 中 点.证明: (1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面ABE;

用定义或判定定理 证明线面垂直

【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中,因为PA⊥ 底面ABCD,CD 平面ABCD,故PA⊥CD. 又因为 AC⊥CD , PA∩AC = A ,所以 CD⊥平 面PAC. 而AE 平面PAC,所以CD⊥AE. (2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,得△ABC 是等边三角形,故AC=PA.

通过计算证明线 线垂直
【例3】 如 图 , 在 正 方 体 ABCD - A1B1C1D1 中, E 是 BB1 的中点, O 是 底 面 正 方 形 ABCD 的 中 心.求证:OE⊥平面ACD1.

【证明】如图,连结AE,CE,D1O,D1B1,D1E. 设正方体DB1的棱长为a.易证AE=CE. 又因为AO=OC,所以OE ? AC. 在正方体DB1中易求出: 6 D1O= DD ? DO = a, 2 3 2 2 OE= BE1 ? OB = a, 2 3 2 2 D1E= D1B1 ? B1E = a,所以D1O 2+OE 2=D1E 2, 2 所以D1O ? OE.
2 1 2

因为D1O

AC=O,D1O,AC ? 平面ACD1,

所以OE ? 平面ACD1.

【变式练习3】 直棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠ BAD =∠ ADC = 90°, AB = 2AD = 2CD = 2. 求 证 : AC⊥ 平 面 BB1C1C.

【证明】直棱柱ABCD-A1B1C1D1中, BB1 ? 平面ABCD,所以BB1 ? AC. 又因为?BAD=?ADC=90?,AB =2AD=2CD=2, 所以AC= 2,?CAB=45?, 所以BC= 2,所以BC ? AC. 而BB1 BC=B,BB1,BC ? 平面BB1C1C. 所以AC ? 平面BB1C1C.

4.在几何体ABCDE中,?BAC= ,DC ? 平面 2 ABC,EB ? 平面ABC,F 是BC的中点,AB=AC. 求证: ?1? DC 平面ABE;

?

? 2 ? AF ? 平面BCDE.

5.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、 N分别是AB、PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°, 求证:MN⊥平面PCD.

【证明】(1)连结AC,取其 中点O,连结NO、MO,并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点, 所以NO为△PAC的中位线,所以NO∥PA. 而 PA⊥平面 ABCD ,所以 NO⊥平面 ABCD ,所 以NO⊥CD. 又四边形 ABCD 是矩形, M 为 AB 的中点, O 为 AC的中点,所以MO⊥CD. 而 MO∩NO = O , 所以 CD⊥平面 MNO ,所 以 CD⊥MN.

(2)连结NR, 则∠NRM=∠PDA=45°. 又O为MR的中点, 且NO⊥MR, 所以△ MNR 为等腰三角形且∠ NRM = ∠NMR=45°, 所以∠MNR=90°,所以MN⊥NR. 又 MN⊥CD , 且 NR∩CD = R , 所 以 MN⊥平面PCD.

3 . (2010· 5 月苏南六校高三联合测试 ) 如图所示, 在四棱锥 P - ABCD 中,∠ ABC =∠ ACD = 90°, ∠ BAC =∠ CAD = 60°, PA⊥平面 ABCD , E 为 PD的中点,PA=2AB=2. (1)求四棱锥P-ABCD的体积V; (2)若F为PC的中点, 求证:PC⊥平面AEF;

【解析】 ?1? 在Rt ABC中,AB=1, ?BAC=60?, 所以BC= 3,AC=2. 在Rt ACD中,AC=2,?CAD=60?, 所以CD=2 3,AD=4. 1 1 所以S ABCD= AB· BC+ AC · CD 2 2 1 1 5 = ? 1 ? 3 ? ? 2 ? 2 3= 3. 2 2 2 1 5 5 则V = ? 3 ? 2= 3. 3 2 3

(2) 证明:因为 PA = CA , F 为 PC 的中点,所 以AF⊥PC. 因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD. 因为AC⊥CD,PA∩AC=A, 所以CD⊥平面PAC.所以CD⊥PC. 因为E为PD中点,F为PC中点, 所以EF∥CD.则EF⊥PC. 因为AF∩EF=F,所以PC⊥平面AEF.

? 3? 证明:取AD中点M ,连结EM ,CM .
则EM / / PA. 因为EM ? 平面PAB,PA ? 平面PAB, 所以EM / / 平面PAB. 在Rt ACD中,?CAD=60?,AC=AM =2, 所以?ACM=60?.而?BAC=60?,所以MC / / AB. 因为MC ? 平面PAB,AB ? 平面PAB, 所以MC / / 平面PAB.因为EM 所以平面EMC / / 平面PAB. 因为EC ? 平面EMC,所以EC / / 平面PAB. MC=M ,


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