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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第3章三角恒等变换章末复习课


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题型一 例1

灵活变角的思想在三角

恒等变换中的应用 4 1 已知 α、β 为锐角,cos α= ,tan(α-β)=- ,求 cos β 5 3

的值.
4 3 3 解 ∵α 是锐角,cos α=5,∴sin α=5,tan α=4. tan α-tan?α-β? 13 ∴tan β=tan[α-(α-β)]= = . 1+tan αtan?α-β? 9
9 10 ∵β 是锐角,故 cos β= 50 .

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给值求值的重要思想是沟通已知式与待求式之间的联

系,常常在进行角的变换时,要注意各角之间的和、差、倍、 α 1 半的关系,如 α=2·,α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α= [(α 2 2 1 +β)+(α-β)],β= [(α+β)-(α-β)]等. 2

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1 1 跟踪训练 1 已知 tan(α-β)= ,tan β=- ,且 α,β∈(0, 2 7 π),求 2α-β 的值.
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tan?α-β?+tan β 1 解 tan α=tan[(α-β)+β]= = >0. 1-tan?α-β?tan β 3 π 而 α∈(0,π),故 α∈(0,2). 1 π ∵tan β=-7,0<β<π,∴2<β<π. 1 π ∴-π<α-β<0.而 tan(α-β)=2>0,∴-π<α-β<-2. ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).
∵tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]
tan α+tan?α-β? 3π = =1,∴2α-β=- 4 . 1-tan αtan?α-β?

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题型二 例2 整体换元的思想在三角恒等变换中的应用 求函数 y=sin x+sin 2x-cos x(x∈R)的值域.

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解 令 sin x-cos x=t, ? π? 则由 t= 2sin?x-4?知 t∈[- 2, 2], ? ?

又 sin 2x=1-(sin x-cos x)2=1-t2. ∴y=(sin x-cos x)+sin 2x=t+1-t2
? 1?2 5 =-?t-2? +4. ? ?

1 5 当 t=2时,ymax=4; 当 t=- 2时,ymin=- 2-1. ? 5? ∴函数的值域为?- 2-1,4?. ? ?

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在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为

一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设出 来(如例 2 令 sin x-cos x=t).

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跟踪训练 2 求函数 f(x)=sin x+cos x+sin x· x,x∈R 的 cos 最值及取到最值时 x 的值.

解 设 sin x+cos x=t,
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则 t=sin x+cos x= ∴t∈[- 2, 2],

? 2? ? ?

? ? π? 2 2 ? sin x+ cos x?= 2sin?x+4?, 2 2 ? ? ?

?sin x+cos x?2-1 t2-1 ∴sin x· x= cos = 2 . 2
∴f(x)=sin x+cos x+sin x· x cos t2-1 1 即 g(t)=t+ 2 =2(t+1)2-1,t∈[- 2, 2].

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当 t=-1,即 sin x+cos x=-1 时,f(x)min=-1.

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2 此时,由 2 ,π 解得 x=2kπ-π 或 x=2kπ-2,k∈Z.

? π? sin?x+4?=- ? ?

1 当 t= 2,即 sin x+cos x= 2时,f(x)max= 2+2. ? ? π? π? 此时,由 2sin?x+4?= 2,sin?x+4?=1.
? ? ? ?

π 解得 x=2kπ+ ,k∈Z. 4 π 综上,当 x=2kπ-π 或 x=2kπ-2,k∈Z 时,f(x)取得最小值,
π f(x)min=-1;当 x=2kπ+4,k∈Z 时,f(x)取得最大值,f(x)max 1 = 2+ . 2

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题型三 转化与化归的思想在三角恒等变换中的应用 3 x 2sin x 例 3 求证:tan x-tan = . 2 2 cos x+cos 2x 3 x sin 2x sin 2 3 x 证明 ∵左边=tan 2x-tan2= 3 - x cos x cos 2 2 3 x x 3 sin 2xcos 2-sin 2cos 2x = x 3 cos 2cos 2x sin x 2sin x =1 = cos x+cos 2x ?cos 2x+cos x? 2
=右边. 3 x 2sin x ∴tan x-tan = . 2 2 cos x+cos 2x

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三角函数式的化简就是通过恒等变换化繁为简.其中

切化弦、异名化同名、异角化同角等方法均为转化与化归思 想的运用;三角恒等式的证明就是消除等式两边的差异,有 目的地化繁为简,左右归一或变更论证,也属转化与化归思 想的应用.

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跟踪训练 3 已知 的值.
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?π ? 3 17π sin 2x+2sin2x 7π cos?4+x?= , <x< , 求 4 1-tan x ? ? 5 12

sin 2x+2sin2x 2sin xcos x+2sin2x 解 = sin x 1-tan x 1-cos x
2sin xcos x?cos x+sin x? sin 2x?1+tan x? = = cos x-sin x 1-tan x ?π ? =sin 2x· ?4+x?. tan ? ?

17π 7π 5π π ∵ 12 <x< 4 ,∴ 3 <x+4<2π, ?π ? 3 ?π ? 4 ? +x?= ,∴sin? +x?=- . 又∵cos 4 5 ? ? 5 ?4 ?

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?π ? 4 ? +x?=- . ∴tan 4 3 ? ?

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∴cos
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??π ? π? ?? x=cos? 4+x?-4? ? ? ?? ?

?π ? =cos?4+x?cos ? ?

?π ? π π ? +x? 4+sin?4 ?sin 4

2 ?3 4? 2 ? - ?=- =2×5 5 10 . ? ?
??π ? π? ?? ∴sin x=sin? 4+x?-4? ? ? ?? ? ?π ? π π ?π ? 7 2 =sin?4+x?cos 4-sin 4cos?4+x?=- 10 , ? ? ? ?

sin 2x+2sin2x 7 28 sin 2x=25.∴ =-75. 1-tan x

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题型四 例4

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构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 3 1 已知锐角三角形 ABC 中, sin(A+B)= , sin(A-B)= . 5 5

(1)求证:tan A=2tan B.
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(2)设 AB=3,求 AB 边上的高.

3 1 (1)证明 ∵sin(A+B)= ,sin(A-B)= , 5 5 3 ? ?sin Acos B+cos Asin B=5 ∴? ?sin Acos B-cos Asin B=1 5 ? 2 ? ?sin Acos B=5 tan A ?? ? =2. tan B 1 ?cos Asin B= 5 ?

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∴tan A=2tan B. π 3 (2)解 ∵ <A+B<π,sin(A+B)= , 2 5 tan A+tan B 3 3 ∴tan(A+B)=- ,即 =- . 4 4 1-tan Atan B
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将 tan A=2tan B 代入上式并整理得 2tan2B-4tan B-1=0 2+ 6 2± 6 解得 tan B= ,舍去负值,得 tan B= . 2 2 ∴tan A=2tan B=2+ 6.
设 AB 边上的高为 CD, CD CD 3CD 则 AB=AD+DB= + = , tan A tan B 2+ 6
由 AB=3,得 CD=2+ 6. ∴AB 边上的高等于 2+ 6.

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方程(组)思想是中学重要的思想方法之一. 借助三角函

数公式构建关于某些量的方程(组)来求解, 也是三角求值中常 用的方法之一.

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跟踪训练 4 已知向量 m=(cos θ,sin θ)和 n=( 2-sin θ, ?θ π? 8 2 cos θ),θ∈(π,2π),且|m+n|= ,求 cos?2+8 ?的值. 5 ? ? 解 m+n=(cos θ-sin θ+ 2,cos θ+sin θ),
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|m+n|= ?cos θ-sin θ+ 2?2+?cos θ+sin θ?2 ? π? = 4+2 2?cos θ-sin θ?= 4+4cos?θ+4? ? ? ? π? =2 1+cos?θ+4?. ? ? ? π? 7 8 2 由已知|m+n|= 5 ,得 cos?θ+4?=25. ? ? ? ? π? π? 2 θ 又 cos?θ+4?=2cos ?2+8?-1, ? ? ? ?

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π? 16 所以 cos 2+8 ?= . ? ? 25 5π θ π 9π ∵π<θ<2π,∴ 8 <2+8< 8 .
2?θ

?

?θ π ? ?θ π ? 4 ? + ?<0.∴cos? + ?=- . ∴cos 2 8 5 ? ? ?2 8 ?

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本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具, 在三角式求值、
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化简、证明,进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基 础,是解答整个三角函数类试题的必要基本功,要求准确, 快速化到最简,再进一步研究函数的性质.


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