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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第八节条件概率与事件的独立性 理


第八节

条件概率与事件的独立性

了解条件概率和两个事件相互独立的概念,并能解决一些简单的实际问 题.

知识梳理 一、相互独立事件 1. 相互独立事件的定义: 事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率____________, 这样的两个事件叫做____________事件. - - 若 A 与 B

是相互独立事件,则 A 与____________, A 与__________, A 与__________ 也相互独立. 2.相互独立事件同时发生的概率:P(A·B)=________________. 若事件 A1,A2,?,An 相互独立, 则_____________________. - - 答案:1.没有影响 相互独立 B B B 2.P(A)·P(B) P(A1·A2·?·An)= P(A1)·P(A2)·?·P(An) 二、条件概率及其性质 1.条件概率的定义:设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P(B|A)=______为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率.把 P(B|A)读作“A 发生的条件下 B 的概率”. 2.条件概率的性质:(1)条件概率具有一般概率的性质,即 0≤P(B|A)≤1;(2)若 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=__________. P(AB) 答案:1. 2.P(B|A)+P(C|A) P(A) 基础自测 3 1.一学生通过英语听力测试的概率是 ,他连续测试两次,那么其中恰好一次通过的概 4 率是( ) 3 5 3 3 A. B. C. D. 4 8 8 16 解析:两次测试恰有一次通过,有两种情况:第一次通过第二次没通过;第二次通过第 3 ? 3? ? 3? 3 3 一次没通过,所以所求概率为 P= ×?1- ?+?1- ?× = .故选 C. 4 ? 4? ? 4? 4 8 答案:C 2.已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下 放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是
1

螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 ( 3 2 7 7 A. B. C. D. 10 9 8 9

)

解析:设事件 A 为“第 1 次抽到是螺口灯泡”,事件 B 为“第 2 次抽到是卡口灯泡”, 3 3 7 21 7 则 P(A)= , P(AB)= × = = .在已知第 1 次抽到螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到卡 10 10 9 90 30 7 P(AB) 30 7 口灯泡的概率为 P(B|A)= = = . P(A) 3 9 10 答案:D 3.在 10 个球中有 6 个红球,4 个白球(各不相同),不放回的依次摸出 2 个球,在第一 次摸出红球的条件下,第 2 次也摸出红球的概率是________. 答案: 5 9

4.如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到该 圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE 阴影部 分内”,则(1)P(A)=____________;(2)P(B|A)=____________.

解析:(1)S 圆=π ,S 正方形=( 2) =2,根据几何概型的求法有:P(A)= 1 1 1 S△EOH 2 1 (2)由∠EOH=90°,S△EOH= S 正方形= ,故 P(B|A)= = = . 4 2 S正方形 2 4 2 1 答案:(1) (2) π 4

2

S正方形 2 = . S圆 π

1.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再 赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( ) 1 3 2 3 A. B. C. D. 2 5 3 4

2

1 解析:根据互斥事件概率与独立事件概率得:第一局甲就胜了,概率为 ;另一种情况 2 1 1 3 ?1? ?1? 1 为第一局甲输了,第二局甲胜了,概率为? ?×? ?= ,所以甲胜的概率为 + = .故选 D. 2 4 4 ?2? ?2? 4 答案:D 2.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B =“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( ) 1 1 2 1 A. B. C. D. 8 4 5 2 解析:由于 n(A)=1+C3=4,n(AB)=1,所以 P(B |A)= 答案:B 3.(2013·大纲全国卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当 1 裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为 ,各局 2 比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. (1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 解析:(1)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”, A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛,结果为甲负”, A 表示事件“第 4 局甲当裁判”. 则 A=A1·A2.
2

n(AB) 1 = .故选 B. n(A) 4

P(A)=P(A1·A2)=P(A1)P(A2)= .
(2)X 的可能取值为 0,1,2. 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”, B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”, B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”, B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负”. 1 则 P(X=0)=P(B1·B2·A3)=P(B1)P(B2)P(A3)= , 8 1 P(X=2)=P(B1·B3)=P(B1)P (B3)= , 4 1 1 5 P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=1- - = , 8 4 8 9 E(X)=0·P(X=0)+1·P(X=1)+2·P(X=2)= . 8

1 4

1.甲、乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结束,甲胜出;若乙赢两局, 2 3 比赛结束, 乙胜出. 已知每一局甲、 乙二人获胜的概率分别为 , , 则甲胜出的概率为( ) 5 5 16 18 19 21 A. B. C. D. 25 25 25 25

3

2 解析:若甲赢第一局,则甲胜出的概率为 P1= ,若乙赢第一局,甲赢第二局,则甲胜 5 3 2 6 16 出的概率为 P2= × = ,所以甲胜出的概率为 P=P1+P2= .故选 A. 5 5 25 25 答案:A 2.一个盒子里有 6 只好晶体管,4 只坏晶体管,任取两次,每次取一只 ,每次取后不 放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) 2 5 5 7 A. B. C. D. 3 12 9 9 6 3 解析:设 Ai={第 i 只是好的}(i=1,2),由题意知要求 P(A2|A1),因为 P(A1)= = , 10 5 6×5 1 P A2A1 5 P(A1A2)= = ,所以 P(A2|A1)= = .故选 C. 10×9 3 P A1 9 答案:C 3.(2013·惠州一模)在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能 选一个科目. 已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙, 情况如下表: 科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计 3 9 12 现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ξ 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ξ 的分布列和数学期望. 解析:(1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A,“从第二小组选出的 2 人 2 2 C5 2 C4 2 选科目乙”为事件 B,由于事件 A、B 相互独立,且 P(A)= 2= ,P(B)= 2= , C6 3 C6 5 所以选出的 4 人均选科目乙的概率为: 2 2 4 P(A·B)=P(A)·P(B)= × = ; 3 5 15 (2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3, 4 则 P(ξ =0)= , 15 2 1 1 1 2 C5 C2C4 C5 C4 22 P(ξ =1)= 2· 2 + 2· 2= , C6 C6 C6 C6 45 1 C5 1 1 P(ξ =3)= 2· 2= , C6 C6 45 2 P(ξ =2)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =3)= , 9 ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3 4 22 2 1 P 15 45 9 45 所以 ξ 的数学期望为: 4 22 2 1 E(ξ )=0×+ +1× +2× +3× =1. 15 45 9 45

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