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初二数学A班讲座材料——正弦定理、余弦定理及其简单应用


初二数学讲座材料——正弦定理、余弦定理及其简单应用
班级________ 姓名____________ 座号______
一、知识摘要 在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 所对的边,则有如下关系:边角之间的关系: 1.面积公式:三角形面积等于任意两边与它的夹角的正弦积的一半. S△ABC =

1 1 1 bcsinA =

acsinB = absinC 2 2 2

2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它对角正弦的比相等,且等于它外接圆的直径.

a b c = = =2R (R 为△ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C
3. 余弦定理: 三角形任意一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与其夹角余弦积的两倍. 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a = b + c – 2bccosA b = a + c – 2accosB c = a + b – 2abcosC. 补充:sin ? = sin(180°– ? ) cos ? = – cos(180°– ? ) tan ? = – tan(180°– ? ) cot ? = – cot(180°– ? ) 二、例练题 例练 1.在等腰△ABC 的腰 AB 上取点 D,又在腰 AC 的延长线上取 E 点,使得 BD = CE,DE 交 A BC 于 G.求证:DG = EG(利用正弦定理证明) . D B G C E

例练 2.在△ABC 中,D 是 BC 上的一点,且

BD AB = .求证:AD 平分∠BAC. DC AC

A

B

D

C

1

例练 3. ? ABCD 中,DE = BF,BF、DE 相交于点 O.求证:∠DOC =∠BOC. A

F O

D

E B C

例练 4.在△ABC 中,AB>AC,过 BC 的中点 D 作直线垂直于∠A 的平分线交 AB 于 E,交 AC A 1 延长线于 F.求证:BE = CF = (AB – AC).

2

C E B D F

例练 5.AD 为△ABC 的中线,过 C 作任意直线交 AD 于 E,交 AB 于 F.求证:

AE 2 AF = . ED FB
A

F

E C D

B

2

例练 6. ? ABCD 中,AC、BD 为对角线.求证:AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2. D

C

A

B

例练 7.已知△ABC 中,AB = AC,延长 BC 至 D,使 CD = BC.求证:AD2 = AB2 + 2BC2. A

B

C

D

例练 8.在△ABC 的边 BC 上取 D、E 两点,使∠BAD =∠EAC.求证:

BD ? BE AB 2 = . CD ? CE AC 2
A

B

D

E

C

3

例练 9.已知△ABC 的∠B、∠C 的平分线相交于 I.求证:

BF AB ? AF = . CE AC ? AE

A

F

I

E C

B

例练 10.如图,AD 是高,AE 是中线,且∠BAE =∠DAC,求证:AB = AC 或 AB⊥AC.

4


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