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四川省成都七中2015届高三数学零诊模拟考试试题 文 新人教A版(含解析)


四川省成都七中 2015 届高三数学零诊模拟考试试题 文 新人教 A 版 (含解析)
【试卷综析】试题紧扣教材,内容全面,题型设计合理、规范,体现了新课程数学教学的目 标和要求,能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识 点覆盖面广,重视基本概念、基础知识、基本技能的考察,同时也考查了逻辑思维能力,运 算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识

和方法分析问题和解决问题的能力。难度、区 分度都很好,以基础题为主,但又穿插有一定梯度和灵活性的题目,总体而言,通过这次模 拟考试,能够起到查漏补缺,发现薄弱章节,便于调整复习的作用,也能够让学生自己了解 掌握基本知识和基本技能的实际情况,做到复习心中有数. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.命题“ ?x ? R, | x | ? x ? 0 ”的否定是(
2


2

A. ?x ? R, | x | ? x ? 0
2

B. ?x ? R, | x | ? x ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 【知识点】命题的否定.

2

【答案解析】C 解析 :解 : ∵ 命 题 ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 是 全 称 命 题 , ∴ 命 题 ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 的 否 定 是 : ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 , 故选:C .
2

【思路点拨】根 据 全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题 即 可 得 到 结 论 . 2.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2 , x ? [0, 2]} ,则 A
x

B ?(



A. [0, 2]

B. [1,3)

C. (1,3)

D. (1, 4)

【知识点】交集及其运算. 【答案解析】B 解析 :解 : A ? { x | | x ? 1 ? ={x 丨﹣1<x<3}, | 2}

B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]} ={y|1≤y≤4},
则 A∩B={x|1≤y<3}, 故选:B 【思路点拨】求出集合 A,B 的元素,利用集合的基本运算即可得到结论. 3.在极坐标系中,过点 ( 2, A. ρ ? 2 B. θ ?

? ) 且与极轴平行的直线方程是( 2
C. ρ cos θ ? 2



? 2

D. ? sin? =2

-1-

【知识点】极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 , 简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程 求 解 . 【答案解析】D 解析 :解 : 先 将 极 坐 标 化 成 直 角 坐 标 表 示 , ( 2 ,

?
2

)化 为 ( 2,0 ) ,

过 ( 2,0 ) 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 为 y=2 , 再 化 成 极 坐 标 表 示 , 即 ρ sin θ =2. 故选:D . 【思路点拨】先 将 极 坐 标 化 成 直 角 坐 标 表 示 ,过( 2,0 )且 平 行 于 x 轴 的 直 线 为 y=2 , 再化成极坐标表示即可. 4.已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
x y



A. x 3 ? y 3

B. sin x ? sin y

C.

ln( x 2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

【知识点】指数函数的图像与性质. x y 【答案解析】A 解析 :解 : ∵实数 x,y 满足 a <a (0<a<1) ,∴x>y, 3 3 A.当 x>y 时,x >y ,恒成立, B.当 x=π ,y=
2

时,满足 x>y,但 sinx>siny 不成立.
2 2 2 2

C.若 ln(x +1)>ln(y +1) ,则等价为 x >y 成立,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x > 2 y 不成立. D.若
2



,则等价为 x +1<y +1,即 x <y ,当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x

2

2

2

2

2

<y 不成立. 故选:A. 【思路点拨】不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质依此判断即可. 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形, 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( ) 正(主)视图 A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】由三视图还原实物图.菁优 俯视图 【答案解析】D 解析 :解 :由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在 长方体中形状如图所示(图中红色部分) , 利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面中,全部是直角三角形. 故选 D.

侧(左)视图

【思路点拨】由题意可知,几何体为三棱锥,将其放置在长方体模型中即可得出正确答案. 6. 下列函数中,对于任意 x ? R ,同时满足条件 f ( x) ? f ( ? x) 和 f ( x ? π) ? f ( x ) 的函数是 ( )
-2-

A. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? cos x

B. f ( x) ? sin x cos x D. f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x

【知识点】抽 象 函 数 及 其 应 用 ; 函 数 的 奇 偶 性 ; 函 数 的 周 期 性 .

? x), 【答案解析】D 解析 :解 : 对 于 任 意 x ∈ R , f ( x ) 满 足 f ( x) ? f (
则 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 , 选 项 中 , A , B 显 然 是 奇 函 数 , C , D 为 偶 函 数 , 又 对 于 任 意 x ∈ R , f ( x ) 满 足 f ( x ? π) ? f ( x),则 f ( x ? π) ? f ( x) ,即 f( x )的 最 小 正 周 期 是 π , 选 项 C 的 最 小 正 周 期 是 2? , 选 项 D f ( x) ? cos x ? sin x=cos 2 x 其 最 小 正 周 期 是
2 2

2? ?? 2

故 同 时 满 足 条 件 的 是 选 项 D. 故 选 D.

? x), 根 据 函 数 奇 偶 性 的 定 义 得 f ( x) 为 偶 函 数 , 【思路点拨】由 f ( x ) 满 足 f ( x) ? f (
将 选 项 A , B 排 除 , 因 为 它 们 是 奇 函 数 , 再 由 f ( x ) 满 足 f ( x ? π) ? f ( x)推 出 函 数 的 最小正周期是π ,由三角函数的周期公式得选项 D 符合. 7.执行右图程序框图, 如果输入的 x ,t 均 为 2, 则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【知识点】程 序 框 图 . 【答案解析】D 解析 :解 : 若 x=t=2 , 则 第 一 次 循 环 , 1 ≤ 2 成 立 , 则 M= 第 二 次 循 环 , 2 ≤ 2 成 立 , 则 M=



1 ×2= 2 , S=2+3=5 , k=2 , 1

2 ×2= 2 , S=2+5=7 , k=3 , 2

此 时 3 ≤ 2 不 成 立 , 输 出 S=7 , 故 选 : D. 【思路点拨】根 据 条 件 , 依 次 运 行 程 序 , 即 可 得 到 结 论 .

?x ? y ? 7 ? 0 ? 8. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
( ) A.10 B.8 C.3 D.2 【知识点】线 性 规 划 的 简 单 应 用 【答案解析】B 解析 :解 :作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 :( 阴 影 部 分 ABC ).

-3-

由 z=2x-y 得 y=2x-z , 平 移 直 线 y=2x-z , 由 图 象 可 知 当 直 线 y=2x-z 经 过 点 C 时 , 直 线 y=2x-z 的 截 距 最 小 , 此时 z 最大.由 ?

? x=5 ? x ? y ? 7=0 解得 ? 即 C( 5, 2) , , =0 ? y=2 ?x ? 3y ?1

代 入 目 标 函 数 z=2x-y , 得 z=2 × 5-2=8 . 故 选 : B. 【思路点拨】作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ,由 z=2x-y 可 得 -z 表 示 直 线 z=2x-y 在 直 线 上 的 截 距 , 截 距 -z 越 小 , z 越 大 , 利 用 数 形 结 合 可 求 z 的 最 大 值 9. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶 点的距离组成的集合记为 M, 如果集合 M 中有且只有 2 个元素, 那么符合条件的点 P 有 ( ) A.4 个 B.6 个 C. 10 个 D.14 个 【知识点】新定义. 【答案解析】C 解析 :解 : 分 以 下 两 种 情 况 讨 论 : ( 1) 点 P 到其中两个点的的距离相等,到另外两个点的距离分别相 等,且这两个距离相等,此时点 P 位于正四面体各棱的中 点,符合条件的有 6 个点; ( 2) 点 P 到 其 中 三 个 点 的 的 距 离相等,到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不 C B .P D A

相等,此时点 P 在正四面体各侧面的中心,符合条件的有 4 个点;综上,满足题 意 的 点 共 计 10 个 , 故 答 案 选 C. 【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.
2 10. 抛 物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,则

| PF | 的 | PA |

最小值是( A.

) B.

1 2

2 2

C.

3 2

D.

2 2 3

【知识点】抛 物 线 的 基 本 性 质 ; 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 . 【答案解析】B 解析 :解 : 由 题 意 可 知 , 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x ? ?1 , A ? ?1,0? , 如 图 , 过 P 作 PN 垂 直 直 线 x ? ?1 于 N ,
-4-

由 抛 物 线 的 定 义 可 知 P F ? P N,连 结 PA ,当 PA 是 抛 物 线 的 切 线 时 , 值 , 则 ?APN 最 大 , 即 ? PAF 最 大 , 就 是 直 线 PA 的 斜 率 最 大 ,

| PF | 有最小 | PA |

k x? 1 ) 设 在 PA 的 方 程 为 : y ? ( ,所以 ? (2 k ? 4 ) x? k ? 0 , 解得: k x ?
2 2 2 2

k x? 1 ) ?y ? ( , 2 ? y ? 4x

2 (2k 2 ? 4 ) ?4 k 4? 0 , 所以 ? ? 解 得 k ? ?1 ,

所 以 ?NPA ? 45? , 故 选 B.

| PF | = cos?NPA = | PA |

2 . 2

【思路点拨】通 过 抛 物 线 的 定 义 ,转 化 PF ? PN ,要 使 最大即可,作出切线方程即可求出比值的最小值. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 【知识点】平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 .

| PF | 有 最 小 值 ,只 需 ?APN | PA |

6 ,则 a ? b ?

【答案解析】1 解析 :解 : ∵ | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 , ∴ 分 别 平 方 得 a ? 2 a ? b ? b ?10, a ? 2 a ? b ? b ?6, 两 式 相 减 得 4a ? b ? 4 , 即 a ? b ? 1,故 答 案 为 : 1 . 【思路点拨】将 等 式 进 行 平 方 , 相 加 即 可 得 到 结 论 .
2 2 2 2

cos C ? 12. 设 △ ABC 的内角 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2,
sin B ?

1 ,则 4

-5-

【知识点】余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 【答案解析】

15 解析 :解 : ∵C 为三角形的内角,cosC= , 4
= ,

∴sinC=

又 a=1,b=2, 2 2 2 2 ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得:c =1+4﹣1=4,解得:c=2, 又 sinC= ,c=2,b=2,

∴由正弦定理 故答案为:

=

得:sinB=

=

=



【思路点拨】由 C 为三角形的内角,及 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的值,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,再由 sinC,c 及 b 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值.

y2 13. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( 双曲线 x ? ?1 1,m) 到其焦点的距离为 5, a
2
2

的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = 【知识点】双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 【答案解析】

1 解析 :解 : 根据抛物线的焦半径公式得 1+ =5,p=8. 4
×2=﹣1,故 a= .

取 M(1,4) ,则 AM 的斜率为 2,由已知得﹣ 故答案为: .

【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得 1+ =5,p=8.取 M(1,4) ,由 AM 的斜率可求出 a 的值. 【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用,解题时要注意抛物线性质的应用. 14.随机地向半圆 0 ? y ?

2ax ? x 2 ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率

与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 【知识点】几何概型. 【答案解析】

?
4

的概率为

.

1 1 ? 解析 :解 : 由已知得半圆 2 ?

(a>0)

则半圆的面积 S=

-6-

其中原点与该点的连线与 x 轴夹角小于

的平面区域面积为:S1=

故原点与该点的连线与 x 轴夹角小于

的概率 P=

=

=

故答案为: 【思路点拨】根据已知条件,分别求出题目中半圆的面积,再求出满足条件原点与该点的连 线与 x 轴夹角小于 的事件对应的平面区域的面积,然后代入几何概型,即可得到答案.

【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为线段长度、面积、体积等, 而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.解决的步骤均为:求出满 足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N, 最后根据 P= 求解.

15.若直线 l 与曲线 C 满足下列两个条件:

(i ) 直线 l 在点 P?x0 , y0 ? 处与曲线 C 相切;(ii ) 曲线 C 在 P 附近位于直线 l 的两侧,则称直线
l 在点 P 处“切过”曲线 C .下列 5 个命题:
①直线 l : y ? 0 在点 P ?0,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? x
2

②直线 l : x ? ?1 在点 P ?? 1,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? ( x ? 1) ③直线 l : y ? x 在点 P ?0,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? sin x ④ 直线 l : y ? x 在点 P ?0,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? tan x ⑤直线 l : y ? x ? 1 在点 P ?1,0 ? 处“切过”曲线 C : y ? ln x 其中正确的是

2

_(写出所有正确命题的编号)

【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 ; 曲 线 与 方 程 . 【答案解析】C 解析 :解 : 对 于 ① , 由 y ? x , 得 y ′ =2x , 则 y? |x ?0 ? 0 , 直 线 y=0
2

是 在 点 P ( 0 , 0 ) 的 曲 线 C 的 切 线 , 但 y ? x 恒 在 直 线 y=0 上 方 , ∴ 命 题 ① 错 误 ;
2
2 2 x ?1 ) 对 于 ② ,由 y ? ,得 y? ? ( ,则 y? |x??1 ? 0 ,而 直 线 l : x=-1 的 斜 率 不 存 (x ? 1 )

在 , 在 点 P ( -1 , 0 ) 处 不 与 曲 线 C 相 切 , ∴ 命 题 ② 错 误 ; 对 于 ③ ,由 y=sinx ,得 y ′ =cosx ,则 y? |x ?0 ? 1,直 线 y=x 是 过 点 P( 0 , 0 )的 曲 线

-7-

的 切 线 , 又 x∈ ? ?

? ? ? ? ?? , 0 ? 时 x < sinx , x ∈ ? 0, ? 时 x > sinx , 满 足 曲 线 C 在 P ( 0 , ? 2 ? ? 2?
1 ,则 y? |x ?0 ? 1,直 线 y=x 是 过 点 P( 0 , 0 )的 曲 cos 2 x

0 ) 附 近 位 于 直 线 y=x 两 侧 , ∴ 命 题 ③ 正 确 ; 对 于 ④ ,由 y=tanx ,得 y = 线 的 切 线 ,又 x ∈ ? ?


? ? ? ? ?? , 0 ? 时 tanx < x ,x ∈ ? 0, ? 时 tanx > x ,满 足 曲 线 C 在 P( 0 , ? 2 ? ? 2?

0 ) 附 近 位 于 直 线 y=x 两 侧 , ∴ 命 题 ④ 正 确 ;

1 ,则 y? |x?1 ? 1 ,曲 线 在 P( 1 ,0 )处 的 切 线 为 y ? x ? 1 , x 1 由 g ( x ) =x-1-lnx , 得 g? ? x ? = 1 ? , 当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时 , g? ? x ? < 0 , 当 x ∈ ( 1 , x
对 于 ⑤ ,由 y ? lnx ,得 y =


+ ∞ )时 , g? ? x ? > 0 .∴ g( x )在( 0 ,+ ∞ )上 有 极 小 值 也 是 最 小 值 ,为 g( 1 )=0 .∴

y ? x ?1恒 在 y ? l n x 的 上 方 ,不 满 足 曲 线 C 在 点 P 附 近 位 于 直 线 l 的 两 侧 ,命 题 ⑤
错误. ∴正确的命题是③④. 故答案为:③④. 【思路点拨】分 别 求 出 每 一 个 命 题 中 曲 线 C 的 导 数 , 得 到 曲 线 在 点 P 出 的 导 数 值 , 求出曲线在点 P 处的切线方程,再由曲线在点 P 两侧的函数值与对应直线上点的 值 的 大 小 判 断 是 否 满 足 ( ii ) ,则正确的选项可求. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.16-19 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合. 【知识点】三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 【答案解析】 (Ⅰ)定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ ,k∈Z}.最大值为 1 ? 2 (Ⅱ)x 的取值集

p ,k∈Z}. 2 p 解析 :解 : (Ⅰ) cosx≠0 知 x ? k p ,k∈Z, 2
合为{x| kπ ?

π ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p 4

即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ ,k∈Z}.?????????3 分 又∵ f ( x) ?
2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2 x cos x 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

∴ f ( x) max ? 1 ? 2 . ???????????????????????8 分
-8-

π 2 π (Ⅱ)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ? , 4 2 4
3π π 9π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈Z, 4 4 4 π 整理得 kπ ? ≤x≤ kπ ? π ,k∈Z. 4 结合 x≠kπ ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为
解得 2kπ ? {x| kπ ?

π ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p 4

p ,k∈Z}.???????????12 分 2
π 4

【思路点拨】 (1) 根据函数 f (x) 的解析式可得 cosx≠0, 求得 x 的范围, 从而求得函数 f (x) 的定义域.再利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 1 ? 2 sin(2 x ? ) ,从而 求得函数的最大值.

π 2 π (2)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 0 ,即 sin(2 x ? ) ? ,解得 x 的范围,再结合函数的定 4 2 4 义域,求得满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合.
17. 成都市为增强市民的环保意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20, 25 ? ,第 2 组 ? 25,30 ? ,第 3 组 ?30,35 ? ,第 4 组

?35, 40 ? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机 抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名 志愿者被抽中的概率. 第(17)题 图 3 【答案解析】 (Ⅰ)应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.(Ⅱ)概率为 . 【知识点】等可能事件的概率;频率分布直方图.

5

解析 :解 : 第 3 组的 人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数 为 0.1×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1 . 则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有:(A1,A2),
-9-

(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1 ,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1 ), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1), 共有 9 种,???10 分

9 3 = . ????12 分 15 5 【思路点拨】Ⅰ)先分别求出这 3 组的人数,再利用分层抽样的方法即可得出答案; (Ⅱ)从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有 15 种情况,其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有 一名志愿者被抽中有 9 种情况,再利用古典概型的概率计算公式即可得出. 【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥 事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键.
所以 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

18 如图,矩形 ABCD 中,AD⊥平面 ABE, AE ? EB ? BC ? 2 ,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平 面 ACE。 (Ⅰ)求证:AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求证:AE∥平面 BFD; (Ⅲ)求三棱锥 C ? BGF 的体积。 【知识点】直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 ; 棱 柱 、 棱 锥 、 棱 台 的 体 积 ; 直 线 与 平 面 平 行 的 判定. 【答案解析】( Ⅰ ) 见 解 析 ( Ⅱ ) 见 解 析 ( Ⅲ )

1 . 3

解析 :解 : ( Ⅰ ) 证 明 : ∵ AD ⊥ 平 面 ABE , AD ∥ BC , ∴ BC ⊥ 平 面 ABE , 则 AE ⊥ BC . 又 ∵ BF ⊥ 平 面 ACE , 则 AE ⊥ BF ∴ AE ⊥ 平 面 BCE . ( Ⅱ ) 证 明 : 依 题 意 可 知 : G 是 AC 中 点 , ∵ BF ⊥ 平 面 ACE , 则 CE ⊥ BF , 而 BC=BE , ∴ F 是 EC 中 点 .
- 10 -

在 △ AEC 中 , FG ∥ AE , ∴ AE ∥ 平 面 BFD . ( Ⅲ ) 解 : ∵ AE ∥ 平 面 BFD , ∴ AE ∥ FG , 而 AE ⊥ 平 面 BCE , ∴ FG ⊥ 平 面 BCE , ∴ FG ⊥ 平 面 BCF , ( 10 分 ) ∵ G 是 AC 中 点 , ∴ F 是 CE 中 点 , 且 FG =

1 AE = 1 , 2

∵ BF ⊥ 平 面 ACE , ∴ BF ⊥ CE . ∴ Rt △ BCE 中 , BF = CF = ∴ S△ CFB=

1 ? 2

2?

1 CE = 2 . 2 1 1 2 = 1 , ( 12 分 ) ∴ V C ? B F G = V G ? B C F = ? S △ C F B ? FG = 3 3

【思路点拨】( Ⅰ ) 先 证 明 AE ⊥ BC , 再 证 AE ⊥ BF , 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 结 论. (Ⅱ) 利 用 F、 G 为 边 长 的 中 点 证 明 FG ∥ AE , 由线面平行的判定定理证明结论. (Ⅲ) 运 用 等 体 积 法 , 先 证 FG ⊥ 平 面 BCF , 把 原 来 的 三 棱 锥 的 底 换 成 面 BCF , 则 高 就 是 FG , 代 入 体 积 公 式 求 三 棱 锥 的 体 积 . 19. 已知等差数列 {an } 为递增数列,且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 {bn } 的前
2

n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn ; 2
3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . an ? an ?1
2n 2n ? 1
2

(1)求数列 {an }和{bn } 的通项公式; (2)若 cn ?

【知识点】数列递推式;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列的求和. 【答案解析】(1) an ? 2n ﹣ 1 , bn ?

2 (2) 3n

Sn ?

解析 :解 : (1)①∵等差数列 {an } 为递增数列,且 a2 , a5 是 方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,

? a2 ? a5 ? 12,a2 a5 ? 27, d>0, ? a2 ? 3,a5 ? 9, ?d ?

a5 ? a2 ? 2,a1 ? 1, 3

?an ? 2n ﹣ ( 1 n ? N *)
1 2 bn ; ∴令 n=1,得 b1 ? , 3 2 1 1 1 1 ﹣ bn﹣1 ,两式相减得, bn ? bn﹣ ﹣ bn , 当 n≥2 时, Tn ? 1 ? bn ; Tn﹣ 1 ?1 1 2 2 2 2
②∵ Tn ? 1 ? ∴

bn 1 ? (n≥2) ,数列{bn}是以 为首项, 为公比的等比数列. bn﹣ 3 1
n ?1

2 ?1? ∴ bn ? ? ? ? 3 ? 3?

?

2 * (n∈N ) . n 3
n

1 2 1 1 3 ? bn 3n ? ? (2)∵ bn ? n , cn ? ,∴ cn ? . 3 an ? an ?1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2n ? 1 2n ? 1 3n ? 2 ?

- 11 -

Sn =

?+
2

=



【思路点拨】 (1)①通过解方程 x ﹣12x+27=0 的两根,及公差 d>0 即可得到 a2,a5,再利用 等差数列的通项公式即可得到 a1 与 d 及 an;②当 n≥2 时, Tn ? 1 ? 式相减得, bn ?

1 1 bn ; Tn﹣1 ? 1 ﹣ bn﹣1 ,两 2 2

1 1 bn﹣ ﹣ bn , ,再利用等比数列的通项公式即可得出; 1 2 2 1 1 ? (2)利用(1)的结论即可得出 cn ? ,利用裂项求和即可 2n ? 1 2n ? 1
20.已知椭圆 E:

2 x2 y 2 ,直线 l 分别经过椭圆长轴 和短轴 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b
2 2

的一个顶点,且与圆 C: x ? y ?

2 相切, 3

( Ⅰ ) 求椭圆 E 的方程; ( Ⅱ )P 为圆 C 上任意一点, 以 P 为切点作圆 C 的切线与椭圆 E 相交于点 M, N, 求线段|MN| 的取值范围. 【知识点】椭圆的基本量的计算;弦长公式;换元法;利用基本不等式求函数的值域. 【答案解析】 (Ⅰ)

x2 2 6 ? y 2 ? 1( Ⅱ ) ? MN ? 3 2 3
椭圆 E:

解析 :解 : (Ⅰ)

2 x2 y 2 c 2 ,? e ? ? ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b a 2
x y ? ? 1, 即 a b

即 a ? 2c ① , 又因为直线 l 分别经过椭圆长轴 和短轴的一个顶点,所以 l :

bx ? ay ? ab ? 0 ,由已知条件:与圆 C: x 2 ? y 2 ?
立得 a2 ? 2, b2 ? 1, 故椭圆椭圆 E 的方程为 ( Ⅱ ) 设 p( x0 , y0 ) 在 x ? y ?
2 2

2 | ab | 2 相切可得 ②,两式联 ? 3 3 a 2 ? b2

x2 ? y 2 ? 1. 2

2 2 2 2 上 , 即 x0 ? y0 ? ,? 以 P 为切点的圆 C 的切线为: 3 3

x0 x ? y0 y ?

2 x 2 ,即 y ? ? 0 x ? , 切线与椭圆 E 交于 M,N,两点,故直线方程与椭圆 3 y0 3 y0

x 2 ? y ?? 0 x? ? ? 2 x02 ? 2 8x0 y0 3 y0 8 ? 方程联立 ? 转化为关于 x 的方程为: x? ? 2 ? 0, ?1 ? 2 ? x ? 2 2 y0 ? 3 y0 9 y02 ? ? x ? y2 ? 1 ? ? 2

- 12 -

?

MN ? 1 ? k 2

b 2 ? 4ac = a

2 16 9 x0 ? 2 t2 ? 2 2 2 t ? 9 x ? 2 x ? ,令 ,? 0 , 0 3 3 x0 2 ? 2 9

0 ? x0 2 ?

2 t2 ? 2 2 ? ,即 2 ? t ? 2 2 ,故 0 ? 3 9 3
4 16 3t 16 3 ? ,设 y= ? t , ( 2 ?t ? 22 2 t 3 4?t 3 4 ?t t
)结合函数的单

故原式化简为 MN ?

调性可得 4 ? y ? 3 2 ,所以

2 6 ? MN ? 3 . 3

【思路点拨】 ( Ⅰ ) 把 由 椭 圆 的 离 心 率 得 到 的 a , c 的 关 系 式 与 直 线 l 的方程联立,即 可解得 a2 ? 2, b2 ? 1, 进而得到椭圆方程; ( Ⅱ )把 圆 C 的切线方程与椭圆方程联立转化为关 于 x 的方程,再利用弦长公式找出弦 MN 的函数解析式,再用换元法把原式转化为关于 t 的 表达式,最后用基本不等式求值域即可. 1 2 21. 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x , a ? R . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在区间 [1, e] 的最小值为 1 ,求 a 的值. 【知识点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【答案解析】 ( Ⅰ ) ①当 a≥0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 ?

? 1 ? ? a , ?? ? ? , f ( x) 的单调递减 ? ?

区间是 ? 0,

? ? ?

1? (Ⅱ)2 ? ;②当 a<0 时, f ( x) 的单调递减区间是 ? 0, ?? ? ; a? ?

解析 :解 : (Ⅰ)

f (x ) ?

1 2 1 ax 2 ? 1 ax ? l nx ? , f? x ( ? ) ax ? ? ,定义域为 ? 0, ?? ? . 2 x x

? 1 ?? 1? a x ? x ? ? ?? ? a ?? a? ax 2 ? 1 ? >0 , 即 ? x)>0 可 得 ① 当 a≥0 时 , 由 f( >0 , 又 因 为 x x

x ? ? 0, ??? ,所以不等式等价于? x ?

? 1 ? 1 , ?? ,? f ( x ) 在 ? ? ? a ? 单调递增; a ? ?

? 1 ?? 1? a? x ? ?? x ? ? a ?? a? 1 ? 由 f ?( x) ? 0 可得 , ? 0 ,又因为 x ? ? 0, ??? ,解不等式得 0 ? x ? a x
? 1? 0, ? f ( x) 在 ? ? 单调递减; ? a? ? ?
- 13 -

1 ax 2 ? 1 ②当 a<0 时, f ?( x) ? ax ? ? ,又因为 x ? ? 0, ??? ,所以 f ?( x) ? 0 在 x ? ? 0, ??? x x
上恒成立,即 f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 单调递减; 综上所述:①当 a≥0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 ?

? 1 ? ? a , ?? ? ? , f ( x) 的单调递减区间是 ? ?

? 1? 0, ? ? ;②当 a<0 时, f ( x) 的单调递减区间是 ? 0, ?? ? . ? a? ? ?
( Ⅱ ) f ?( x) ? ax ?

1 ax 2 ? 1 ? , x x


(1)当 a≥0 时,令 f′(x)=0,解得:x= ∴f(x)在(0, ①当 0< )递减,在(

,+∞)递增,

≤1,即 a≥1 时:

函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为:f(1)= a﹣ln1=1,解得:a=2, ②当 1< <e,即: <a<1 时: )= ?a? ﹣ln =1,解得:a=e(舍) ,

函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为:f( ③当 ≥e,即:0<a≤ 时:

函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为:f(e)= ?a?e ﹣lne=1,解得:a=

2

(舍) ,

(2)当 a<0 时, f ( x ) 在 ? 0, ?? ? 单调递减;函数 f(x)在区间[1,e]的最小值为: f(e)= ?a?e ﹣lne=1,解得:a= 综合以上得:a=2. 【思路点拨】 ( Ⅰ ) 对函数求导, f ?( x) ? ax ?
2

,与 a<0 矛盾,舍去

1 ax 2 ? 1 ? x x

①当 a≥0 时,分别由 f′(x)>0,f′(x)<0 可求函数的单调区间 ②当 a<0 时, f ?( x) ? 0 在 x ? ? 0, ??? 上恒成立,可求函数的单调区间 (Ⅱ)先求出函数的单调区间,再通过讨论 a 的范围将 a 求出即可.

- 14 -

成都七中 2015 届零诊模拟考试数学试卷(理科) 考试时间:120 分钟 命题:张祥艳 审题:廖学军 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,

选出符合题目要求的一项. 1.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( C ) B. ?x ? R, | x | ? x ? 0
2

B.

?x ? R, | x | ? x 2 ? 0

C.

?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0

2

D.

?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2 , x ? [0, 2]} ,则 A
x

2

B ?(

B



(A) [0, 2] (B) [1,3) (C) (1,3) (D) (1, 4) 3.在极坐标系中,过点 ( 2, (A) ρ ? 2 (B) θ ?
x

?
2

) 且与极轴平行的直线方程是( D )

? (C) ρ cos θ ? 2 (D) ? sin? =2 2
y

4.已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A ) (A) x ? y
3 2 3

(B) sin x ? sin y
2

(C) ln( x ? 1) ? ln( y ? 1)

(D)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

5.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该 三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(D ) A.1 B.2 C.3 D.4

正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

6. 对于函数 f ( x) ,若存在常数 a ? 0 ,使得 x 取定义域内的每一个值, 都有 f ( x) ? f (2a ? x) , 则称 f ( x) 为准偶函数, 下列函数中是准偶函数 的是 ( A ) (A ) f ( x) ? cos( x ? 1) (C) f ( x) ? tan x (B) f ( x) ? (D) f ( x) ? x

x
3

7.执行右图程序框图,如果输入的 x , t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

D )

- 15 -

?x ? y ? 7 ? 0 ? 8.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( B ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
A.10 B.8 C.3 D.2



9. 如图,设 P 为正四面体 A ? BCD 表面(含棱)上与顶点不重合的一点,由点 P 到四个顶 点的距离组成的集合记为 M,如果集合 M 中有且只有 2 个元素,那么符合条件的点 P 有( C ) A (A)4 个 (B)6 个 (C)10 个 (D)14 个

10. 设 函 数 f ? x ? ? 3 sin ? x . 若 存 在 f ? x ? 的 极 值 点 x0 满 足

m

B B ) C

x0 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是(
2 2 2

.P

D

A. C.

? ??, ?6 ? ? ? 6, ? ? ? ??, ?4 ? ? ? 4, ? ?

B.

? ??, ?2 ? ? ? 2, ? ?

D. ? ??, ?1? ? ? 4, ? ?

13. 已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0)上一点M( 双曲线 x ? 1,m) 到其焦点的距离为 5,
2
2

y2 ?1 a

的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a = 14.随机地向半圆 0 ? y ?

1 4

2ax ? x 2 ( a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率

与区域的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于
/

?
4

的概率为

.

1 1 ? 2 ?

15、 设函数 f ( x) 在其定义域 D 上的导函数为 f ( x) , 如果存在实数 a 和函数 h( x) , 其中 h( x) 对任意的 x ∈ D ,都有 h( x) > 0 ,使得 f ( x) = h( x)( x - ax + 1), 则称函数 f ( x) 具有性质
/ 2

? (a ) ,给出下列四个函数:① f ( x) =

1 3 2 x - x + x + 1; 3

② f ( x) = ln x +

4 ; x +1

- 16 -

③ f ( x) = ( x - 4 x + 5)e ; 其中具有性质 ? (2) 的函数

2

x

x2 + x ④ f ( x) = 2x + 1
①② ③

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.16-19 题每小题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16. 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x(sin x ? cos x) . cos x

(Ⅰ)求函数 f (x)的定义域及最大值; (Ⅱ)求使 f ( x) ≥0 成立的 x 的取值集合. 解: (Ⅰ) cosx≠0 知 x ? k p

p ,k∈Z, 2

即函数 f (x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠kπ ,k∈Z}.?????????3 分 又∵ f ( x) ?
2 sin x cos x(sin x ? cos x) 1 ? cos 2 x ? 2 sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 2 ? ? sin 2 x cos x 2 ? 1 ? (sin 2 x ? cos 2 x)

? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
4

),

∴ f ( x) max ? 1 ? 2 . ???????????????????????8 分

2 π π (II)由题意得 1 ? 2 sin(2 x ? ) ≥0,即 sin(2 x ? ) ≤ , 2 4 4 3π π 9π 解得 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,k∈Z, 4 4 4
π ≤x≤ kπ ? π ,k∈Z. 4 结合 x≠kπ ,k∈Z 知满足 f(x)≥0 的 x 的取值集合为
整理得 kπ ? {x| kπ ? 12 分 17. 成都市为增强市民的环保意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中 随机抽 取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20, 25 ? ,第 2 组 ? 25,30 ? ,第 3 组 ?30,35 ? ,第 4 组

π ≤x≤ kπ ? π 且 x ? k p 4

p , k∈Z}. ?????????????????? 2

?35, 40 ? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的 宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

- 17 -

解: (1) 第 3 组的 人数为 0.3×100=30, 第 4 组的人数为 0.2×100=20, 第 5 组的人数为 0.1×100=10. ????3 分 因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿 者, 每组抽取的人数分别为:第 3 组:
30 20 10 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 5 组: ×6=1. 60 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人. ????6 分 (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,第 5 组的 1 名志愿者为 C1 .则从 6 名志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),( A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1 ,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有 15 种. ????8 分 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1 ), (A2,B2), (A3,B1), (A3, B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1), 共有 9 种,???10 分 所以 第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为

9 3 = . ????12 分 15 5

- 18 -

18.









P ? ABCD





PD ?





ABCD



P

PD ? CD ? BC ? 2 AD , AD // BC , ?BCD ? 90? .
(Ⅰ)求证: BC ? PC ; (Ⅱ)求 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC ?说明理由.
A

D B

C

证明:(Ⅰ)在四棱锥 P ? ABCD 中,因为 PD ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , 所以 PD ? BC . 因为 PD 因为 ?BCD ? 90? , 所以 BC ? 平面 PCD . ???4 分 不 妨 设 AD ? 1 , 则 所以 BC ? CD .

DC ? D ,

因为 PC ? 平面 PCD ,所以 BC ? PC . ( Ⅱ ) 如 图 , 以 D 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz .

PD ? CD ? BC ? 2 .
则 D (0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(2, 2, 0), C (0, 2, 0), P(0, 0, 2) . 所以 PA ? (1, 0, ?2) , PB ? (2, 2, ?2), PC ? (0, 2, ?2) .

uur

uur

uuu r

z
设平面 PBC 的法向量 n ? ( x, y, z ) .

P

uur ? ?2 x ? 2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PB ? 0, 所以 ? uuu .即 ? . r 2 y ? 2 z ? 0 ? n ? PC ? 0 ? ?
令 y ? 1 ,则 x ? 0, z ? 1 .

F E D A x
???8 分

uur 所 以 n ? (0,1,1) 所以 cos ? PA, n ??

?2 10 ?? 5 5? 2
10 . 5

C B

y

所以 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为

所以 DF ? PC .

因为 BC ? 平面 PCD ,

所以 DF ? BC .

- 19 -

因为 PC I BC ? C ,

所以 DF ? 平面 PBC .

所以 AE ? 平面

PBC .
即在线段 PB 上存在点 E ,使 AE ? 平面 PBC . (法二)设在线段 PB 上存在点 E ,当 PE ? ? PB (0 ? ? ? 1) 时, AE ? 平面 PBC . 设 E ( x0 , y0 , z0 ) ,则 PE ? ( x0 , y0 , z0 ? 2) .所以 ( x0 , y0 , z0 ? 2) ? ? (2, 2, ?2) . 即 x0 ? 2? , y0 ? 2? , z0 ? ?2? ? 2 .所以 E (2? , 2? , ?2? ? 2) . 所以 AE ? (2? ? 1, 2? , ?2? ? 2) .由(Ⅱ)可知平面 PBC 的法向量 n ? (0,1,1) . 若 AE ? 平面 PBC ,则 AE / / n .即 AE ? ? n .解得 ? ? 所以当 PE ?

uur

uur

uur

uuu r

uuu r

uuu r

uur

1 uur PB ,即 E 为 PB 中点时, AE ? 平面 PBC . 2
2

1 , ? ? 1. 2
???12 分

19.已知等差数列 {an } 为递增数列, 且 a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 1 ?

1 bn ; 2

(1)求数列 {an }和{bn } 的通项公式; (2)若 cn ?

3n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 S n . an ? an ?1

- 20 -

20.巳知椭圆 有相同的离心率. (I )求椭圆 M 的方程;

的长轴长为

,且与椭圆

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与 M 有两个交点 A、B,且 若存在,写出该圆的方程,并求 的取值范围,若不存在,说明理由.



- 21 -

21.(本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x ) 是 奇 函 数 , f ( x ) 的 定 义 域 为 ( ?? , ?? ) . 当 x ? 0 时 ,

- 22 -

ln( ? ex ) .这里,e 为自然对数的底数. x 1 (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a , a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; 3 k (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1 1 n ? ?1 2 (3)试判断 ln 与 2? ? ? ? ? n 的大小关系,这里 n ? N * ,并加以证明. ? n?1 n?1? ?2 3

f ( x) ?

解:x>0 时, f ( x) ? ? f ( ? x) ? ln(ex) ? 1 ? ln x
x x
? x ? (1 ? ln x) ?1 (1)当 x>0 时,有 ? ln x f ( x) ? x ?? 2 2 x x 1

???2 分

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ; f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1
所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ?) 上单调递减,函数

f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一
?4 分

的极值.由题意 a ? 0 ,且 a ? 1 ? a ? 1 ,解得所求实数 a 的取值范围为 2 ? a ? 1 3 3 (2)当 x ? 1 时, f ( x) ?

k 1 ? ln x k ( x ? 1)(1 ? ln x) ? ? ?k? x ?1 x x ?1 x

令 g ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1) ,由题意, k ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上恒成立

x

g ?( x) ?

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x
x2 x2

令 h( x ) ?

x ? ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号.
x

所以 h( x) ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 1 ? 0 .??6 分 因此, g ?( x) ? h( x) ? 0 x2

g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g ( x) min ? g (1) ? 2 .
???????8 分

所以 k ? 2 .所求实数 k 的取值范围为 ? ??, 2? (3)(方法一)由(2) ,当 x ? 1 时,即 f ( x) ? 从而 ln x ? 1 ?

2 1 ? ln x 2 ,即 . ? x ?1 x x ?1

2 2 ? 1 ? .???..10 分 x ?1 x
, n) ,得

令 x ? k ? 1 (k ? 1, 2,

k

ln

2 2 ? 1? , 1 2
3 2?2 , ? 1? 2 3
- 23 -

ln

??
ln n ?1 2?n ? 1? n n ?1

将以上不 等式两端分别相加,得

1 2 3 n ln(n ? 1) ? n ? 2( ? ? ? ? ) 2 3 4 n ?1 1 1 2 3 n ? ln ? 2( ? ? ? ? )?n n ?1 2 3 4 n ?1
(方法二) n ? 1 时, ln

?????????14 分

1 n ? ?1 2 ? ? ln 2 < 2? ? ? ?? ? ? ? n ? 1?1 ? 0 n ?1 n ?1? ?2 3

猜想 ln

1 n ? ?1 2 * ? 2? ? ? ?? ? ? ? n 对一切 n ? N 成立。 n ?1 2 3 n ? 1 ? ? 1 n ? ?1 2 * ? 2? ? ? ?? ? ? ? n 对一 切 n ? N 成立, n ?1 n ?1? ?2 3

欲证 ln

只需证明 ln(n ? 1) ? n ? 2?
n

n ? ?1 2 ? ? ?? ? ? n ?1? ?2 3

而 ln(n ? 1) ?

? ln
k ?1

k ?1 n ? n ? 2 ? ?1 2 , n ? 2? ? ? ?? ? ? ? ?? ?1? ? k n ? 1 ? k ?1 ? k ?1? ?2 3

- 24 -


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