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安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学文试题(WORD解析版)


望江四中 2014 届高三上学期第一次月考 数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题时 120 分钟,满分 150 分。 第Ⅰ卷(选择题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 一、选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.) 1.若集合 A ? {x | A. {x | 0 ? x ? 1} 答案:A 解析:集合 A=

{ x | 0 ? x ? 1 },A={ x | 0 ? x ? 2 },所以, A ? B ? {x | 0 ? x ? 1} 2.设 x ? R, i 是虚数单位,则“x=-3”是“复数 z=(x +2x-3)+(x-1)i 为纯虚数”的(
2

x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 2 x} ,则 A ? B ? ( x ?1
B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}

) D. {x | 0 ? x ? 1}



A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:C
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】若复数 z=(x +2x-3)+(x-1)i 为纯虚数,则 ?
2

?x ?1 ? 0
2 ?x ? 2x ? 3 ? 0

, 解得x ? ?3 ,所以“x=

-3”是“复数 z=(x +2x-3)+(x-1)i 为纯虚数”的充要条件。 3.已知 ?a n ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,则 cos(a3 ? a7 ) 的值为( )

A. 答案:D

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

解析:因为 ?a n ? 为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? 8? ,所以, a5 ? 4. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( A. y ? x ? 1 B. y ? tan x C. y ? x
3

8 ?, 3



D. y ? log 2 x

答案:C 【解析】A、D 既不是奇函数,也不是偶函数,排除,B 只是在区间上递增,只以 C 符合。 5. 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2(a ? 0) 有且仅有两个不同的零点 x1 , x2 ,则(
3 2



A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 答案:B

6. 函数 y ? sin x sin( A. 答案:B

?
2

? x) 的最小正周期是(
C.2π

) D.4π

π 2

B. ?

【解析】函数 y ? sin x sin(

?
2

? x) ? sin x cos x ?

1 sin 2 x ,所以周期为 ? . 2


7.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间为( A. ?1, 2 ? 答案:D 【解析】 f ( ) ? ln

B. ? , 2 ?

?3 ?2

? ?

C. ? 2, ?

? ?

5? 2?

D. ? ,3 ?

?5 ?2

? ?

5 2

5 ?5 ? ? 1 <0, f (3) ? ln 3 >0,所以,在 ? ,3 ? 上有零点。 2 ?2 ?

8.设集合 M 是 R 的子集,如果点 x0 ?R 满足: ?a ? 0, ?x ? M ,0 ? x ? x0 ? a ,称 x0 为集合 M 的聚 点.则下列集合中以 1 为聚点的有: { ( A.①④ 答案:A ) B.②③ C.①② D.①②④

n 2 | n ? N} ; ② { | n ? N*} ; ③ Z ; n ?1 n

④ { y | y ? 2x }

n | n ? N} 中的元素是极限为 1 的数列, n ?1 ∴在 a ? 0.5 的时候,存在满足 0<|x-1|<a 的 x,
【解析】①中,集合 {

∴1 是集合 {

n | n ? N} 的聚点 n ?1

2 ②集合 { | n ? N*} 中的元素是极限为 0 的数列,最大值为 2,即|x-1|≥1 n 2 对于某个 a>1,不存在 0<|x-1| a ,∴1 不是集合 { | n ? N*} 的聚点 n ③对于某个 a<1,比如 a=0.5,此时对任意的 x∈Z,都有|x﹣1|=0 或者|x﹣1|≥1,也就是说不可能 0 <|x﹣1|<0.5,从而 1 不是整数集 Z 的聚点
④ 2 x >0,存在 0<|x-1|<0.5 的数 x,从而 1 是整数集 Z 的聚点 故选 A 9. 一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子 中,共取 3 次,则取得小球标号最大值是 3 的取法有( ) A.12 种 答案:D 解析:分三类:第一类,有一次取到 3 号球,共有 C3 ? 2 ? 2 ? 12 取法;第二类,有两次取到 3 号球,
1

B.15 种

C.17 种

D.19 种

共有 C3 ? 2 ? 6 取法;第三类,三次都取到 3 号球,共有 1 种取法;共有 19 种取法。
2

10.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?
x

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ② 函 数 F ( x) 是 奇 函 数 ;③ 当 a ? 0 时 , 若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总 有

F ( m)? F ( n? 成立,其中所有正确命题的序号是( ) 0
A.② 答案:D 解析:① 2 ? 2
| x| |? x|

) D.②③

B.①②

C.③

,所以,错误;②当 x>0 时,-x<0,F(-x)=-f(-x)=-( a ? 2 ? 1 )
| x|

=-f(x)=F(x),为奇函数,同理可证当 x<0 时也是奇函数,正确; ③因为 mn<0,不妨设 m>0,n<0,又 m+n>0,所以,|m|>|n|,
n |m n | , F (m) ? F (n) = a ? 2|m| ? 1 - ( a ? 2|n| ? 1 ) = a( 2|m | ? 2| | ) 因 为 a ? 0 , 2 | ? 2| , 所 以 , 有

F (m) ? F (n) <0,正确。

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.函数 f ( x) ? 1og 1 ( x ? 1) 的定义域为
2



答案:(1,2]

解析:由 ?

?x ?1 ? 0 ,解得: 1 ? x ? 2 ?x ?1 ? 1

12.数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos 答案:1006 解析: a4 n ?1 ? ? 4n ? 1? cos

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S2013 ? 2
? ? 4n ? 1? cos



? 4n ? 1? ?
2

?
2

?0

a4 n ? 2 ? ? 4n ? 2 ? cos a4 n?3 ? ? 4n ? 3? cos a4 n ? 4 ? ? 4n ? 4 ? cos

? 4n ? 2 ? ?
2

? ? 4n ? 2 ? cos ? ? ? ? 4n ? 2 ? ? ? 4n ? 3? cos 3? ?0 2

? 4n ? 3 ? ?
2

? 4n ? 4 ? ?
2

? ? 4n ? 4 ? cos 2? ? 4n ? 4

2012 ? 2 ? a2013 ? 1006 ? 0 ? 1006 。 4 ? ? ? 13.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n ,若记向量 a = (m,n) 与向量 b ? (1, 2) 的夹角为 ? ,则
所以 a4 n ?1 ? a4 n ? 2 ? a4 n ?3 ? a4 n ? 4 ? 2 ,于是 S2013 ?

? 为锐角的概率是
答案:

.

1 6

解析: 连掷两次骰子得到的点数记为 ? m, n ? ,其结果有 36 种情况,若向量 a = (m,n) 与向量

?

? ? m ? 2n ? 0 b ? (1, 2) 的夹角 ? 为锐角,则 ? ? ,满足这个条件的有 6 种情况,所以 ? 为锐角的 ??2m ? n ? 0
概率是

1 。 6
2

14.函数 y ? log a ( x ? ax ? 2) 在 [2, ??) 上恒为正,则实数 a 的取值范围是 答案: ? 1, ?



? 5? ? 2?
2

解析:当 0 ? a ? 1时,函数 y ? log a ( x ? ax ? 2) 在 [2, ??) 上为减函数, y ? log a (6 ? 2a) 不合题

1 在 [2, ??) 上恒成立。 x 1 5 1 函数 y ? x ? 在 [2, ??) 上是增函数,它的最小值为 ,要使 a ? x ? 在 [2, ??) 上恒成立, 2 x x
意; a ? 1 时, 当 由题意得 x ? ax ? 2 ? 1 在 [2, ??) 上恒成立, a ? x ? 即
2

只需 a ?

5 ? 5? 。综上,实数 a 的取值范围是 ? 1, ? 2 ? 2?

15. 定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } ,{ f (an )} 仍是等 比数列, 则称 f ( x) 为 “等比函数” 现有定义在 (??, 0) ? (0, ??) 上的如下函数: f ( x) ? 2 ; 。 ①
x 2 x ② f ( x) ? log 2 x ;③ f ( x) ? x ;④ f ( x ) ? ln 2 ,则其中是“等比函数”的 f ( x) 的序号

为 答案:③④



【解析】若① f ( x) ? 2 ,则
x

f (an ) 2an ? an?1 ? 2an ? an?1 ,所以不是常数,所以①不是“等比函数”。 f ( an ?1 ) 2

②若 f ( x) ? log 2 x ,

log 2 an f (an ) 2 ? , 所以不是常数, 所以②不是 “等比函数”③若 f ( x) ? x , 。 f (an ?1 ) log 2 an ?1


f (an ) a2 a x ? n 2 ? ( n )2 , 所以是常数, 所以③是 “等比函数” ④若 f ( x) ? ln 2 , f ( ) ?n 。 则 x x l2 f (an ?1 ) an ?1 an ?1

f (an ) a ln 2 a ? n ? n ,所以是常数,所以④是 21世纪教育网 “等比函数”。所以是“等比 f (an ?1 ) an ?1 ln 2 an ?1
函数”的 f ( x) 的序号为③④.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程) 16. (本小题共 12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a . ① sin 13? ? cos 17? ? sin13? cos17? ;
2 2

② sin 15? ? cos 15? ? sin15? cos15? ;
2 2

③ sin 18? ? cos 12? ? sin18? cos12? ;
2 2

④ sin (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?) cos 48? ;
2 2

⑤ sin (?25?) ? cos 55? ? sin(?25?) cos55? .
2 2

(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 a ; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.

17.(本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? ? 2 log 4 x ? 2 ? ? log 4 x ? (1)当 x ? ? 2, 4 ? 时,求该函数的值域;

? ?

1? ?。 2?

(2)若 f ( x) ? m log 4 x 对于 x ? ? 4,16? 恒成立,求 m 世纪教育网 有取值范围。 21

18.(本小题共 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是正方形,棱 PD ? 底面

ABCD , PD ? DC , E 是 PC 的中点.
(1)证明 PA // 平面 BDE ; (2)证明平面 BDE ? 平面 PBC .

19.(本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(1)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

20.(本小题 13 分)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在 y 轴上,且过点 (2, 1) . (1)求抛物线的标准方程; (2)与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 相切的直线 l : y ? kx ? t 交抛物线于不同的两点 M , N 若抛物线上一点
2 2

C 满足 OC ? ? (OM ? ON ) (? ? 0) ,求 ? 的取值范围.

21.(本小题 14 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? x ? a)e ( a ? 0 ).
2

x a

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? ?5 时, f ( x) 取得极值,求函数 f ( x) 在 ? m, m ? 1? (m ? ?5) 上的最小值;

解答题参考答案
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程) 16.解:(1)选择②式计算

1 3 a ? sin 2 15? ? cos2 15? ? sin15? cos15? ? 1 ? sin 30? ? . 2 4
(2)猜想的三角恒等式为

sin 2 ? ? cos2 (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? ) ?
2 2

3 . 4

证明: sin ? ? cos (30? ? ? ) ? sin ? cos(30? ? ? )

? sin 2 ? ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? ) 2 ? sin ? (cos30? cos ? ? sin 30? sin ? )

3 3 1 3 1 ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2 ? 4 2 4 2 2

3 3 3 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? . 4 4 4
17.解: (1)令 t ? log 4 x, x ? ? 2, 4? 时, t ? ? ,1?

?1 ? ?2 ?

1? ? ? 1? y ? f ( x) ? ? 2 log 4 x ? 2 ? ? log 4 x ? ? ? ? 2t ? 2 ? ? t ? ? 2? ? ? 2? ? 2t 2 ? 3t ? 1
? 1 ? ? y ? ?? , 0? ? 8 ?
2 (2) f ( x) ? m log 4 x 即 2t ? 3t ? 1 ? mt 对 t ? ?1, 2 ? 恒成立,

所以 m ? 2t ? ? 3 对 t ? ?1, 2 ? 恒成立, 易知函数 g (t ) ? 2t ? ? 3 在 t ? ?1, 2 ? 上的最小值为 0. 故m?0 18.证明:(1)连结 AC ,设 AC 与 BD 交于 O 点,连结 EO . ∵底面 ABCD 是正方形,∴ O 为 AC 的中点,又 E 为 PC 的中点, ∴ OE // PA , ∵ OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , ∴ PA // 平面 BDE . (2)∵ PD ? DC , E 是 PC 的中点, ∴ DE ? PC . ∵ PD ? 底面 ABCD ,∴ PD ? AD .又由于 AD ? CD , PD ? CD ? D ,故 AD ? 底面 PCD , 所以有 AD ? DE .又由题意得 AD // BC ,故 BC ? DE . 于是,由 BC ? PC ? C , DE ? PC , BC ? DE 可得 DE ? 底面 PBC . 故可得平面 BDE ? 平面 PBC . 19.解: (1) a ? 2, f ( x) ?

1 t

1 t

1 2 2 1 x ? 2ln x, f '( x) ? x ? , f '(1) ? ?1, f (1) ? , 2 x 2

f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 2 x ? 2 y ? 3 ? 0.
(2)由 f '( x) ? x ?

a x2 ? a ? . x x
a.

由 a ? 0 及定义域为 (0, ??) ,令 f '( x) ? 0, 得x ?

①若 a ? 1, 即0 ? a ? 1, 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递增,

因此, f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值为 f (1) ? ② 若 1?

1 . 2

a ? e,即1 ? a ? e2 , 在( a ) 上 , f '( x) ? 0 , f (x) 单 调 递 减 ; 在( a , e) 1,

上, f '( x) ? 0 , f (x) 单调递增,因此 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f ( a ) ? ③若 a ? e, 即a ? e , 在 (1, e) 上, f '( x) ? 0 , f (x) 在 [1, e] 上单调递减,
2

1 a(1 ? ln a). 2

因此, f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值为 f (e) ? 综上,当 0 ? a ? 1时, f min ( x) ? 当 a ? e 时, f min ( x) ?
2

1 2 e ?a. 2

1 1 2 ;当 1 ? a ? e 时, f min ( x) ? a(1 ? ln a) ; 2 2

1 2 e ?a 2
2

可知当 0 ? a ? 1或 a ? e 时, f (x) 在 (1, e) 上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点. 当 1 ? a ? e 时,要使 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,则
2

?1 ? 2 a (1 ? ln a ) ? 0, ?a ? e ? ? ∴? 即? 1 1 ,此时, e ? a ? ? f (1) ? ? 0, a ? e2 ? 2 ? ? 2 1 2 ? ? f (e) ? 2 e ? a ? 0, ?

1 2 e . 2

所以, a 的取值范围为 (e,

1 2 e ). 2
2

20.解: (1) 设抛物线方程为 x ? 2 py , 由已知得: 2 ? 2 p
2

所以 p ? 2
2

所以抛物线的标准方程为 x ? 4 y (2) 因为直线与圆相切, 所以

t ?1 1? k
2

? 1 ? k 2 ? t 2 ? 2t

把直线方程代入抛物线方程并整理得:

x 2 ? 4kx ? 4t ? 0
由 ? ? 16 k ? 16t ? 16(t ? 2t ) ? 16t ? 0
2 2

得 t ? 0 或 t ? ?3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4k

y1 ? y 2 ? (kx1 ? t ) ? (kx2 ? t ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? 4k 2 ? 2t
由 OC ? ? ( OM ? ON ) ? ? ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? (4k? , (4k ? 2t )? )
2

得 C (4k? , (4k ? 2t ) ? )
2

因为点 C 在抛物线 x ? 4 y 上,
2

所以, 16 k ? ? 4(4k ? 2t ) ?
2 2 2

?? ? 1?

t t 1 ? 1? 2 ? 1? 2 2t ? 4 2k 2t ? 4t

因为 t ? 0 或 t ? ?3 , 所以 2t ? 4 ? 4 或 2t ? 4 ? ?2 所以

? 的取值范围为 ( , 1) ? (1,

1 2

5 ) 4

21.解: (1) f '( x) ?

x x x 1 2 1 ( x ? x ? a)e a ? (2 x ? 1)e a ? x( x ? 1 ? 2a)e a a a
x

当 a ? 1 时, f '( x) ? x( x ? 3)e

解 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? ?3 , 解 f ?( x) ? 0 得 ?3 ? x ? 0 所以 f ( x) 单调增区间为 (??, ?3) 和 (0, ??) ,单调减区间为 (?3,0) (2)当 x ? ?5 时, f ( x) 取得极值, 所以 f '(?5) ? 解得 a ? 2 (经检验 a ? 2 符合题意)
x 1 (?5)(?5 ? 1 ? 2a)e a ? 0 a

f '( x) ?

1 x ? x ? 5? e x 2
x

(??, ?5)
+ ↗ ,

?5
0

(?5,0)


0
0

(0, ??)
+ ↗

f ?( x) f ( x)

所以函数 f ( x) 在 ? ??, ?5 ?

? 0 ? ? ? 递增,在 ? ?5, 0 ? 递减

当 ?5 ? m ? ?1 时, f ( x) 在 ? m, m ? 1? 单调递减,

f min ( x) ? f (m ? 1) ? m(m ? 3)e

m?1 2

当 ?1 ? m ? 0 时

m ? 0 ? m ?1

f ( x) 在 ? m, 0? 单调递减,在 ? 0, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (0) ? ?2
当 m ? 0 时, f ( x) 在 ? m, m ? 1? 单调递增, f min ( x) ? f (m) ? (m ? 2)(m ? 1)e 2 综上, f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最小值
m ?1 ? m(m ? 3)e 2 , ?5 ? m ? ?1, ? ? f min ( x) ? ? ?2, ?1 ? m ? 0, ? m ?(m ? 2)(m ? 1)e 2 , m ? 0. ?

m


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