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握手问题


握手问题(单项问题)
例 1. n 个人见面,任意两个人都要握一次手,问总共握多少次手? 分析:一个人握手 (n ? 1) 次,n 个人握手 n(n ? 1) 次,但甲与乙握手同乙与甲握手应算 作一次,故总共握手

n(n ? 1) 次。握手时,如果我和你握手了一次手,你就无需再来和我握 2

手。 习题训练 1、 参加一次联欢会

的每两人都握了一次手,所有人共握手 10 次,有多少人参加聚会? 解:设有 x 个人参加聚会,每个人要握手(x-1)次,但每人都重复了一次。 根据题意得

x ( x ? 1) ? 10 , 2

解得 X=5 或 X=-4(不合题意,舍去) 答:有 5 人参加聚会。 2、线段 AB 上有 n 个点(含端点) ,问线段 AB 上共有多少条线段? 分析:一个点与其它的点可以组成 (n ? 1) 条线段,n 点可以与其它点组成 n(n ? 1) 条线 段,但 A 与 B 组成的线段与 B 与 A 给成的线段应算为一次,故一共有

n(n ? 1) 条线段。 2

3、 要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场) ,计划安排 15 场比 赛,应邀请多少个球队参加比赛? 分析:一个球队和其它球队比赛,要进行 (n ? 1) 场,那么 n 个球队要进行 n(n ? 1) 场,但 A 队与 B 队比赛和 B 队与 A 队的比赛算为一场。故

n(n ? 1) =15 2

4、参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同,所有公司签订了 45 份合同, 共有多少家公司参加商品交易会? 5、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛,共要比赛 90 场,共有多少个队参加比 赛? 分析:同 3 题一样,这题要求两队之间都要进行两次比赛,所以总场数为 2 倍的

n(n ? 1) 。 2

6. 一个 n 边形, 共有多少条对角线?n 边形的所有对角线与它的各边共形成多少个三角形? 分析:从 n 边形的一个顶点出发有 (n ? 3) 条对角线,n 个顶点共有 n (n ? 3) 条对角线, 但有重复的情况,故有

n(n ? 3) 条对角线;n 边形的所有对角线与它的各边共有 2

n(n ? 3) n(n ? 1) 条线段,任意一条线段与另外 (n ? 2) 个顶点形成 (n ? 2) 个三角形, ?n? 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) 条线段形成 个三角形,但对于一个 ?ABC 来说,重复算了三次,故 2 2 n(n ? 1)( n ? 2) 共形成 个三角形。 6

赠卡问题(双项问题)
例 1. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其它同学各送一张表示留念, 全班共送了 1035

张照片,那么全班有多少位学生? 分析:送照片的时候,你送我一张,我也要送你一张。是双项问题。一个人送 (n ? 1) 张,n 个人既全班送 n(n ? 1) 张, n(n ? 1) =1035 1、元旦联欢晚会,某班同学打算每位同学向本班的其他同学赠送自己制作的小礼物 1 件, 全班制作的小礼物共有 462 件,求该班共有多少学生? 2、某中学足球联赛,实行主客场赛制(既每队都作为主场与他对比赛一次)共要进行 132 场比赛,问有几支参赛队?若改为单循环赛(既每队只与他对比赛一次) ,进行 66 场比赛, 问有几支参赛队? 分析:第一问是双项问题,就是 A 队邀请与 B 队比赛一场,B 队也要邀请与 A 队比赛一场, 其中一个队要参加 (n ? 1) 场,有 n 个队,所以总共要进行 n(n ? 1) =132


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