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【权威发布】2013年高考数学(文)真题 精校精析(新课标全国卷Ⅰ)(纯word书稿)


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2013·新课标全国卷Ⅰ(文科数学) 1. 已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则 A∩B=( A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 1.A [解析] 集合 B={1,4,9,16},所以 A∩B={1,4}. =( ) (1-

i)2 1 1 A.-1- i B.-1+ i 2 2 1 1 C.1+ i D.1- i 2 2 2. 1+2i 2.B [解析] (1-i) = 2 1+2i 1 =-1+ i. 2 -2i 1+2i

)

3. 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 6 3.B [解析] 基本事件是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 个,其中两数 2 1 之差的绝对值为 2 的基本事件是(1,3),(2,4),共 2 个,根据古典概型公式得所求的概率是 = . 6 3 x2 y2 5 4. 已知双曲线 C: 2 - 2=1(a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( ) a b 2 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=± x 2 b 2 5 c b 1 1 4.C [解析] = = 1+?a? ,所以 = ,故所求的双曲线渐近线方程是 y=± x. ? ? 2 a a 2 2 x x 3 2 5. 已知命题 p: x∈, <3 ; ? 2 命题 q: x∈, =1-x , ? x 则下列命题中为真命题的是( ) A.p∧q B. ? p∧q C.p∧ ? q D. ? p∧ ? q 5.B [解析] 命题 p 假、命题 q 真,所以 ? p∧q 为真命题. 2 6. 设首项为 1,公比为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( ) 3 A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an 2 1-( )n 3 2?n-1 2 6.D [解析] an=?3? ,Sn= =3(1- an)=3-2an. ? 2 3 1- 3

图 1-1
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7. 如图 1-1 所示的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3],则输出的 s 属于( ) A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 7.A [解析] 当-1≤t<1 时,输出的 s=3t∈[-3,3);当 1≤t≤3 时,输出的 s=4t-t2∈[3, 4].故输出的 s∈[-3,4]. 8. O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( ) A.2 B.2 2 C.2 3 D.4 8.C [解析] 设 P(x0,y0),根据抛物线定义得|PF|=x0+ 2,所以 x0=3 2,代入抛物线方程 1 1 得 y2=24,解得|y|=2 6,所以△POF 的面积等于 ·|OF|·|y|= × 2×2 6=2 3. 2 2 9. 函数 f(x)=(1-cos x)· x 在[-π ,π ]的图像大致为( sin )

图 1-2 9.C [解析] 函数 f(x)是奇函数,排除选项 B.当 x∈[0,π ]时 f(x)≥0,排除选项 A.对函数 f(x) 求导, 得 f′(x)=sin xsin x+(1-cos x)cos x=-2cos2 x+cos x+1=-(cos x-1)(2cos x+1),当 0<x<π 2π 2π 2π 时,若 0<x< ,则 f′(x)>0,若 <x<π ,则 f′(x)<0,即函数在(0,π )上的极大值点是 x= ,故 3 3 3 只能是选项 C 中的图像. 10. 已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos2 A+cos 2A=0,a=7,c =6,则 b=( ) A.10 B.9 C.8 D.5 10. [解析] 由 23cos 2A+cos 2A=0, 25cos 2A=1.因为△ABC 为锐角三角形, D 得 所以 cos A 1 1 13 2 2 12 = .在△ABC 中, 根据余弦定理, 49=b +36-12b× , b - b-13=0, 得 即 解得 b=5 或- (舍 5 5 5 5 去). 11. 某几何体的三视图如图 1-3 所示,则该几何体的体积为( )

图 1-3 A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 11.A [解析] 该空间几何体的下半部分是一个底面半径为 2,母线长为 4 的半圆柱,上半部 1 分是一个底面边长为 2、高为 4 的正四棱柱.这个空间几何体的体积是 ×π ×4×4+2×2×4=16 2 +8π .

?-x2+2x,x≤0, ? 12.、 已知函数 f(x)=? 、 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是( ? ?ln(x+1),x>0.
A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
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)

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?x -2x,x≤0, ? [解析] 函数 y=|f(x)|=? 在同一坐标系中画出 y=|f(x)|,y=ax 的图 ? ?ln (x+1),x>0. 像如图所示,问题等价于直线 y=ax 不在函数 y=|f(x)|图像的上方,显然 a>0 时,y=ln (x+1)的图 像不可能恒在直线 y=ax 的上方,故 a≤0;由于直线 y=ax 与曲线 y=x2-2x 均过坐标原点,所以 满足条件的直线 y=ax 的极端位置是曲线 y=x2-2x 在点(0,0)处的切线,y′=2x-2,当 x=0 时 y′=-2.所以-2≤a≤0.
12.D

13. 已知两个单位向量,的夹角为 60°,=t+(1-t),若· =0,则 t=________. 1 2 1 13.2 [解析] · [t+(1-t)]=t· =· +(1-t) = t+(1-t)=1- t=0,即 t=2. 2 2

?1≤x≤3, ? 14. 设 x,y 满足约束条件? 则 z=2x-y 的最大值为________. ? ?-1≤x-y≤0, 14.3 [解析] 点(x,y)是平面内平行线 x=1,x=3 与平行线 x-y=-1,x-y=0 围成的平行 四边形区域,区域的四个顶点坐标分别为(1,2),(1,1),(3,4),(3,3),分别代入得 z=0,1,2, 3,所以 z=2x-y 的最大值为 3. 15. 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为π ,则球 O 的表面积为________.
9π 2 1 15. [解析] 截面为圆, 由已知得该圆的半径为 1.设球的半径为 r, AH= r, 则 所以 OH= r, 2 3 3 9π 1 9 所以( r)2+12=r2,r2= ,所以球的表面积是 4π r2= . 3 8 2 16.、 设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. 、 2 5 16.- [解析] f(x)=sin x-2cos x= 5 1 2 1 2 5? sin x- cos x?,令 cos α = ,sin α = , 5 ? 5 ? 5 5 π 则 f(x)= 5sin(x-α).当 θ-α=2kπ + , 2 π 即 θ=2kπ + +α(上述 k 为整数)时, 2 2 f(x)取得最大值,此时 cos θ =-sin α =- 5 17. 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. 、 (1)求{an}的通项公式; 1 ? ? ? ? ?的前 n 项和. (2)求数列? ?a2n-1a2n+1? ? ? n(n-1) 17.解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn=na1+ d. 2 5 .

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?3a1+3d=0, ? 由已知可得? 解得 a1=1,d=-1. ? ?5a1+10d=-5, 故{an}的通项公式为 an=2-n. 1 1 1? 1 - 1 ? (2)由(1)知 = = ? ?, a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 2?2n-3 2n-1? 1 ? ? ? ? 1? 1 -1+1-1+…+ 1 - 1 ? n ?的前 n 项和为 ? 数列? = . 2?-1 1 1 3 2n-3 2n-1? 1-2n ?a2n-1a2n+1? ? ? ?
18. 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 、 A 药, 位患者服用 B 药, 40 位患者在服用一段时间后, 20 这 记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

图 1-4 18.解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x,B 药观测数据的平均数为 y. 由观测结果可得 1 x= (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0 20 +3.1+3.2+3.5)=2.3, 1 y= (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5 20 +2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得 x>y, 因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A药 B药 6 0. 5 5 6 8 9 8 5 5 2 2 1. 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 2 2. 1 4 5 6 7 5 2 1 0 3. 2 7 从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验 10 7 结果有 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10 19. 如图 1-5 所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

图 1-5

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19.解:(1)取 AB 的中点 O,联结 OC,OA1,A1B, 因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B 为等边三角形,所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C ?平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 OC=OA1= 3. 2 又 A1C= 6,则 A1C2=OC2+OA1,故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC·OA1=3. 20. 已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. 、 (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 20.解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4,故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x. 1 x f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)?e -2?. ? ? 令 f′(x)=0,得 x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. - 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2). 2 2 2 2 21.、 已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内 、 切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求|AB|. 21.解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3. 设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3的椭圆(左 x2 y2 顶点除外),其方程为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以 R≤2,当且仅当圆 P 的 圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|=2 3. 若 l 的倾斜角不为 90°,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q, |QP| R 则 = ,可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). |QM| r1 |3k| 2 由 l 与圆 M 相切得 =1,解得 k=± . 4 2 1+k -4± 6 2 2 x2 y2 时,将 y= x+ 2代入 + =1,并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= 4 4 4 3 7 18 所以|AB|= 1+k2|x2-x1|= . 7 当 k= 2 ,

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2 18 时,由图形的对称性得|AB|= . 4 7 18 综上,|AB|=2 3或|AB|= . 7 22. 选修 4-1:几何证明选讲如图 1-6,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ ABC 的平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 当 k=-

图 1-6

22.解:(1)联结 DE,交 BC 于点 G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 3 故 DG 是 BC 的中垂线,所以 BG= . 2 设 DE 的中点为 O,联结 BO,则∠BOG=60°, 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 3 所以 CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 . 2 23. 选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x=4+5cos t, 已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴 ? ?y=5+5sin t 建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ <2π ). ?x=4+5cos t, ? 23.解:(1)将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? ?y=5+5sin t 2 2 即 C1:x +y -8x-10y+16=0. ? ?x=ρcos θ, 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0, ?y=ρsin θ ? 得 ρ2-8ρcos θ -10ρsin θ +16=0.
所以 C1 的极坐标方程为 ρ 2-8ρcos θ -10ρsin θ +16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0,

?x2+y2-8x-10y+16=0, ?x=1, ?x=0, ? ? ? 由? 解得? 或? ?x2+y2-2y=0 ?y=1 ?y=2. ? ? ?
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? π? ? π? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为? 2, ?,?2, ?. 4? ? 2? ? 24. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; a 1 (2)设 a>-1,且当 x∈?-2,2?时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? ? 24.解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 1 -5x,x< , 2

? 则 y=?-x-2,1≤x≤1, 2 ?3x-6,x>1.

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,

y<0,所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. a 1 (2)当 x∈?-2,2?时,f(x)=1+a. ? ? 不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. a 1 所以 x≥a-2 对 x∈?-2,2?都成立. ? ? a 4 故- ≥a-2,即 a≤ . 2 3 4 从而 a 的取值范围是?-1,3?. ? ?

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