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高三文科数学试卷


2012-2013 学年度第一学期期中考试试题
高三年级数学(文科) 命题人 王勇 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在答题卷 ... 相应的位置上. ...... 1.全集 U ? {1 , 2 , 3 , 4 } ,若 A ? {1, 2 } , B ? {1, 4 } ,则 (

C u A ) ? B = 2.设复数 z ? 1 ? b i ( b ? R ) 且 | z | ? 1 ,则复数 z 的虚部为 3.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如下图所 示,则时速超过 60km/h 的汽车数量为 辆
频率 组距



开始

0.039 0.028 0.018 0.010 0.005

a←5,S←1 S←S×a a←a-1

O

30

40

50

60

70

80 时速(km/h)

a≥2 否



(第 3 题图)
D E C

输出 S 结束 (第 4 题图)

A

B

(第 7 题图) 4.某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的结果是 5.在等比数列 { a n } 中,若 a 2 ? ? 2 , a 6 ? ? 3 2 ,则 a 4 ? . .

6.如图,矩形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点,若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于 7.已知函数 f ( x ) ?
1 2 ta n x ? 2 ,则 f ( ? ) 的值为 8 2 x 2 cos ?1 2 2 s in x cos x

8.设 m,n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列四个命题:

①若 m ③若 ?

/ /? ? ?

,m ,m

/ /?
? ?

,?

? ? ? n

,则 m

/ /n

;②若 ?
? n

? ?

,m ,n

/ /?
? ?

,则 m ,则 ?

? ? ? ?

; .

,则 m

/ /?



④ 若m

,m

??

真命题的有

. (填序号)
a ?b
2 2

9. 由“若直角三角形两直角边的长分别为 a , b ,将其补成一个矩形,则根据矩 形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为 r
?

”. 对于“若三

2

棱锥三条侧棱两两垂直,侧棱长分别为 a , b , c ” ,类比上述处理方法,可得该三 棱锥的外接球半径为 R = 10.已知函数
f ( x ) ? ln x ? 2
x

. ,若
f ( x ? 2 ) ? f ( 3 x ) ,则实数 x
2

的取值范围是

x y 11.已知向量 a = ( x ? 1, 2 ), b = ( 4 , y ) ,若 a ? b ,则 9 ? 3 的最小值为

?

?

?

?

12.已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O(0,0) ,A(3,0) ,B(0,3) ,点 P 在线段 AB 上,且 AP ? t AB ( 0 ? t ? 1), 则 OA ? OP 的最大值为 13.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a
sin C ? 2 3 sin B ,则角 A=
2

? b

2

?

3 bc ,

? 1 , x ? 2, ? 2 14. 定义在 R 上的函数 f ( x ) ? ? | x ? 2 | 若关于 x 的方程 f ( x ) ? a f ( x ) ? b ? 3 有 ? 1, x ? 2 . ?

三个不同的实数解 x 1 , x 2 , x 3 , 且 x 1 ? x 2 ? x 3 ,则下列结论错误的有 ..

个。

2 2 2 ① x 1 ? x 2 ? x 3 ? 1 4 ;② a ? b ? 2 ;③ x 1 ? x 3 ? 2 x 2 ;④ x 1 ? x 3 ? 4 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卷指定区域内作答,解答 时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15.(本小题共 l4 分) 设函数 f(x)=cos (2x+
?
3

)+sin x.
2

(1)求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (2)设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角, cosB= 若
1 3

,f ( ) ? ?
2

C

1 4

, C 为锐角, sinA. 且 求

16. (本题满分 14 分) 如图所示的长方体 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 中,底面 A B C D 是边长为 2 的正方 形, O 为 A C 与 B D 的交点, B B 1 ? (1)求证: B M // 平面 D 1 A C ; (2)求证: D 1 O ? 平面 A B 1 C ;
2 , M 是线段 B 1 D 1 的中点.

第 16 题图

17. (本小题共 l5 分) 现有一批货物用轮船从大丰港运往上海港, 已知该船航行的最大速度为 35 海里/ 小时, 大丰至上海的航行距离约为 500 海里, 每小时运输成本由燃料费用和其余 费用组成。轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为 0.6) , 其余费用每小时 960 元。 (1)把全程运输 y(元)表示为速度 x(海里/小时)的函数; (2)为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶?

18.(本小题共 l5 分) 设 f ( x ) ? ax
3

? bx

2

? 4 x , 其导函数 y ? f ? ( x ) 的图象经过点 (

2 3

, 0 ) , (2, 0) ,

(1)求函数 f ( x ) 的解析式和极值; (2)对 x ? [ 0 , 3 ] 都有 f ( x ) ? mx
2

恒成立,求实数 m 的取值范围.

19.(本小题共 l6 分) 已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足: S 3 ? 15 , a 2 ? a 5 ? 22 . (1)求数列 { a n } 的通项公式 a n ; (2)若数列 { b n } 是等差数列,且 b n ?
Sn n ? c

,求非零常数 c
64 b n ( n ? 9 )bn ?1

(3)若(2)中的 { b n } 的前 n 项和为 T n ,求证: 2 T n ? 3 b n ? 1 ?

20.(本小题共 l6 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? 1, g ( x ) ? a | x ? 1 | .
2

(1)若 | f ( x ) | ? g ( x ) 有两个不同的解,求 a 的值; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求 h ( x ) ? | f ( x ) | ? g ( x ) 在 [ ? 2 , 2 ] 上的最大值.


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