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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-2-4 平面与平面平行的性质


一、选择题 1.平面 α∥平面 β,直线 l∥α,则( A.l∥β C.l∥β 或 l?β [答案] C [解析] 假设 l 与 β 相交,又 α∥β,则 l 与 α 相交,又 l∥α,则 假设不成立,则 l∥β 或 l?β. 2.过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线, 其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有( A.4 条 C.8 条 [答案] D

) B.6 条 D.12 条 )

B.l?β D.l,β 相交

[解析] 如图, 在 A1A 和四边形 BB1D1D 之间的四条棱的中点 F、 E、G、H 组成的平面中,有 EF、FG、GH、HE、EG、HF 共 6 条直 线与平面 BB1D1D 平行,另一侧还有 6 条,共 12 条.故选 D.

3.有一正方体木块如图所示,点 P 在平面 A′C′内,棱 BC 平 行于平面 A′C′,要经过 P 和棱 BC 将木料锯开,锯开的面必须平 整,有 N 种锯法,则 N 为( A.0 C.2 [答案] B [解析] ∵BC∥平面 A′C′,∴BC∥B′C′,在平面 A′C′ 上过 P 作 EF∥B′C′,则 EF∥BC,∴沿 EF、BC 所确定的平面锯 开即可.又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选 B. 4.已知 a,b 表示直线,α,β,γ 表示平面,则下列推理正确的 是( ) A.α∩β=a,b?α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α 且 b∥β C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b [答案] D [解析] 选项 A 中,α∩β=a,b?α,则 a,b 可能平行也可能相 ) B.1 D.无数

交,故 A 不正确; 选项 B 中,α∩β=a,a∥b,则可能 b∥α 且 b∥β,也可能 b 在 平面 α 或 β 内,故 B 不正确; 选项 C 中,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定 理,再加上条件 a∩b=A,才能得出 α∥β,故 C 不正确; 选项 D 为面面平行性质定理的符号语言,故选 D. 5.设平面 α∥平面 β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当点 A、 B 分别在平面 α,β 内运动时,所有的动点 C( A.不共面 B.当且仅当点 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当点 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共 面 D.无论点 A,B 如何移动都共面 [答案] D 6.已知两条直线 m,n 两个平面 α,β,给出下面四个命题: ①α∩β=m,n?α?m∥n 或者 m,n 相交; ②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m∥n,m∥α?n∥α; ④α∩β=m,m∥n?n∥β 且 n∥α. 其中正确命题的序号是( A.① C.④ [答案] A 7.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E、F 分别是 AC1、CB1 的中点, P 是 C1B1 的中点,则与平面 PEF 平行的三棱柱的棱的条数是( ) ) B.①④ D.③④ )

A.3 C.5 [答案] C

B.4 D.6

8.平面 α∥平面 β,△ABC,△A′B′C′分别在 α、β 内,线 段 AA′,BB′,CC′共点于 O,O 在 α、β 之间.若 AB=2,AC= 1,∠BAC=60° ,OA OA′= 3 A. 9 2 3 C. 9 ,则△A′B′C′的面积为( 3 B. 3 2 3 D. 3 )

[答案] C [解析] 如图∵α∥β, ∴ BC ∥ B′C′ , AB ∥ A′B′ , AC ∥ A′C′ ,∴△ ABC ∽△ A′B′C′, 且由 AB OA 3 3 = =2知相似比为2, A′B′ OA′

1 1 又由 AB = 2 , AC = 1 ,∠ BAC = 60° ,知 S △ ABC = 2 AB· CD = 2 3 2 3 AB· (AC· sin60° )= 2 ,∴S△A′B′C′= 9 . 二、填空题

9.如右图所示,平面四边形 ABCD 所在的平面与平面 α 平行, 且四边形 ABCD 在平面 α 内的平行投影 A1B1C1D1 是一个平行四边形, 则四边形 ABCD 的形状一定是________. [答案] 平行四边形 [解析] ∵平面 AC∥α,平面 AA1B1B∩α=A1B1,平面 AA1B1B∩ 平面 ABCD=AB, ∴AB∥A1B1, 同理可证 CD∥C1D1, 又 A1B1∥C1D1, ∴AB∥CD,同理可证 AD∥BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形. 10. (2012-2013· 东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何 体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为________.

[答案] 平行四边形 [解析] ∵平面 ABFE∥平面 CDHG, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF, 平面 EFGH∩平面 CDHG=HG, ∴EF∥HG. 同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 的形状是平行四边形. 11.已知平面 α∥平面 β,点 A,C∈α,点 B,D∈β,直线 AB, CD 交于点 S,且 SA=8,SB=9,CD=34. (1)若点 S 在平面 α,β 之间,则 SC=________; (2)若点 S 不在平面 α,β 之间,则 SC=________. [答案] (1)16 (2)272

[解析] (1)如图 a 所示,因为 AB∩CD=S,所以 AB,CD 确定 一个平面,设为 γ,则 α∩γ=AC,β∩γ=BD. SA SC SA SC 因为 α∥β,所以 AC∥BD.于是SB=SD,即AB =CD. SA· CD 8×34 所以 SC= AB = =16. 9+8

SA SC (2)如图 b 所示,同理知 AC∥BD,则SB=SD, 8 SC 即9= ,解得 SC=272. SC+34 12.如图,平面 α∥平面 β∥平面 γ,两条直线 l、m 分别与平面 α、β、γ 相交于点 A、B、C 和点 D、E、F.已知 AC=15cm,DE=5cm, AB:BC=1:3,则 AB、BC、EF 的长分别为______、______、______.

[答案]

15 45 cm 4 4 cm 15cm

AB DE [解析] 容易证明BC= EF (1) AB DE AC=DF(2) 1 5 由(1)得3=EF,∴EF=15,∴DF=DE+EF=20,

AB 5 15 代入(2)得, 15 =20,∴AB= 4 , 15 45 ∴BC=AC-AB=15- 4 = 4 , 15 45 ∴AB、BC、EF 的长分别为 4 cm, 4 cm,15cm. 三、解答题

13. 如图所示, P 是△ABC 所在平面外一点, 平面 α∥平面 ABC, PA′ 2 S△A′B′C′ α 分别交线段 PA, PB, PC 于 A′, B′, C′.若 =3, 求 A′A S△ABC 的值. [分析] 由面面平行可得线线平行,再由等角定理可得对应角相 等,从而三角形相似,利用相似三角形的比例关系找到面积比. [解析] ∵平面 α∥平面 ABC, 平面 PAB∩平面 α=A′B′, 平面 PAB∩平面 ABC=AB, ∴A′B′∥AB.同理可证 B′C′∥BC,A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′=∠BAC, ∠A′B′C′=∠ABC, ∠A′C′B′ =∠ACB, ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′:A′A=2:3,∴PA′:PA=2:5.

∴A′B′:AB=2:5. ∴S△A′B′C′ S△ABC= S△A′B′C′ 4 ,即 =25. S△ABC

14.如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯 形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1 分别是棱 AD, AA1 的中点.设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE1∥平面 FCC1.

[证明] 因为 F 为 AB 的中点, CD=2,AB=4,AB∥CD, 所以 CD 綊 AF, 因此四边形 AFCD 为平行四边形, 所以 AD∥FC. 又 CC1∥DD1,FC∩CC1=C, FC?平面 FCC1,CC1?平面 FCC1, AD∩DD1=D,AD?平面 ADD1A1, DD1?平面 ADD1A1, 所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1. 又 EE1?平面 ADD1A1, EE1?平面 FCC1, 所以 EE1∥平面 FCC1.

15. 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面是边长为 2 的正三角形, 点 E,F 分别是棱 CC1,BB1 上的点,点 M 是线段 AC 上的动点,EC =2FB=2.当点 M 在何位置时,BM∥平面 AEF?

[解析] 如图,取 EC 的中点 P,AC 的中点 Q,连接 PQ,PB, BQ,则 PQ∥AE.

∵EC=2FB=2,∴PE 綊 BF, ∴四边形 BFEP 为平行四边形, ∴PB∥EF. 又 AE,EF?平面 AEF,PQ,PB?平面 AEF, ∴PQ∥平面 AEF,PB∥平面 AEF.

又 PQ∩PB=P,∴平面 PBQ∥平面 AEF. 又 BQ?平面 PBQ, ∴BQ∥平面 AEF. 故点 Q 即为所求的点 M,即点 M 为 AC 的中点时,BM∥平面 AEF. 16.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,E、F 分别为 PC、 PD 的中点, 在底面 ABCD 内是否存在点 Q, 使平面 EFQ∥平面 PAB? 若存在,确定点 Q 的位置;若不存在,说明理由.

[解析] 取 AD、BC 的中点 G、H,连接 FG、HE. ∵F、G 为 DP、DA 的中点,∴FG∥PA. ∵FG?平面 PAB,PA?平面 PAB,∴FG∥平面 PAB. ∵AB∥CD,EF∥CD,∴EF∥AB. 而 EF?平面 PAB,AB?平面 PAB,∴EF∥平面 PAB. ∵EF∩FG=F,∴平面 EFG∥平面 PAB. 又 GH∥CD,∴GH∥EF.∴平面 EFG 即平面 EFGH. ∴平面 EFGH∥平面 PAB. 又点 Q∈平面 ABCD, ∴点 Q∈(平面 EFGH∩平面 ABCD). ∴点 Q∈GH.∴点 Q 在底面 ABCD 的中位线 GH 上.


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