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选修4—5不等式选讲高考题及答案


1、解不等式 x ? 1 ? x ? 1 ? 3

2、已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 . (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 ?1,2? ,求 a 的取值范围.

3、若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是 4、若不等式 kx ? 4 ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 k ? 5、不等式

.

?

?

.

x ?1 x?2

? 1 的实数解为

.

6、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? m . (1)当 m ? 5 时,求 f ( x) ? 0 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

7、已知函数 f ( x) ? x ? a .

(1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ? 1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

?

?

8、已知函数 f ( x) ? x ? a ,其中 a ? 1 . (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集; (2)已知关于 x 的不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 解集为 x 1 ? x ? 2 ,求 a 的值.

?

?

9、设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 x x ? ?1 ,求 a 的值.

?

?

10、已知 a 、 b 、 c ? ?0,??? ,其 a ? b ? c ? 1 .

?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? 8 ; ?a ? ?b ? ?c ? (2) a ? b ? c ? 3 .
求证: (1) ?

11、设 a 、 b 、 c ? ?0,??? ,其 ab ? bc ? ca ? 1 . 求证: (1) a ? b ? c ? (2)

3;

a b c ? ? ? 3 a? b? c . bc ac ab

?

?

12、已知 x ? 0 , y ? 0 ,证明: 1 ? x ? y 2 1 ? x 2 ? y ? 9 xy .

?

??

?

13、已知函数 f ( x) ? m ? x ? 2 , m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ?? 1,1? . (1)求 m 的值; 1 1 1 + (2)若 a,b,c∈ R ,且 + + =m,求证:a+2b+3c≥9. a 2b 3c

14、若 3x+4y=2,则 x2+y2 的最小值为 15、求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 9 ? x 的最大值.

.

1、解:①当 x≤-1 时,原不等式可化为 3 -(x+1)-(x-1)≥3,解得:x≤- . 2 ②当-1<x<1 时,原不等式可以化为

x+1-(x-1)≥3,即 2≥3.不成立,无解.
③当 x≥1 时,原不等式可以化为

x+1+x-1≥3.所以 x≥ .[9 分]
? 3 3? 综上,可知原不等式的解集为?x|x≤- 或x≥ ?. 2 2? ?

3 2

-2x+5,x≤2, ? ? 2、解 (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ? ?2x-5,x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1 或 x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

3、解析 ∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3| ≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8, 要使|x-5|+|x+3|<a 无解,只需 a≤8.

4、解析 ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.

|x+1| 5、解析 ∵ ≥1,∴|x+1|≥|x+2|. |x+2|

∴x +2x+1≥x +4x+4,∴2x+3≤0. 3 ∴x≤- 且 x≠-2. 2 6、解 (1)由题设知|x+1|+|x-2|>5, 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:
? ?x≥2, ? ?x+1+x-2>5 ? ? ?-1≤x<2, 或? ?x+1-x+2>5 ? ? ?x<-1, 或? ?-x-1-x+2>5, ?

2

2

解得函数 f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞). (2)不等式 f(x)≥2 即|x+1|+|x-2|>m+2, ∵x∈R 时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 不等式|x+1|+|x-2|≥m+2 解集是 R, ∴m+2≤3,m 的取值范围是(-∞,1]. 7、解 方法一 (1)由 f(x)≤3 得|x-a|≤3,解得 a-3≤x≤a+3. 又已知不等式 f(x)≤3 的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以?
? ?a-3=-1, ?a+3=5, ?

解得 a=2.

(2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|,设 g(x)=f(x)+f(x+5), -2x-1,x<-3, ? ? 于是 g(x)=|x-2|+|x+3|=?5,-3≤x≤2, ? ?2x+1,x>2. 所以当 x<-3 时,g(x)>5; 当-3≤x≤2 时,g(x)=5; 当 x>2 时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞, 5]. 方法二 (1)同方法一. (2)当 a=2 时,f(x)=|x-2|. 设 g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2 时等号成立),得 g(x)的最 小值为 5. 从而,若 f(x)+f(x+5)≥m,即 g(x)≥m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(-∞, 5]. 8、解 (1)当 a=2 时, -2x+6,x≤2, ? ? f(x)+|x-4|=?2,2<x<4, ? ?2x-6,x≥4.

当 x≤2 时,由 f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得 x≤1; 当 2<x<4 时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当 x≥4 时,由 f(x)≥4-|x-4|得 2x-6≥4,解得 x≥5; 所以 f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1 或 x≥5}. (2)记 h(x)=f(2x+a)-2f(x), -2a,x≤0, ? ? 则 h(x)=?4x-2a,0<x<a, ? ?2a,x≥a. 由|h(x)|≤2,解得

a-1
2

≤x≤

a+1
2

.

又已知|h(x)|≤2 的解集为{x|1≤x≤2},

a-1 ? ? 2 =1, 所以? a+1 ? ? 2 =2,

于是 a=3.

9、解: (Ⅰ )当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。由此可得 故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 (Ⅱ ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0

x ? 3 或 x ? ?1 。

?x ? a 此不等式化为不等式组 ? ? x ? a ? 3x ? 0

?x ? a 或? 即 ?a ? x ? 3 x ? 0
a 2

?x ? a ? ? a x? ? ? 4

?x ? a ? ? a 或 a?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 10、证明 (1)∵a,b,c∈(0,+∞),

? 由题设可得 ?

a = ?1,故 a ? 2 2

∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca, 1 1 1 ( -1)·( -1)·( -1)

a

b

c



b+c

a+ c abc

a+b

2 bc·2 ac·2 ab ≥ =8.

abc (2)∵a,b,c∈(0,+∞), ∴a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca, 2(a+b+c)≥2 ab+2 bc+2 ca, 两边同加 a+b+c 得

3(a+b+c)≥a+b+c+2 ab+2 bc+2 ca 2 =( a+ b+ c) . 2 又 a+b+c=1,∴( a+ b+ c) ≤3, ∴ a+ b+ c≤ 3. 11、证明 (1)要证 a+b+c≥ 3, 2 由于 a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c) ≥3. 2 2 2 即证:a +b +c +2(ab+bc+ca)≥3, 而 ab+bc+ca=1, 2 2 2 故需证明:a +b +c +2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca). 2 2 2 即证:a +b +c ≥ab+bc+ca. 而这可以由 ab+bc+ca≤ 立)证得. ∴原不等式成立. (2)

a2+b2 b2+c2 c2+a2
2 + 2 + 2

=a +b +c (当且仅当 a=b=c 时等号成

2

2

2

a + bc

b + ac

c a+b+c = . ab abc
1

在(1)中已证 a+b+c≥ 3. 因此要证原不等式成立,只需证明

abc

≥ a + b+ c .

即证 a bc+b ac+c ab≤1, 即证 a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca. ab+ac 而 a bc= ab·ac≤ , 2

ab+bc bc+ac b ac≤ ,c ab≤ .
2 2 ∴a bc+b ac+c ab≤ab+bc+ca (a=b=c= ∴原不等式成立. 3 时等号成立). 3

12、证明:因为 x>0,y>0, 3 2 2 所以 1+x+y ≥3 xy >0, 3 2 2 1+x +y≥3 x y>0, 3 2 3 2 2 2 故(1+x+y )(1+x +y)≥3 xy ·3 x y=9xy.

21、(1)解 因为 f(x+2)=m-|x|, f(x+2)≥0 等价于|x|≤m. 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.

又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)证明 由(1)知 + + =1, a 2b 3c 又 a,b,c∈R ,由柯西不等式得


? ? a+2b+3c=(a+2b+3c)? + + ? ?a 2b 3c?
1 1 1

? ≥? a· ?

1

a

+ 2b·

1 2b

+ 3c·

1 ?2 ? =9. 3c ?

13、解 由柯西不等式(32+42)·(x2+y2)≥(3x+4y)2,① 4 2 2 2 2 得 25(x +y )≥4,所以 x +y ≥ . 25 不等式①中当且仅当 = 时等号成立,x +y 取得最小值, 3 4 3x+4y=2, ? ? 由方程组?x y = , ? ?3 4 6 ? ?x=25, 解得? 8 ?y=25. ?

x y

2

2

6 8 4 2 2 因此当 x= ,y= 时,x +y 取得最小值,最小值为 . 25 25 25 14、函数的定义域为[5,9]

y ? 3 x?5 ? 4 9? x ?

? 32 ? 42 ?

2 x ?5 ? 2 9? x

? 5* 2 ? 10 函数仅在4 x ? 5=3 9 ? x,即x ? 6.44时取到


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