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广东省深圳高级中学2011届高三上学期期中考试(数学理)word版


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2010高级中学 2010-2011 学年第一学期第二次测试

高三数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 20 题。满分 150 分。考试用时 120 分 钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题纸上。 2.选择题每小题选出答案后,答在答题纸上 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案 无效。 4.考试结束后,将答题纸交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 选择题: 本大题共 小题, 题目要求的. 题目要求的.) 1.设 P、Q 是两个非空集合,定义集合间的一种运算“⊙” :P⊙Q= {x | x ∈ P ∪ Q,且x ? P ∩ Q}.
如果 P = {x | y = A C
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

4 ? x 2 }, Q = { y | y = 4 x , x > 0} ,则 P⊙Q=
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /





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[?2,1] ∪ (2,+∞) B
[1,2]

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

[?2,1] ∪ [2,+∞)
D
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t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

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(2,+ ∞ ) )

? x ≥ 0, x + 2y + 3 ? 则 的取值范围为( 2.设 x,y 满足约束条件 ? y ≥ x, x +1 ?4 x + 3 y ≤ 12. ?
A. [1,5] B. [ 2, 6] C. [ 2,10]

D. [3,11]

3.在等比数列 {an } 中, a1 = 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 {an + 1} 也是等比数列, 则 Sn 等于( (A) ) (B) 3n (C) 2n (D)

2 n+1 ? 2

3n ? 1


4.不等式 f ( x) = ax 2 ? x ? c > 0 的解集为 {x | ?2 < x < 1} ,则函数 y = f (? x) 的图象为(

5.已知 OA ? x + OB ? x ? OC = 0( x ∈ R ) ,其中 A、B、C 三点共线,则满足条件的 x(
2



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A.不存在 C.有两个
2 2

B.有一个 D.以上情况均有可能

6.已知直线 x + y = a 与圆 x + y = 4 交于A、B两点,O是坐标原点,向量 OA 、 OB 满足

| OA + OB | = | OA ? OB | ,则实数a的值是(
(A)2 (B) ?2

) (D)2或 ?2

(C) 6 或 ? 6

7.如图,△PAB 所在的平面α和四边形 ABCD 所在 的平面β互相垂直,且 AD ⊥ α , BC ⊥ α ,AD=4, BC=8,AB=6,若 tan ∠ADP + 2 tan ∠BCP = 10 , 则点 P 在平面 α 内的轨迹是 ( A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 )

8.若函数 f ( x ) = log a ( 2 x + x)( a > 0, a ≠ 1)在区间(0, )内恒有f ( x ) > 0, 则 f(x)的单调递增区间
2

1 2

是 A. ( ?∞,? )





1 4

B. ( ?

1 ,+∞) 4

C. ( ?∞,? )

1 2

D. (0,+∞)

非选择题, 110 第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,共 30 分. 本大题共 小题,
9.酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深 8cm,上口宽 6cm,水以 20 cm 2 s 的流量倒入杯中,当 水深为 4cm 时,则水面升高的瞬时变化率是 10.已知 a>b>0,则 a +
2

.

16 的最小值是_________。 b(a-b)

11.在 △ ABC 中, AB = BC , cos B = ?

7 .若以 A , B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的离心率 18
an }成等比数列是数列 {bn } 的通 bn

e=
项公式为 bn = n 的



12.已知数列 {a n } 的通项公式为 an = n ? (?2)n ,则数列{

条件(对充分性和必要性都要作出判断) .

13.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图 1,则图中三角形(正 四面体的截面)的面积是 14.给出下列四个结论: 图

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① 函数 y = sin x 在第一象限是增函数;② 函数 y = cos x + 1 的最小正周期是 π 2 ③若 am < bm , 则 a < b ;④函数 f ( x ) = x ? sin x (x ∈ R )有 3 个零点;
2 2

⑤对于任意实数 x,有 f ( ? x ) = ? f ( x ), g ( ? x ) = g ( x ), 且 x>0 时, f ′( x ) > 0, g ′( x ) > 0, 则 x<0 时 f ′( x ) > g ′( x ). 其中正确结论的序号是 .(填上所有正确结论的序号)

小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答题: 15(12 分)已知函数 f ( x ) = sin( x + (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在[-

π

) + sin( x ? ) + cos x + a (a ∈ R, a为常数) . 6 6

π

π
2



π
2

]上的最大值与最小值之和为 3 ,求实数 a 的值.

16. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥面 ABC,BC⊥AC,BC=AC=2,AA1=3,D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证:AB1//面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 C1—BD—C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P,使得 CP⊥面 BDC1?并证明你的结论.

17、 (本小题满分 14 分)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 , (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形。

18.已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1, 有|f(x1)-f(x2)|≤4; (Ⅲ)若过点 A(1,m) (m≠-2)可作曲线 y=f(x)的三条切

3

2

x2 , 都 线,求

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实数 m 的取值范围. 19 已知曲线 f ( x ) =

log 2 ( x + 1) ( x > 0) 上有一点列 Pn ( x n , y n )(n ∈ N * ) ,点 Pn 在 x 轴上的射影是 x +1 Qn ( x n ,0) ,且 x n = 2 x n ?1 + 1(n ∈ N * ) , x1 = 1 .
(1)求数列 {x n } 的通项公式; (2)设四边形 Pn Qn Qn +1 Pn +1 的面积是 S n ,求证:

1 1 1 + +?+ <4 S1 2 S 2 nS n

20 定义 F ( x, y ) = (1 + x ) y , x, y ∈ (0,+∞) (1)令函数 f ( x ) = F (1, log 2 ( x 2 ? 4 x + 9)) 的图象为曲线 c1,曲线 c1 与 y 轴交于点 A(0,m) ,过坐 标原点 O 作曲线 c1 的切线,切点为 B(n,t) (n>0)设曲线 c1 在点 A、B 之间的曲线段与 OA、 OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值; (2)当 x, y ∈ N 且x < y时, 证明F ( x, y ) > F ( y , x ).
*

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2010高级中学 2010-2011 学年第一学期第二次测试 高三数学答案 高三数学答案
一、选择题 二、填空题 9. . 13. ADCC CDBC 11. e =

80 cm s 9π

10.16

c 3 = a 8

12. 必要不充分

2

14. ③⑤

三、解答题: 解答题: 15.解: (Ⅰ)∵ f ( x ) = 2 sin x cos

π
6

+ cos x + a = 3 sin x + cos x + a
……………………4 分

π? ? = 2 sin ? x + ? + a 6? ?
∴函数 f ( x ) 的最小正周期 T = 2π (Ⅱ)∵ x ∈ ? ?

………………………6 分

π π 2π ? π π? , ? ,∴ ? ≤ x + ≤ 3 6 3 ? 2 2?
=?

∴当 x +

π
6

π
3

,即 x = ?

π
2

时, f min ( x ) = f ? ?

? π? ? = ? 3 + a ……8 分 ? 2?
……10 分

当x+

π
6

=

π
2

,即 x =

π
3

时, f max ( x ) = f ?

?π ? ? = 2+a ?3?

由题意,有 ( ? 3 + a ) + (2 + a ) = ∴a =

3
……12 分

3 ?1

16. (I)证明: 连接 B1C,与 BC1 相交于 O,连接 OD ∵BCC1B1 是矩形, ∴O 是 B1C 的中点. 又 D 是 AC 的中点, ∴OD//AB1.………………………………………………2 分 ∵AB1 ? 面 BDC1,OD ? 面 BDC1, ∴AB1//面 BDC1.…………………………………………4 分 (II)解:如力,建立空间直角坐标系,则 ,B(0,3,2) ,C(0,3,0) ,A(2,3,0) , C1(0,0,0) D(1,3,0)……………………5 分

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设 n =(x1,y1,z1)是面 BDC1 的一个法向量,则

?n ? C1 B = 0 ? , ? ?n ? C1 D = 0 ?
即?

?3 y1 + 2 z1 = 0 1 1 取n = (1,? , ) .…………6 分 3 2 ? x1 + 3 y1 = 0,

易知 C1C =(0,3,0)是面 ABC 的一个法向量.

∴ cos < n, C1C >=

n ? C1C | n | ? | C1C |

=

?1 2 = ? .…………………………8 分 7 7 ?3 6

∴二面角 C1—BD—C 的余弦值为

2 .………………………………9 分 7

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,使得 CP⊥面 BDC1.

?y = 3 ?CP ? C1 B = 0 ?3( y ? 3) = 0 ? ? 则? , 即? ,∴ ? 7 ?CP ? C1 D = 0 ?2 + 3( y ? 3) = 0 ? y = . ? 3 ?
∴方程组无解. ∴假设不成立. ∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1.……………14 分

17. 解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 + = 1( a > b > 0) ……………………………1 分 a2 b2

?a = 2b ?a 2 = 8 ? ? 则? 4 …………………………………………3 分 解得? 2 1 ?b = 2 ?a2 + b2 = 1 ? ? x2 y2 ∴椭圆方程为 + = 1 ………………………………………………4 分 8 2
(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=

1 2 1 x + m ……………………………………………………5 分 2

∴ l的方程为: y =

1 ? ?y = 2 x + m ? 由? 2 ∴ x 2 + 2mx + 2m 2 ? 4 = 0 ……………………………………6 分 2 ?x + y =1 ?8 2 ?

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∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

∴ ? = (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) > 0, 解得 ? 2 < m < 2, 且m ≠ 0...........................................................8分
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可…………9 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 则 k1 =

y1 ? 1 y ?1 , k2 = 2 x1 ? 2 x2 ? 2
2

由 x + 2mx + 2m ? 4 = 0
2

x1 + x2 = ?2m, x1 x2 = 2m 2 ? 4 ……………………………………………………10 分
而 k1 + k 2 =

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1) ? ( x2 ? 2) + ( y2 ? 1)( x1 ? 2) + = x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 1 ( x1 + m ? 1)( x 2 ? 2) + ( x 2 + m ? 1)( x1 ? 2) 2 = 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) = = x1 x 2 + (m + 2)( x1 + x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 + (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? 2m 2 + 4m ? 4 m + 4 = = 0......................................................13分 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ∴ k1 + k 2 = 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14 分 18. 解: (I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依题意,f′(1)=f′(-1)=0, 即?

?3a + 2b ? 3 = 0 , …………………………………………2 分 ?3a ? 2b ? 3 = 0

解得 a=1,b=0. ∴f(x)=x3-3x.……………………………………………………4 分 (II)∵f(x)=x3-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 当-1<x<1 时,f′(x)<0,故 f(x)在区间[-1,1]上为减函数, fmax(x)=f(-1)=2,fmin(x)=f(1)=-2……………………………………6 分 ∵对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值 x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-2)=4………………………………8 分 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),

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∵曲线方程为 y=x -3x,∴点 A(1,m)不在曲线上. 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y 0 = x 0 ? 3 x 0 .
3

3

因 f ′( x 0 ) = 3( x 0 ? 1) ,故切线的斜率为
2

2 3( x0 ? 1) =

3 x0 ? 3x0 ? m , x0 ? 1 2

整理得 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 = 0 .
3

∵过点 A(1,m)可作曲线的三条切线, ∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 =0 有三个实根.……………………10 分
3 2

设 g(x0)= 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 ,则 g′(x0)=6 x0 ? 6x0 ,
3 2 2

由 g′(x0)=0,得 x0=0 或 x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减. , ∴函数 g(x0)= 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 的极值点为 x0=0,x0=1………………12 分
3 2

∴关于 x0 方程 2 x0 ? 3 x0 + m + 3 =0 有三个实根的充要条件是
3 2

? g ( 0) > 0 ,解得-3<m<-2. ? ? g (1) < 0
故所求的实数 a 的取值范围是-3<m<-2.……………………14 分
* 19. 解: (1)由 x n = 2 x n ?1 + 1( n ∈ N ) 得 x n + 1 = 2( x n ?1 + 1) ∵ x1 = 1 , ∴ x n + 1 ≠ 0 ,

故 {x n + 1} 是公比为 2 的等比数列 ? x n + 1 = ( x1 + 1) ? 2
n

n ?1

∴ x n = 2 ? 1( n ∈ N ) .…………………………………………………………6 分
*

(2)∵ y n = f ( x n ) = ∴ | Qn Qn +1 |= ( 2
n +1

log 2 (2 n ? 1 + 1) n = n , 2n ?1 + 1 2
n , …………………9 分 2n

? 1) ? (2 n ? 1) = 2 n , 而 | Pn Qn |=

∴四边形 Pn Qn Qn +1 Pn +1 的面积为:

1 1 n +1 n 3n + 1 (| Pn +1Qn +1 | + | Pn Qn |)? | Qn Qn+1 |= ( n+1 + n ) ? 2 n = 2 2 2 4 2 1 4 12 1 1 1 1 1 1 ∴ = = = 12( ? ) < 12( ? ) = 4( ? ), nS n n(3n + 1) 3n(3n + 1) 3n 3n + 1 3n 3n + 3 n n +1 1 1 1 1 故 + +? + < 4(1 ? ) < 4 .……………………………………………14 分 S1 2 S 2 nS n n +1 Sn =
20. 解: (1)∵ F ( x, y ) = (1 + x ) y

∴ f ( x) = F (1, log 2 ( x 2 ? 4 x + 9)) = 2 log 2 ( x

2

? 4 x +9 )

= x 2 ? 4 x + 9 故 A(0,9)

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…………2 分

f ' ( x) = 2 x ? 4 ,过 O 作 C1 的切线,切点为 B (n, t )(n > 0) ,

?t = n 2 ? 4n + 9 ? 解得 B(3,6) ∴? t = 2n ? 4 ? ?n
3 1 ∴ S = ∫ ( x 2 ? 4 x + 9 ? 2 x)dx = ( x 3 ? 3 x 2 + 9 x) | 3 = 9 0 0 3 x ? ln(1 + x) ln(1 + x) 1+ x (2)令 h( x ) = ( x ≥ 1) h' ( x) = x x2 x 令 P( x) = ? ln(1 + x)( x > 0) 1+ x

…………4 分

…………6 分

…………8 分

∴ P' ( x) =

?x 1 1 ? = <0 2 1 + x (1 + x) 2 (1 + x)

∴ P( x)在[0,+∞ ) 单调递减。 ∴当x > 0时, 有P( x) < P (0),∴当x ≥ 1时有h' ( x) < 0 ∴ h( x)在[1,+∞ ) 上单调递减。
∴1 ≤ x < y时, 有 ln(1 + x) ln(1 + y ) > x y
…………10 分

…………12 分


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