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汕头市2011年高三年级统一测试


汕 头 市 2010— — 2011 学 年 高 中 毕 业 班 教 学 质 量 监 测

理 科 数 学 试 卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 6 页,20 小题,满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1.答选择题前,考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在 答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3.考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内,框线外的部分不计分. 4.考试结束后,监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回,试 卷由考生自己保管. 参考公式: 参考公式: 锥体的体积公式 V = Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A ) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好
k 发生 k 次的概率 Pn ( k ) = C n p k (1 ? p ) n?k

1 3

第Ⅰ卷 (选择题 满分 40 分) 一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个 选择题: 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 若复数 (a 2 ? 3a + 2) + (a ? 1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( A. 1 B. 2 C. 1或2 ) D. -1

2 2.设全集U 是实数集 R ,M={x|x >4},N={x| 1 < x ≤ 3 },则图中阴影部分表示

的集合是(



A.{x|-2≤x<1 } B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2 }

D.{x|x<2}
1

3.下列函数中,最小值为 2 的是( A. y = x 2 + 2 +

) B. y = x2 +1 x
x2 + 2 x2 +1 1 x ) 6 的展开

1 x2 + 2

C. y = x(2 2 ? x)(0 < x < 2 2 )

D. y =

4.设 a 为函数 y = sin x + 3 cos x( x ∈ R ) 的最大值,则二项式 (a x ? 式中含 x 2 项的系数是( A.192 ) B.182 C.-192

D.-182

5.若 m 、 n 为两条不重合的直线, α 、 β 为两个不重合的平面,则下列命题中 的真命题个数是( )

①若 m 、 n 都平行于平面 α ,则 m 、 n 一定不是相交直线; ②若 m 、 n 都垂直于平面 α ,则 m 、 n 一定是平行直线; ③已知 α 、 β 互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 m ⊥ α ,则 n ⊥ β ; ④ m 、 n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直. A.1 B.2 C.3 D.4

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨) 与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据

x
y

3 2.5

4
t

5 4

6 4.5

根据上表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 $ = 0.7 x + 0.35 ,那么表中 y
t 的值为(



A.

B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5 r r r r r r r r r 7.已知方程 ax 2 + bx + c = 0 ,其中 a 、 b 、 c 是非零向量,且 a 、 b 不共线,则该 ) B.至少有一个解 D.可能有无数个解
Y

3

方程(

A.至多有一个解 C.至多有两个解

O

2

X

8.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (4) = 1 , f ' ( x) 为 f (x) 的导函数,已知 y = f ' ( x) 的图像如图所示,若两个正数 a 、 b 满足 f (2a + b) < 1 ,则 ( )
1 B. (?∞, ) ∪ (5,+∞) 3 1 C. ( ,5) 3 b +1 的取值范围是 a +1

1 1 A. ( , ) 5 3

D. (?∞,3)

第 II 卷(非选择题 满分 110 分) 二、填空题:(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 填空题: 9.高三(1)班共有 56 人,学生编号依次为 1,2,3,…,56,现用系统抽样的 方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一位 同学的编号应为 。
2 ,a4 = 3

10.在等比数列 {a n } 中, 首项 a1 =

∫ (1 + 2 x ) dx ,则公比 q 为
4 1



11.一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏,让孩子把分别写有“ONE”“WORLD” , , “ONE” , “DREAM” 的四张卡片随机排成一排, 若卡片按从左到右的顺序排成 “ONE WORLD ONE DREAM” ,则孩子会得到父母的奖励,那么孩子受奖励的概率为 12.已知三棱锥 P ? ABC 的四个顶点均在半径为 3 的球面上,且 PA, PB, PC 两两 互相垂直,则三棱锥 P ? ABC 的侧面积的最大值为 。

13.在 ?ABC 中,tan A 是以 ?4 为第三项, 为第七项的等差数列的公差,tan B 是 4
1 以 为第三项,9 为第六项的等比数列的公比,则 tan C = 3



14.设直角三角形的两条直角边的长分别为 a ,b,斜边长为 c,斜边上的高为 h, 则有 ① a 2 + b 2 > c 2 + h 2 ,② a 3 + b 3 < c 3 + h 3 ,③ a 4 + b 4 > c 4 + h 4 , ④ a5 + b5 < c5 + h5 . 其中正确结论的序号是 ;进一步类比得到的一般结论是 .

3

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或 解答题: 演算步骤) 15.(本题满分 12 分)
v v x x r x x r 已知向量 a = (sin , cos ), b = (cos , 3 cos ) ,函数 f ( x) = a b , 3 3 3 3

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b 2 = ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 x 的 范围及函数 f (x) 的值域.

16.(本小题满分 12 分) 四个大小相同的小球分别标有数字 1、1、2、2,把它们放在一个盒子里, 从中任意摸出两个小球,它们所标有的数字分别为 x 、 y ,记 ξ = x + y ; (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)设“函数 f ( x) = x 2 ? ξx ? 1 在区间 (2,3) 上有且只有一个零点”为事件 A , 求事件 A 发生的概率。

4

17.(本小题满分 14 分) 已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形,正视图为直角梯形。

E
4 1 4 正视图 4 侧视图

D

C

B

A

俯视图

(Ⅰ)求此几何体的体积; (Ⅱ)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (Ⅲ)探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ⊥ BQ ,并说明理由。

18.(本小题满分 14 分) 某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣,以高于进价的价格出售,销售期有 淡季与旺季之分,通过市场调查发现: ① 销售量 r (x) (件)与衬衣标价 x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关 系: r ( x) = kx + b1 ,在销售淡季近似地符合函数关系: r ( x) = kx + b2 ,其 中 k < 0, b1、b2 > 0且k、b1、b2 为常数; ② 在销售旺季,商场以 140 元/件的价格销售能获得最大销售利润;
5

③ 若称①中 r ( x) = 0 时的标价 x 为衬衣的“临界价格” ,则销售旺季的“临 界价格”是销售淡季的“临界价格”的 1.5 倍. 请根据上述信息,完成下面问题: (Ⅰ)填出表格中空格的内容;
数量关系 销售关系

标价(元/ 件)

销售量 r (x)(件) 销售总利润 y (元)与标价 (含 k 、b1 或 b2 ) x (元/件)的函数关系式

旺季

x

r ( x) = kx + b1

淡季

x

(Ⅱ)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为多少元/件?

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足如图所示的程序框图.

开始

输入 n

(Ⅰ)写出数列 {a n } 的一个递推关系式; (Ⅱ)证明: {a n +1 ? 3a n } 是等比数列, 并求 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {n(a n + 3 n?1 )} 的前 n 项和 Tn 。
a i + 2 = 5ai +1 ? 6ai i = i +1 a1 = 1 , a2 = 1 , i = 1

i≥n




输出 ai + 2

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + 2 x + a ln x.
结束

(Ⅰ)若函数 f ( x)在区间(0,1) 上是单调函数,求实数 a 的取值范围;
6

(Ⅱ)当 t ≥ 1时,不等式 f (2t ? 1) ≥ 2 f (t ) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围。

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理科数学参考答案及评分意见 一、选择题:本小题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 A 7 A 8 C

二、填空题 填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 填空题
1 9. 20; 10. 11. ; 12. 3; 18; 13. 1; 14. ②④, a n + b n < c n + h n (n ∈ N *) 。 12 解答提示: 解答提示:

一、选择题:1.由 a 2 ? 3a + 2 = 0 且 a ? 1 ≠ 0 得 a = 2 ,选 B; 选择题: 2.依题意,M={x|x<-2 或 x>2}, C R M = { x ?2 ≤ x ≤ 2} ,CRM∩N={x|1<x≤2 } . 选 C; 3. y = x2 +1 无最小值, y = x ( 2 2 ? x )(0 < x < 2 2 ) 也没最小值,(有最大值 2), x

排 B 、 C ; y = x2 + 2 +
x2 + 2 x2 +1

1 x2 + 2

≥2 , 但 等 号 不 成 立 , 排

A ;

y=

= x2 +1 +

1 x2 +1

≥ 2 , x = 0 时取等号。选 D;

4.因为 sin x + 3 cos x = 2 sin( x +

π
3

) ,由题设知 a = 2 . 1
x

则二项展开式的通项公式为 Tr +1 = C 6r (a x ) 6? r ? (?

) r = (?1) r ? C 6r ? a 6? r ? x 3? r ,

1 令 3 ? r = 2 ,得 r = 1 ,含 x 2 项的系数是 ?C6 25 = ?192 ,选 C;

5.①为假命题,②为真命题,在③中 n 可以平行于 β ,也可以在 β 内,是假命 题,④中, m 、 n 也可以不互相垂直,为假命题;故选 A。 6.
由 y = 0.7 x + 0.35得

2.5 + t + 4 + 4.5 3+ 4+5+ 6 11 + t = 0.7 × + 0.35 ? = 3.5 ? t = 3 , 4 4 4
7

选 A;

r r r r r 7.由于 a , b 不共线,所以 c = ma + nb( m, n ∈ R, 且m, n是唯一的) ,则
? x 2 = ?m , 故该方程至多有一个解,选A ; ? ? x = ?n
8.解:观察图像,可知 f (x ) 在 (?∞,0] 上是减函数, 4 在 [0,+∞ ) 上是增函数,由 f ( 2a + b) < 1 = f ( 4) ,可得

b

?2 a + b < 4 ? ,画出以 ( a, b) 为坐标的可行域(如图所示 ?a > 0 ?b > 0 ?
阴影部分) ,而
b +1 可看成 ( a, b) 与 ( ?1,?1) 连线的斜 a +1

?1 O ?1 2 a

率,可求得 C 为所求,故选 C。 二、填空题:9.将高三(1)班 56 人用系统抽样抽取 4 人,每部分应为 14 人, 填空题: 填空题 故所选编号均间隔 14,还有一位同学编号 20。 10.由题设可得 a 4 = 18, q 3 = 27 ,从而 q = 3 ; 11.四张卡片排成一排一共有 12 种不同排法,其中只有一种会受奖励,故孩子 受奖励的概率为 1 。 12

12.依题意知,PA,PB,PC 两两垂直,以 PA,PB,PC 为棱构造长方体,则该长方体 的对角线即为球的直径,所以

PA2 + PB 2 + PC 2 = 4 R 2 = 36, 1 1 PA2 + PB 2 PB 2 + PC 2 PC 2 + PA2 S = ( PA PB + PB PC + PC PA) ≤ ( + + ) = 18, 2 2 2 2 2 当PA = PB = PC = 2 3时,取等号.
1 13.依设有 ?4 + 4 tan A = 4, tan 3 B = 9,解得 tan A = 2, tan B = 3 , 3 tan A + tan B 所以 tan C = ? tan ( A + B ) = ? =1. 1 ? tan A tan B 14. 在直角三角形中, a = c sin A, b = c cos A, ab = ch, 故 h = c sin A cos A, a n + b n = c n sin n A + cos n A , a n + b n ? c n ? h n = c n sin n A + cos n A ? 1 ? sin n A cos n A = c n sin n A ? 1 ? 1 ? cos n A < 0,
8

(

)

(

)

(

)(

)

有 a n + b n < c n + h n ,故填②④ a n + b n < c n + h n (n ∈ N *) 。 三、解答题: 解答题 15.解:

v v x x x x 1 2x 3 2x ( ) f ( x) = a ? b = sin cos + 3 cos cos = sin Ⅰ + (1 + cos ) 3 3 3 3 2 3 2 3 KK 3 分 1 2x 3 2x 3 2x π 3 = sin + cos + = sin( + ) + 2 3 2 3 2 3 3 2
令 2 kπ ?
2x π π 5π π + ≤ 2kπ + ,解得, 3kπ ? ≤ x ≤ 3kπ + , (k ∈ Z ) . 2 3 3 2 4 4 5π π 故函数 f (x ) 的单调递增区间为 [3kπ ? ,3kπ + ], ( k ∈ Z ) . KK KK 6 分 4 4 ≤ a 2 + c 2 ? b 2 a 2 + c 2 ? ac 2ac ? ac 1 (Ⅱ) Q b = ac, cos x = = ≥ = . KK KK 8 分 2ac 2ac 2ac 2
2

π



1 π π 2 x π 5π , ≤ cos x < 1, < x ≤ ,∴ < 0 + ≤ 2 3 3 3 3 9
π
3 < sin( 2x π + ) ≤1, 3 3

∴ sin

KK KK 10 分

∴ 3 < sin(

2x π 3 3 3 即 f (x ) 的值域为 ( 3 ,1 + + )+ ≤ 1+ ]. 3 3 2 2 2

π 3 综上所述, x ∈ (0, ], f ( x) 的值域为 ( 3 ,1 + ]. 3 2

KK KK 12 分

16.解: (Ⅰ)由题意可知随机变量 ξ 的可能取值为 2,3,4,从盒子中摸出两个
2 小球的基本事件总数为 C 4 = 6 ,

KK KK 2 分

当 ξ = 2 时,摸出小球所标的数字为 1,1, P (ξ = 2) =

1 , 6 1 当 ξ = 4 时,摸出小球所标的数字为 2,2, P (ξ = 4) = , 6 1 1 2 可知,当 ξ = 3 时, P (ξ = 3) = 1 ? ? = ; KK KK 5 分 6 6 3

得 ξ 的分布列为:

ξ
P

2
1 6

3
2 3

4
1 6

1 2 1 Eξ = 2 × + 3 × + 4 × = 3 ; 6 3 6

KK KK 7 分
9

( Ⅱ ) 由 “ 函 数 f ( x) = x 2 ? ξx ? 1 在 区 间 ( 2,3) 上 有 且 只 有 一 个 零 点 ” 可 知
f ( 2) f (3) < 0 ,即 (3 ? 2ξ )(8 ? 3ξ ) < 0 ,解得

3 8 <ξ < , 2 3

又 ξ 的可能取值为 2,3,4,故 ξ = 2 ,
∴ 事件 A 发生的概率为

1 。 6

KK KK 12 分

17 . 解 : Ⅰ ) 由 该 几 何 体 的 三 视 图 可 知 AC 垂 直 于 底 面 BCED , 且 (

EC = BC = AC = 4 , BD = 1 ,
∴ S BCED =

1 1 1 40 , × ( 4 + 1) × 4 = 10 , V = S BCED ? AC = × 10 × 4 = 2 3 3 3 40 此几何体的体积为 ; KK KK KK KK 5 分 E 3

解法一: (Ⅱ)过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ,连接
AF ,则 ∠FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所

F D









?BAF





AB = 4 2


C B

BF = AF = 16 + 9 = 5 ,
∴ cos ∠ABF =

BF 2 + AB 2 ? AF 2 2 2 ;即异面直 A = 2 BF ? AB 5 2 2 。 KK KK 9 分 5

线 DE 与 AB 所成角的余弦值为

(Ⅲ)在 DE 上存在点 Q,使得 AQ ⊥ BQ ;取 BC 中点 O ,过点 O 作 OQ ⊥ DE 于点 Q ,则点 Q 为所 求点; 连接 EO 、 DO ,在 Rt?ECO 和 Rt?OBD 中,
EC OB Q = = 2 ,∴ Rt?ECO ∽ Rt?OBD , CO BD
∴ ∠CEO = ∠BOD ,
Q
Q D E

C

O

B

∠EOC + ∠CEO = 90 0


A

∴ ∠EOC + ∠DOB = 90 0 , ∠EOD = 90 0 ,
Q

OE = CE 2 + CO 2 = 2 5



OD = OB 2 + BD 2 = 5


10

∴ OQ =

OE ? OD 2 5 ? 5 = = 2, ED 5

∴ 以 O 为圆心, BC 为直径的圆与 DE 相切,切点为 Q ,连接 BQ 、 CQ ,可得

BQ ⊥ CQ ;
Q AC ⊥ 平面BCED , BQ ? BCED ,∴ AC ⊥ BQ ,∴ BQ ⊥ ACQ , Q AQ ? 平面ACQ ,∴ AQ ⊥ BQ ;

KK KK KK KK 14 分

解法二: (Ⅰ)同上。 (Ⅱ)以 C 为原点,以 CA 、 CB 、 CE 所在直

z
线为 x 、 y 、 z 轴建立如图所示的空间直角坐 标 系 , 则 A( 4,0,0) , B (0,4,0) , D (0,4,1) ,
E (0,0,4) ,得 DE = (0,?4,3) , AB = (?4,4,0) , uuur uuu r uuur uuu r DE ? AB 2 2 cos < DE , AB >= uuur uuu = ? , 又异面直 r 5 DE ? AB
D E

C

B

y

线 DE 与 AB 所成角为锐角,可得异面直线
A

DE 与 AB 所成角的余弦值为

2 2 。 5

x

(Ⅲ)设存在满足题设的点 Q ,其坐标为 (0, m, n) , 则 AQ = (?4, m, n) , BQ = (0, m ? 4, n) , QD = (0,4 ? m,1 ? n) ,
Q AQ ⊥ BQ ,∴ m(m ? 4) + n 2 = 0

①;

Q 点 Q 在 ED 上,∴ 存在 λ ∈ R (λ > 0) 使得 EQ = λ QD ,

即 (0, m, n ? 4) = λ (0,4 ? m,1 ? n) ,化简得 m = ②代入①得 (

4λ 4+λ ,n = 1+ λ 1+ λ

②,

λ+4 2 16λ ,得 λ 2 ? 8λ + 16 = 0 , λ = 4 ; ) = 2 1+ λ (1 + λ )
16 8 , )。 5 5

∴ 满足题设的点 Q 存在,其坐标为 (0,

18.解: (Ⅰ)
11

数量关系 销售关系

标价 (元/ 销售量 r (x ) (件) 销售总利润 y (元)与标价 x 件) (含 k 、 b1 或 b2 ) (元/件)的函数关系式 y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1 y = kx 2 ? (100k ? b2 ) x ? 100b2

旺季

x

r ( x) = kx + b1 r ( x) = kx + b2
KK KK KK 6 分

淡季

x

(Ⅱ)在(Ⅰ)的表达式 y = kx 2 ? (100k ? b1 ) x ? 100b1 中,由 k < 0 可知, 在销售旺季,当 x =

100k ? b1 b = 50 ? 1 时,利润 y 取得最大值; 2k 2k 100k ? b2 b = 50 ? 2 时,利润 y 取得最大值. KK 7 分 2k 2k

在销售淡季,当 x =

下面分销售旺季和淡季进行讨论: 由②知,在销售旺季,商场以 140 元/件的价格出售时,能获得最大利润. 因此在销售旺季,当标价 x = 50 ?

b1 = 140 时,利润 y 取得最大值。此时, 2k
KK KK KK KK 10 分

b1 = ?180k ,销售量为 r ( x ) = kx ? 180 k .

令 kx ? 180k = 0 得 x = 180 ,故在销售旺季,衬衣的“临界价格”为 180 元/件. ∴由③知,在销售淡季,衬衣的“临界价格”为 120 元/件.可见在销售淡季,当 标价 x = 120 时, r ( x) = kx +b 2 = 0 ,∴ 120k + b2 = 0 ,∴ b2 = ?120k . KK 12 分 ∴在销售淡季,当 x = 50 ?

b2 120k = 50 + = 110 时,利润 y 取得最大值, 2k 2k

故在销售淡季,商场要获得最大销售利润,衬衣的标价应定为 110 元/件.
KK KK 14 分

19.解: (Ⅰ)由程序框图可知, a1 = a2 = 1 , an + 2 = 5an +1 ? 6an KK KK 2 分 (Ⅱ)由 an+ 2 ? 3an +1 = 2(an +1 ? 3an ) , 且 a2 ? 3a1 = ?2 可知,数列 {a n +1 ? 3a n } 是以 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列,可
12

得 a n +1 ? 3a n = ?2 n ,即

a n +1 3a n a a 1 3 a 1 = ? ,Q n +1 ? 1 = ( n ? 1) ,又 1 ? 1 = ? , n +1 n n +1 n 2 2 2 2 2 2 2?2 2

∴ 数列 {

an 1 3 ? 1} 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列, n 2 2 2
KK KK



an 1 3 ? 1 = ? ( ) n ?1 , a n = 2 n ? 3 n ?1 n 2 2 2

9分

(Ⅲ)Q n( a n + 3 n ?1 ) = n ? 2 n ,
∴ Tn = 1 ? 2 + 2 ? 2 2 + ... + n ? 2 n ①,

2Tn = 1 ? 2 2 + 2 ? 2 3 + ... + n ? 2 n +1 ②,

两式相减得 Tn = ( ?2 ? 22 ? ... ? 2n ) + n ? 2n +1 =? 2 (1 ? 2n ) 1? 2 + n ? 2 n +1 = 2 ? 2 n +1 + n ? 2n +1 = (n ? 1)2 n +1 + 2
KK KK KK 14 分

20.解: (Ⅰ)函数 f ( x)的定义域是(0, +∞) , f ′( x) = 2 x + 2 + a 2 x2 + 2 x + a , = x x

………………1 分 …………3 分

因为函数 f ( x ) 在区间(0,1)上为单调函数 所以只需 f ′( x) ≥ 0或f ′( x) ≤ 0 在区间(0,1)上恒成立, 即 a ≥ ?(2 x 2 + 2 x)或a ≤ ?(2 x 2 + 2 x) 在区间(0,1)上恒成立,…………5 分 解得 a ≥ 0, 或a ≤ ?4; 故实数 a 的取值范围是 ( ?∞, ?4] ∪ [0, +∞ ) (Ⅱ)不等式 f (2t ? 1) ≥ 2 f (t ) ? 3 可化为 2t 2 ? 4t + 2 ≥ a ln t 2 ? a ln(2t ? 1) 即 2t 2 ? a ln t 2 ≥ 2(2t ? 1) ? a ln(2t ? 1) 记 g ( x ) = 2 x ? a ln x ( x ≥ 1) ,要使上式成立 只须 g ( x ) = 2 x ? a ln x ( x ≥ 1) 是增函数即可 即 g '( x ) = 2 ? …………12 分 …………10 分 …………7 分

a 即 故 ≥ 0 在 [1, +∞ ) 上恒成立, a ≤ 2 x 在 [1, +∞ ) 上恒成立, a ≤ 2 , x
13

实数 a 的取值范围是 ( ?∞, 2] 。

………………14 分

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14


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