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第20讲 对数函数的性质及反函数


第 20 讲 对数函数的性质及反函数
(一)
教学目标
1.教学知识点 1. 对数函数的单调性;2.同底数对数比较大小;3.不同底数对数比较大小; 4.对数形式的复合函数的定义域、值域; 5.对数形式的复合函数的单调性. 2.能力训练要求 1. 掌握对数函数的单调性;2.掌握同底数对数比较大小的方法; 3.掌握不同底数对数比较大小的方法;4.掌握对数形式的复合函数的定义域、值域; 5.掌握对数形式的复合函数的单调性; 6.培养学生的数学应用意识. 3.众优渗透目标 1.用联系的观点分析问题、解决问题; 2.认识事物之间的相互转化.

教学重点
1.利用对数函数单调性比较同底数对数的大小; 2.求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法; 3.求对数形式的复合函数的单调性的方法.

教学难点
1.不同底数的对数比较大小;2.对数形式的复合函数的单调性的讨论.

教学过程
一、 复习引入: 1.对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数,对数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 的 定义域为 (0,??) ,值域为 (??,??) .

2、对数函数的性质:
a>1
3 3 2.5 2.5

0<a<1

2

2

1.5

1.5

图 象

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞) . 值域:R. 性 质 过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 .

x ? (0,1) 时 y ? 0 .
x ? (1,??) 时 y ? 0 .

x ? (0,1) 时

y?0 .

x ? (1,??) 时 y ? 0 .

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
在(0,+∞)上是增函数. 在(0,+∞)上是减函数. ③ 2. 函数 y=x+a 与 y ? loga x 的图象可能是__________

y 1 o ① 二、新授内容:

y 1 x o 1 ② x 1

y

y 1 ③ 1 x o 1 ④ x

1

o

例 1.比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log6 7, log7 6 ; ⑵ log3 ? , log2 0.8 . (3) 6 0.7 , 0.7 6 , log0.7 6

解:⑴? log6 7 ? log6 6 ? 1 , log7 6 ? log7 7 ? 1,?log6 7 ? log7 6 . ⑵? log3 ? ? log3 1 ? 0 , log2 0.8 ? log2 1 ? 0 ,?log3 ? ? log2 0.8 . 小结 1:引入中间变量比较大小:例 1 仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小, 当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入 1 或 0 等,间接比较两个对数的大小. 练习: 1.比较大小(备用题)

?1? 2 ⑴ log0.3 0.7 ? log0.4 0.3 ; ⑵ log3.4 0.7 ? log0.6 0.8 ? ? ? ; ⑶ log0.3 0.1 ? log0.2 0.1 . ? 3?
例 2.已知 x =
9 时,不等式 4

?

1

loga (x2 – x – 2)>loga (–x2 +2x + 3)成立,

求使此不等式成立的 x 的取值范围. 解:∵x =
9 9 9 9 9 使原不等式成立. ∴loga[ ( ) 2 ? ? 2 ]>loga [1? ( ) 2 ? 2 ? ? 3) 4 4 4 4 4

即 loga

13 39 >loga . 16 16



13 39 < . 所以 y = logax 为减函数,故 0<a<1. 16 16
? ? x ? ?1或x ? 2 ? 解得 ?? 1 ? x ? 3 . ? 5 ?? 1 ? x ? 2 ?

?x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ? ∴原不等式可化为 ?? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , ? 2 2 x ? x ? 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? ?

故使不等式成立的 x 的取值范围是 (2,

5 ) 2

例 3.若函数 f ( x) ? loga x (0 ? a ? 1) 在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
求 a 的值。 (a ?

2 ) 4
x 在(0, 1)上是增函数. 1? x

例 4.求证:函数 f (x) = log2 解:设 0<x1<x2<1, 则 f (x2) – f (x1) = log 2 ∵0<x1<x2<1,∴

x2 x x (1 ? x1 ) x 1 ? x1 . = log2 2 ? ? log 2 1 ? log 2 2 x1 1 ? x 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x2 ) x1
则 log2
x 2 1 ? x1 ? >0, x1 1 ? x 2

x2 1 ? x1 >1, >1. 1 ? x2 x1

∴f (x2)>f (x1). 故函数 f (x)在(0, 1)上是增函数
例 5.已知 f (x) = loga (a – ax) (a>1). (1)求 f (x)的定义域和值域; (2)判证并证明 f (x)的单调性.

解: (1)由 a>1,a – ax>0,而 a>ax,则 x<1. 故 f (x)的定义域为(1, +∞), 而 ax<a,可知 0<a – ax<a, 又 a>1. 则 loga(a – ax)<lgaa = 1. 取 f (x)<1,故函数 f (x)的值域为(–∞, 1). (2)设 x1>x2>1,又 a>1, ∴ a x1 > a x2 ,∴ a ? a x1 <a< a x2 , ∴loga (a – a x1 )<loga (a – a x2 ),即 f (x1)< f (x2),故 f (x)在(1, +∞)上为减函数. 例 6.书 P72 面例 9。指导学生看书。 例 7. (备选题) 求下列函数的定义域、值域: ⑴ y ? log2 ( x ? 2x ? 5) ;
2

⑵ y ? log1 (? x ? 4 x ? 5) ;
2 3

解:⑴∵ x 2 ? 2 x ? 5 ? ( x ? 1) 2 ? 4 ? 4 对一切实数都恒成立, ∴函数定义域为 R. 从而 log2 ( x ? 2 x ? 5) ? log2 4 ? 2
2

即函数值域为 [2,??) .

⑵要使函数有意义,则须: 由 ?1 ? x ? 5
2

? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? x 2 ? 4 x ? 5 ? 0 ? ?1 ? x ? 5 ,
2

∴在此区间内 (? x 2 ? 4x ? 5) max ? 9 , ∴ 0 ? ? x ? 4 x ? 5 ? 9 . 即:值域为 y ? ?2 ,

从而 log1 (? x ? 4x ? 5) ? log1 9 ? ?2
3 3

∴定义域为[-1,5],值域为 [?2,??) . 例 8. (备选题)已知 f (x) = logax (a>0,a≠1),当 0<x1<x2 时, 试比较 f (
x1 ? x 2 1 ) 与 [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 的大小,并利用函数图象给予几何解释. 2 2

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
【解析】因为 f ( = loga

x1 ? x2 1 x ?x 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? log a 1 2 ? [log a x1 ? log a x2 ] 2 2 2 2
x1 x 2 ? loga x1 ? x 2 2 x1 x 2

x1 ? x 2 ? loga 2

又 0<x1<x2,

∴x1 + x2 – 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 >0,
x1 ? x 2 2 x1 x 2

即 x1 + x2>2 x1 x2 ,



x1 ? x 2 2 x1 x 2

>1.

于是当 a>1 时, loga

>0.

此时 f (

x1 ? x 2 1 ) > [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 2 2

同理 0<a<1 时 f (

x1 ? x 2 1 ) < [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 2 2

或:当 a>1 时,此时函数 y = logax 的图象向上凸. 显然,P 点坐标为 f ( 由几何性质可知 f (
x1 ? x 2 1 ) ,又 A、B 两点的中点 Q 的纵坐标为 [ f (x1) + f (x2)], 2 2

x1 ? x 2 1 ) > [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] . 2 2
x1 ? x 2 2 x1 x 2

当 0<a<1 时,函数图象向下凹. 从几何角度可知 loga
x1 ? x 2 1 ) < [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] 2 2

<0,

此时 f (

y
P(

四、课堂小结:
2. 比较对数大小的方法; 2.对数复合函数单调性的判断; 3.对数复合函数定义域、值域的求法. 五、课后作业 1. 《习案》P193 与 P195 面。 备选题
2

· ·x ? x 1 · (x1, f (x1)) Q ( , [ f ( x ) ? f ( x )]) 2 2 A ·
1 2 1 2

x1 ? x2 x1 ? x2 ? ) B 2 2 (x2, f (x2))

x1 x1 ? x 2 x2
2

x

2.讨论函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) 在 (??,0) 上的单调性. (减函数) 3.已知函数 y= loga (2- a )在[0,1]上是减函数,求 a 的取值范围. 解:∵a>0 且 a≠1, 当 a>1 时, ∴1<a<2. 当 0<a<1 时, ∴0<a<1,综上述,0<a<1 或 1<a<2.
x

(二)
教学目标
(一)教学知识点 1.了解反函数的概念,加深对函数思想的理解 2.反函数的求法. (二)能力训练要求 1.使学生了解反函数的概念; 2.使学生会求一些简单函数的反函数.

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
(三)众优渗透目标 培养学生用辩证的观点,观察问题、分析问题、解决问题的能力.

教学重点
1.反函数的概念; 2.反函数的求法.

教学难点
反函数的概念.

教学过程
一、复习引入: 1、我们知道,物体作匀速直线运动的位移 s 是时间 t 的函数,即 s=vt,其中速度 v 是常 量,定义域 t ? 0,值域 s ? 0;反过来,也可以由位移 s 和速度 v(常量)确定物体作匀速 直线运动的时间,即 t ?

s ,这时,位移 s 是自变量,时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s ? 0, v

值域 t ? 0. 问题1:函数 s=vt 的定义域、值域分别是什么?

s 中,谁是谁的函数? v s 问题3:函数 s=vt 与函数 t ? 之间有什么关系? v
问题2:函数 t ? 2、 又如, 在函数 y=2x+6 中, x 是自变量, y 是 x 的函数, 定义域 x ? R, 值域 y ? R. 我 们从函数 y=2x+6 中解出 x,就可以得到式子 x ? 值,通过式子 x ?

y ? 3 . 这样,对于 y 在 R 中任何一个 2

y ? 3 ,x 在 R 中都有唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函数: 2 y 为自变量,x 为 y 的函数,定义域是 y ? R,值域是 x ? R.

3、再如:指数函数 y ? a x 中,x 是自变量,y 是 x 的函数,由指数式与对数式的互化
有: x ? loga y 对于 y 在(0,+ ? )中任何一个值,通过式子 x ? loga y ,x 在 R 中都有 唯一的值和它对应. 因此,它也确定了一个函数:x ? loga y , y 为自变量, x 为 y 的函数, 定义域是 y ? (0,+ ? ) ,值域是 x ? R. 二、讲解新课:新课标第一网 1.反函数的定义 一般地,设函数 y ? f ( x)(x ? A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一 的值和它对应,那么,x= ? (y)就表示 y 是自变量,x 是自变量 y 的函数,这样的函数 x= ? (y) (y ? C)叫做函数 y ? f ( x)(x ? A) 的反函数,记作 x ? f
?1

( y) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x)
?1

开始的两个例子:s=vt 记为 f (t ) ? vt ,则它的反函数就可以写为 f

(t ) ?

t ,同样 v

y ? 2 x ? 6 记为 f ( x) ? 2 x ? 6 ,则它的反函数为: f ?1 ( x) ?
探讨 1:所有函数都有反函数吗?为什么?

x ? 3. 2

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数 不一定有反函数, 如 y ? x2 , 只有 “一一对应” 确定的函数才有反函数, y ? f ( x) 来说, y ? x2 ,
x ?[0,??) 有反函数是 y ? x

探讨 2:互为反函数定义域、值域的关系 函数 y ? f ( x) 定义域 值 域 探讨 3: y ? f
?1

反函数 y ? f C A

?1

( x)

A C

( x) 的反函数是什么?
?1

若函数 y ? f ( x) 有反函数 y ? f

( x) ,那么函数 y ? f ?1 ( x) 的反函数就是 y ? f ( x) ,
?1

这就是说,函数 y ? f ( x) 与 y ? f

( x) 互为反函数

王新敞
奎屯

新疆

探讨 4:探究互为反函数的函数的图像关系 观察讨论函数、反函数的图像,归纳结论: (1)函数 y ? f ( x) 的图象和它的反函数 y ? f
?1

( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

(2)互为反函数的两个函数具有相同的增减性. 三、讲解例题: 例 1.求下列函数的反函数: ① y ? 3x ? 1( x ? R) ; ② y ? x 3 ? 1( x ? R) .

解:①由 y ? 3x ? 1 解得 x ?

y ?1 3 x ?1 ( x ? R) , 3

∴函数 y ? 3x ? 1( x ? R) 的反函数是 y ? ②由 y ? x 3 ? 1( x ? R) 解得 x= 3 y ? 1 ,

∴函数 y ? x 3 ? 1( x ? R) 的反函数是 y ? 3 x ? 1( x ? R) 小结:求反函数的一般步骤分三步,一解、二换、三注明. 例 2. 函数 y ? loga ( x ?1) (a ? 0且a ? 1) 的反函数的图象经过点(1,4) ,求 a 的值. 【解析】根据反函数的概念,知函数 , y ? loga ( x ?1) (a ? 0且a ? 1) 的反函数的图象经过点(4,1) ∴1 ? loga 3 , ∴a ? 3 .

【小结】若函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( a, b) ,则其反函数的图象经过点 (b, a ) .

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
例 3.已知函数 y ? f ( x) ? 解:方法一:∵ x ? 0

x ? 1 ,求 f ?1 (3) 的值.
∴ y ?1 由y?

x ? 1 解得: x ? ( y ? 1) 2
∴f
?1

∴ f 1 ( x) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 为原函数的反函数, 方法二:由反函数的定义得: 3 ? 练习 1.求下列函数的反函数: (1)y= 4 (x∈R), (4)y= ( 2 ) x (x∈R),
x

(3) =4.
?1

x ? 1,

解得:x=4, 即 f

(3) =4.

(2)y= 0.25 (x∈R), (5)y=lgx(x>0), (8)y= loga

x

(3)y= ( ) (x∈R), (6)y=2 log4 x(x>0)

1 3

x

(7)y= loga (2x)(a>0,且 a≠1,x>0)

x (a>0,a≠1,x>0) 2

解: (1)所求反函数为:y= log4 x(x>0), (2)所求反函数为:y= log0.25 x(x>0) (3)所求反函数为:y= log1 x (x>0),
3

(4)所求反函数为:y= log
x 2

2

x (x>0)
x

(5)所求反函数为:y= 10 (7)所求反函数为:y=

x

(x∈R),

(6)所求反函数为:y= 4 = 2

(x∈R)

1 x a (a>0,且 a≠1,x∈R) 2
x

(8)所求反函数为:y=2 a (a>0,且 a≠1,x∈R) 练习 2.函数 y= 3 的图象与函数 y ? log3 x 的图象关于(D )
x

A. y 轴对称

B. x 轴对称

C. 原点对称 D. y ? x 直线对称

(备选题)3.求函数 y ? 解:∵ y ?

5x ? 8 的值域. 3x ? 2

5x ? 8 3x ? 2

∴x ?

2y ? 8 3y ? 5

∴ y≠

5 3

∴函数的值域为{y|y≠

5 } 3

(备选题)4.利用互为反函数的图像的性质求参数

, 求m, n. 若点?1, 2? 既在函数 y ? mx? n 上, 又在其反函数图象上
解:由已知得: ?

? m?n ? 2 ?m ? ?3 ,即 ? , n ? 7 2 m ? n ? 1 ? ?

故 m、n 的值分别是-3、7.

(备选题)5. 已知 f ( x) ?

x?5 的图象关于直线 y ? x对称, 求m的值 . 2x ? m
?1

解:由已知可知, f ( x) 的反函数是它的本身,即 f ( x) ? f

( x) .

第 20 讲 对数函数的性质及反函数
x ?5 ? mx ? 5 x ?5 ? mx ? 5 ?1 , 所以 ? 得 f ( x) ? 恒成立. 2x ? m 2x ?1 2x ? m 2x ?1 比较对应系数得 m ? ?1.
由 f ( x) ? 五、课堂小结 1.反函数的定义;求反函数的步骤. 2.互为反函数的函数图象间关系; 3.互为反函数的两个函数具有相同的增减性. 六、课外作业:


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