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数学精英解“数列”题技巧归纳


A thesis submitted to XXX in partial fulfillment of the requirement for the degree of Master of Engineering
考场精彩(3)

(3)数学精英解“数列”题 )数学精英解“数列”

1. 广东卷第 5 题)已知数列{ an }的

前 n 项和 Sn = n 2 ? 9n ,第 k 项满足5< ak <8,则 ( k= (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 解答: 解答: B 此数列为等差数列, an = Sn ? Sn ?1 = 2n ? 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=8. 2. 天津卷第 8 题)设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, a1 = 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中 (天津卷 项,则 k = ( ) A.2 B.4 C.6
2

D.8

解答: 解答 由题意得,an=(n+8)d,a k = a1a 2 k , ∴(k+8)2d2=9d(2k+8)d.∴k=4. 答案为 B.
2 a n+1 2 an

3. 湖北卷第 6 题)若数列{an}满足 (

= p( p为正常数,n ∈N*),则称{an}为“等方比

数列”. 甲:数列{an}是等方比数列;乙:数列{an}是等比数列.则 A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解答:

a n+1 = ± p , 所 以 此 数 列 {an} 并 不 是 等 比 数 列 ; 若 {an} 是 等 比 数 列 , 则 an
2

2 a n+1 2 a n+1

?a ? = ? n +1 ? = q 2 ,数列{an}是等方比数列. ? a ? ? n ?

-1-

答案为 B. 【说明】 1,2,4,8,-16,-32,……是等方比数列,但不是等比数列. 4. 湖北卷第 8 题 ) 已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn ,且 (

An 7 n + 45 a ,则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是 = Bn n+3 bn
A.2 B.3 C.4 D.5 解答: 解答 运用中值定理, S 2 n ?1 = ( 2n ? 1) a n .

an ( 2n ? 1) an A2 n?1 7 ( 2n ? 1) + 45 14n + 38 = = = = 2n + 2 bn ( 2n ? 1) bn B2 n?1 ( 2n ? 1) + 3 = 7 n + 19 12 =7+ n +1 n +1

可见,当且仅当 n=1,2,3,5,11 时, 答案为 D.

an 为正整数. bn

5. 辽宁卷第 4 题) ( 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, S3=9, 6=36, a7+a8+a9= 若 S 则 ( A.63 B.45 C.36 D.27 解析 1:设等差数列首项为 a1,公差为 d,
3× 2 ? ?3a1 + 2 d = 9, ? 则? ?6a + 6 × 5 d = 36. ? 1 2 ? 解得 ?a1 = 1, ? ? d = 2.



∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45. 解析 2:由等差数列的性质知: S′3=S6-S3=36-9=27,d′=S′3-S3=27-9=18. ∴S〞3=S3+2d′=9+2×18=45. 答案为 B.

6. 福建卷第 2 题)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an = (

1 ,则 S5 等于( n(n + 1)
1 30



A.1 解答: 解答: 由 a n =

B.

5 6

C.

1 6

D.

1 1 1 ,得 a n = ? , n(n + 1) n n +1

-2-

S 5 = a1 + a 2 + a3 + a 4 + a5 ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 1? = ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? ? 2? ? 2 3? ?3 4? ? 4 5? 1 5 = 1? = . 6 6
答案为 B. 7.(全国卷Ⅰ第 15 题)等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列, (全国卷Ⅰ 则 {an } 的公比为 .
2

解法一: 解法一:将 S2=(1+q)S1,S3=(1+q+q2)S1 代入 4 S 2 = S1 + 3S 3, 得3q ? q = 0. 注意到 q≠0,得公比 q= . 解法二: 解法二:由题设得 4 S 2 = S1 + 3S 3 , 即4(a1 + a 2 ) = a1 + 3( a1 + a 2 + a3 ), 化简得 a2=3a3,故公比 q=

1 3

a3 1 = . a2 3 a3 1 = . a2 3

解法三: 解法三:由 4S2=S1+3S3,得 S2-S1=3(S3-S2),即 a2=3a3,故公比 q=

8. 全国卷Ⅰ第 22 题)已知数列 {an } 中 a1 = 2 , an +1 = ( 2 ? 1)( an + 2) , n = 1, 3, . . 全国卷Ⅰ ( 2, … (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 中 b1 = 2 , bn +1 =

3bn + 4 , n = 1, 3, , 2, … 2bn + 3

证明: 2 < bn ≤ a4 n ?3 , n = 1, 3, . 2, … (Ⅰ)解法 1:由题设: 解答: 解法 :

an +1 = ( 2 ? 1)(an + 2) = ( 2 ? 1)(an ? 2) + ( 2 ? 1)(2 + 2) = ( 2 ? 1)(an ? 2) + 2 , an +1 ? 2 = ( 2 ? 1)(an ? 2) .
所以,数列 an ? 2 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列,

{

}

-3-

an ? 2 = 2( 2 ? 1) n ,
即 an 的通项公式为 an =

2 ?( 2 ? 1) n + 1? , n = 1, 3, . 2, … ? ?

解法 2:设 a n +1 + t = ( 2 ? 1)(a n + t ), : 整理得 a n +1 = ( 2 ? 1) a n + ( 2 ? 2)t. 由已知 a n +1 = ( 2 ? 1) a n + 2( 2 ? 1) 比较系数得 t = ? 2 . ∴ a n +1 ?

2 = ( 2 ? 1)(a n ? 2 ) . 2 是以首项为a1 ? 2 = 2 ? 2 , 公比为 2 ? 1的等比数列.

即数列 a n ? ∴ an =

{

}

2 + 2 ( 2 ? 1) n , (n∈N+)

(Ⅱ)解法 1:用数学归纳法证明. 解法 :用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n = 1 时,因 2 < 2 , b1 = a1 = 2 ,所以

2 < b1 ≤ a1 ,结论成立.
(ⅱ)假设当 n = k 时,结论成立,即 2 < bk ≤ a4 k ?3 , 也即 0 < bk ? 2 ≤ a4 k ?3 ? 3 . 当 n = k + 1 时,

bk +1 ? 2 =

3bk + 4 ? 2 2bk + 3

=

(3 ? 2 2)bk + (4 ? 3 2) 2bk + 3 (3 ? 2 2)(bk ? 2) >0, 2bk + 3 1 1 < = 3? 2 2 , 2bk + 3 2 2 + 3 bk +1 ? 2 = (3 ? 2 2)(bk ? 2) 2bk + 3

=



所以

< (3 ? 2 2)2 (bk ? 2)
-4-

≤ ( 2 ? 1) 4 (a4 k ?3 ? 2) = a4 k +1 ? 2 .
也就是说,当 n = k + 1 时,结论成立. 根据(ⅰ)和(ⅱ)知 2 < bn ≤ a4 n ?3 , n = 1, 3, . 2, … 解法 2:由 bn +1 = : 于是

3bn + 4 3b + 4 (3 ? 2 2 )(bn ? 2 ) , 得bn+1 ? 2 = n ? 2= 2bn + 3 2bn + 3 2bn + 3

1 bn +1 ? 2


=

2b n + 3 (3 ? 2 2 )(b n ? 2 )

=

(3 + 2 2 )(2b n + 3) bn ? 2

=

(3 + 2 2 ) 2 bn ? 2

+ 2(3 + 2 2 )

1 bn ? 2

= c n , 得c n+1 = (3 + 2 2 ) 2 c n + 2(3 + 2 2 ),

有 c n +1 +

? 2 2? ?. = (3 + 2 2 ) 2 ? c n + ? 4 4 ? ? ?

∵ c1 +

2 1 2 3 2 = + = 1+ 4 4 4 b1 ? 2
? ?
3 2 2? ,公比为(3+ 2 2 )2 的等比数列. ? 是以首项为 1+ 4 4 ?

∴数列 ?c n +

∴ cn +

2 n ?1 2 4+3 2 ? = ? 3+ 2 2 ? , ? ? ? ? 4 4

(

)

bn =

1 2 2 2 2 + 2= + 2= + 2 > 2. 2 n ?1 cn (3 + 2 2 ) ?1 ( 2 + 1) 4 n? 2 ? 1 2 ( 2 ? 1) 4 n?3 + 2 ,

又 a 4 n ?3 =

∴要证明 bn ≤ a 4 n ?3 , 只需证明 ?

( ? ?

2 +1

)

4 n?2

? 1? ( 2 ? 1) 4 n ?3 ≥ 2. 而 ? ?

? 2 + 1 4 n? 2 ? 1? ( 2 ? 1) 4 n?3 = ( 2 + 1) ? ? ? ?

(

)

[(

2 +1

)(

2 ?1

)]

4 n ?3

? ( 2 ? 1) 4 n ?3

= 2 + 1 ? ( 2 ? 1) 4 n ?3 ≥ 2 + 1 + 1 ? 2 = 2,
综上所得 2 < bn ≤ a 4 n ?3 .

-5-

-6-


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