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2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第4讲二次函数性质的再研究与幂函数课件理


第4讲

二次函数性质的再研究与幂函数

最新考纲

1.理解二次函数的图像和性质,能用二次函

数、方程、不等式之间的关系解决简单问题;2.了解幂
1

函数的概念;结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x2,y 1 =x 的图像,了解它们的变化情况.

1.二次函数

知识梳理

(1)二次函数解析式的三种形式: ax2+bx+c(a≠0) 一般式:f(x)=_______________. 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为________. (m,n) 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象

定义域

(-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ? ,+∞ ? ? 4a ? ?

(-∞,+∞)

值域

___________________ 在
? b ? 上单调 ?-∞,- ? 2a ? ?

2? ? 4 ac - b ? ? -∞, ? ? 4 a ? ? ___________________

递减;

? b? ?-∞,- ? 2a? 上单调 ? 在_______________

单调性

递增; 在
? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ? 上单调 在_____________

上单调

递增 对称性

递减

b 函数的图像关于 x=- 对称 2a

2.幂函数 (1)幂函数的定义 如果一个函数,底数是自变量x,指数是常量α,即y=xα,这 样的函数称为幂函数.

(2)常见的5种幂函数的图像

(3)常见的5种幂函数的性质
函数 特征 y=x y=x2 y=x3

1 y ? x2

y=x-1

性质 定义域
R R R [0,+∞) _________

{x|x∈R,
且x≠0} {y|y∈R, _________ 且y≠0} _________ 奇

值域 奇偶性

R 奇

[0,+∞) 偶

R 奇

[0,+ ∞) 非奇非偶

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y=2x3是幂函数.(
1

精彩PPT展示

) ) )

(2)当 n>0 时,幂函数 y=xn 在(0,+∞)上是增函数.( (3)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(

(4) 二 次 函 数 y = ax2 + bx + c(x∈[a , b]) 的 最 值 一 定 是 4ac-b2 .( 4a )

1

解析

(1)由于幂函数的解析式为 f(x)=xα,故 y=2x3不是幂函

数,(1)错. (3)由于当 b=0 时,y=ax2+bx+c=ax2+c 为偶函数,故(3)错. 4ac-b2 b b (4)对称轴 x=-2a, 当-2a小于 a 或大于 b 时, 最值不是 4a , 故(4)错.

答案 (1)× (2)√

(3)× (4)×

2.(2016· 全国Ⅲ卷)已知 a=23,b=33,c=253,则( A.b<a<c C.b<c<a
4 2

4

2

1

)

B.a<b<c D.c<a<b
2 2 2

解析

因为 a=23=43,b=33,c=53又 y=x3在(0,+∞)上

是增函数,所以 c>a>b.

答案 A

3.已知f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值是 ( A.5 ) B.-5 C.6 D.-6

解析 由f(1)=f(2)=0知方程x2+px+q=0的两根分别

为1,2,则p=-3,q=2,∴f(x)=x2-3x+2,∴f(-1)
=6. 答案 C

4.若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图像不经过原点,则 实数m的值为________.
解析
2 ? ?m -3m+3=1, 由? 2 解得 ? ?m -m-2≤0,

m=1 或 2.

经检验 m=1 或 2 都适合.

答案 1或2

5.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数, 则实数a的取值范围是________. 解析 二次函数f(x)图像的对称轴是x=1-a,由题意知

1-a≥3,∴a≤-2.
答案 (-∞,-2]

考点一

幂函数的图像和性质

【例 1】 (1)(2017· 西安诊断测试)已知幂函数 f(x)=k· xα 的图
?1 像过点? , ?2

2? ?,则 k+α 等于( 2? B.1

) 3 C.2 D.2

1 A.2

(2)若(2m+1)2>(m +m-1)2,则实数 m 的取值范围是(
? - ? A.?-∞, ?

1

2

1

)

5-1? ? ? 2 ?

? B.? ? ? ? D.? ? ?

? 5-1 ? ,+∞ ? 2 ? ? 5-1 ? ,2? 2 ?
?1? f ?2?= ? ?

C.(-1,2)
解析

(1)由幂函数的定义知 k=1.又

2 , 2

?1?α 所以?2? = ? ?

2 1 3 ,解得 α= ,从而 k+α= . 2 2 2

(2)因为函数 y=x2的定义域为[0,+∞), 且在定义域内为增函数, ?2m+1≥0, ? 2 所以不等式等价于?m +m-1≥0, ?2m+1>m2+m-1. ? 1 ? ?m≥-2, ? 5-1 - 5-1 5-1 即 解得? ≤m<2. 2 m ≤ 或 m ≥ , ? 2 2 ? ?-1<m<2,

1

答案 (1)C (2)D

规律方法 (1)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、 单调性; (2)α的正负:当α>0时,图像过原点和(1,1),在第一象限的

图像上升;当α<0时,图像不过原点,过(1,1),在第一象
限的图像下降. (3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当 的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的 图像和性质是解题的关键.

【训练1】 (1)幂函数y=f(x)的图像点(4,2),则幂函数y=f(x) 的图像是( )

(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn

2-3n

(n∈Z)的图像关于y轴 )

对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(

A.-3
C.2

B.1
D.1或2

解析 (1)设 f(x)=x (α∈R),则 4 =2,
1 1 ∴α=2,因此 f(x)=x2,根据图像的特征,C 正确.

α

α

(2)∵幂函数 f(x)=(n +2n-2)x
2 ? n ? +2n-2=1, ∴? 2 ∴n=1, ? ?n -3n<0,

2

n 2-3n

在(0,+∞)上是减函数,

又 n=1 时,f(x)=x-2 的图像关于 y 轴对称,故 n=1.

答案 (1)C (2)B

考点二 二次函数的图像与性质

【例2】 (2017· 兰州调研)已知函数f(x)=x2+2ax+3,
x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值; (2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是 单调函数; (3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.

解 (1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于
x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15, 故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a,所以要 使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,

即a≤-6或a≥4,
故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).

(3)当 a=-1 时,f(|x|)=x2-2|x|+3=
2 2 ? x + 2 x + 3 =( x + 1 ) +2,x≤0, ? ? 2 其图像如图所示, 2 ? ?x -2x+3=(x-1) +2,x>0,

又∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减
函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.

规律方法 解决二次函数图像与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约,

常见的题型中这三者有两定一不定,要注意分类讨论;
(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次 函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求 解),事半功倍.

【训练2】 (1)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可

能是(

)

(2)(2017· 武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R) 是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x) =________.

解析

(1)由 A,C,D 知,f(0)=c<0,

b 从而由 abc>0,所以 ab<0,所以对称轴 x=- >0,知 A,C 2a 错误,D 满足要求;由 B 知 f(0)=c>0, b 所以 ab>0,所以 x=- <0,B 错误. 2a

(2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图像关于 y 轴对称,∴b=-2, ∴f(x)=-2x2+2a2,又 f(x)的值域为(-∞,4], ∴2a2=4,故 f(x)=-2x2+4.

答案 (1)D (2)-2x2+4

考点三 二次函数的应用(多维探究) 命题角度一 二次函数的恒成立问题 【例3-1】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R), x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并

写出单调区间;
(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k在区间[-3,-1]上恒成立, 试求k的取值范围.

b ? ? ?- =-1, ?a=1, 2 a 解 (1)由题意知? 解得? ? ?b=2. ? ?f(-1)=a-b+1=0, 所以 f(x)=x2+2x+1, 由 f(x)=(x+1)2 知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,+∞),单 调递减区间为(-∞,-1]. (2)由题意知,x2+2x+1>x+k 在区间[-3,-1]上恒成立,即 k<x2+x+1 在区间[-3,-1]上恒成立,令 g(x)=x2+x+1,x ∈[-3,-1],由
? 1?2 3 g(x)=?x+2? +4知 ? ?

g(x)在区间[-3,-1]上

是减函数,则 g(x)min=g(-1)=1,所以 k<1, 故 k 的取值范围是(-∞,1).

命题角度二

二次函数的零点问题

【例 3-2】(2016· 全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x) =f(2-x),若函数 y=|x2-2x-3|与 y=f(x)图像的交点 m 为(x1,y1),(x2,y2),?,(xm,ym),则 ? x =( ) i i?1 A.0 C.2m B.m D.4m

解析

由 f(x)=f(2-x)知函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称.

又 y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|的图像也关于直线 x=1 对称, 所以这两函数的交点也关于直线 x=1 对称. x1+xm 不妨设 x1<x2<?<xm,则 2 =1,即 x1+xm=2,同理有 x2

+xm-1=2,x3+xm-2=2,?,又∑ xi=xm+xm-1+?+xi,所 i=1 以 2i∑ xi=(x1+xm)+(x2+xm-1)+?+(xm+x1)=2m,所以∑ xi =1 i=1 =m.
m m

m

答案 B

规律方法 (1)对于函数y=ax2+bx+c,若是二次函数,就

隐含着a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a=0和
a≠0两种情况讨论. (2)由不等式恒成立求参数的取值范围,常用分离参数法, 转化为求函数最值问题,其依据是a≥f(x)?a≥f(x)max, a≤f(x)?a≤f(x)min.

(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关,常借助函数的图
像的直观性实施数形转化.

【训练3】 (1)(2016· 九江模拟)已知f(x)=x2+2(a-2)x+4,

如果对x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围
为________. (2)(2017· 枣庄一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数, 当x≥0时,f(x)=x2-2x,如果函数g(x)=f(x)-m(m∈R) 恰有4个零点,则m的取值范围是________.
解析 (1)因为 f(x)=x2+2(a-2)x+4,

对称轴 x=-(a-2),对 x∈[-3,1],f(x)>0 恒成立, 所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得:
? ?-(a-2)<-3, ? ?-3≤-(a-2)≤1, ? 或? ? ? ?f(-3)>0, ?Δ<0,

? ?-(a-2)>1, 或? 解得 ? ?f(1)>0,

1 a∈?或 1≤a<4 或-2<a<1,

所以 a

? 1 ? 的取值范围为?-2,4?. ? ?

(2)函数 g(x)=f(x)-m(m∈R)恰有 4 个零点可化为函数 y=f(x)的 图像与直线 y=m 恰有 4 个交点,作函数 y=f(x)与 y=m 的图像 如图所示,

故 m 的取值范围是(-1,0). ? 1 ? 答案 (1)?-2,4? (2)(-1,0) ? ?

[思想方法] 1.幂函数y=xα(α∈R)图像的特征 α>0时,图像过原点和(1,1)点,在第一象限的部分“上

升”;α<0时,图像不过原点,经过(1,1)点在第一象限的
部分“下降”,反之也成立. 2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 中a,b,c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式,用 待定系数法确定相应字母的值.

3.二次函数与一元二次不等式密切相关,借助二次函数的 图像和性质,可直观地解决与不等式有关的问题.

4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连,二次函数的最值
问题要根据其图像以及所给区间与对称轴的关系确定.

[易错防范]
1.幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在 第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的 奇偶性;幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内; 如果幂函数图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.

2.对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满
足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和 a≠0两种情况.


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