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21.2.5一元二次方程根的判别式


21.3.1 一元二次方程 根的判别式

一元二次方程的一般形式:

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

二次项系数 a,一次项系数 b,常数项 c.

一元二次方程的求根公式:

? b ? b ? 4ac 2 x? b ? 4ac ? 0 2a
2

?

?

用公式法解下列方程

x ? 3x ? 2 ? 0
2

3 y ? 10 ? 2 y
2

x 2 ? 8x ? 16 ? 0

? b ? b ? 4ac 2 x? b ? 4ac ? 0 2a
2

?

?

一元二次方程根的判别式

? ? b ? 4ac
2

想一想

对于一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下,一元二次方程有解?有什 么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
2

一元二次方程的根的情况: 1.当? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个不相等的实数根
2 2 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程有两个相等的实数根 2.当

2 3.当 ? ? b ? 4ac ? 0 时,方程没有实数根

反过来:
? ? b2 ? 4ac ? 0 1.当方程有两个不相等的实数根时, 2.当方程有两个相等的实数根时, ? ? b2 ? 4ac ? 0 3.当方程没有实数根时,? ? b 2 ? 4ac ? 0

应用一:不解方程,判断一元二次方程的 根的情况

5 x ? 3x ? 2 ? 0
2

25y ? 4 ? 20y
2

2 x ? 3x ? 1 ? 0
2

5 x ? 3x ? 2 ? 0
2

解: 这里a=5,b=-3,c=-2, △=b2-4ac=9-4×5×(-2)=49>0,

所以方程有两个不相等的实数根.

25y 2 ? 4 ? 20y 解:原方程化为:25y2-20y+4=0

这里a=25,b=-20,c=4, △=b2-4ac=400-4×25×4=0, 所以方程有两个相等的实数根.
2x2 ? 3x ? 1 ? 0

a ? 2, b ? 3, c ? 1 解:这里, △= b2 -4ac=3-4×2×1=-5<0, 所以方程无实数根.

应用二:已知方程及其根的情况,求字母的取值范围
已知:关于x 的一元二次方程
2

1 2 x ? (m ? 2) x ? m ? 1 ? 0 4

当m取什么值时: 1、方程有两个不相等的实数根 2、方程有两个相等的实数根 3、方程没有实数根

解:

1 2 ? ? (m ? 2) ? 4( m ? 1) 4
2

(1)当?4m ? 8 ? 0 ,即 m ? 2 时,方程有两个不 相等的实数根. (2)当 ?4m ? 8 ? 0 ,即 m ? 2 时,方程有两个相 等的实数根. (3)当 ?4m ? 8 ? 0 ,即 m ? 2 时,方程没有实数 根

? ?4m ? 8

基础练习:
1.下列方程中,有两个不相等实数根的是(
A. x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 C. x 2 ? 2 3 x ? 3 B. x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 D. x 2 ? 4 x ? 4 ? 0



2.若关于 的一元二次方程 kx 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围 ( )

x

A. k ? ?1 C. k ? 1

B. k ? ?1且k ? 0 D. k ? 1且k ? 0

归纳总结:
1、一元二次方程根的判别式:
2 ①一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 根的判别式( b

2

? 4ac):

?? 0 ? 方程有两个不相等的实数根; ? b 2 ? 4ac ?? 0 ? 方程有两个相等的实数根; ?? 0 ? 方程没有实数根; ?
②【易错警示】

有实数根

在运用一元二次方程根的判别式解题时,注意不能漏掉

a?0

的条件。

如果关于x的一元二次方程 (k-2)x2+k=(2k-1)x 有实数根,那么k的取值范围是什么?

1.求判别式时,应该先将方程化为一般形式.

2.应用判别式解决有关问题时,前提条件为“方程 是一元二次方程”,即二次项系数不为0.

典例分析
例1.求证:无论a取何实数,关于x的方程

ax ? (1 ? 3a) x ? 2a ? 1 ? 0
2



练习: 2.证明:m为任何实数时, 方程 2 x ? (m ? 1) x ? m ? 4 ? 0都有两
2

个不相等的实数根.

点击中考:基础篇
1.已知a、b、c分别是三角形的三边,则方程 的根的情况是(
(a ? b) x2 ? 2cx ? (a ? b) ? 0

C

) B . 有两个相等的实数根; D .可能有且只有一个实数根 ;

A. 有两个不相等的实数根; C. 没有实数根;

2. 从-2、-1、0、1、2这5个数中任取一个,作为关于 x 的
方程 x 2 ? x ? k ? 0 的 k 值,则所得方程中有两个不相等的 实数根的k的值是

-2、-1 、0 .


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