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2013 广东 各地 一模 理数 打包 (一)广州 深圳 佛山 揭阳 梅州 肇庆 东莞


2013 广东各地高考 一模 理数 打包: 广州 佛山 深圳 揭阳 肇庆 梅州 东莞
广州市 2013 届普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔 将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题 卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:如果事件 A,B 相互独立,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) .

? ? ? ? 线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) ? ,a ? y ? bx,
i

? (x
i ?1

? x)

2

其中 x , y 表示样本均值。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {1, 2 ,3 , 4 ,5 , 6 } ,集合 A ? {1, 3 , 5} , B ? { 2 , 4 } ,则 A. U ? A ? B 2.已知
a 1? i

B. U ? ( C U A ) ? B

C. U ? A ? ( C U B )

D. U ? ( C U A ) ? ( C U B )

? 1 ? bi ,其中 a,b 是实数,i 是虚数单位,则 a+bi=

A.1+2i

B.2+i

C.2-i

D.1-2i

? x ? 2 y ? 1, ? 3.已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? y ? 1 ? 0. ?

A.-3

B .0

C.1

D.3

4.直线 x ? A.
?
6

3 y ? 0 截圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 所得劣弧所对的圆心角是
2 2

B.

?
3 2 3

C.

?
2 1 3

D.

2? 3

5.某空间几何体的三视图及尺寸如图 1,则该几何体的体积是 A.2 B.1 C. D.

6.函数 y ? (sin x ? cos x )(sin x ? cos x ) 是 A.奇函数且在 [ 0 , B.奇函数且在 [
?
2

?
2

] 上单调递增

, ? ] 上单调递增

C.偶函数且在 [ 0 , D.偶函数且在 [
?
2

?
2

] 上单调递增

, ? ] 上单调递增
x

7.已知 e 是自然对数的底数,函数 f ( x ) ? e ? x ? 2 的零点为 a,函数 g ( x ) ? ln x ? x ? 2 的 零点为 b,则下列不等式中成立的是 A. f ( a ) ? f (1) ? f ( b ) C. f (1) ? f ( a ) ? f ( b ) B. f ( a ) ? f ( b ) ? f (1) D. f ( b ) ? f (1) ? f ( a )

8.如图 2,一条河的两岸平行,河的宽度 d=600m,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往 河对岸的码头 B.已知 AB ? 1 km ,水流速度为 2km/h,若客船行驶完航程所用最短时 间为 6 分钟,则客船在静水中的速度大小为 A.8km/h C. 2 34 km / h B. 6 2 km / h D.10km/h

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x 的解集是_________.
1

10. ? cos xdx ? _______ .
0

11.某工厂的某种型号机器的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有下表的统计资料: x y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

? ? 根据上表可得回归方程 y ? 1 . 23 x ? a ,据此模型估计,该型号机器使用所限为 10 年维修

费用约______万元(结果保留两位小数).

?a x , x ? 1 12.已知 a ? 0 , a ? 1 ,函数 f ( x ) ? ? ,若函数 f ( x ) 在区间[0,2]上的最大值比 ?? x ? a, x ? 1

最小值大

5 2

,则 a 的值为________.

13.已知经过同一点的 n ( n ? N *, n ? 3 ) 个平面,任意三个平面不经过同一条直线,若这 n 个 平面将空间分成 f ( n ) 个部分,则 f ( 3 ) ? ______, (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,定点 A ( 2 ,
3 2
f ( n ) ________ .

? ) ,点 B 在直线 ? cos ? ?

3 ? sin ? ? 0 上

运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极坐标为______. 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,AC 与⊙O 交于点 D,若 BC=3, AD ?
16 5

,则 AB 的长为______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函 f ( x ) ? A sin( ? x ? 为 8. (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)若函数 f ( x ) 图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4,O 坐标原点,求 ? POQ 的 面积. 17.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题,甲做对的概率为
1 2 , 乙,丙做对的概率分别为

?
4

) (其中 x ? R , A ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2,最小正周期

m,n(m>n),且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列 为:
?

0

1

2

3

P

1 4

a

b

1 24

(1)求至少有一位学生做对该题的概率; (2)求 m,n 的值; (3)求 ? 的数学期望. 18.(本小题满分 14 分) 如图 4,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? ABC 是边长为 2 的等边三角形,
AA 1 ? 平面 ABC,D,E 分别是 CC1,AB 的中点.

(1)求证:CE//平面 A1BD; (2)若 H 为 A1B 上的动点,当 CH 为平面 A1AB 所成最大角的正切值为
15 2

时,求平面 A1BD 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的余弦值.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn, a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? na n ? ( n ? 1) S n ? 2 n ( n ? N *) . 且 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)若 p,q,r 是三个互不相等的正整数,且 p,q,r 成等差数列,试判断 a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 是否成等比数列?并说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,两个焦点分别为 F1 ( ? 2 , 0 ), F 2 ( 2 , 0 ) ,点 A(2,3)在 椭圆 C1 上,过点 A 的直线 L 与抛物线 C 2 : x ? 4 y 交于 B,C 两点,抛物线 C2 在点 B,C
2

处的切线分别为 l1 , l 2 ,且 l1 与 l 2 交于点 P. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)是否存在满足 PF 1 ? PF 2 ? AF 1 ? | AF 2 | 的点 P?若存在,指出这样的点 P 有几个 (不必求出点 P 的坐标) ;若不存在,说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x ) ? x ? ax ? m ? 1 ,关于 x 的不等式 f ( x ) ? ( 2 m ? 1) x ? 1 ? m 的解
2 2

集为 ( m , m ? 1) ,其中 m 为非零常数.设 g ( x ) ? (1)求 a 的值;

f (x) x ?1

.

(2) k ( k ? R ) 如何取值时,函数 ? ( x ) ? g ( x ) ? k ln( x ? 1) 存在极值点,并求出极值点;

(3)若 m=1,且 x>0,求证: [ g ( x ? 1)] ? g ( x ? 1) ? 2 ? 2 ( n ? N *)
n n n

参考答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分40分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算,体现选择性.共 7 小题,每小题 5 分,满 分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 9.? , ? ? ?
?2 ? ?1 ?

10.s i n 1

11.1 2 .3 8

12. 或
2

1

7 2

13. n 8,

2

? n ? 2

14. ? 1,
?

?

1 1? ? ? 6 ?

15. 4

说明:① 第13题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. ② 第14题的正确答案可以是: ? 1,
? ? 1 1? 6 ? ? 2 k ? ? ( k ? Z ). ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) (本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公 式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力) (1)解:∵ f ( x ) 的最大值为2,且 A ? 0 , ∵ f ( x ) 的最小正周期为 8 , ∴ f ( x ) ? 2 s in (
?
4 x?

∴A ? 2.
2? ? 8 ,得 ? ?

?????1分
?
4

∴T ?

?

.

?????2 分 ?????3 分

?
4

).

(2)解法 1:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ?

?? ? 2

?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4 分

? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 4 ? 4 ?

2 ,

????5 分

∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) . ∴ OP ?
6 , PQ ? 2 3, OQ ? 3 2 .
2

?????8 分

∴ cos ? P O Q ?

OP

? OQ

2

? PQ

2

?

?

6

? ? ?3 2 ? ? ?2 3 ?
2 2

2

2 OP OQ

2 6?3 2

?

3 3

.?10 分

∴sin ? PO Q ?

1 ? cos ? PO Q ?
2

6 3

.

?????11 分

∴△ P O Q 的面积为 S ?

1 2

O P O Q sin ? PO Q ?

1 2

?

6 ? 3 2 ?

6 3

? 3 2 .

???12 分 解法 2:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ?
?? ? 2 ?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

?????4 分

? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 4 ? 4 ?

2 ,

?????5 分

∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) . ∴ O P ? ( 2, 2 ), O Q ? ( 4, ? 2 ) .
??? ???? ? ??? ???? ? OP ?OQ ∴ c o s ? P O Q ? c o s ? O P , O Q ? ? ??? ???? ? ? OP OQ 6 6?3 2 ? 3 3
??? ? ????

?????8 分 . ?????10 分

∴sin ? PO Q ?

1 ? cos ? PO Q ?
2

6 3

.

?????11 分

∴△ P O Q 的面积为 S ?

1 2

O P O Q sin ? PO Q ?

1 2

?

6 ? 3 2 ?

6 3

? 3 2 .

???12 分 解法 3:∵ f ( 2 ) ? 2 s in ?
?? ? 2 ?

? ?

? ? ? 2 cos 4 ? 4

?

2 ,

???4 分

? ? ? ? f ( 4 ) ? 2 sin ? ? ? ? ? ? ? ? 2 sin 4 ? 4 ?

2 ,

?????5 分

∴ P ( 2, 2 ), Q ( 4, ? 2 ) .
2 2

∴直线 O P 的方程为 y ?

x ,即 x ?

2y ? 0.

?????7 分

∴点 Q 到直线 O P 的距离为 d ?

4 ? 2 3

? 2 3 .

?????9 分

∵ OP ?

6,
1 2 1 2

?????11 分

∴△ P O Q 的面积为 S ?

OP ? d ?

?

6 ? 2 3 ? 3 2 .?????12 分

17. (本小题满分12分) (本小题主要考查相互独立事件的概率、 离散型随机变量的均值等基础知识, 考查数据处理、 推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想) 解:设“甲做对”为事件 A , “乙做对”为事件 B , “丙做对”为事件 C ,由题意知,
P

? A?

?

1 2

,P

?B?

? m, P ?C

?

? n.

?????1 分

(1)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ ? ? 0 ”是对立的, 所以至少有一位学生做对该题的概率是 1 ? P ? ? ? 0 ? ? 1 ?
1 4 1 4 3 4

?

.????3 分

(2)由题意知 P ? ? ? 0 ? ? P

? ABC ?
?

?

1 2 1 2

?1

? m ? ?1 ? n ? ?



?????4 分

P ?? ? 3 ? ? P

? ABC ?
1 12

mn ?

1 24



?????5 分

整理得

mn ?

,m ? n ?

7 12

.

由 m ? n ,解得 m ? (3)由题意知 a ? P ? ? ? 1 ? ? P
? 1 2

1 3

,n ?

1 4

.

?????7 分

? A B C ? ? P ? AB C ? ? P ? A BC ?
1 2 m ?1 ? n ? ? 1 2

?1

? m ? ?1 ? n ? ?

?1

? m? n ?

11 24

, ?9 分

b ? P (? ? 2 ) ? 1 ? P (? ? 0 ) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) =

1 4

, ?????10 分

∴ ? 的数学期望为 E ? ? 0 ? P (? ? 0 ) ? 1 ? P ( ? ? 1) ? 2 P ( ? ? 2 ) ? 3 P ( ? ? 3) =

13 12

.

????12分

18. (本小题满分14分) (本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间 想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法) 解法一: (1)证明:延长 A1 D 交 A C 的延长线于点 F ,连接 B F . ∵ C D ∥ A A1 ,且 C D ? ∴ C 为 A F 的中点. ∵ E 为 A B 的中点, ∴C E ∥ BF .
1 2
A1

A A1 ,

C1 B1 D

?????2 分 ?????3 分
A E B

H C F

∵ B F ? 平面 A1 B D , C E ? 平面 A1 B D , ∴ C E ∥平面 A1 B D . (2)解:∵ A A1 ? 平面 A B C , C E ? 平面 A B C , ∴ A A1 ? C E . ∵△ A B C 是边长为 2 的等边三角形, E 是 A B 的中点, ∴CE ? AB ,CE ?
3 2 AB ? 3.

?????4 分

?????5 分

∵ A B ? 平面 A1 A B , A A1 ? 平面 A1 A B , A B ? A A1 ? A , ∴ C E ? 平面 A1 A B . ∴ ? E H C 为 C H 与平面 A1 A B 所成的角. ∵CE ?
3,

?????6 分 ?????7 分

在 Rt△ C E H 中, t a n ? E H C ?

CE EH

?

3 EH

, ?????8 分
CE EH ? 3 EH ? 15 2

∴当 E H 最短时, t a n ? E H C 的值最大,则 ? E H C 最大. ∴当 E H ? A1 B 时, ? E H C 最大. 此时, t a n ? E H C ?

.

∴ EH

?

2 5 5

.

?????9 分

∵ C E ∥ B F , C E ? 平面 A1 A B ,

∴ B F ? 平面 A1 A B . ∵ A B ? 平面 A1 A B , A1 B ? 平面 A1 A B , ∴ B F ? A B , B F ? A1 B . ∴ ? A B A1 为平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角).
5 5

?????10 分

?????11 分 ?????12 分

在 Rt△ E H B 中, B H ?

EB

2

? EH

2

?

, c o s ? A B A1 ?

BH EB

?

5 5

.?13 分

∴平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值为 解法二: (1)证明:取 A1 B 的中点 F ,连接 D F 、 E F . ∵ E 为 A B 的中点, ∴ E F ∥ A A1 ,且 E F ?
1 2 1 2 A A1 .

5 5

. ?????14 分

z A1 C1 B1 D

?????1 分

∵ C D ∥ A A1 ,且 C D ?

A A1 ,

F
?????2 分 ?????3 分

∴ EF ∥CD , EF ? CD . ∴四边形 E F D C 是平行四边形. ∴CE ∥ DF .

H A E x B C y

∵ D F ? 平面 A1 B D , C E ? 平面 A1 B D , ∴ C E ∥平面 A1 B D . ?????4 分

(2)解:∵ A A1 ? 平面 A B C , C E ? 平面 A B C , ∴ A A1 ? C E . ∵△ A B C 是边长为 2 的等边三角形, E 是 A B 的中点, ∴CE ? AB ,CE ?
3 2 AB ? 3.

?????5 分

∵ A B ? 平面 A1 A B , A A1 ? 平面 A1 A B , A B ? A A1 ? A , ∴ C E ? 平面 A1 A B . ∴ ? E H C 为 C H 与平面 A1 A B 所成的角. ?????6 分 ?????7 分

∵CE ?

3,

在 Rt△ C E H 中, t a n ? E H C ?

CE EH

?

3 EH

, ?????8 分
CE EH ? 3 EH ? 15 2

∴当 E H 最短时, t a n ? E H C 的值最大,则 ? E H C 最大. ∴当 E H ? A1 B 时, ? E H C 最大. 此时, t a n ? E H C ?

.

∴ EH

?

2 5 5

.

?????9 分

在 Rt△ E H B 中, B H ?

EB

2

? EH

2

?

5 5

.

∵Rt△ E H B ~Rt△ A1 A B ,
2 5 5 ? 5 2



EH A A1

?

BH AB

,即

5 A A1

.

∴ A A1 ? 4 .

?????10 分

以 A 为原点,与 A C 垂直的直线为 x 轴, A C 所在的直线为 y 轴, A A1 所在的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 A ( 0 , 0 , 0 ) , A1 ( 0 , 0 , 4 ) , B
???? ????

(

3 , 1, 0 , D

)

( 0,

2, 2 ) .

∴ A A1 ? ( 0 , 0 , 4 ) , A1 B ? 设平面 A1 B D 的法向量为 n = 由 n ? A1 B , n ? A1 D ? 0 , 得? í
ì ? 3x + y 2z = 4z = 0. 0

(

???? ? 3 , 1, - 4 , A1 D ? ( 0 , 2 , - 2 ) .

)

? x, y, z ? ,

? 2y ? ?

令 y = 1 ,则 z = 1, x =

3.

∴平面 A1 B D 的一个法向量为 n =
????

(

3 , 1, 1 .

)

?????12 分

∵ A A1 ? 平面 A B C , ∴ A A1 = ( 0 , 0 , 4 ) 是平面 A B C 的一个法向量.

∴cos

???? ? n , A A1

???? ? n ? A A1 ? ???? ? ? n A A1

5 5

.

?????13 分

∴平面 A1 B D 与平面 A B C 所成二面角(锐角)的余弦值为

5 5

.

?????14 分

19. (本小题满分14分) (本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前 n 项和等基础知识,考查合情推理、化归 与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力) (1) 解:? a1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) S n ? 2 n , ∴ 当 n ? 1 时,有 a1 ? (1 ? 1) S 1 ? 2, 解得 a 1 ? 2 . 由 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) S n ? 2 n , ① ?????1 分

得 a 1 ? 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? ? n a n ? ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? 2 ( n ? 1) , ② ?????2 分 ② - ①得: ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 . 以下提供两种方法: 法 1:由③式得: ( n ? 1)( S n ? 1 ? S n ) ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 , 即 S n ?1 ? 2 S n ? 2 ;
? S n ?1 ? 2 ? 2 ( S n ? 2 ) ,

③ ?????3 分

?????4 分 ?????5 分

∵ S 1 ? 2 ? a1 ? 2 ? 4 ? 0 , ∴数列 { S n ? 2} 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ S n ? 2 ? 4 ? 2 n ? 1 ,即 S n ? 4 ? 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ?1 ? 2 . 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? ( 2 n ? 1 ? 2 ) ? ( 2 n ? 2 ) ? 2 n , 又 a1 ? 2 也满足上式,
n ∴ an ? 2 .

?????6 分 ?????7 分

?????8 分

法 2:由③式得: ( n ? 1) a n ? 1 ? n S n ? 1 ? ( n ? 1) S n ? 2 ? n ? S n ? 1 ? S n ? ? S n ? 2 , 得 a n ?1 ? S n ? 2 . 当 n ? 2 时, a n ? S n ? 1 ? 2 , ④ ⑤ ?????4 分 ?????5 分

⑤-④得: a n ? 1 ? 2 a n . 由 a 1 ? 2 a 2 ? S 2 ? 4 ,得 a 2 ? 4 , ∴ a 2 ? 2 a1 . ∴数列 { a n } 是以 a 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)解:∵ p , q , r 成等差数列, ∴ p ? r ? 2q . 假设 a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 成等比数列, 则 ? a p ? 1? ? a r ? 1? ? 即?2
p

?????6 分

?????7 分 ∴ an ? 2n . ????8 分

????9 分

?a

q

? 1 ? 1

?

2

, , (*)

????10 分

? 1

? ?2

r

? 1

?

?

?2

q

?

2

化简得: 2 p ? 2 r ? 2 ? 2 q . ∵p ? r,

?????11 分

∴ 2 p ? 2 r ? 2 2 p ? 2 r ? 2 ? 2 q ,这与(*)式矛盾,故假设不成立.?13 分 ∴ a p ? 1, a q ? 1, a r ? 1 不是等比数列. ?????14 分

20. (本小题满分14分) (本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化 归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法 1:设椭圆 C 1 的方程为
?2 3 ? 2 ? 2 ? 1, 依题意: ? a b ?a 2 ? b 2 ? 4. ?
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0?,

解得: ?

?a ?

2

? 16,

?b ? 12. ?
2

?????2 分

∴ 椭圆 C 1 的方程为

x

2

?

y

2

? 1.

?????3 分

16

12 x a
2 2

解法 2:设椭圆 C 1 的方程为

?

y b

2 2

? 1 ?a ? b ? 0?,

根据椭圆的定义得 2 a ? A F1 ? A F 2 ? 8 ,即 a ? 4 ,
2 2 2 ∵ c ? 2 , ∴ b ? a ? c ? 12 .

?????1 分 ?????2 分

∴ 椭圆 C 1 的方程为
1 4 1 4

x

2

?

y

2

? 1.
1 4 1 4

?????3 分

16
2

12
x 2 ) ,则 BC ? ( x 2 ? x 1 ,
2

(2)解法 1:设点 B ( x 1 ,
BA ? ( 2 ? x 1 , 3 ?

x1 ) , C ( x 2 , x1 ) ,
2

( x 2 ? x 1 )) ,
2 2

∵ A , B , C 三点共线,
???? ??? ?

∴ BC // BA . ∴ ? x 2 ? x1 ? ? 3 ?
? ? 1 1 2 ? x1 ? ? 4 4 ?

?????4 分

?x

2 2

? x1

2

? ?2

? x1 ? ,

化简得:2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 1 2 . 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?
1 4
2 x ,得 y ? ?


1 2 1 4 x1 2 x2 2

?????5 分

x.

?????6 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ?

x1 ?
2

( x ? x1 ) , y ? 即

x1 2

x?

1 4

x1 . ②

2

同理,抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ?

x?

1 4

x2 .

2



???8 分

设点 P ( x , y ) ,由②③得:
1 2

x1 2

x?

1 4

x1 ?
2

x2 2

x?

1 4

x2 ,

2

而 x 1 ? x 2 ,则 x ? 代入②得 y ?
1 4

( x1 ? x 2 ) .

?????9 分 ?????10 分

x1 x 2 ,

则 2 x ? x 1 ? x 2 , 4 y ? x 1 x 2 代 入 ① 得 4 x ? 4 y ? 12 , 即 点 P 的 轨 迹 方 程 为
y ? x ? 3.

?????11 分 若 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 ,则点 P 在椭圆 C 1 上,而点 P 又在直线 y ? x ? 3 上, ?????12 分 ∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C 1 内一点 (3, 0 ) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C 1 交于两点. ?????13 分

∴满足条件 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2

的点 P 有两个.

?????14 分

解法 2:设点 B ( x 1 , y 1 ) , C ( x 2 , y 2 ) , P ( x 0 , y 0 ) , 由 x 2 ? 4 y ,即 y ?
1 4
2 x ,得 y ? ?

1 2

x.

?????4 分

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y 1 ?

x1 2

( x ? x1 ) ,

即y ?

x1 2
1 4

x ? y1 ?

1 2

x1 .

2

?????5 分

∵ y1 ?

x1 , ∴ y ?
2

x1 2

x ? y1 .

∵点 P ( x 0 , y 0 ) 在切线 l1 上,

∴ y0 ?

x1 2

x 0 ? y1 .



?????6 分

同理, y 0 ?

x2 2

x0 ? y2 .


x 2

?????7 分

综合①、②得,点 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 B ( x 1 , y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) 的直线是唯一的, ∴直线 L 的方程为 y 0 ?
x 2 x0 ? y ,

x 0 ? y . ???8 分

?????9 分 ?????10 分 ?????11 分

∵点 A ( 2 , 3 ) 在直线 L 上, ∴点 P 的轨迹方程为 y ? x ? 3 . 若 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2

∴ y0 ? x0 ? 3 .

,则点 P 在椭圆 C 1 上,又在直线 y ? x ? 3 上,?12 分

∵直线 y ? x ? 3 经过椭圆 C 1 内一点 (3, 0 ) , ∴直线 y ? x ? 3 与椭圆 C 1 交于两点. ∴满足条件 P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 的点 P 有两个. ?????13 分 ?????14分

解法3:显然直线 L 的斜率存在,设直线 L 的方程为 y ? k

?x

? 2? ? 3,

由?

? y ? k ? ?x ?
2

?x

? 2 ? ? 3,

消去 y ,得 x

2

? 4 y,

? 4 kx ? 8 k ? 1 2 ? 0 .

?????4分

设 B ? x1 , y 1 ? , C

?x

2

, y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ? 4 k , x1 x 2 ? 8 k ? 1 2 .

?????5分

由 x 2 ? 4 y ,即 y ?

1 4

2 x ,得 y ? ?

1 2

x.
x1 2
x1 2

?????6 分
1 2

∴抛物线 C 2 在点 B 处的切线 l1 的方程为 y ? y 1 ? ∵ y1 ?
1 4 x1 , ∴ y ?
2

即 ( x ? x1 ) , y ?

x ? y1 ?

2 x 1 .?7 分

x1 2

x ?

1 4

x1 .

2

同理,得抛物线 C 2 在点 C 处的切线 l 2 的方程为 y ?

x2 2

x ?

1 4

x2 .

2

?????8 分

? ? x1 ? x 2 x1 1 2 ? 2k, x ? x1 , ?x ? ?y ? ? ? 2 2 4 由? 解得 ? x x x 1 2 ? ? y ? 1 2 ? 2k ? 3. y ? 2 x ? x2 , ? ? ? 4 ? 2 4

∴ P ? 2k,2k ? 3? . ∵ P F1 ? P F 2 ? A F1 ? A F 2 ,
x
2

?????10 分

∴点 P 在椭圆 C 1 :

?

y

2

? 1 上.

?????11 分

16
2

12



? 2k ?
16

2

?

?2k

? 3? 12

? 1.

化简得 7 k

2

? 1 2 k ? 3 ? 0 .(*)

?????12 分 ?????13 分

由 Δ ? 122 ? 4 ? 7 ? ? ?3? ? 228 ? 0 ,

可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点 P 有两个. ?????14 分 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基 础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象 概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于 x 的不等式 f 即不等式 x 2 ?

?x?

?

? 2m
2

? 1 ? x ? 1 ? m 的解集为 ? m , m ? 1 ? ,
2

?a

? 1 ? 2m ? x ? m

? m ? 0 的解集为 ? m , m ? 1 ? ,

∴ x2 ? ∴ x2 ?

?a ?a

? 1 ? 2m ? x ? m ? 1 ? 2m ? x ? m

2

? m ?

?x
2

? m ? ? x ? m ? 1? . ?

2

? m ? x

? 2m

? 1? x ? m

?m

? 1? .

∴ a ? 1 ? 2 m ? ? ? 2 m ? 1? . ∴ a ? ?2 . (2)解法 1:由(1)得 g ?????2 分

?x?

?

f

?x?

x ? 1

?

x

2

? 2x ? m ? 1 x ? 1

?

?x

? 1? ?

m x ? 1

.

∴?

?x?

? g

?x?

? k ln

?x

? 1? ?

?x

? 1? ?

m x ? 1

? k ln

?x

? 1? 的 定 义 域 为

? 1, ? ? ? .
∴ ? ?( x ) ? 1 ?
m

? x ? 1?

2

?

k x ? 1

?

x

2

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

? x ? 1?

2

.

?????3 分

方程 x 2 ? ? 2 ? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 (*)的判别式
Δ ?

?2

? k?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k

2

? 4m .

?????4 分
2 ? k ? 2 k
2

①当 m ? 0 时, Δ ? 0 ,方程(*)的两个实根为 x1 ?
2 ? k ? 2
2

? 4m

? 1,

x2 ?

k

? 4m

? 1,

?????5 分

则 x ? ? 1, x 2 ? 时, ? ? ( x ) ? 0 ; x ? ∴函数 ? ∴函数 ?
2

?x

2

, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 . , ? ? ? 上单调递增.

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递减,在 ? x ? x ? 有极小值点 x
2

2

.

?????6 分

②当 m ? 0 时,由 Δ ? 0 ,得 k ? ? 2 ? m 或 k ? 2 ? m ,
2 ? k ? 2 k
2

若 k ? ? 2 ? m ,则 x1 ?

? 4m

? 1, x 2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1,

故 x ? ? 1, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 , ∴函数 ? ∴函数 ?

? x ? 在 ? 1, ? ? ? 上单调递增. ? x ? 没有极值点.
?????7 分

若 k ? 2 ? m 时, x1 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1, x 2 ?

2 ? k ? 2

k

2

? 4m

? 1,

则 x ? ? 1, x1 ? 时 , ? ? ( x ) ? 0 ; x ?
? ? ( x ) ? 0.

?x ,x ?
1 2

时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ?

?x

2

,?? ? 时,

∴函数 ? ∴函数 ?

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x
1 1 2

2

, ? ? ? 上单调递增.

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .

?????8 分

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任意实数, 函数 ? 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ?
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 有极小值点 x
2

2



? x ? 有极小值点 x
2 ? k ? 2 k

,有极大值点 x1 .?9 分
? 4m

(其中 x1 ?

? 4m

2

, x2 ?

)

解法 2:由(1)得 g

?x?

?

f

?x?

x ? 1

?

x

2

? 2x ? m ? 1 x ? 1

?

?x

? 1? ?

m x ? 1

.

∴? ? x ? ? g ? x ? ? k l n ? x ? 1? ? ∴ ? ?( x ) ? 1 ?
m ? k x ? 1

?x
x

? 1? ?
2

m x ? 1

? k ln

?x

? 1 ? 的定义域为 ? 1, ? ? ? .

?x

? 1?

2

?

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

?x

? 1?

2

.

?????3 分

若函数 ?

?x?

? g

?x?

? k ln

?x

? 1 ? 存在极值点等价于函数 ? ? ( x ) 有两个不等的零点,

且至少有一个零点在 ? 1, ? ? ? 上. 令 ? ?( x ) ?
x
2

?????4 分
? 0,

?

?2

? k? x ? k ? m ? 1

?x

? 1?

2

得 x2 ? 则Δ ?

?2

? k ? x ? k ? m ? 1 ? 0 , (*)

?2

? k?

2

? 4 ? k ? m ? 1? ? k

2

? 4 m ? 0 ,(**)
2

?????5 分
k 2
2

方程(*)的两个实根为 x1 ? 设h ? x? ? x2 ?

2 ? k ? 2

k

? 4m

, x2 ?

2 ? k ?

? 4m

.

?2

? k? x ? k ? m ? 1,

①若 x1 ? 1, x 2 ? 1 ,则 h ? 1 ? ? ? m ? 0 ,得 m ? 0 ,此时, k 取任意实数, (**)成立.

则 x ? ? 1, x 2 ? 时, ? ? ( x ) ? 0 ; x ? ∴函数 ? ∴函数 ?
2

?x

2

, ? ? ? 时, ? ? ( x ) ? 0 . , ? ? ? 上单调递增.

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递减,在 ? x ? x ? 有极小值点 x
2

2

.

?????6 分

②若 x1 ? 1, x 2

? h ?1 ? ? ? m ? 0 , ? m ? 0, ? 得? ? 1 ,则 ? 2 ? k ? k ? 0. ? 1. ? ? 2

又由(**)解得 k ? 2 ? m 或 k ? ? 2 ? m , 故k ? 2 ?m . 则 x ? ? 1, x1 ? 时 , ? ? ( x ) ? 0 ; x ?
? ? ( x ) ? 0.

?????7 分

?x ,x ?
1 2

时 , ? ?( x ) ? 0 ; x ?

?x

2

,?? ? 时,

∴函数 ? ∴函数 ?

? x ? 在 ? 1, x ? 上单调递增,在 ? x , x ? 上单调递减,在 ? x
1 1 2

2

, ? ? ? 上单调递增.

? x ? 有极小值点 x

2

,有极大值点 x1 .

?????8 分

综上所述, 当 m ? 0 时, k 取任何实数, 函数 ? 当 m ? 0 时, k ? 2 ? m ,函数 ?
2 ? k ? 2 k
2

? x ? 有极小值点 x
2

2



? x ? 有极小值点 x
2 ? k ? 2

,有极大值点 x1 .?9 分
2

(其中 x1 ?

? 4m

, x2 ?
1

k

? 4m

)

(2)证法 1:∵ m ? 1 , ∴ g

?x?
n

?

?x

? 1? ?

x ? 1
n

.

∴ ? g ? x ? 1? ? ? ?

n

? g

?x

? 1

?

? 1? ? ?x ? ? x? ?

? n 1 ? ? ?x ? n ? x ? ?

? x

n

? Cnx
1

n ?1

?

1 x

? Cn x
2

n?2

?

1 x
2

? ? ? Cn

n ?1

x ? x

1
n ?1

? Cn

n

1 x
n

? n 1 ? ? ?x ? n ? x ? ?

? Cnx
1

n?2

? Cn x
2

n?4

? ? ? Cn ? ? ? Cn

n ?1

x

2?n

.

?????10 分

令T ? C n x
1

n?2

? Cn x
2

n?4

n ?1

x

2?n



则T ? C n

n ?1

x

2?n

? Cn

n?2

x

4?n

? ? ? Cnx
1

n?2

? Cnx
1

2?n

? Cn x
2

4?n

? ? ? Cn

n ?1

x

n?2

.

∵x ? 0, ∴ 2T ? C n ? x
1 n?2

? x
2?n

2?n

?

? Cn
2

2

?x
x

n?4

? x
? x

4?n

?

? ? ? Cn
n ?1

n ?1

?x
x

2?n

? x
? x

n?2

? ?11 分
?12 分

? Cn ? 2
1

x

n?2

? x

? Cn ? 2

n?4

4?n

? ? ? Cn

? 2

2?n

n?2

? 2 Cn ? Cn ? ? ? Cn
1 2

?

n ?1

?
n ?1

? 2 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn
0 1 2

?

? Cn ? Cn ? Cn
n 0

n

?
?????13 分

? 2 2

?

n

? 2 .
n

?

∴T ? 2 n ? 2 , ? g ? x ? 1? ? 即? ?

? g

?x

n

? 1
n

?

? 2

n

? 2.

?????14 分

? 1? 证法 2:下面用数学归纳法证明不等式 ? x ? ? x? ?

? n 1 ? n ? ?x ? n ? ? 2 ? 2. x ? ?

① 当 n ? 1 时,左边 ? ? x ?
?

?

? 1? 1? 1 ? ? ?x ? ? ? 0 ,右边 ? 2 ? 2 ? 0 ,不等式成 x? x? ?

立;?????10 分
? 1? ② 假设当 n ? k ( k ? N ) 时,不等式成立,即 ? x ? ? x? ?
*

k

? k 1 ? k ? ?x ? k ? ? 2 ? 2, x ? ?

? 1? 则 ?x ? ? x? ?

k ?1

? k ?1 1 ? ? ?x ? k ?1 ? x ? ?

k ? ? k ? ? k ?1 1 ? ?? 1? 1 ?? 1? ? k 1 ? 1 ? ?? x ? ? ?x ? ? ? x ? k ?? ? ? x ? ? k ?1 ? ? ? ? ?x ? k ? ? ?x x ? ?? x? x? ? x ?? x ? x ? ? ? ? ? ? ? k ? ? k 1 ? ?? 1? 1 ?? ? k ?1 1 ? ?? x ? ? ?x ? ? ? x ? k ?? ? ? x ? k ?1 ? ? ? x ? ?? x? x ?? x ? ? ? ? ? ?

?????11 分

? 2

x ?

1 x

? 2

?

k

? 2

?

? 2

x

k ?1

? x

1
k ?1

?????12 分

? 2

k ?1

? 2.

?????13 分

也就是说,当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.
* 由①②可得,对 ? n ? N , ? g ? x ? 1 ? ? ? ?

n

? g

?x

n

? 1

?

? 2

n

? 2 都成立. ???14 分

2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区 域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按 以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式:①柱体的体积公式 V ? S h ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ②锥体的体积公式 V ?
1 n
1 3 S h ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高.2013-1-25

③标准差 s ? 均数.

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 为样本 x1 , x 2 , ? , x n 的平
2 2 2

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.
1 5 ? 2 5
2

i 2?i
? 2 5 i

等于 C.
1 5 ? 2 5 i

i

B. ?

1 5

D. ?

1 5

?

2 5

i

2.命题 p : ? x ? R , x ? 1 ? 1 ,则 ? p 是 A. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

B. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

C. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

D. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

2

2

3.已知 a ? (1, 2 ) , b ? (0,1) , c ? ( k , ? 2 ) ,若 ( a ? 2 b ) ? c ,则 k ? A. 2 C. ? 2 B. 8 D. ? 8
正视图

3

侧视图

4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 D.
23 2

1 1 俯视图

第 4 题图

5.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将两人最近的 6 次数学测试的分数进行统 计,甲乙两人的得分情况如茎叶图所示,若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲 , x乙 ,则下列说 法正确的是 A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛
第 5 题图

C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛

? y ? x ? 6.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?

A. ? 3

B.

1 2

C. 5

D. 6

7 . 已 知 集 合 M ? ? x | x ? 4 | ? | x ? 1 |? 5 ? , N ? ? x a ? x ? 6 ? , 且 M ? N ? ? 2 , b ? , 则
a?b ?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

8.对于函数 y ? f ( x ) ,如果存在区间 [ m , n ] ,同时满足下列条件:① f ( x ) 在 [ m , n ] 内是 单调的;②当定义域是 [ m , n ] 时, f ( x ) 的值域也是 [ m , n ] ,则称 [ m , n ] 是该函数的“和 谐区间” .若函数 f ( x ) ? A. (0 ,1)
a ?1 a ? 1 x ( a ? 0 ) 存在“和谐区间” ,则 a 的取值范围是

B. ( 0 , 2 )

C. ( , )
2 2

1 5

D. (1, 3)

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) = lo g 2 x ,则 f ( f ( )) 的值等于
4 1



10.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____.
2

11.函数 y ? sin x ? sin ? x ?
?

?

? ?

? 的最小正周期为 3 ?

,最大值是



12.某学生在参加政、史、地 三门课程的学业水平考试中,取得
?
P
0

1

2
b

3

6 125

a

24 125

A 等级的概率分别为

4 5



3 5



2 5



且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互独立.记 ? 为该生取得 A 等级的课程数,其分布列如 表所示,则数学期望 E ? 的值为______________. 13.观察下列不等式: ①
1 2 ? 1 ;② 1 2 ? 1 6 ? 2 ;③ 1 2 ? 1 6 ? 1 12 ? 3 ;?

则第 5 个不等式为



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0 ) 且与直线 ? ? 则直线 l 极坐标方程为 . D 15. (几何证明选讲)如图, M 是平行四边形 A B C D 的边 A B 的 中点,直线 l 过点 M 分别交 A D , A C 于点 E , F . 若 A D ? 3 A E ,则 A F : F C ? . A E F M l
第 15 题图

?
3

( ? ? R )垂直,

C B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 如图,在△ A B C 中, ? C ? 4 5 , D 为 B C 中点, B C ? 2 . 记锐角 ? A D B ? ? .且满足 c o s 2 ? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 B C 边上高的值. C D B
第 16 题图
?

A

7 25



17. (本题满分 12 分) 数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ? 2 数列,且 b1 , b 3 , b1 1 成等比数列. (1)求数列 ? a n ? 与 ? b n ? 的通项公式; (2)设 c n ?
bn an
n ?1

? 2 ,数列 ? b n ? 是首项为 a 1 ,公差为 d ( d ? 0 ) 的等差

,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 T n .

18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知 A B 为圆 O 的直径,点 D 为线段 A B 上一点, 且 AD ?
1 3 D B ,点 C 为圆 O 上一点,且 B C ?

P

3 AC .

点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , P D ? D B .

A

D

O

B

(1)求证: P A ? C D ; (2)求二面角 C ? P B ? A 的余弦值.

19. (本题满分 14 分) 某工厂生产某种产品,每日的成本 C (单位:万元)与日产量 x (单位:吨)满足函 数关系式 C ? 3 ? x ,每日的销售额 S (单位:万元)与日产量 x 的函数关系式
k ? ? 5, ( 0 ? x ? 6 ) ?3 x ? S ? ? x?8 ?1 4 , ( x ? 6) ?

已知每日的利润 L ? S ? C ,且当 x ? 2 时, L ? 3 . (1)求 k 的值; (2)当日产量为多少吨时,每日的利润可以达到最大,并求出最大值.

20. (本题满分 14 分)

设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左右顶点分别为 A ( ? 2, 0 ), B ( 2, 0 ) ,离心率 e ?

3 2



过该椭圆上任一点 P 作 P Q ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 Q P 的延长线上,且 | Q P |? | P C | . (1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 A C ( C 点不同于 A , B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 R B 的中点, 试判断直线 C D 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本题满分 14 分) 设 g ( x ) ? e , f ( x ) ? g [ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? ? g ( x ) ,其中 a , ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .
x

(1)求函数 f ( x ) 的极值;
e ?1
x

(2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式

? 1 ? a 成立;

x

(3)设 ? 1 , ? 2 ? R ,且 ? 1 ? ? 2 ? 1 ,
+

证明:对任意正数 a 1 , a 2 都有: a 1 a 2 ? ? 1 a 1 ? ? 2 a 2 .

?1

?2

2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 B 12 .
9 5

8 A

A C B C D C 答案 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9 . ?1
1 2 ?

10 . ? 4
1 6 ? 1 12 ? 1 20 ?

11 . 2 ? ( 2 分 ),
1 30 ?

3

(3 分)

13.

5

14. 2 ? s in (? ?

?
6

) ? 1 (或 2 ? c o s (? ?

?
3

) ? 1 、 ? co s ? ?

3 ? sin ? ? 1 )

15. 1 : 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ c o s 2 ? ? 2 c o s ? ? 1 ? ?
2

7 25

,∴ c o s ? ?
2

9 25

, , ∴


c

? ? (0,

?
2

) s

? ?

3 5



o 1 ? cos ? ?
2
?

-----------------5 分

(2)方法一、由(1)得 s in ? ?

4 5



∵ ? C AD ? ? AD B ? ? C ? ? ? 45 ,



sin ? C A D ? sin (? ?

?
4

) ? sin ? c o s

?
4

? c o s ? sin

?
4

?

2 10



-----------------9 分 在 ? A C D 中,由正弦定理得:
CD s in ? C A D ? AD s in ? C


2 2 2 10 ?5



AD ?

C D ? sin ? C sin ? C A D

1? ?



A

-----------------11 分 则高 h ? A D ? s in ? A D B ? 5 ?
4 5 ? 4.

-----------------12 分 C
DB AD ? 3 5

方法二、如图,作 B C 边上的高为 A H 在直角△ A D H 中,由(1)可得 c o s ? ? 则 不 妨 设 , 则

D

B

第 16 题图

H

AD ? 5m ,

D H ? 3m , A H ? 4 m

-----------------8 分 注意到 ? C = 4 5 ,则 ? A H C 为等腰直角三角形,所以 C D ? D H ? A H , 则 -----------------10 分 所 以 -----------------12 分
1 ? 3m ? 4 m m ?1
?





AH ? 4

17. (本题满分 12 分) 解析: 当 n ? 2 , a n ? S n ?S n (1) 时 分 又 a1 ? S 1 ? 2 所
n 1?1 ?1

?

2 ?

n ?1

2?
n

2

n



-----------------2

? 2 ? 2 ? 2 ,也满足上式,
1







{

an

}













an ? 2 .

-----------------3 分

b1 ? a 1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b 3 , b1 1 成等比数列,



(2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10 d )
2



-----------------4 分 d ? 0 解 得 ----------------5 分 所 以 数 列











d ? 3



{b n }













bn ? 3 n ? 1 .
b1 a1 b2 a2 b3 a3

-----------------6 分
? ? ?? ? bn an
? 2 2
1

( 2 ) 由 ( 1 ) 可 得 Tn ? -----------------7 分

?

5 2
2

?

8 2
3

??

n? 3 ? n


2

1

2Tn ? 2 ?

5 2
1

?

8 2
2

?? ?

3n ? 1 2
n ?1



-----------------8 分 两式式相减得
Tn ? 2 ? 3 2
1

?

3 2
2

?? ? 2
1

3
n ?1

?

3n ? 1 2
n



-----------------11 分
3 Tn ? 2 ? 2 1? (1 ? 2 1 2
n ?1

) ?

3n ? 1 2
n

? 5?

3n ? 5 2
n



-----------------12 分 18. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)法 1:连接 C O ,由 3 A D ? D B 知,点 D 为 A O 的中点, 又∵ A B 为圆 O 的直径,∴ A C ? C B ,
? 由 3 A C ? B C 知, ? C A B ? 6 0 ,

P

∴ ? A C O 为等边三角形,从而 C D ? A O .-----------------3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ P D ? 平面 A B C ,又 C D ? 平面 A B C , ∴ P D ? C D ,-----------------5 分 C 由 P D ? A O ? D 得, C D ? 平面 P A B ,
PA ? PAB 又 平 面 ∴ PA ? CD . -----------------6 分 (注:证明 C D ? 平面 P A B 时,也可以由平面 P A B ? 平面 A C B 得到,酌情给分. ) 法 2:∵ A B 为圆 O 的直径,∴ A C ? C B ,

A

D O

B



在 R t ? A B C 中设 A D ? 1 , 3 A D 由 D ?B

B D A , 3 A C ? B C 得, B ? 3 , B ? 4 , C ? 2 3 ,

∴ ∴
C

BD BC

?

BC AB

?

3 2

,则 ? B D C ∽ ? B C A ,
?BCA ? ?BDC


A O -----------------3 分



?



D

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ P D ? 平面 A B C ,又 C D ? 平面 A B C , ∴ -----------------5 分 由 P D ? A O ? D 得, C D ? 平面 P A B ,
PA ? 又 平 ∴ PA ? CD . 法 3:∵ A B 为圆 O 的直径,∴ A C ? C B ,
? 在 R t ? A B C 中由 3 A C ? B C 得, ? A B C ? 3 0 ,

PD ? CD





PAB



-----------------6 分

设 A D ? 1 ,由 3 A D ? D B 得, D B ? 3 , B C ? 2 3 , 由余弦定理得, C D ? D B ? B C ? 2 D B ? B C co s 3 0 ? 3 ,
2 2 2 ?


C ?

CD ? DB
2

2

? BC

2


A





D

-----------------3O 分

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ P D ? 平面 A B C ,又 C D ? 平面 A B C , ∴ -----------------5 分 由 P D ? A O ? D 得, C D ? 平面 P A B ,
PA ? PAB 又 平 面 , ∴ PA ? CD . -----------------6 分 ( Ⅱ ) 法 1 :( 综 合 法 ) 过 点 D 作 D E ? P B , 垂 足 为 E , 连 接 CE . -----------------7 分 P 由(1)知 C D ? 平面 P A B ,又 P B ? 平面 P A B , ∴ C D ? P B ,又 D E ? C D ? D ,

PD ? CD



∴ P B ? 平面 C D E ,又 C E ? 平面 C D E , ∴ C E ? P B ,-----------------9 分 ∴ ? D E C 为二面角 C ? P B ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 C D ?
3 , PD ? DB ? 3 ,

E

A

D C

O

B

(注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分. ) ∴ P B ? 3 2 ,则 D E ?
PD ? DB PB ? 9 3 2 ? 3 2 2


6 3

∴在 R t ? C D E 中, ta n ? D E C ?

CD DE

?

3 3 2 2

?




15 5

cos ? D E C ?

15 5











C ?

P?

B

的 A余









-----------------14 分
????
???? ????

法 2: (坐标法)以 D 为原点, D C 、 D B 和 D P 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向, 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系. -----------------8 分 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 C D ? A B ,酌情给分. ) 设 A D ? 1 ,由 3 A D ? D B , 3 A C ? B C 得, P D ? D B ? 3 , C D ? ∴ D (0, 0, 0 ) , C ( 3 , 0 , 0 ) , B (0 , 3, 0 ) , P (0 , 0 , 3) , ∴ P C ? ( 3 , 0, ? 3) , P B ? (0, 3, ? 3) , C D ? ( ? 3 , 0, 0 ) , 由
CD ? 平 面 ???? C D ? ( ? 3 , 0, 0 ) .

3 ,

??? ?

??? ?

????

PAB









PAB















-----------------10 分 z P
3 , z ? 1,

设平面 P B C 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则
???? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? ??? ? ? ?3 y ? 3 z ? 0 ?n ? PB ? 0 ? ?

∴ n ? ( 3 ,1,1) ,-----------------12 分 设二面角 C ? P B ? A 的平面角的大小为 ? ,
???? n ?CD ???? ? 则 cos ? ? | n | ?| CD | ?3 5? 3 ? ? 15 5

,-----------------13 分

A

D O C B y

∴二面角 C ? P B ? A 的余弦值为 19. (本题满分 14 分)

15 5

.-----------------14 分

x





: (

















k ? ? 2, 0 ? x ? 6 ?2x ? L ? ? x?8 ?1 1 ? x , x ? 6 ?



-----------------2 分 因 为
x ? 2





L ? 3







3?

? 2?

2? 2?8

k

.

2

-----------------4 分 解 -----------------5 分


18 x?8

k ? 18

.

(Ⅱ)当 0 ? x ? 6 时, L ? 2 x ?
18 x?8

? 2 ,所以

L ? ( x ? 8) 2 ?

? 1 8 = ? [ 2 (8 ? x ) ?

18 8? x

] ? 1 8 ≤ ? 2 ( 8 ? x) 2 ?

18 8? x

? 1 8 ? 6 .---------

--------8 分 当 号. 当
L ?1 ? x ?







2 (8 ? x ) ?

18 8? x





x ?5









-----------------10 分
x ? 6





1 5 . -----------------12 分 所以当 x ? 5 时, L 取得最大值 6 . 所 以 当 日 产 量 为 5 吨 时 , 每 日 的 利 润 可 以 达 到 最 大 值 6 万 元. -----------------14 分

20. (本题满分 14 分) 解 析 :( 1 ) 由 题 意 可 得 a ?2 -----------------2 分 ∴b ? a ? c ? 1,
2 2 2

, e?

c a

?

3 2

, ∴ c?

3




x
2 2


? y ? 1.









程 -----------------4 分
? x0 ? x ? , 即 ? 1 ? y0 ? x ? 2



4

( 2 ) 设 C ( x,

? x ? x0 y , P ( x0 , y0 ) , 由 题 意 得 ? ) ? y ? 2 y0



-----------------6 分 又 即
2 2

x0 4

2

? y 0 ? 1 ,代入得
2

x

2

?(

1 2

y ) ? 1 ,即 x ? y ? 4 .
2
2 2

4
C











E









x ? y ? 4.

-----------------8 分

(3)设 C ( m , n ) ,点 R 的坐标为 ( 2, t ) , ∵ A , C , R 三点共线,∴ A C // A R , 而 A C ? ( m ? 2, n ) , A R ? ( 4 , t ) ,则 4 n ? t ( m ? 2 ) , ∴t ?
4n m ?2
R

????

??? ?

????

??? ?

, 的 坐 标 为
( 4n 2 , m ?2

∴ 点

,) 点

D

的 坐 标 为

(

2n 2 , m ?2

,)

-----------------10 分
n? 2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? m n , 2 2 m ?2 m ?4 m ?4
2

∴直线 C D 的斜率为 k ?

而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ? n ,
2 2 2

∴ -----------------12 分 ∴直线 C D 的方程为 y ? n ? ?
m n

k ?

mn ?n
2

? ?

m n



( x ? m ) ,化简得 m x ? n y ? 4 ? 0 ,
4 m ?n
2 2

∴圆心 O 到直线 C D 的距离 d ? 所 切. 以 直 线

?

4 4

? 2 ? r,

CD

与 圆 -----------------14 分

O



21. (本题满分 14 分) 解 析 : ( 1 ) ∵
f ?( ? x) ? ? ? g? [ x? ? ( 1 ? ?? ,a ) ] g x

-----------------1 分 由 f ? ( x ) ? 0 得, g ?[ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? g ? ( x ) , ∴ ? x ? (1 ? ? ) a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a ) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? a 时, f ? ( x ) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x ) 取极大值,但 f ( x ) 没有极小值.-----------------4 分

(2)∵

e ?1
x

?1 ?

e ? x ?1
x


x

x

x
x

又当 x ? 0 时,令 h ( x ) ? e ? x ? 1 ,则 h ? ( x ) ? e ? 1 ? 0 , 故 h ( x ) ? h (0 ) ? 0 , 因 此 原 不 等 式 化 为
e ? x ?1
x

? a





e ?(
x

1? a

)x ?

, 1?

0

x

-----------------6 分 令 g ( x ) ? e ? (1 ? a ) x ? 1 ,则 g ? ( x ) ? e ? (1 ? a ) ,
x x

由 g ? ( x ) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln (1 ? a ) ,
x

当 0 ? x ? ln (1 ? a ) 时, g ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ln (1 ? a ) 时, g ? ( x ) ? 0 . 故 当 x ? l n ?( a 1 时 ), g ( x ) 取 最 小 值 g [ln (1 ? a )] ? a ? (1 ? a ) ln (1 ? a ) -----------------8 分 令 s(a ) ?
a 1? a ? ln (1 ? a ), a ? 0 ,则 s ? ( a ) ?



1 (1 ? a )
2

?

1 1? a

? ?

a (1 ? a )
2

? 0.

故 s ( a ) ? s (0 ) ? 0 ,即 g [ln (1 ? a )] ? a ? (1 ? a ) ln (1 ? a ) ? 0 . 因 此 立. , 存 在 正 数
x ? ln (1 ? a )

, 使 -----------------10 分
x1 x2











(3)对任意正数 a1 , a 2 ,存在实数 x1 , x 2 使 a 1 ? e , a 2 ? e , 则 a1 a 2 ? e
?1
?1 ?2 ?1 x1

?e

?2 x2

? e

?1 x1 ? ? 2 x 2

, ?1 a1 ? ? 2 a 2 ? ?1 e ? ? 2 e ,
x1 x2

原不等式 a1 a 2 ? ?1 a1 ? ? 2 a 2 ? e

?2

?1 x1 ? ? 2 x 2

? ?1 e

x1

? ?2e

x2



? g ( ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 g ( x1 ) ? ? 2 g ( x 2 )

-----------------14 分 由(1) f ( x ) ? (1 ? ? ) g ( a ) 恒成立, 故 g [ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? ? g ( x ) ? (1 ? ? ) g ( a ) , 取 x ? x1 , a ? x 2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ? 2 , 即得 g ( ?1 x1 ? ? 2 x 2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ? 2 g ( x 2 ) , 即 立.
e
?1 x1 ? ? 2 x 2

? ?1 e

x1

? ?2e

x2

















-----------------14 分

绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)
2013.2
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1 .答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条 形码是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自 己的学校、姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题 卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2 . 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求 填涂的,答案无效. 3 .非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动, 先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要 求作答的答案无效. 4 . 作答选做题时, 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再做答. 漏 涂、错涂、多涂的答案无效. 5 .考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考结论:
参考公式: 若锥体的底面积为 S ,高为 h ,则锥体的体积为 v ?
1 3
2 若球的半径为 R ,则球的表面积为 S ? 4 ? R ,体积为 V ?

sh

.
4 3

?R .
3

回归直线的方程是 :

?

y ? bx ? a



? (x
其中 : b ?
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y ) , a ? y ? b x.
i

? (x
i ?1

? x)

2

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四 个选项中,有且只有一项是符合题目要求的. 1.化简 sin A. sin
33
?

2013

?

的结果是
33
?

B. cos

C. ? sin

33

?

?

?

D. ? cos

33

?

?

2.已知 i 是虚数单位,则复数 i 13 (1 ? i ) ? A. 1 ? i B. 1 ? i ? C. ? 1 ? i ? ? D. ? 1 ? i ? ? 3.图 1 是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积、体积 分别是

? A.
32 ? , 128 3

?
? my
2

B.

16 ? ,

32 3

?

C.

12 ? ,

16 3

?

D.

8? ,

16 3

?

4.双曲线 x 2 A.
1 4

? 1 的实轴长是虚轴长的
1 2

2 倍,则 m= 4

B.

C. 2

D.

5. 等差数列 { a n } 中, a 1 , a 2 , a 3 分别是下表第一、 三行中的某一个数, a 1 , a 2 , a 3 二、 且 中的任何两个数不在下表的同一列.

则 a 4 的值为 A. 18 B.15 C.12 D.20 6.我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数” (如 2013 是“六合数”, ) 则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 A. 18 个 B.15 个 C.12 个 D.9 个

7. 函数 y

? ln | x ? 1 | 的图像与函数 y ? ? 2 cos ? x ( ? 2 ? x ? 4 ) 的图像所有交点的横坐

标之和等于 A. 8 8.函数 y

B.6

C.4

D.2 C ,对任意的 x1 ? D , 存在唯一的 x 2 ?
D

? f ( x ), x ? D , 若存在常数

使得

f ( x1 ) f ( x 2 ) ? C ,

则称函数 则函数

f (x)
3

在 D 上的几何平均数为 C .已知 在[1,2]上的几何平均数为 D. 2
2

f ( x ) ? x , x ? [1, 2 ],
3

f (x) ? x

A.

2

B.2

C.4

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本 大题分 为必做题和选做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须 作答. 9.若 (1 ? 2 x )
5

? a 0 ? a1 x ? a 2 x ? a 3 x ? a 4 x ? a 5 x ,

,则 a 3 =________
1

10.容量为 60 的样本的频率分布直方图共有 n(n>1)个小矩形,若其中一 个小矩形的面积等于其余 n-1 个小矩形面积和的 ,则这个小矩形对
5

应的频数是_________. 11.已知 ?
? ?( x , y ) | x ? y ? 6 , x ? 0 , y ? 0

?, A

? ( x, y ) | x ? 4, y ? 0, x ? y ? 0 ,
2

?

? 若向

区域 ? 上随机投一点 P ,则点 P 落入区域 A 的概率是____________. 12.若执行图 2 中的框图,输入 N ? 13 ,则输出的数等于_________. (注: S ? 0 ” “ ,即为“ S ? O ”或为“ S :? 0 ”) .

13. 设集合 A

? ( x, y ) | ( x ? 4) ? y ? 1 ,
2 2

?

?

B ? ( x , y ) | ( x ? t ) ? ( y ? at ? 2 ) ? 1 , 如果
2 2

?

?

命题“ ? t ? R , A ?

B ??

”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只 计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 1 的参数方程为 ? 线 C 2 的极坐标方程为 ? sin ?
? ? cos ? ? 3 ,

?x ?

t,

? y ? t ? 1.

(t 为参数) ,曲

则 C 1 与 C 2 交点在直角坐标系中的坐标

为 ____________ . 15. (几何证明选讲选做题)如图 3 ,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E ,EF ? BC,垂足为 F ,若 AB=6,CF ? CB=5,则 AE =________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数
f ( x ) ? 2 sin(

?x
6

?

?
3

)( 0 ? x ? 5 ),

点 A 、B 分别是函数 y

? f (x)

图像上的

最高点和最低点. (1)求点 A 、B 的坐标以及 OA
? OB

的值;
tan( ? ? 2 ? ) 的值.

(2)设点 A 、B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求

17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示:

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归 方程; (2) 要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示 选中的同学的物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望
E ( X ) 的值.

18. (本小题满分 14 分) 如图 5, ⊙O 的直径 AB=4, C 、 为⊙O 上两点, ? CAB 点 D 且
? 45 , ? DAB ? 60 , F
? ?

为 BC 弧的中点.沿直径 AB 折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图 6 ) . (1)求证: // OF 平面 ACD; (2)求二面角 C- AD-B 的余弦值; (3)在 BD 弧上是否存在点 G ,使得 FG//平面 ACD?若存在,试指出点 G 的 位置,并求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 满足: a 1
n? N
?

? 1, a 2 ? a ( a ? 0 ), a n ? 2 ? p ?

a n ?1

2

(其中 p 为非零常数,

an

) .
a n ?1 an } 是不是等比数列?

(1)判断数列 { (2)求 { a n } ;

(3)当 a=1 时,令 b n

?

na n ? 2 an

,

S n 为数列 { b n }

的前 n 项和,求 S n .

20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1 ( ? 1, 0 ) 及 F 2 (1, 0 ), 点 P 在以 F 1 、
| F1 F 2 | 、 | PF 2 | 构成等差数列. F2

为焦点的椭圆 C 上,且 | PF 1 | 、

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)如图 7,动直线: l : 线 l 上的两点,且 F1 M

y ? kx ? m

与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M, N 是直

? F2 N ? l

.求四边形 F1 MNF 2 面积 S 的最大值.

21. (本小题满分 14 分) 已知
f (x) ? x ? a x ( a ? 0 ), g ( x ) ? 2 ln x ? bx ,

且直线 y

? 2x ? 2

与曲线 y

? g (x)

相切.

(1)若对 [1, ?? ) 内的一切实数 x ,不等式 范围;

f (x) ? g (x)

恒成立,求实数 a 的取值

(2)当 a=1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [ e ,3 ]( e 数)内的任意 k 个实数 x1 , x 2 , x 3 , ? , x k 都有 立; (3)求证: ?
i ?1 n

? 2 . 71828 ?

是自然对数的底 成

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? f ( x k ? 1 ) ? 16 g ( x k )

4i 4i ? 1
2

? ln( 2 n ? 1 )

(n ? N )

?

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 C 2 C 3 C 4 D 5 A 6 B
8 27

7 B

8 D
12 13

二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 9. 80 ; 13. 0 ? a ?
4 3

10. 1 0 ; ; 14. ( 2 , 5 ) ;

11.



12.



15. 1 .

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 sin( 高点和最低点. (1)求点 A 、 B 的坐标以及 OA ? OB 的值;
πx 6 ? π 3 )( 0 ? x ? 5 ) ,点 A 、 B 分别是函数 y ? ( x)图像上的最 f

(2)设点 A 、 B 分别在角 ? 、 ? 的终边上,求 tan( ? ? 2 ? ) 的值. 解: (1)? 0 ? x ? 5 , ?
? ?

?
3

?

πx 6

?

π 3

?

7π 6



?????????????1 分

1 2

? s in (
π 3 ? π 2

πx 6

?

π 3

) ? 1.

???????????????????????2 分
πx 6 ? π 3 ) ? 1 , f ( x ) 取得最大值 2 ;

当 当

πx 6

?

,即 x ? 1 时, s in (

πx 6

?

π 3

?

7π 6

,即 x ? 5 时, s in (

πx 6

?

π 3

)? ?

1 2

, f ( x ) 取得最小值 ? 1 . ????????????4 分

因此,点 A 、 B 的坐标分别是 A (1, 2 ) 、 B (5, ? 1) .
??? ??? ? ? ? O A ? O B ? 1 ? 5 ? 2 ? ( ? 1) ? 3 .

????????????????????6 分

(2)? 点 A (1, 2 ) 、 B ( 5 , ? 1) 分别在角 ? 、 ? 的终边上,
? tan ? ? 2 , tan ? ? ?

1 5



????????????????8 分

) 5 ? ? 5 ? ta n 2 ? ? , 1 2 12 1 ? (? ) 5 2 ? (? 5

2 ? (?

1

??????????????????10 分

? ta n ( ? ? 2 ? ) ?

) 29 12 ? . ??????????????????12 分 5 2 1 ? 2 ? (? ) 12

【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) 的图象与性质,三角恒等变 换,以及平面向量的数量积等基础知识,考查了简单的数学运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如下表所示:
学生 数学( x 分) 物理( y 分)
A1
89

A2
91

A3
93

A4
95

A5
97

87

89

89

92

93

(1)请在图 4 的直角坐标系中作出这些数据的散点图,并求出这些数据的回归方程; (2)要从 4 名数学成绩在 90 分以上的同学中选 2 人参加一项活动,以 X 表示选中的同 学的物理成绩高于 90 分的人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ( X ) 的值. 解: (1)散点图如右图所示.????1 分
x=
y =
y(物理成绩)

89 ? 91 ? 93 ? 95 ? 97 5 87 ? 89 ? 89 ? 92 ? 93 5

= 93 , = 90 ,

94

?
92 90

?

?
88

?

?
O

89

91

93

95

97

x(数学成绩)

图4

? (x
i ?1

5

i

? x) ? 4
2

2

? (?4) ? (?2) ? 0
2 2

2

? 2

2

? 40 ,

? (x
i ?1

5

i

? x )( y i ? y ) ? ( ? 4 ) ? ( ? 3 ) ? ( ? 2 ) ? ( ? 1) ? 0 ? ( ? 1) ? 2 ? 2 ? 4 ? 3 ? 30



b ?

30 40

? 0 .7 5 , b x ? 6 9 .7 5 , a ? y ? b x ? 2 0 .2 5 .

?????????5 分 ?????????6 分

? 故这些数据的回归方程是: y ? 0 .7 5 x ? 2 0 .2 5 .

(2)随机变量 X 的可能取值为 0 , 1 , 2 .
2 1 1

??????????????7 分
2

C C C C 1 2 1 P ( X ? 0 ) = 22 ? ; P ( X ? 1 )= 2 2 2 ? ; P ( X ? 2 )= 22 ? . ????10 分 C4 6 C4 3 C4 6

故 X 的分布列为:
X p
0

1

2
1 6

1 6

2 3

?????11 分

? E (X ) = 0 ?

1 6

+1 ?

2 3

+2 ?

1 6

= 1 . ???????????????????12 分

【说明】本题主要考察读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等 基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18. (本小题满分 14 分) 如图 5 , ⊙ O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为 ⊙ O 上两点,且 ? C A B = 4 5 ,
? F ∠ DAB ? 6 0 , 为 B C 的中点. 沿直径 AB 折起, 使两个半圆所在平面互相垂直 (如图 6 ) .
? ?

(1)求证: O F // 平面 ACD ; (2)求二面角 C - A D - B 的余弦值;
? (3)在 B D 上是否存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ?若存在,试指出点 G 的位置,并

求直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.
C
? F

?
B

C
?F

A

? O

?
A
O
?

B

D

?

D

图5

图6

(法一) :证明: (1)如右图,连接 CO ,

? ? CAB ? 45 ,? CO ? AB ,
? 又? F 为 B C 的中点,? ? FOB ? 45 ,
?

?

?

C
?F

A

? OF // AC . ? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD ,
? O F // 平面 ACD .????????3 分

E

O

?

B
G

?

D

解: (2)过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE . ? CO ? AB ,平面 ABC ⊥平面 ABD . ? CO ⊥平面 ABD . 又? AD ? 平面 ABD , ? CO ? AD , ? AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则∠ CEO 是二面角 C - A D - B 的平面角.
? ? OAD ? 60 , OA ? 2 , ? OE ?
?

????????????5 分

3.

由 CO ⊥平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ? CEO 为直角三角形,
? CO ? 2 ,? CE ?

7 .
21 7

? cos ? CEO =

3 7

=

. ??????????????????????8 分

? (3)设在 B D 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,
? O F // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,

? OG // AD , ? B O G = ? B A D = 6 0 .

?

? ? 因此,在 B D 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 B D 的中点.??10 分

连 AG ,设 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,点 G 到平面 ACD 的距离为 h .
? S ? ACD =

1 2

? AD ? CE =

1 2

?2?

7 =

7 , S ? GAD ? S ? OAD =

1 2

?2?

3 =

3 ,

? 由 V G - ACD = V C - AGD ,得

1 3

?

7?h=

1 3

?

3 ? 2 ,得 h ?

2

21 7



????12 分

? 在 ? AOG 中, AO ? OG ? 2 , ? AOG ? 120 ,由余弦定理得 AG = 2 3 ,?13 分

? sin ? ?

h AG

=

7 7



???????????????????14 分
z

(法二) :证明: (1)如图,以 AB 所在的直线 为 y 轴,以 OC 所在的直线为 z 轴,以 O 为原点,
?

C
?F

A

O

?

B y
G

?

D

x

作空间直角坐标系 O ? xyz ,则 A ? 0 , ? 2 , 0 ? , C ? 0 ,0 ,2 ? .
AC ? ( 0 , 0 , 2 ) ? ( 0 , ? 2 , 0 ) ? ( 0 , 2 , 2 ) ,
? ? 点 F 为 B C 的中点,? 点 F 的坐标为 0 ,

?

2 , 2 , OF ? ( 0 ,

?

2,

2).

???? ? OF ?

2 ???? A C ,即 O F // A C . 2

? OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD ,
? O F // 平面 ACD .
?

??????????????????????3 分
????

解: (2)? ? D A B ? 6 0 ,? 点 D 的坐标 D ? 3 , ? 1 ,0 ? , A D ? ( 3 ,1, 0 ) . 设二面角 C - A D - B 的大小为 ? , n1 ? ? x , y , z ? 为平面 ACD 的一个法向量.
?? ? n1 ? 由 ? ?? ? n1 ? ???? ?? x, y , z ? ? ? 0, 2, 2 ? ? 0, ? 2 y ? 2 z ? 0, ? A C ? 0, ? ? 有? 即? ???? 3 ,1, 0 ? 0 , ? A D ? 0, ? 3 x ? y ? 0. ? ?? x, y, z ? ? ?
??

?

?

取 x ? 1 ,解得 y ? ? 3 , z ?
?? ? n1 = 1 ,-

3 .

?

3, 3 .

?

?????????????????5 分
?? ?

取平面 A D B 的一个法向量 n 2 = ? 0 ,0 ,1 ? ,
?? ?? ? 1? 0 ? (? n1 ? n 2 ?? ? ? ? c o s ? ? ?? | n1 | ? | n 2 | 3)? 0 ? 7 ?1

???????????????6 分
3 ?1 21 7

?

.?????????8 分

? (3)设在 B D 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,
? O F // 平面 ACD , ? 平面 OFG // 平面 ACD ,则有 OG // AD . ?????? ???? ???? ???? 设 O G ? ? A D ( ? ? 0 ) ,? A D ? ( 3 ,1, 0 ) ,? O G ?

?

3? ,? ,0 .

?

又? O G ? 2 ,?
???? ? OG ?

????

( 3? ) ? ? ? 0
2 2

2

? 2 ,解得 ? ? ? 1 (舍去 ? 1 ) .

?

? 3 ,1 , 0 ,则 G 为 B D 的中点.

?

? ? 因此,在 B D 上存在点 G ,使得 FG //平面 ACD ,且点 G 为 B D 的中点.??11 分

设直线 AG 与平面 ACD 所成角为 ? ,
???? ? A G ? ( 3 ,1, 0 ) ? (0, ? 2, 0 ) ? ( 3 , 3, 0 ) ,

根据(2)的计算 n1 ? 1 , - 3 , 3 为平面 ACD 的一个法向量,
???? ?? A G ? n1 ? ?? ? ? s in ? ? c o s (9 0 ? ? ) ? ???? | A G | ? | n1 | 3 ? 1 ? 3 ? (? 2 3?
7 7

??

?

?

3) ? 0 ? 7

3

?

7 7



因此,直线 AG 与平面 ACD 所成角的正弦值为

. ???????????14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,线面角、二面角及三角函数等基础知 识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 { a n } 满足: a 1 ? 1 , a 2 ? a ( a ? 0 ) , a n ? 2 ? p ?
n? N ) .
*

a n ?1 an

2

(其中 p 为非零常数,

(1)判断数列 { (2)求 a n ;

a n ?1 an

} 是不是等比数列?

(3)当 a ? 1 时,令 b n ? 解: (1)由 a n ? 2 ? p ? 令 cn ?
a n ?1 an

nan?2 an
2

, S n 为数列 { b n } 的前 n 项和,求 S n .
a n?2 a n ?1 ? p? a n ?1 an

a n ?1 an

,得



???????????1 分

,则 c1 ? a , c n ? 1 ? p c n .
c n ?1 cn ? p (非零常数) ,

? a ? 0 ,? c1 ? 0 ,
? 数列 {

a n ?1 an

} 是等比数列.

????????????????????3 分

(2)? 数列 { c n } 是首项为 a ,公比为 p 的等比数列,
? c n ? c1 ? p
n ?1

? a?p

n ?1

,即
a n ?1
2

a n ?1 an

? ap a2 a1

n ?1


n?2

???????????4 分
) ? (ap
n?3

当 n ? 2 时, a n ?

an

?

?? ?

a n ?1 a n ? 2
n ?3n? 2 n ?1

? a1 ? ( a p

) ? ? ? (ap ) ? 1
0

? a

p

2


n ?3n? 2
2

??????????????????6 分
2

? a 1 满足上式, ? a n ? a

n ?1

p
n

,n ? N .
*
n ?1

??????????7 分
2 n ?1

(3)?

an?2 an

?

an?2 a n ?1

?

a n ?1 an

? (ap ) ? (ap

)? a p
2



? 当 a ? 1 时, b n ?

nan?2 pan

? np

2 n ?1



????????????????8 分

? Sn ? 1? p ? 2 ? p ? ? ? n ? p
1 3

2 n ?1


2 n ?1


? n? p
2 n ?1

p Sn ?
2
2

1 ? p ? ? ? ( n ? 1) ? p
3



? 当 p ? 1 ,即 p ? ? 1 时,① ? ②得:

(1 ? p ) S n ? p ? p ? ? ? p
2 1 3

2 n ?1

? np

2 n ?1

?

p (1 ? p 1? p

2n

)

2

? np

2 n ?1



即Sn ?

p (1 ? p
2

2n 2

)

(1 ? p )

?

np

2 n ?1 2

1? p

, p ? ?1 .
n ( n ? 1) 2 n ( n ? 1) 2

??????????11 分

而当 p ? 1 时, S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?



??????????12 分 .?????????13 分

当 p ? ? 1 时, S n ? ( ? 1) ? ( ? 2 ) ? ? ? ( ? n ) ? ?
? n ( n ? 1) , p ? 1, ? 2 ? ? n ( n ? 1) 综上所述,S n ? ? ? , p ? ? 1, 2 ? ? p (1 ? p 2 n ) n p 2 n ? 1 ? , p ? ?1. ? 2 2 2 1? p ? (1 ? p )

???????????14 分

【说明】考查了等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位 求和等知识,考查了学生的运算能力,以及化归与转化、分类讨论的思想. 20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1 ( ? 1, 0 ) 及 F 2 (1, 0 ) , P 在以 F 1 、F 2 为焦点的椭圆 C 上, PF 1 、F1 F 2 、 点 且
PF 2 构成等差数列.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M , N 是直线 l 上 的两点,且 F1 M ? l , F 2 N ? l . 求四边形 F1 M N F 2 面积 S 的最大值. y 2 2 x y l M ? ? 1. 解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为
a
? P F1 、F1 F
2

b

2

2

、P F 2 构成等差数列, ? 2 F1 F 2 ? 4 , a ? 2 .

N F1 O F2

? 2 a ? P F1 ? P F

x

2

图7

又? c ? 1 ,? b ? 3 .
2

? 椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

? 1 . ????????????????????4 分

4

3
2 2

(2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? k x ? m 代 入 椭 圆 C 的 方 程 3 x ? 4 y ? 1 2 中 , 得
(4k
2

? 3) x

2

? 8 kmx ? 4 m

2

? 12 ? 0 .
2 2

??????????5 分
2 2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 6 4 k m ? 4 ( 4 k ? 3)( 4 m ? 1 2 ) ? 0 , 化简得: m ? 4 k ? 3 .
2 2

??????????7 分
k ?m k ?1
2

设 d 1 ? F1 M ?

?k ? m k ?1
2

, d 2 ? F2 M ?



??????????9 分 y l M H N O F2

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d 1 ? d 2 ? M N ? tan ? ,
? MN ? d1 ? d 2 k



F1

x

S ?

1 d1 ? d 2 2 k

(d1 ? d 2 ) ?

d1 ? d 2
2

2

?

2 m k ?1
2

? m

2m
2

2k

?3 4

? ?1

8 m ? 1 m

, ???11 分

? m

2

? 4 k ? 3 , 当 k ? 0 时, m ? ?
2

3 ,m ?

1 m

?

3 ?

1 3

?

4 3

3 ,S ? 2 3 .

当 k ? 0 时,四边形 F1 M N F 2 是矩形, S ? 2 3 . 所以四边形 F1 M N F 2 面积 S 的最大值为 2 3 . (法二)? d 1 ? d 2 ? (
2 2

???????????13 分 ????????????14 分
2(m ? k )
2 2

?k ? m k ?1
2

) ?(
2

k ?m k ?1
2

) ?
2

k ?1
2

?

2 (5 k ? 3)
2

k ?1
2



d 1d 2 ?

?k ? m k ?1
2

?

k ?m k ?1
2

?

m ?k
2

2

k ?1
2

?

3k ? 3
2

k ?1
2

? 3.

? MN ?

F1 F 2 ? ( d 1 ? d 2 )
2

2

?

4 ? ( d 1 ? d 2 ? 2 d 1d 2 ) ?
2 2

2 k ?1
2



四边形 F1 M N F 2 的面积 S ?

1 2

M N (d1 ? d 2 ) ?

1 k
2

?1

(d 1 ? d 2 ) ,

????11 分

S

2

? k

1
2

?1

(d 1 ? d 2 ? 2d 1d 2 ) ?

2

2

16 k (k
2

2

? 12
2

? 1)

? 16 ? 4 ( k

1
2

?1

? 2)

2

? 12 .

??????????????????13 分

2 当且仅当 k ? 0 时, S ? 1 2 , S ? 2 3 ,故 S m ax ? 2 3 .

所以四边形 F1 M N F 2 的面积 S 的最大值为 2 3 .

??????????14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知 识,考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结 合、化归与转化思想. 21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? x ? 切. (1)若对 [1, ?? ) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [ e , 3 ] ( e ? 2 .7 1 8 2 8 ? ? ? 是自然对数的底 数)内的任意 k 个实数 x 1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ?1 ) ? 16 g ( x k ) 成立; (3)求证: ?
i ?1 n

a x

( a ? 0 ) ,g ( x ) ? 2 ln x ? bx , 且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g ( x ) 相

4i 4i
2

?1

? ln( 2 n ? 1 ) ( n ? N ) .
*

解 : 1 ) 设 点 (x0 , y0 ) 为 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 的 切 点 , 则 有 (
2 ln x 0 ? bx 0 ? 2 x 0 ? 2 .
? g ?( x ) ? 2 x ? b ,?

(*)
2 x0 ?b ? 2.

(**) ???????????2 分

由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x ) ? 2 ln x . 、 由 f ( x ) ? g ( x ) 整理,得
a x ? x ? 2 ln x ,

? x ? 1 ,? 要使不等式 f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,必须 a ? x

2

? 2 x ln x 恒成立.

设 h ( x ) ? x ? 2 x ln x , h ? ( x ) ? 2 x ? 2 (ln x ? x ?
2

1 x

) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 ,

? h ? ?( x ) ? 2 ?

2 x

,? 当 x ? 1 时, h ? ? ( x ) ? 0 ,则 h ? ( x ) 是增函数,

? h ? ( x ) ? h ? (1) ? 0 , h ( x ) 是增函数, h ( x ) ? h (1) ? 1 , a ? 1 .???????5 分

因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ?
1 x

???????????????6 分



? f ?( x ) ? 1 ? f (3) ? 8 3

1 x
2

? 0 , ? f ( x ) 在 [ e , 3 ] 上是增函数, f ( x ) 在 [ e , 3 ] 上的最大值为



要对 [ e , 3 ] 内的任意 k 个实数 x 1 , x 2 , ? , x k 都有 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x k ?1 ) ? 16 g ( x k ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,
? 当 x 1 ? x 2 ? ? ? x k ? 1 ? 3 时不等式左边取得最大值, x k ? e 时不等式右边取得最

小值.
? ( k ? 1) ? 8 3 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .

因此, k 的最大值为 13 .

???????????????10 分

(3)证明(法一) :当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1, ?? ) 时, f ( x ) ? g ( x ) , 即 ln x ? 令x ?
1 2 2k ? 1 2k ? 1 (x ? 1 x ). 2k ? 1 2k ? 1 ?

?????????????????????11 分
1 2k ? 1 2k ? 1 ( ? ), 2 2k ? 1 2k ? 1 4k 4k
2

,得 ln

化简得 ln( 2 k ? 1) ? ln( 2 k ? 1) ?

?1



????????????13 分
4i 4i ? 1
2

ln( 2 n ? 1) ?

?
i ?1

n

[ln( 2 i ? 1) ? ln( 2 i ? 1)] ?

?
i ?1

n



?????????14 分

(法二)数学归纳法:当 n ? 1 时,左边=

4 3

,右边= ln 3 ,
1 x ? 2 ln x .

根据(1)的推导有, x ? (1, ?? ) 时, f ( x ) ? g ( x ) ,即 x ? 令 x ? 3 ,得 3 ?
1 3 ? 2 ln 3 ,即 4 3 ? ln 3 .

因此, n ? 1 时不等式成立. (另解:? e ?
5 2

????????????11 分
4

,? e ? ( ) ?
4

5

625 16

? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即

4 3

? ln 3 . )

2
k

假设当 n ? k 时不等式成立,即 ?
i ?1

4i 4i ? 1
2

? ln( 2 k ? 1 ) ,

则当 n ? k ? 1 时, ?

k ?1

4i 4i ? 1
2

?

?
i ?1

k

4i 4i ? 1
2

?

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2

? ln( 2 k ? 1 ) ?

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2



i ?1

要证 n ? k ? 1 时命题成立,即证 ln( 2 k ? 1) ?

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2

? ln( 2 k ? 3 ) ,

即证

4 ( k ? 1) 4 ( k ? 1) ? 1
2

? ln

2k ? 3 2k ? 1



在不等式 x ?
2k ? 3 2k ? 1 ?

1 x

? 2 ln x 中,令 x ?

2k ? 3 2k ? 1

,得

ln

1 2k ? 3 2k ? 1 4 ( k ? 1) ( ? ) ? . 2 2 2k ? 1 2k ? 3 4 ( k ? 1) ? 1

? n ? k ? 1 时命题也成立.

???????????????13 分
n

根据数学归纳法,可得不等式 ?
i ?1

4i 4i
2

?1

? ln( 2 n ? 1 ) 对一切 n ? N 成立. ?14 分
*

【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式 的求解与证明、数学归纳法等综合知识,考查学生的计算推理能力及分析问题、解决问题的 能力及创新意识. 命题: 喻秋生、姚亮、宋晓勤 审题:魏显峰

广东省梅州市 2013 届高三总复习质检 数学理试题(2013.3)
一、选择题(40 分) 1、设 i 是虚数单位,复数
i 1? i

对应的点在

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、设集合 A={x|x2-2x-3<0,x ? R},集合 B={-2,2},则 A∩B 为 A、 (-1,2) B、 (-2,-1) C、 (-2,3) D、 (-2,2) 3、下列函数中,在(0,+ ? )上单调递增的偶函数是 A、y=cosx B、y=x3 C、y ? log 1 x 2
2

D、y= e x ? e ? x

4、如图是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3 ,则 a=
2 2 3 2

A、 2

B、

C、 3

D、

5、某程序框图如右图所示,若输出的 S=57,则判断框内填 A、k>4? B、k>5? C、k>6? D、k>7? ? 1 6、函数 y ? sin( x ? ) 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍
6 2

(纵坐标不变) 右平移 , 程为 A、 x ? ? C、 x ?
?
8

?
3

个单位, 那么所得图象的一条对称轴方

?
4

B、 x ? ? D、 x ?
?

?
2

4

7、如图所示 2X2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、 2、 3、4 中的任何一个,允许重复,则填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字 的概率为 A、
1 2
2

B、

1 4

C、
2

3 4
2

D、

3 8

8、若不等式 x ? 2 xy ? a ( x ? y ) 对于一切正数 x,y 恒成立,则实数 a 的最小值为
2 ?1 2
3 2

A、2

B、

C、

D、

5 ?1 2

二、填空题(30 分) (一)必做题(9-13 题) 9、已知双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的两条近线的夹角为

?
3

,则双曲线的离心率为__

_ 10、 2012 年 8 月 15 日那天, 在 某物价部门对本市的 5 家商场的某商品的一天销售量价格进 行调查,5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示:

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:
? ? ?3.2 x ? 40 ,且 m+n=20,则其中的 n=____ y

11、 ( x ? )9 展开式中的常数项为____
x

2

?2 x ? y ? 4 ? 12、设 x,y 满足 ? x ? y ? 1 学科网 则 z=x+y-3 的最小值为____ ?x ? 2 y ? 2 ?

13、设函数 f(x)的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M(M ? D) ,有 x+ l ? D,且 f(x+l)≥f(x) ,则称 f(x)为 M 上的 l 高调函数,如果定义域为 R 的函数 f(x) 是奇函数,当 x≥0 时,f(x)= | x ? a | ?a ,且 f(x)为 R 上的 8 高调函数,那么实数 a
2 2

的取值范围是____ (二)选做题(14、15 题中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? =2 上的点到直线 ? sin(? ?
?
6 ) =3

的距离的最小值是____ 15、 (几何证明选讲选做题)如图⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点 作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC,且∠CPA=30°,则 BP=____cm

三、解答题(80 分) 16、 (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的内角 A, C 的对边分别为 a, c, B, b, 满足 3 sin C cos C ? cos 2 C ? (1)求角 C (2)若向量 m ? (1, sin A) 与 n ? (2, sin B )学科网 共线,且 c=3,求 a、b 的值。
?? ?

1 2



17、 (本小题满分 12 分) 某工厂在试验阶段大量生产一种零件,这种零件有甲、乙两项技术指标需要检测,设各 项技术指标达标与否互不影响,按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品,为 估计各项技术的达标概率,现从中抽取 1000 个零件进行检验,发现两项技术指标都达标的 有 600 个,而甲项技术指标不达标的有 250 个。 (1)求一个零件经过检测不为合格品的概率及乙项技术指标达标的概率; (2)任意抽取该零件 3 个,求至少有一个合格品的概率; (3)任意抽取该种零件 4 个,设 ? 表示其中合格品的个数,求随机变量 ? 的分布列。

18、 (本小题满分 14 分) 已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平 面 ABCD,PA=AD=1,AB=2,E,F 分别是 AB、PD 的中 点。 (1)求证:AF∥平面 PEC; (2)求二面角 P-EC-D 的余弦值; (3)求点 B 到平面 PEC 的距离。

19、 (本小题满分 14 分) 已知 F1,F2 分别是椭圆 C:
2

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0) 的上、下焦点,其中 F1 也是抛物线
5 3

C1: x ? 4 y 的焦点,点 M 是 C1 与 C2 在第二象限的交点,且 | MF1 |?



(1)求椭圆 C1 的方程; (2)已知 A(b,0) ,B(0,a) ,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D,与椭圆 C1 相交于点 E,F 两点,求四边形 AEBF 面积的最大值。

20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( a ? ) x 2 ? ln x( x ? R ) 。
2 1

(1)当 a=1 时, ?x0 ? [1, e] 使不等式 f ( x0 ) ? m ,求实数 m 的取值范围; (2)若在区间(1,+ ? )上,函数 f(x)的图象恒在直线 y=2ax 的下方,求实数 a 的取值范围。

21、 (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f ( x) ?
an ? a an ? a

x ?a
2

2

2x
bn ?

( a ? 0) , 数 列 { an } 满 足 a1 ? 3a , an ?1 ? f ( an ) , 设

, (n ? N *) ,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn 。

(1)求 b1 , b2 的值; (2)求数列{ bn }的通项公式; (3)求证: Tn ?
7 8

绝密★启用前

揭阳市 2013 年高中毕业班第一次高考模拟考试试题 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:
?

样本数据 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), L , ( x n , y n ) 的回归方程为: y ? b x ? a

?
其中 b ?
i ?1

n

( x i ? x )( y i ? y )

?
?
i ?1

n

xi yi ? n x y

? (x
i ?1

n

i

? x)

2

?
i ?1

n


xi ? n x
2 2

x ?

x1 ? x 2 ? ? ? ? ? x n n

,y ?

y1 ? y 2 ? ? ? ? ? y n n

,a ? y ? b x .b 是回归方程得斜率,a 是截距.

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z 1 , z 2 在复平面内对应的点分别为 A (0,1), B ( ? 1, 3) ,则 A. ? 1 ? 3i B. ? 3 ? i C. 3 ? i
1
x

z2 z1

?

D. 3 ? i
2

2.已知集合 A ? { x | y ? lo g 2 ( x ? 1)} ,集合 B ? { y | y ? ( ) , x ? 0} ,则 A I B = A. (1, ? ? ) B. ( ? 1,1)
uuu r uuu r ? DC

C. (0, ? ? )
uuu r ? BD ? 0

D. (0 ,1)

3.在四边形 ABCD 中, A B “ A.充分不必要条件 4.当 x ?
?
4

,且 A C

”是“四边形 ABCD 是菱形”的

B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3? 4 ? x)

时,函数 f ( x ) ? A sin ( x ? ? )( A ? 0 ) 取得最小值,则函数 y ? f (
?
2 , 0 ) 对称

A.是奇函数且图像关于点 (

B.是偶函数且图像关于点 (? , 0 ) 对称

C.是奇函数且图像关于直线 x ?

?
2

对称

D.是偶函数且图像关于直线 x ? ? 对称

5.一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示(单位: cm ) 则该组合体的体积为. A. 72000 c m C. 56000 c m
3

50

B. 64000 c m D. 44000 c m

3

10 主视图

40
3 3

图(1)

侧视图

6.已知等差数列 { a n } 满足, a1 ? 0, 5 a 8 ? 8 a1 3 ,则前 n 项和
20

S n 取最大值时,n 的值为

20 20 俯视图

开始

A.20

B.21

C.22

D.23

任意输入x(0 ?x?1) 任意输入y(0 ?y?1) 否

7.在图(2)的程序框图中,任意输入一次 x (0 ? x ? 1) 与 y (0 ? y ? 1) , 则能输出数对 ( x , y ) 的概率为 A.
1 4

图(2)

y?x2? 是 输出数对(x,y) 结束

B.
sin x x

1 3

C.

3 4

D.

2 3

8.已知方程 A. ta n (? ? C. ta n ( ? ?

? k 在 (0, ? ? ) 有两个不同的解 ? , ? ( ? ? ? ) ,则下面结论正确的是:

?
4

)?

1?? 1??
1? ? 1? ?

B. ta n (? ?

?
4

)?

1?? 1??
1? ? 1? ?

?
4

)?

D. ta n ( ? ?

?
4

)?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9.计算: lo g 1 s in 1 5 ? lo g 1 c o s 1 5 =
o o 2 2



10.若二项式 ( x ?
2

1 x

) 的展开式中,第 4 项与第 7 项的二项式系数相等,则展开式中 x

n

6

的系数为 .(用数字作答) 11.一般来说,一个人脚 脚长 20 掌越长,他的身高就越 高,现对 10 名成年人的 身高 141 脚掌长 x 与身高 y 进行

21 146

22 154

23 160

24 169

25 17 6

26 181

27 188

28 197

29 203

测量,得到数据(单位均为 cm )如上表,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计 算得到一些数据:

?
i ?1

10

( x i ? x )( y i ? y ) ? 5 7 7 .5 ,? ( x i ? x ) ? 8 2 .5 ;某刑侦人员在某案发
2 i ?1

10

现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为 2 6 .5 c m ,则估计案发嫌疑人的身高为 cm . 12.已知圆 C 经过直线 2 x ? y ? 2 ? 0 与坐标轴的两个交点,且经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,则
2

圆 C 的方程为



13.函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对任意的 x1 、 x 2 ? D ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为“非减函数” .设函数 g ( x ) 在 [ 0 ,1] 上为“非减函数” ,且满足以下 三个条件: (1) g (0 ) ? 0 ; (2) g ( ) ?
3 g( 5 12 )? x 1 2 g (x) ; (3) g (1 ? x ) ? 1 ? g ( x ) ,则 g (1) ?





(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 1 : ?
C 1 上到 C 2 的距离等于 2 的点的个数为
? 2 2

和曲线 C 2 : ?

c o s( ? ?

?
4

)?

2

,则
A


O

B 15.(几何证明选讲选做题)如图(3)所示,AB 是⊙O 的直径,过圆上一点 E 作切线 ED⊥AF,交 AF 的延长线于点 D,交 AB 的延长线于点 C.若 CB=2, C E 图(3) CE=4,则 AD 的长为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

F D

在 ? A B C 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,且满足 c sin A ? (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? sin ( B ?
?
2

3 a co s C .

) 的最大值,并求取得最大值时角 A , B 的大小.

17. (本小题满分 12 分) 根据公安部最新修订的 《机动车驾驶证申领和使用规定》 每位驾驶证申领者必须通过 : 《科目一》 (理论科目)《综合科》 、 (驾驶技能加科目一的部分理论)的考试.已知李先生已 通过《科目一》的考试,且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响, 《综合科》三年内有 5 次预约考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾驶证,不再参加以后的考试,否则就 一直考到第 5 次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为 0.5,0.6,0.7, 0.8,0.9.

(1)求在三年内李先生参加驾驶证考试次数 ? 的分布列和数学期望; (2)求李先生在三年内领到驾驶证的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图(4) ,在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, A E ? B F ? 2 , A B ? 2 2 , 现将梯形沿 CB、 折起, E F / / A B 且 E F ? 2 A B , DA 使 得一简单组合体 A B C D E F 如图 (5) 示,已知 M , N , P 分别为 A F , B D , E F 的中点. (1)求证: M N // 平面 B C F ; (2)求证: A P ? D E ; (3)当 A D 多长时,平面 C D E F 与
F 平面 A D E 所成的锐二面角为 6 0 ?
?

C N

D

C

D

B F
B

A M P E

图(4) A

E

图(5)

19. (本小题满分 14 分) 如图(6) ,设点 F 1 ( ? c , 0 ) 、 F 2 ( c , 0 ) 分别是椭圆 C :
uuu uuur r
x a
2 2

y

? y

2

? 1( a ? 1)

的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点,且 P F1 ? P F 2 最小值为 0 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若动直线 l1 , l 2 均与椭圆 C 相切,且 l1 // l 2 ,试探究在 x 轴上是 否存在定点 B ,点 B 到 l1 , l 2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 B 坐标; 若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?
n? N *.
F1 o F2

x

图(6)

?x
1? x
?

( x ? 0 , ? 为常数 ) ,数列 { a n } 满足: a 1 ?

1 2

, a n ?1 ? f ( a n ) ,

(1)当 ? ? 1 时,求数列 { a n } 的通项公式; (2)在(1)的条件下,证明对 ? n ? N * 有:

a1 a 2 a 3 ? a 2 a 3 a 4 ? L ? a n a n ?1 a n ? 2 ?

n (n ? 5) 1 2 ( n ? 2 )( n ? 3)



(3)若 ? ? 2 ,且对 ? n ? N * ,有 0 ? a n ? 1 ,证明: a n ? 1 ? a n ? 21. (本小题满分 14 分)

2 ?1 8



已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? f ( x ) ? a x ? b x ,函数 g ( x ) 的图象在点 (1, g (1)) 处的 切线平行于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系;
2

(2)试讨论函数 g ( x ) 的单调性; (3)证明:对任意 n ? N ,都有 ln ? 1 ? n ? ?
*

?
i ?1

n

i ?1 i
2

成立.

揭阳市 2013 年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一.选择题:CDCC BBDC 解析: 4.依题意可得 y ? f (
3? 4 ? x ) ? ? A sin x ,故选 C.

5.由三视图知,该组合体由两个直棱柱组合而成,故其体积
V ? 6 0 ? 4 0 ? 1 0 ? 2 0 ? 4 0 ? 5 0 ? 6 4 0 0 0 ( cm ) ,故选 B.
3

6.由 5 a 8 ? 8 a1 3 得 5( a 1 ? 7 d ) ? 8( a 1 ? 1 2 d ) ? d ? ?
? a 1 ? ( n ? 1)( ? 3 61 a1 ) ? 0 ? n ? 64 3 ? 21 1 3

3 61

a 1 ,由 a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

,所以数列 { a n } 前 21 项都是正数,以后各项都
y y=x2 y=1
2

是负数,故 S n 取最大值时,n 的值为 21,选 B. 7.依题意结合右图易得所求的概率为: 1 ?

?

1 0

x dx ? 1 ?

1 3

?

2 3

,选 D.

x o x=1

8. 解析:

s in x x

? k ? | s in x | ? k x , 要使方程

sin x x

? k ( k ? 0 ) 在 (0, ? ? ) 有两个不同的解,

则 y ? | sin x | 的 图 像 与 直 线 y ? kx ( k ? 0 ) 有 且 仅 有 三 个 公 共 点 , 所 以 直 线 y ? kx 与
? sin ? 3 ? ? ? ? ? tan y ? | sin x | 在 ? ? , ? ? 内相切,且切于点 ( ? , ? sin ? ) ,由 ? cos ? ? 2 ? ? ?

? ,

? ta n ( ? ?

?
4

)?

1? ? 1? ?

,选 C
1 2 1 2 5 2
24 5

二.填空题:9.2;10.9; 11.185.5;12. ( x ?
x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 ];13.1(2 分) 、
2 2

) ? (y ?
2

) ?
2

[或 .

1 2

(3 分) ;14.3;15.

解析: 10.根据已知条件可得: C n ? C n ? n ? 3 ? 6 ? 9 , 所以 ( x ?
3 6

1 2 x

) 的展开式的通项为

n

T r ?1 ? C 9 x
r

9?r

( 2

1

1 r r 9? r ) ? ( ) C9 x 2 x

3r 2

, 9? 令

3r 2

? 6?

? 2 r

所以所求系数为 ( ) C 9 ? 9 . ,
2 2

1

2

? (x
11. 回 归 方 程 的 斜 率 b ?
i ?1 10

10

i

? x )( y i ? y ) ?
i

5 7 7 .5 8 2 .5

? 7 , x ? 2 4 .5 , y ? 1 7 1 .5 , 截 距

? (x
i ?1
?

? x)

2

?

a ? y ? b x ? 0 ,即回归方程为 y ? 7 x ,当 x ? 2 6 .5 , y ? 1 8 5 .5 ,

12.易得圆心坐标为 ( , ) ,半径为 r ?
2 2

1 1

5 2

, 故所求圆的方程为 ( x ?

1 2

) ? (y ?
2

1 2

) ?
2

5 2

【或 x ? y ? x ? y ? 2 ? 0 . 】
2 2

13 . 在 ( 3 ) 中 令 x=0 得 g (0 ) ? 1 ? g (1) ? 0 , 所 以 g (1) ? 1 , 在 ( 1 ) 中 令 x ? 1 得
1 1 1 1 g ( ) ? g (1) ? , (3) 在 中令 x ? 2 3 2 2

得g( ) ? 1? g( ) , g( ) ? 故
2 2 2

1

1

1

1 2

, 因

1 3

?

5 1 2

1 ? 2


y

所以 g ( ) ? g (
3

1

1 5 1 ) ? g ( ) ,故 g ( ) ? . 12 2 12 2
2

5

14.将方程 ?
x ? y ? (2
2 2

? 2

与?

c o s( ? ?

?
4

x-y-2=0 x o

)?

2

化为直角坐标方程得
2 的圆,

2 ) 与 x ? y ? 2 ? 0 ,知 C 1 为圆心在坐标原点,半径为 2
2

C 2 为直线,因圆心到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离为
2

2 ,故满足条件的点的个数 n ? 3 .
CO CA ? OE AD

15.设 r 是⊙O 的半径.由 C E ? C A ? C B ,解得 r=3.由 三.解答题: 16.解: (1)由 c sin A ?
3 a co s C 结合正弦定理得,

解得 A D ?

24 5

.

a s in A

?

c 3 cos C

?

c s in C

----2 分

从而 sin C ?

3 co s C , tan C ?

3 ,-----------------------------------------------4 分

∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?
2? 3

?
3

;--------------------------------------------------------------6 分

? A -------------------------------------------------------------7 分 )?
?

∴ 3 s in A ? s in ( B ?

?
2

3 s in A ? c o s B ---------------------------------------8 分
3 sin A ? c o s( 2? 3 ? A)

?

3 sin A ? c o s

2? 3

c o s A ? sin

2? 3

sin A ------9 分

?
2? 3

3 2

sin A ?

1 2

c o s A ? s in ( A ?

?
6

) --------------10 分

∵0 ? A ? 当A?
?
6 ?

,∴

?
6

? A?

?
6

?

5? 6

?
2

时, 3 s in A ? s in ( B ?
?
3

?
2

) 取得最大值 1 ,------------------------------11 分

此时 A ?

?
3

,B ?

.-----------------------------------------------------------------------12 分

17.解. (1) ? 的取值为 1,2,3,4,5. -------------------------------1 分
P ( ? ? 1) ? 0 .5 , P (? ? 2 ) ? (1 ? 0 .5) ? 0 .6 ? 0 .3 P (? ? 3) ? (1 ? 0 .5) ? (1 ? 0 .6 ) ? 0 .7 ? 0 .1 4

P (? ? 4 ) ? (1 ? 0 .5) ? (1 ? 0 .6 ) ? (1 ? 0 .7 ) ? 0 .8 ? 0 .0 4 8 P (? ? 5) ? (1 ? 0 .5) ? (1 ? 0 .6 ) ? (1 ? 0 .7 ) ? (1 ? 0 .8) ? 0 .0 1 2 --------------------6 分

【或 P (? ? 5) ? 1 ? P (? ? 1) ? P (? ? 2 ) ? P (? ? 3) ? P (? ? 4 ) ? 0 .0 1 2 】 ∴ ? 的分布列为:

?
P

1

2

3

4

5 0.012

0.5

0.3

0.14

0.048

---------------------------8 分 ∴ E ? ? 1 ? 0 .5 ? 2 ? 0 .3 ? 3 ? 0 .1 4 ? 4 ? 0 .0 4 8 ? 5 ? 0 .0 1 2 ? 1.772--------10 分 (2)李先生在三年内领到驾照的概率为:
P ? 1 ? (1 ? 0 .5) ? (1 ? 0 .6 ) ? (1 ? 0 .7 ) ? (1 ? 0 .8) ? (1 ? 0 .9 ) ? 0 .9 9 8 8 -----------------12 分

18. (1)证明:连 A C ,∵四边形 A B C D 是矩形, N 为 B D 中点, ∴ N 为 A C 中点,--------------------------------------------------------------1 分 在 ? A C F 中, M 为 A F 中点,故 M N // C F --------------------------3 分 ∵ C F ? 平面 B C F , M N ? 平面 B C F ,? M N // 平面 B C F ;---4 分 (其它证法,请参照给分) (2)依题意知 D A ? A B , D A ? A E 且 A B I A E ? A ∴ A D ? 平面 A B F E ∵ A P ? 平面 A B F E ,∴ A P ? A D ,------------------5 分 ∵ P 为 E F 中点,∴ F P ? A B ? 2 2

C N B A M P

D

F

E

结合 A B // E F ,知四边形 A B F P 是平行四边形 ∴ A P // B F , A P ? B F ? 2 ----------------------------------------------------7 分 而 A E ? 2, P E ? 2 2 ,∴ AP ? AE
2 2

? PE

2

∴ ? E A P ? 9 0 ,即 AP ? AE -----8 分

?

又 AD I AE ? A ∵ D E ? 平面 A D E ,

∴ A P ? 平面 A D E , ∴ A P ? D E .------------------------------------------------9 分

(3)解法一:如图,分别以 A P , A E , A D 所在的直线为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系 设 A D ? m ( m ? 0 ) ,则 A (0, 0, 0 ), D (0, 0, m ), E (0, 2, 0 ), P ( 2, 0, 0 ) 易知平面 A D E 的一个法向量为 A P ? ( 2, 0, 0 ) ,-----------10 分
r uur ? n ? PE ? 0 r ? 设平面 D E F 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? r uuu r ?n ? DE ? 0 ?
uuu r
Z C N B F X A M P E y D

故?

??2 x ? 2 y ? 0 ? 2 y ? mz ? 0

,即 ?
2

? x? y ? 0 ?2 y ? mz ? 0

令 x ? 1 ,则 y ? 1, z ?

,故 n ? (1,1,
2 2 2?

r

2 m

) ----------------------------------------11 分

m uuu r r uuu r r AP ? n r ∴ c o s ? A P , n ? ? uuu r ? | A P || n |


4 m
2

依题意,
2

2 2? 4 m
2

?

1 2

,m ?

2 ,-------------------------------------------------------13 分

即 AD ?

2 时,平面 C D E F 与平面 A D E 所成的锐二面角为 6 0 .------------------------14 分

?

【解法二:过点 A 作 A M ? D E 交 DE 于 M 点,连结 PM,则 D E ? P M , ∴ ? A M P 为二面角 A-DE-F 的平面角,---------------------------------------------------------11 分 由 ? A M P =600,AP=BF=2 得 AM ? 又 AD ? AE ? AM ? DE 得 2 AD ? 解得 A D ? 分】
2 ,即 A D ?
2 3 3

AP ta n 6 0
?
o

?

2 3 3
2

,-------------------------------------12 分 ,
?

2 ? AD
2

2 时,平面 C D E F 与平面 A D E 所成的锐二面角为 6 0 .----14

19.解: (1)设 P ( x , y ) ,则有 F1 P ? ( x ? c , y ) , F 2 P ? ( x ? c , y ) -------------1 分
a uuu uuur r 2 2 由 P F1 ? P F 2 最小值为 0 得 1 ? c ? 0 ? c ? 1 ? a ? 2 ,-------------------3 分 PF 1 ? PF
2

? x

2

? y

2

?c

2

?

a

2

?1
2

x

2

? 1 ? c , x ? ?? a , a ? -----------------2 分
2

∴椭圆 C 的方程为

x

2

? y

2

? 1 .---------------------------------------------4 分

2

(2)①当直线 l1 , l 2 斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m , y ? kx ? n --------------------5 分 把 l1 的方程代入椭圆方程得 (1 ? 2 k ) x ? 4 m kx ? 2 m ? 2 ? 0
2 2 2

∵直线 l1 与椭圆 C 相切,∴ ? ? 1 6 k m ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 2 ) ? 0 ,化简得
2 2 2 2

m

2

? 1 ? 2 k -------------------------------------------------------------------------------------7 分
2 2 2

同理, n ? 1 ? 2 k -----------------------------------------------------------------------------8 分 ∴ m ? n ,若 m ? n ,则 l1 , l 2 重合,不合题意,∴ m ? ? n -----------------------9 分
2 2

设在 x 轴上存在点 B ( t , 0 ) ,点 B 到直线 l1 , l 2 的距离之积为 1,则
| kt ? m | | kt ? m | 2 2 2 2 ? ? 1 ,即 | k t ? m | ? k ? 1 ,--------------------------------------10 分 2 2 k ?1 k ?1

把 1 ? 2 k ? m 代入并去绝对值整理,
2 2

k ( t ? 3) ? 2 或者 k ( t ? 1) ? 0
2 2 2 2

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t ? 1 ? 0 ,解得 t ? ? 1 ;----------------------------------------------------------------------12 分
2

②当直线 l1 , l 2 斜率不存在时,其方程为 x ?

2 和x ? ?

2 ,---------------------------13 分

定点 ( ? 1, 0 ) 到直线 l1 , l 2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 定点 (1, 0 ) 到直线 l1 , l 2 的距离之积为 ( 2 ? 1)( 2 ? 1) ? 1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 为 ( ? 1, 0 ) 或 (1, 0 ) --------------------------------------------14 分 20.解: (1)当 ? ? 1 时, a n ? 1 ? f ( a n ) ?
an 1 ? an 1 a n ?1 ? 1 an ? 1 ,----2 分

,两边取倒数,得

故数列 {

1 an

} 是以

1 a1

? 2 为首项, 1 为公差的等差数列,

1 an

? n ? 1 ,an ?

1 n ?1

, n ? N * .------------------------------------------------------------4 分
1 n ?1

(2)证法 1:由(1)知 a n ?
a k a k ?1 a k ? 2 ? 1

,故对 k ? 1, 2, 3 ...
? 1 1 ? 1 ( k ? 2 )( k ? 3)

( k ? 1)( k ? 2 )( k ? 3)

2 ( k ? 1)( k ? 2 )

[

] -------------6 分

∴ a 1 a 2 a 3 ? a 2 a 3 a 4 ? ...... ? a n a n ? 1 a n ? 2
? 1 2 1 1 2?3 1 ? 1 3? 4 )?( 1 3? 4 ? 1 4?5 ) ? ... ? 1 ( n ? 1) ? ( n ? 2 ) ? 1 ( n ? 2 )( n ? 3)

[(

]

?

2 2?3

[

?

1 ( n ? 2 )( n ? 3)

] ?

n (n ? 5) 1 2 ( n ? 2 )( n ? 3)
1 2?3? 4 1 24

.----------------------------------------9 分.

[证法 2: ①当 n=1 时, 等式左边 ?

?

, 等式右边 ?

1 ? (1 ? 5 ) 1 2 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 3)

?

1 24



左边=右边,等式成立;-----------------------------------------------------------------5 分 ②假设当 n ? k ( k ? 1) 时等式成立,
k (k ? 5) 1 2 ( k ? 2 )( k ? 3)

即 a 1 a 2 a 3 ? a 2 a 3 a 4 ? ...... ? a k a k ? 1 a k ? 2 ? 则当 n ? k ? 1 时



a 1 a 2 a 3 ? a 2 a 3 a 4 ? ...... ? a k a k ? 1 a k ? 2 ? a k ? 1 a k ? 2 a k ? 3 ?

k (k ? 5) 1 2 ( k ? 2 )( k ? 3)

?

1 ( k ? 2 )( k ? 3)( k ? 4 )

?

k ( k ? 5 )( k ? 4 ) ? 1 2 1 2 ( k ? 2 )( k ? 3)( k ? 4 )
2

?

k ? 9k ? 20k ? 12
3 2

1 2 ( k ? 2 )( k ? 3)( k ? 4 ) ( k ? 1)( k ? 2 )( k ? 6 ) 1 2 ( k ? 2 )( k ? 3)( k ? 4 ) ( k ? 1)[( k ? 1) ? 5 ] 1 2[( k ? 1) ? 2 ][( k ? 1) ? 3]

?

k ( k ? 1) ? 4 ( k ? 1)( 2 k ? 3) 1 2 ( k ? 2 )( k ? 3)( k ? 4 )

?

?

这就是说当 n ? k ? 1 时,等式成立,-------------------------------------------------------8 分 综①②知对于 ? n ? N * 有: a 1 a 2 a 3 ? a 2 a 3 a 4 ? ...... ? a n a n ? 1 a n ? 2 ? 分] (3)当 ? ? 2 时, a n ? 1 ? f ( a n ) ?
2an 1 ? an
2

n (n ? 5) 1 2 ( n ? 2 )( n ? 3)

.----9

则 a n ?1 ? a n ?

2an 1 ? an
2

? a n ? a n (1 ? a n )

1 ? an 1 ? an
2

,---------------------------------------------10 分

∵ 0 ? an ? 1 , ∴ a n ? 1 ? a n ? a n (1 ? a n )
1 ? an 1 ? an
2

? (

an ? 1 ? an 2

) ?
2

1 ? an 1 ? an
2

--------------------------------11 分

?

1

4 (1 ? a n ) ? 2 ( a n ? 1) ? 2
2

?

1 ? an

?

1 4

? an ? 1 ?

1 2 an ? 1
2 an ? 1

?

1

?

1 2 ?2

?

2 ?1 8

.--------------------13 分

?2

4 2

∵ an ? 1 ? an 与 an ? 1 ?

不能同时成立,∴上式“=”不成立,

即对 ? n ? N * , a n ? 1 ? a n ?

2 ?1 8

.-----------------------------------------------------------14 分
2an 1 ? an
2

【证法二:当 ? ? 2 时, a n ? 1 ? f ( a n ) ? 则 a n ?1 ? a n ?
2an 1 ? an
2



? an ?
?

an ? an 1 ? an
2
2
2

3

----------------------------------------------------10 分

又 Q a n ? (0 ,1),?

a n ?1 an
1 2

1 ? an

? 1,
*

? a n ? 1 ? a n ,? a n ? [

,1), n ? N ------------------------------------------------------------------11 分

令 g (x) ?
1

x? x 1? x

3 2

,x?[

1 2

,1), 则 g ? ( x ) ?

?x ? 4x ?1
4 2

(1 ? x )
2

2

, ------------------------------------12 分

当 x ? [ ,1), g ? ( x ) ? 0 , 所以函数 g ( x ) 在 [ ,1) 单调递减,故当
2 2

1

1 3 ?( ) 3 2 x ? [ ,1), g ( x ) ? 2 ? ? 1 2 2 10 1? ( ) 2 1

1

2 ?1 8

, 所以命题得证----------- ks5u ------------------14 分】

【证法三:当 ? ? 2 时, a n ? 1 ? f ( a n ) ?
Q a n ? (0 ,1), ? a n ?1 ? a n ? a n ?1 an
2

2an 1 ? an
2


1 2 ,1), n ? N -------------------------11 分
*

?

2 1 ? an
2 2

? 1,? a n ? 1 ? a n ,? a n ? [ ? 2? 1 ? a n a n ?1 (1 ? a n )(1 ? a n ? 1 )
2 2

2an 1 ? an

?

2 a n ?1 1 ? a n ?1

( a n ? a n ?1 )

1? ? 2? (1 ? 1 2
2

1 1 ? 2 2 )(1 ? 1 2
2

( a n ? a n ?1 ) ? )

24 25

( a n ? a n ?1 ) ? a n ? a n ?1

? 数列 { a n ? 1 ? a n } 单调递减,
2? ? a n ?1 ? a n ? a 2 ? a1 ? 1 2 1 ?
2

1 2

?

3 10

?

2 ?1 8



1? ( ) 2

所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14 分】 21.解: (1)依题意得 g ( x ) ? ln x ? a x ? b x ,则 g '( x ) ?
2

1 x

? 2ax ? b

由函数 g ( x ) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2 a ? b ? 0 ∴ b ? ? 2 a ? 1 -------------------------------------------------------------------------3 分 (2)由(1)得 g '( x ) ?
2 a x ? ( 2 a ? 1) x ? 1
2

?

( 2 a x ? 1)( x ? 1) x

----------------------4 分

x ∵函数 g ( x ) 的定义域为 (0, ? ? )

∴当 a ? 0 时, 2 a x ? 1 ? 0 在 (0, ? ? ) 上恒成立, 由 g '( x ) ? 0 得 0 ? x ? 1 ,由 g '( x ) ? 0 得 x ? 1 , 即函数 g ( x ) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ? ? ) 单调递减;-------------------------------5 分 当 a ? 0 时,令 g '( x ) ? 0 得 x ? 1 或 x ? 若
1 2a ?1, a ? 即 1 2 1 2a ) , (1, ? ? ) 上单调递增,在 ( 1 2a 1 2a , ? ? ) 上单调递增,在 (1, 1 2a ) 单调递减;------------7 分 1 2a
? 或 0 ? x ? 1 , g (' )x 0 由

1 2a


1 2a

时, g '( x ) ? 0 得 x ? 1 或 0 ? x ? 由

, g(' ) x 0 ? 由



1 2a

? x ?1,

即函数 g ( x ) 在 ( 0 , 若
1 2a ?1, 0 ? a ? 即 1 2

,1) 单调递减;-----------------6 分

时, g '( x ) ? 0 得 x ? 由

得1 ? x ?

1 2a



即函数 g ( x ) 在 (0 ,1) , (

时,在 (0, ? ? ) 上恒有 g '( x ) ? 0 , 2 即函数 g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增,------------------------------------------------------------------8 分 若
2a

1

? 1 ,即 a ?

1

综上得:当 a ? 0 时,函数 g ( x ) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ? ? ) 单调递减; 当0 ? a ? 调递增; 当a ? 当a ?
1 2 1 2 1 2

时,函数 g ( x ) 在 (0 ,1) 单调递增,在 (1,

1 2a

) 单调递减;在 (

1 2a

, ? ? ) 上单

时,函数 g ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增,
1 2a ) 上单调递增, ( 在 1 2a ,1) 单调递减; ( , ? ? 上单调递增. 在1 )

时, 函数 g ( x ) 在 ( 0 ,

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 (3)证法一:由(2)知当 a ? 1 时,函数 g ( x ) ? l n x ? x ? 3 x 在 (1, ? ? ) 单调递增,
2

? ln x ? x ? 3 x ? g (1) ? ? 2 ,即 ln x ? ? x ? 3 x ? 2 ? ? ( x ? 1)( x ? 2 ) ,------------11 分
2 2

令x ?1?

1 n

, n ? N ,则 ln (1 ?
*

1 n

)?

1 n

?

1 n
2

,-------------------------------------12 分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln (1 ? ) ? ln (1 ? ) ? ln (1 ? ) ? ... ? ln (1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln [(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ... ? (1 ? )] ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n

即 ln ? 1 ? n ? ? 分

?
i ?1

n

i ?1 i
2

---------------------------------------------- ks5u -----------------------------14

【证法二:构造数列 { a n } ,使其前 n 项和 T n ? ln (1 ? n ) , 则当 n ? 2 时, a n ? T n ? T n ? 1 ? ln ( 显然 a 1 ? ln 2 也满足该式, 故只需证 ln (1 ? 令x ?
1 n 1 n )? n ?1 n
2

1? n n

) ? ln (1 ?

1 n

) ,------ks5u-----------------------11 分

?

1 n

?
2

1 n
2

--------------------------------------------------------12 分
2

,即证 ln (1 ? x ) ? x ? x ? 0 ,记 h ( x ) ? ln (1 ? x ) ? x ? x , x ? 0
1 1? x ?1? 2x ? 1 1? x ?1? 2x ? x ( 2 x ? 1) 1? x ? 0,

则 h '( x ) ?

h ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递增,故 h ( x ) ? h (0 ) ? 0 ,

∴ ln (1 ?

1 n

)?

n ?1 n
2

?

1 n

?

1 n
2

成立,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln (1 ? ) ? ln (1 ? ) ? ln (1 ? ) ? ... ? ln (1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n

即 ln ? 1 ? n ? ?

?
i ?1

n

i ?1 i
2

.----------------------------------------------------------------------------14 分】

【证法三:令 ? ( n ) ? ln (1 ? n ) ? ? 则 ? ( n ? 1) ? ? ( n ) ? ln ( n ? 2 ) ? 令x ?1?
1 n ?1 , 则 x ? (1, 2 ] ,

i?n i ?1

i ?1 i
2


? ln ( n ? 1) ? ln (1 ?
*

n ( n ? 1)
1
2

1 n ?1

)?

1 n ?1

?

1 ( n ? 1)
2

----10 分

n ?1
2

? x ? 1, n ? N ,
2

记 h ( x ) ? ln x ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 3 x ? 2 -----------------------12 分 ∵ h ?( x ) ?
1 x ? 2x ? 3 ? ( 2 x ? 1)( x ? 1) x
n

? 0 ∴函数 h ( x ) 在 (1, 2 ] 单调递增,

又 h (1) ? 0,? 当 x ? (1, 2 ]时 , h ( x ) ? 0, 即 ? ( n ? 1) ? ? ( n ) ? 0 , ∴数列 ? ( n ) 单调递增,又 ? (1) ? ln 2 ? 0 ,∴ ln ? 1 ? n ? ?

?
i ?1

i ?1 i
2

----------------------14 分】

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填 写在答题 卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 2 B. 2 ? i
2 z ? z ?

C. 2 ? i

D. 2 ? 2i

2 2.集合 M ? { x | lg x ? 0} , N ? { x | x ? 9} ,则 M ? N ?

A. (1, 3)

B. [1, 3)

C. (1, 3]

D. [1, 3]

3.已知向量 a ? (1, 2 ), b ? (1, 0 ), c ? (3, 4 ) .若 ? 为实数, ( b ? ? a ) ? c , 则? ? A. ?
3 11

B. ?

11 3

C.

1 2

D.

3 5

4.公比为 2 的等比数列{ a n } 的各项都是正数,且 a 4 a 1 0 ? 1 6 ,则 a 6 = A.1 B.2 C.4 D.8

5.某程序框图如图 1 所示,则输出的结果 S= A.26 B.57 C.120 D.247

( 6.下列函数中,既是偶函数又在区间 0 , ? ? )上单调递增的函数为

A. y ? x

?1

B. y ? lo g 2 x

C. y ? | x |

D. y ? ? x

2

7.已知三棱锥的底面是边长为 1 的正三角形,其正视图与俯视图如图 2 所示, 则其侧视图的面积为 A.
6 4

B.

6 2

C.

2 2

D. 2

8.在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,具有性质:①对任意 a , b ? R , a ? b ? b ? a ;②对 任 意
a ? R, a ? 0 ? a








1 x


( x ? 0)

a , b , c ? R , ( a ? b ) ? c ? c ? ( a b ) ? ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? 2 c ;函数 f ( x ) ? x ?

的最小值为 A. 4 B.3 C. 2 2 D.1

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 | x ? 2 | ? | x |? 4 的解集是__▲__. 10. 2 个好朋友一起去一家公司应聘,公司人事主管通知他们面试时间时说: “我们公司要 从面试的人中招 3 个人,你们都被招聘进来的概率是 的人有__▲__个(用数字作答). 11.若圆 x ? y ? m x ?
2 2

1 70

” .根据他的话可推断去面试

1 4

? 0 与直线 y ? ? 1 相切,其圆心在 y 轴的左侧,则 m=__▲__.

12.在 ? A B C 中, A C ?
?x ? ?y 13.已知不等式组 ? ?x ?x ? ? 0, ? 0,

7

,BC=2, ? B ? 60 ? ,则 ? A B C 的面积等于__▲__.

? y ? 2, ? y ? a

表示一个三角形区域(包括三角形的内部及边界) ,则实数 a

的取值范围为__▲__.

( )


? x ? 1 ? 3t ? y ? 2 ? 4t ( t 为参数) 与直线 l 2 : 2 x ? 4 y ? 5

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l1 : ?

相交于点 B ,又点 A (1, 2 ) ,则 A B ? __▲__. 15. (几何证明选讲选做题)如图 4,已知圆 O 的半径为 2 ,从圆 O 外一点 A 引切线 A B 和割线 A D ,C 为 AD 与圆 O 的交点,圆 心 O 到 A D 的距离为 3 , A B ?
1 5 ,则 A C 的长为__▲__.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin( 4 x ? ? )( A ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 在 x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的解析式;
? ? ? ? 6 ? ? ? ? ?1 (3)若 ? ? ? ? , 0 ? , f ? ? ? ? 的值. ? ? ,求 s in ? 2 ? ? 4 ? 16 ? 5 ? ? 2 ? ?4
?
16

时取得最大值 2.

17.(本小题满分 13 分) 因台风灾害,我省某水果基地龙眼树严重受损,为此有关专家提出两种拯救龙眼树的 方案,每种方案都需分四年实施.若实施方案 1,预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的 1.0 倍、0.9 倍、0.8 倍的概率分别是 0.3、0.3、0.4;第四年可以使龙眼产量为第三年产量的 1.25 倍、1.0 倍的概率分别是 0.5、0.5.若实施方案 2,预计第三年可以使龙眼产量达到灾前 的 1.2 倍、1.0 倍、0.8 倍的概率分别是 0.2、0.3、0.5;第四年可以使龙眼产量为第三年产量 的 1.2 倍、 倍的概率分别是 0.4、 实施每种方案第三年与第四年相互独立, ? i ? i ? 1, 2 ? 1.0 0.6. 令 表示方案 i 实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数. (1)写出 ξ1、ξ2 的分布列; (2)实施哪种方案,第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大? (3)不管哪种方案,如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量, 预计利润分别为 10 万元、15 万元、20 万元.问实施哪种方案的平均利润更大?

18.(本小题满分 13 分) 如图 5, 垂直⊙O 所在平面 ABC, 为⊙O 的直径, PA AB PA=AB,
BF ? 1 4 BP

,C 是弧 AB 的中点.

(1)证明:BC?平面 PAC; (2)证明:CF?BP; (3)求二面角 F—OC—B 的平面角的正弦值.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 1 :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为 e ?

3 3

,直线 l : y ? x ? 2 与以原点

为圆心、以椭圆 C 1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C 1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F 2 ,直线 l1 过点 F1 ,且垂直于椭圆的长轴, 动直线 l 2 垂直于 l1 ,垂足为点 P,线段 P F 2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C 2 的 方程; (3) C 2 与 x 轴交于点 Q, 设 不同的两点 R、 在 C 2 上, S 且满足 QR ? RS ? 0 , | Q S | 求 的取值范围.
??? ?

20.(本小题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 { a n } 的前 n 项和,且 a 1 ? 1 , na n ? 1 ? 2 S n ( n ? N ) .
*

(1)求 a 2 , a 3 , a 4 的值; (2)求数列 { a n } 的通项 a n ; (3)设数列 { b n } 满足 b1 ?
1 2 , bn ?1 ? 1 ak b n ? b n ,求证:当 n ? k 时有 b n ? 1 .
2

21. (本小题满分 14 分)
? x ? a (ln x ? 1)( 0 ? x ? e ) ? 若 f (x) ? ? 2 ,其中 a ? R . ? x ? a (ln x ? 1)( x ? e ) ?
2

(1)当 a ? ? 2 时,求函数 f ( x ) 在区间 [ e , e ] 上的最大值;
2

(2)当 a ? 0 时,若 x ? ?1, ?? ? , f ( x ) ?

3 2

a 恒成立,求 a 的取值范围.

肇庆市中小学教学质量评估 2013 届高中毕业班第一次模拟试题 数
一、选择题

学(理科)参考答案
4 B 5 B 6 C 7 A
?

题号 答案

1 D

2 C

3 A

8 B
?1? 1? ? ? ?2?
2

7A 解析:侧视图的底边长为边长为 1 的正三角形的高,长度为 a
1 2 3 2 6 4

?

3 2

,侧视图

的高为

2

,所以其面积为 S

?

?

?

2 ?

8B 解析: 根据条件③, 对于任意的 a , b , c 有 ( a ? b ) ? c ? c ? ( a b ) ? ( a ? c ) ? ( b ? c ) ? 2 c , ∴取 c ? 0 得 ( a ? b ) ? 0 ? 0 ? ( a b ) ? ( a ? 0 ) ? ( b ? 0 ) ? 2 ? 0 得①②得 a ? 0 ? 0 ? a ? a 对任意实数 a 都成立,代入上式得: a ? b ? a b ? a ? b 这就是运算 ? 的定义,将其代入题目 检验符合①②③, ∴ f (x) ? x ?
1 x ? x?
1 x

1 x

? x?

1 x

? x?

1 x

?1? 2

x?

1 x

? 1 ? 3 ,当且仅当 x ? 1 时“=”成立,

即函数 f ( x ) ? x ?

( x ? 0 ) 的最小值为 3.

二、填空题 9. ? ? ? , ? 3 ? ? ?1, ?? ?
( ? ? , ? 2 ] ? [0, 2 )

10. 21
5 2

11.

3

12.

3 3 2

13.

14.

15.

3

三、解答题 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x ) 的最小正周期为 T ?
2? 4 ?

?
2

(2 分) (3 分)

(2)由 f ( x ) 的最大值是 2 知, A ? 2 ,

又 f ( x ) m ax ? f ?

? ? ? ? ? 2 s in ? 16 ?

? ? ? ?? ? ? ? ? ? 2 ,即 s in ? ?? ? ?1, ?4? 16 ? 4 ? ? ?
5? 4

(4 分)

∵ 0 ? ? ? ? ,∴

?
4

?

?
4

?? ?

,∴

?
4

?? ?

?
2

,∴ ? ?

?
4

(5 分) (6 分)

∴ f ( x ) ? 2 s in ( 4 x ?

?
4

)
? ?1 ? ? ? ? 6 ? ? 2 s in ? 4 ? ? ? ?? ? ? , 16 ? 16 ? 4 ? 5 ? ?4

(3)由(2)得 f ? 即 s in (? ?
?

?1 ?4

? ?

? ?

?
2

)?
?

3 5

,∴ c o s ? ?

3 5


?3?
2

(7 分)
4

∵ ? ? ? ? , 0 ? ,∴ s in ? ? ? 1 ? c o s ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ? 2 ?
2

?

(8 分)

∴ s in 2 ? ? 2 s in ? c o s ? ? 2 ? ? ?
?
2

?

4? 3 24 ?? ? ? 5? 5 25

(9 分)

7 ?3? c o s 2? ? 2 c o s ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 1 ? ? 25 ?5?
2

(10 分)

∴ sin ? 2 ? ?
?

?

? ?

? ? 24 2 7 2 17 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? sin 2 ? c o s ? c o s 2 ? sin 25 2 25 2 50 4 ? 4 4

( 12

分) 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)ξ1 的分布列为

ξ1 P1

0.8 0.2

0.9 0.15

1.0 0.35

1.125 0.15

1.25 0.15
(3 分)

ξ2 的分布列为

ξ2 P2

0.8 0.3

0.96 0.2

1.0 0.18

1.2 0.24

1.44 0.08
(6 分)

(2)由(1)可得 ξ1>1 的概率 P(ξ1>1)= 0.15 + 0.15 = 0.3, ξ2>1 的概率 P(ξ2>1)= 0.24 + 0.08 = 0.32, ∵P(ξ2>1)>P(ξ1>1) ,∴实施方案 2,第四年产量超过灾前概率更大. (3)设实施方案 1、2 的平均利润分别为利润 A、利润 B,根据题意,

(7 分) (8 分) (9 分)

利润 A =(0.2 +0.15)× + 0.35× +(0.15 + 0.15)× = 14.75(万元) 10 15 20 利润 B =(0.3 + 0.2)× + 0.18× + (0.24 + 0.08)× = 14.1(万元) 10 15 20 ∵利润 A>利润 B,∴实施方案 1 平均利润更大. 18. (本小题满分 13 分) (1)证明:∵PA?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴BC?PA. (1 分) ∵?ACB 是直径所对的圆周角, ∴ ? A C B ? 9 0 o ,即 BC?AC. (2 分) 又∵ P A ? A C ? A ,∴ B C ? 平面 P A C . (3 分) (2)证明:∵PA?平面 ABC,OC?平面 ABC, ∴OC?PA. (4 分) ∵C 是弧 AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又 O 是 AB 的中点,∴OC?AB. (5 分) 又∵ P A ? A B ? A ,∴ O C ? 平面 P A B ,又 P B ? 平面 P A B , ∴ BP ? OC . (6 分) 设 BP 的中点为 E,连结 AE,则 O F // A E , A E ? B P ∴ BP ? OF . (7 分) ∵ O C ? O F ? O ,∴ B P ? 平面 C F O . 又 C F ? 平面 C F O ,∴ C F (3)解:由(2)知 O C ? 平面 P A B ,∴ O F ? O C , O C ∴ ? B O F 是二面角 F ? O C ? B 的平面角. 又∵ B P ? O F , ? F B O ? 4 5 0 ,∴ ? F O B ? 4 5 0 , ∴ s in ? F O B
? 2 2

(10 分) (11 分) (13 分)

? BP

. (8 分) (9 分) (10 分) (12 分) (13 分)

? OB



,即二面角 F

? OC ? B

的平面角的正弦值为

2 2

.

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切,得
2 2 2

|0?0? 2| 2

? b ,即 b ?

2 . (2 分)

由e ?

3 3

,得

b a

2 2

? 1? e ?
2

2 3

,所以 a ?

3,

(3 分)

所以椭圆的方程是 C 1 :

x

2

?

y

2

? 1.

(4 分)

3

2

(2) 由条件, | M F 2 |? | M P | , 知 即动点 M 到定点 F 2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ? 1 的距离, 由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C 2 的方程是 y (3)由(2) ,知 Q (0, 0 ) ,设 R ?
? y1
2

2

? 4x .
2

(7 分)

? ? y ? , y1 ? , S ? 2 , y 2 ? , ? 4 ? ? 4 ?

∴QR ? ?

??? ?

? ? y2 ? y2 ? ??? ? 1 , y1 ? , R S ? ? 2 , y 2 ? y1 ? 4 ? 4 ? ? ? ? y1
2

(8 分)

由 QR ? RS ? 0 ,得

y1

2

?y

2 2

? y1

2

?

16

? y1 ? y 2 ? y1 ? ? 0

(9 分)

∵ y 1 ? y 2 ,∴ y 2 ? ? ? y 1 ?
?

?

16 ? ?, y1 ? y1 ?
2

∴ y 2 ? y1 ?
2 2

256 y1
2

? 32 ? 2

256 y1
2

? 3 2 ? 6 4 ,当且仅当 y 1 ?
2

256 y1
2

,即 y1 ? ? 4 时等号成

立. (11 分)
??? ? 又 | Q S |? ? y2 ? 1 2 ? ? ? y2 ? 4 ? 4 ?
2
2

2

?y

2 2

? 8 ? ? 64
2

(12 分)
??? ?

∵ y 2 ? 6 4 ,∴当 y 2 ? 6 4 ,即 y 2 ? ? 8 时, | Q S | m in ? 8 5
2

(13 分) (14 分)

故 | Q S | 的取值范围是 ? 8 5 , ? ? ? .
?

??? ?

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a 1 ? 1, n a n ? 1 ? 2 S n ( n ? N ) 得 a 2 ? 2 a1 ? 2 ,
a 3 ? S 2 ? a1 ? a 2 ? 3 ,
?

(1 分) (2 分) (3 分)

由 3 a 4 ? 2 S 3 ? 2 ( a1 ? a 2 ? a 3 ) 得 a 4 ? 4 (2)当 n ? 1 时,由 n a n ? 1 ? 2 S n ① ,得 ( n ? 1) a n ? 2 S n ? 1 ②

(4 分)

①-②得 n a n ? 1 ? ( n ? 1) a n ? 2 ( S n ? S n ? 1 ) ,化简得 n a n ? 1 ? ( n ? 1) a n ,
n ?1 n



a n ?1 an

?

( n ? 1 ).

(5 分)

∴a2 ? 2 ,

a3 a2

?

3 2

,……,

an a n ?1

?

n n ?1

(6 分)

以上( n ? 1 )个式子相乘得 a n ? 2 ? 又 a 1 ? 1 ,∴ a n ? n ( n ? N )
?

3 2

?? ?

n n ?1

? n (n ? 1)

(7 分)

(8 分)

(3)∵ a n ? n ? 0 , b 1 ?

1 2

? 0 , b n ?1 ?

1 ak

bn ? bn ,
2

∴ { b n } 是单调递增数列,故要证:当 n ? k 时, b n ? 1 ,只需证 b k ? 1 . (9 分) (i)当 k ? 1 时 , b1 ? (ii)当 k ? 2 时, ∵ b n ?1 ? b n ? 0 , b n ?1 ?
1 ak bn ? bn ,
2

1 2

? 1 ,显然成立;

(10 分)

∴ b n ?1 ?

1 k

b n ? 1 b n ? b n ,∴

1 bn ?1

?

1 bn

? ?

1 k

.

(11 分)


k ?1 k k ?1 k

? 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ?? bk b k ?1 ? ? b k ?1 b k ? 2 ? ? b k ? 2 b k ? 3 ? ? b 2 b1 ? b1 ? bk 1
?2 ?

? ?

(12 分) ∴ bk ?
k k ?1 ? 1.

(13 分) (14 分)

综上,当 n ? k 时有 b n ? 1 .

21. (本小题满分 14 分)
2 2 解: (1)当 a ? ? 2 , x ? [ e , e ] 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x ? 2 ,

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

∵ f ?( x ) ? 2 x ?

2 x

2 ,∴当 x ? [ e , e ] 时, f ? ( x ) ? 0 ,

2 ∴函数 f ( x ) ? x ? 2 ln x ? 2 在 [ e , e ] 上单调递增,
2

故 f ( x ) m ax ? f ( e ) ? ( e ) ? 2 ln e ? 2 ? e ? 2
2 2 2 2
4

2 (2)①当 x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

, (5 分) (6 分)

? a ? 0 , f ? ( x ) ? 0 ,∴f(x)在 [ e , ?? ) 上增函数,

故当 x ? e 时, f ( x ) min ? f ( e ) ? e ;
2
2 ②当 1 ? x ? e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a , f ? ( x ) ? 2 x ?

a x

?

2 x

(x ?

a 2

)( x ?

a 2

) , 分) (7

(i)当

a 2

? 1, 即 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [1, e ) 上为增函数,

2 当 x ? 1 时, f ( x ) min ? f (1) ? 1 ? a ,且此时 f (1) ? f ( e ) ? e ;

(8 分)
a ? ,e? 2 ?

(ii)当 1 ?

a

? 2 ? e ,即 2 ? a ? 2 e 时, f ( x ) 在区间 ? 1, ? 2 ?

? a ? 在区间 ? ? 上为减函数, ? 2 ? ?

上为增函数, 故当 x ?
a 2
a 2

(9 分)
a 2 ) ? 3a 2 ? a 2 ln a 2

时, f ( x ) min ? f (

,且此时 f (

a 2

) ? f (e) ? e ; (10 分)
2

(iii)当

? e ,即 a ? 2 e 时, f ( x ) ? x ? a ln x ? a 在区间[1,e]上为减函数,
2

2

故当 x ? e 时, f ( x ) min ? f ( e ) ? e .
2

(11 分)
?1 ? a , 0 ? a ? 2 ? a a ? 3a 2 ? ? ? ln , 2 ? a ? 2 e 2 2 ? 2 2 2 ?e , a ? 2e ?

综上所述,函数 y ? f ( x ) 的在 ?1, ?? ? 上的最小值为 f ( x ) min

(12 分)
?2 ? a ? 2e 2 , ?a ? 2e 2 , ?0 ? a ? 2, ? ? ? 由? 得 0 ? a ? 2 ; ? 3a a 由 3 a 3 a 得无解;? 2 3 a 得无解; ? ln ? , , ?1 ? a ? a , ? ?e ? 2 ? 2 2 2 2 ? 2 ?

(13

分) 故所求 a 的取值范围是 ? 0 , 2 ? . (14 分)

东莞市 2013 届高三理科数学模拟试题、
参考公式:①柱体的体积公式 V ? S h ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. ②锥体的体积公式 V ?
1 n
1 3 S h ,其中 S 为柱体的底面积, h 为锥体的高.

③标准差 s ?

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x n ? x ) ] , 其 中 x 为 样 本
2 2 2

x1 , x 2 , ? , x n 的平均数.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A.
1 5 ? 2 5
2

i 2?i
2 5 i

等于 C.
1 5 ? 2 5 i

i

B. ?

1 5

?

D. ?

1 5

?

2 5

i

2.命题 p : ? x ? R , x ? 1 ? 1 ,则 ? p 是 A. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

B. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

C. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

D. ? x ? R , x ? 1 ? 1
2

2

2

3.已知 a ? (1, 2 ) , b ? (0,1) , c ? ( k , ? 2 ) ,若 ( a ? 2 b ) ? c ,
3

则k ? A. 2 B. 8 C. ? 2 D. ? 8
正视图 侧视图

4.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的 三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.9 B.10 C.11 D.
23 2
1 1 俯视图 第 4 题图

5.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将两人最 近的 6 次数学测试的分数进行统计,甲乙两人的得分情 况如茎叶图所示,若甲乙两人的平均成绩分别是 x甲 ,
x乙 ,则下列说法正确的是

A. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛 B. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛

第 5 题图

C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定,应该选甲参加比赛 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定,应该选乙参加比赛
? y ? x ? 6.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? y ? ?1 ?

A. ? 3

B.

1 2

C. 5

D. 6

7.已 知集合 M ? ? x | x ? 4 | ? | x ? 1 |? 5 ? , N ? ? x a ? x ? 6 ? ,且 M ? N ? ( 2 , b ) , 则
a?b ?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

8.对于函数 y ? f ( x ) ,如果存在区间 [ m , n ] ,同时满足下列条件:① f ( x ) 在 [ m , n ] 内是 单调的;②当定义域是 [ m , n ] 时, f ( x ) 的值域也是 [ m , n ] ,则称 [ m , n ] 是该函数的“和 谐区间” .若函数 f ( x ) ? A. (0 ,1)
a ?1 a ? 1 x ( a ? 0 ) 存在“和谐区间” ,则 a 的取值范围是

B. ( 0 , 2 )

C. ( , )
2 2

1 5

D. (1, 3)

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
(一)必做题(9~13 题) 9.已知函数 y ? f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) = lo g 2 x ,则 f ( f ( )) 的值等于
4 1



10.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5 ,则点 P 的横坐标是_____.
2

11.函数 y ? s in x ? s in ? x ?
?

?

? ?

? 的最小正周期为 3 ?

,最大值是


4 5 3

12. 某学生在参加政、 地三门课程的学业水平考试中, 史、 取得 A 等级的概率分别为
2 5

、 、
5

,且三门课程的成绩是否取得 A 等级相互

?
P

0
6 125

1

2

3

独立.记 ? 为该生取得 A 等级的课程数,其分 布 列 如 表 所 示 , 则 数 学 期 望 E? 的 值 为 ______________.

a

b

24 125

13.观察下列不等式: ①
1 2 ? 1 ;② 1 2 ? 1 6 ? 2 ;③ 1 2 ? 1 6 ? 1 12 ? 3 ;?

则第 5 个不等式为



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线 l 过点 (1, 0 ) 且与直线 ? ? 则直线 l 极坐标方程为 . E D F M l 若 A D ? 3 A E ,则 A F : F C ? .
第 15 题图

?
3

( ? ? R )垂直,

15. (几何证明选讲)如图, M 是平行四边形 A B C D 的边
A B 的中点,直线 l 过点 M 分别交 A D , A C 于点 E , F .A

C B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 如图,在△ A B C 中, ? C ? 4 5 , D 为 B C 中点, B C ? 2 . 记锐角 ? A D B ? ? .且满足 c o s 2 ? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 B C 边上高的值. C D B
7 25
?

A



第 16 题图

17. (本小题满分 12 分) 甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数都稳定在 7、8、9、10 环,且 每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如下:

若将频率视为概率,回答下列问题:

(1)求表中 x,y,z 的值及甲运动员击中 10 环的概率; (2)求甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (3) 若甲运动员射击 2 次, 乙运动员射击 1 次,? 表示这 3 次射击中击中 9 环以上 (含 9 环)的次数,求 ? 的分布列及 E ? .

18. (本题满分 14 分) 如图所示,已知 A B 为圆 O 的直径,点 D 为线段 A B 上一点,且 A D ? 圆 O 上一点,且 B C ? (1)求证: P A ? C D ; (2)求二面角 C ? P B ? A 的余弦值.
1 3 D B ,点 C 为

3 A C .点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , P D ? D B .

P

A

D C

O

B

第 18 题图

19. (本题满分 14 分)
x a
2 2

设椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左右顶点分别为 A ( ? 2, 0 ), B ( 2, 0 ) ,离心率 e ?

3 2



过该椭圆上任一点 P 作 PQ ? x 轴,垂足为 Q ,点 C 在 QP 的延长线上,且
| Q P |? | P C | .

(1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 A C ( C 点不同于 A , B )与直线 x ? 2 交于点 R , D 为线段 R B 的中点, 试判断直线 C D 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

20. (本题满分 14 分)

已知数列 ? a n ? 的首项 a 1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 ? 2 S n ? n ? 5 (1)证明:数列 ? a n ? 1? 是等比数列; (2)令 f ( x ) ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n ,求函数 f ( x ) 在点 x ? 1 处的导数 f ? (1) ,并比较
2 f ? (1) 与 2 3 n ? 1 3 n 的大小.
2

21. (本题满分 14 分) 设 g ( x ) ? e , f ( x ) ? g [ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? ? g ( x ) ,其中 a , ? 是常数,且 0 ? ? ? 1 .
x

(1)求函数 f ( x ) 的极值;
e ?1
x

(2)证明:对任意正数 a ,存在正数 x ,使不等式

? 1 ? a 成立;

x

(3) ? 1 , ? 2 ? R , ? 1 ? ? 2 ? 1 , 设 且 证明: 对任意正数 a 1 , a 2 都有:a 1 a 2 ? ? 1 a 1 ? ? 2 a 2 .
+

?1

?2

东莞市 2013 届高三理科数学模拟试题参考答案

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.
题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.
9 . ?1
1 2

10 . ? 4
1 6 1 12 1 20

11 . 2 ? ( 2 分 ),
? ? 1 30 ?

3

(3 分)

12 .

9 5

13.

?

?

5

14. 2 ? s in (? ?

?
6

) ? 1 (或 2 ? c o s (? ?

?
3

) ? 1 、 ? co s ? ?

3 ? sin ? ? 1 )

15. 1 : 4

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ co s 2 ? ? 2 co s ? ? 1 ? ?
2

7 25

,∴ c o s ? ?
2

9 25

, -----------------5 分

∵? ? (0,

?
2

) ,∴ c o s ? ?

3 5


4 5

(2)由(1)得 s in ? ?

1 ? cos ? ?
2

, ∵ ? C AD ? ? AD B ? ? C ? ? ? 45 ,
?

∴ sin ? C A D ? sin (? ?

?
4

) ? sin ? c o s
CD

?
4

? c o s ? sin
AD s in ? C

?
4

?

2 10

, --------9 分

在 ? A C D 中,由正弦定理得:
2 2 2 10

s in ? C A D

?



∴ AD ?

C D ? sin ? C sin ? C A D

1? ?

? 5 , -----------------11 分

则高 h ? A D ? s in ? A D B ? 5 ?

4 5

? 4.

-----------------12 分

17. (本题满分 12 分) (1)由题意可得 x=100-(10+10+35)=45,y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35, 因为乙运动员的射击环数为 9 时的频率为 1-(0.1+0.15+0.35)=0.4, 所以 z=0.4×80=32, 由上可得表中 x 处填 45,y 处填 0.35,z 处填 32. 设“甲运动员击中 10 环”为事件 A,则 P(A)=0.35, 即甲运动员击中 10 环的概率为 0.35. ?????4 分 ????3 分

(2)设甲运动员击中 9 环为事件 A1,击中 10 环为事件 A2,则甲运动员在一次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的概率为 P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.45+0.35=0.8, 故甲运动员在 3 次射击中至少有一次击中 9 环以上(含 9 环)的概率 P=1-[1-P(A1+A2)] =1-0.2 =0.992
3 3

????7 分
2

(3)ζ 的可能取值是 0,1,2,3,则 P(ζ =0)=0.2 ×0.25=0.01
P1 2000 0 0? ( )C2825 . ? ? . . . ?? 0 ? ? ? . 2 75 . 11
1 2

?

P )0 0 C ? 0 0 ( 2. ?? 0 . . ? ? 8. ? 258 ? ? 0 75 . 2 . 4 2
2 1

?

P ? ?82 ?48 ( 3 0 ?75 ? ) . 0 0 . .

????10 分

所以ξ 的分布列是 ξ P 0 0.01 1 0.11 2 0.4 3 0. 48 ????12 分

E ? ?. ? . 3 ? ?. 1 001 0 ? 24 0 2 0 ? ? 11 ? . 0 48 . 35

?

18. (本题满分 14 分) 解: (1)连接 C O ,由 3 A D ? D B 知,点 D 为 A O 的中点, 又∵ A B 为圆 O 的直径,∴ A C ? C B ,
? 由 3 A C ? B C 知, ? C A B ? 6 0 ,

P

∴ ? A C O 为等边三角形,从而 C D ? A O .--3 分 ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴ P D ? 平面 A B C ,又 C D ? 平面 A B C , ∴ P D ? C D ,-----------------5 分 由 P D ? A O ? D 得, C D ? 平面 P A B , 又 P A ? 平面 P A B , ∴ PA ? CD . -----------------6 分 A D C B

E

O

(2) (综合法)过点 D 作 D E ? P B ,垂足为 E ,连接 C E . ----------------7 分 由(1)知 C D ? 平面 P A B ,又 P B ? 平面 P A B , ∴ C D ? P B ,又 D E ? C D ? D ,

∴ P B ? 平面 C D E ,又 C E ? 平面 C D E ,∴ C E ? P B ,--------------9 分 ∴ ? D E C 为二面角 C ? P B ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 C D ?
3 , PD ? DB ? 3 ,
PD ? DB PB 9 3 2 3 2 2

∴ P B ? 3 2 ,则 D E ?

?

?


6 3

∴在 R t ? C D E 中, ta n ? D E C ?

CD DE

?

3 3 2 2

?



∴ cos ? D E C ?

15 5

,即二面角 C ? P B ? A 的余弦值为

15 5

. --------14 分

19.解: (1)由题意可得 a ? 2 , e ?

c a

?

3 2

,∴ c ?

3 , -----------------2 分

∴ b ? a ? c ? 1 ,所以椭圆的方程为
2 2 2

x

2

? y ? 1.
2

-----------4 分

4

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x , y ) , P ( x 0 , y 0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , -------6 分 y ? 2 y0 y0 ? x ? ? ? 2
x0 4
2



? y 0 ? 1 ,代入得
2

x

2

?(

1 2
2

y ) ? 1 ,即 x ? y ? 4 .
2
2 2

4

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x ? y ? 4 .
2

-----------------8 分
???? ??? ?

(3)设 C ( m , n ) ,点 R 的坐标为 ( 2 , t ) ,∵ A , C , R 三点共线,∴ A C // A R , 而 A C ? ( m ? 2, n ) , A R ? ( 4 , t ) ,则 4 n ? t ( m ? 2 ) ,∴ t ? ∴点 R 的坐标为 ( 2 ,
4n m ?2 ) ,点 D 的坐标为 ( 2 , 2n m ?2
???? ??? ?

4n m ?2



) , -----------10 分

n?

2n

∴直线 C D 的斜率为 k ?

m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? m n , 2 2 m ?2 m ?4 m ?4
mn ?n
2

2 2 2 2 而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ? n ,∴ k ?

? ?

m n

, ------------12 分

∴直线 C D 的方程为 y ? n ? ?

m n

( x ? m ) ,化简得 m x ? n y ? 4 ? 0 ,
4 m ?n
2 2

∴圆心 O 到直线 C D 的距离 d ?

?

4 4

? 2 ? r,

所以直线 C D 与圆 O 相切.

-----------------14 分

20. (本题满分 14 分) 解: (1)由已知 S n ? 1 ? 2 S n ? n ? 5 ,可得 n ? 2, S n ? 2 S n ?1 ? n ? 4 两式相减得
S n ? 1 ? S n ? 2 ? S n ? S n ?1 ? ? 1 即 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 从而 a n ?1 ? 1 ? 2 ? a n ? 1 ? ????4 分

当 n ? 1 时 S 2 ? 2 S 1 ? 1 ? 5 所以 a 2 ? a1 ? 2 a1 ? 6 又 a 1 ? 5 所以 a 2 ? 1 1 从而
a 2 ? 1 ? 2 ? a 1 ? 1 ? ??5 分
* 故总有 a n ?1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) , n ? N 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0

从而

a n ?1 ? 1 an ? 1

? 2 即数列 ? a n ? 1? 是等比数列;??6 分

(2)由(1)知 a n ? 3 ? 2 n ? 1 ,因为 f ( x ) ? a 1 x ? a 2 x 2 ? ? ? a n x n 所以
n ?1 f ?( x ) ? a1 ? 2 a 2 x ? ? ? n a n x

从而 f ? (1) ? a 1 ? 2 a 2 ? ? ? n a n = ? 3 ? 2 ? 1 ? ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 1 ? ? ? ? n (3 ? 2 n ? 1) = 3 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ? - ?1 ? 2 ? ? ? n ? 令 T n ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? n ? 2 , 2 T n ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2
2 n 2 3 4 n ?1 错位相减得, T n ? ? n ? 1 ?2 ? 2 n ?1

f (1) ? 3 ? n ? 1 ? ? 2
,

n ?1

?

n ( n ? 1) 2

? 6 ??????10 分

由上 2 f ? (1) ? ? 2 3 n 2 ? 1 3 n ? ? 1 2 ? n ? 1 ? ? 2 n - 1 2 ? 2 n 2 ? n ? 1 ? =
1 2 ? n ? 1 ? ? 2 ? 1 2 ? n ? 1 ? ( 2 n ? 1) =12 ( n ? 1) ? 2 ? ( 2 n ? 1) ? ① ? ?
n
n

2 当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n ;

2 当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ? (1) ? 2 3 n ? 1 3 n

n x 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又由函数 y ? 2 与 y ? 2 x ? 1 可 2 ? 2 n ? 1

所以 ? n ? 1 ? ? 2 n ? ? 2 n ? 1 ? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ? (1) ? 2 3 n 2 ? 1 3 n ??14 分 ? ?

21. (本题满分 14 分) 解: (1)∵ f ? ( x ) ? ? g ?[ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? ? g ? ( x ) , -----------------1 分 由 f ? ( x ) ? 0 得, g ?[ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? g ? ( x ) ,
) ∴ ? x ? (1 ? ? ) a ? x ,即 (1 ? ?)( x ? a ?0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分

故当 x ? a 时, f ? ( x ) ? 0 ;当 x ? a 时, f ? ( x ) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x ) 取极大值,但 f ( x ) 没有极小值.-----------------4 分
e ?1
x

(2)∵

?1 ?

e ? x ?1
x

,又当 x ? 0 时,令 h ( x ) ? e ? x ? 1 ,则
x

x
x

x

h ?( x ) ? e ? 1 ? 0 ,

故 h ( x ) ? h (0 ) ? 0 ,因此原不等式化为
x

e ? x ?1
x

? a ,即 e ? (1 ? a ) x ? 1 ? 0 ,
x

x

令 g ( x ) ? e ? (1 ? a ) x ? 1 ,则 g ? ( x ) ? e ? (1 ? a ) ,
x

由 g ? ( x ) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a ) ,
x

当 0 ? x ? ln (1 ? a ) 时, g ? ( x ) ? 0 ;当 x ? ln (1 ? a ) 时, g ? ( x ) ? 0 . 故当 x ? ln (1 ? a ) 时, g ( x ) 取最小值 g [ln (1 ? a )] ? a ? (1 ? a ) ln (1 ? a ) ,----8 分 令 s(a ) ?
a 1? a ? ln (1 ? a ), a ? 0 ,则 s ? ( a ) ?

1 (1 ? a )
2

?

1 1? a

? ?

a (1 ? a )
2

? 0.

故 s ( a ) ? s (0 ) ? 0 ,即 g [ln (1 ? a )] ? a ? (1 ? a ) ln (1 ? a ) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln (1 ? a ) ,使原不等式成立. -----------------10 分 (3)对任意正数 a1 , a 2 ,存在实数 x1 , x 2 使 a 1 ? e , a 2 ? e ,
x1 x2

则 a1 a 2 ? e
?1

?1

?2

?1 x1

?e

?2 x2

? e

?1 x1 ? ? 2 x 2

, ?1 a1 ? ? 2 a 2 ? ?1 e ? ? 2 e ,
x1 x2

原不等式 a1 a 2 ? ?1 a1 ? ? 2 a 2 ? e

?2

?1 x1 ? ? 2 x 2

? ?1 e

x1

? ?2e

x2



? g ( ? 1 x1 ? ? 2 x 2 ) ? ? 1 g ( x1 ) ? ? 2 g ( x 2 )

-----------------12 分

由(1) f ( x ) ? (1 ? ? ) g ( a ) 恒成立,故 g [ ? x ? (1 ? ? ) a ] ? ? g ( x ) ? (1 ? ? ) g ( a ) , 取 x ? x1 , a ? x 2 , ? ? ?1 ,1 ? ? ? ? 2 ,即得 g ( ?1 x1 ? ? 2 x 2 ) ? ?1 g ( x1 ) ? ? 2 g ( x 2 ) , 即e
?1 x1 ? ? 2 x 2

? ?1 e

x1

? ?2e

x2

,故所证不等式成立.

-----------------14 分


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