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高二数学圆锥曲线练习题


数学基础知识与典型例题(第八章圆锥曲线)
椭 圆 知 识 关 系 网

1.椭圆的定义: 第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做 椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆, 定点叫做椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2

图形

椭 圆 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线方程
点 P(x0,y0) 的焦半径公式

(?a,0) , (0, ?b)

(0, ?a) , (?b,0)

x 轴, y 轴,长轴长为 2a ,短轴长为 2b
F1 (?c, 0) 、 F2 (c, 0)
焦距为 F1 F2 ? 2c(c ? 0),

F1 (0, ?c) 、 F2 (0, c)
c 2 ? a 2 ? b2

e ? c (0<e<1)
a
x?? a2 c

y??

a2 c

|PF 右|=a-ex0 ,

|PF 左|=a+ex0

|PF 上|=a-ey0

, |PF 下|=a+ey0

(“左加右减”)

例 1.F1,F2 是定点,且|F1F2|=6,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6,则 M 点的轨迹方 程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段 例 2. 已知 ?ABC 的周长是 16, A(?3,0) ,B (3,0) , 则动点的轨迹方程是( (A)
x2 y2 ? ?1 25 16

)

(B)

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( y ? 0) (C) ? ?1 25 16 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

例 3. 若 F(c, 0)是椭圆

x2 y 2 ? ? 1的右焦点, F 与椭圆上点的距离的最大值为 a 2 b2
M ?m 的点的坐标是( 2

M,最小值为 m,则椭圆上与 F 点的距离等于 (A)(c, ?


)

b2 ) a

( B)(?c, ?

b2 ) a

(C)(0,±b)

(D)不存在



例 4. 如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P,它到左准线的距离为 2.5,那么 P 点到 25 9

右焦点的距离与到左焦点的距离之比是( )。 (A)3 : 1 (B)4 : 1 (C)15 : 2 例 5. 设 F1(-c,0)、F2(c,0)是椭圆

(D)5 : 1

x2 y2 + =1(a>b>0)的两个焦点,P 是以 F1F2 a 2 b2

为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为( (A)
3 2

)

(B)

6 3

(C)

2 2

(D)

2 3

例 6. 设 A(-2,

3 ),椭圆 3x2+4y2=48 的右焦点是 F,点 P 在椭圆上移动,
)。

当|AP|+2|PF|取最小值时 P 点的坐标是( (A)(0, 2 3 ) (B)(0, -2 3 )

(C)(2 3 ,

3)

(D)(-2 3 ,

3)

例 7. P 点在椭圆 坐标是 .

x2 y2 ? ? 1 上,F1、F2 是两个焦点,若 PF1 ? PF2 ,则 P 点的 45 20

例 8.写出满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6; (2)焦点坐标为 (? 3 ,0) , ( 3 ,0) ,并且经过点(2,1);
椭 圆

. .
1 3

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为 (?3,0) , (3,0) ,且短轴是长轴的 ; (4)离心率为
3 ,经过点(2,0); 2

____.

.

例 9. F1、F2 是椭圆 的最大值是

x2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上运动, 则 | PF1 | ? | PF2 | 4 .

例 10. 椭圆中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,e= 线交椭圆于 P、Q 两点,|PQ|=

3 ,过椭圆左焦点 F 的直 2

20 ,且 OP⊥OQ,求此椭圆的方程. 9

双 曲 线 知 识 关 系 网 双 1.双曲线的定义:

曲 线

第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹是双曲线, 定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线,常数 e 叫做双曲线的离心率. 2.双曲线的标准方程及其几何性质(如下表所示)

标准方程 图形

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线方程

(?a,0)

(0, ?a) x 轴, y 轴,实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
F1 (0, ?c), F2 (0, c)

F1 (?c, 0), F2 (c, 0)

焦距为 F1 F2 ? 2c(c ? 0),

c 2 ? a 2 ? b2

e?

c (e>1) a a2 x?? c

a2 y?? c
F右 (c,o) 为 右 焦 点 , 点 P 到 相 应 准 线

如 需 要 用 到 焦 半 径 就 自 己 推 导 一 下 : 如 设 P( x0 , y0 ) 是 双 曲 线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上 一 点 , a 2 b2

点 P(x0,y0) 的焦半径 公式

l:x?

a 2 的距离为 d , 则 PF ? ed . 右 c
a2 0 ? c
2

当 P 在右支上时 d ? x

, PF右 ? e( x0 ?
2

a2 ) ? ex0 ? a ; c

当 P 在左支上时 d ? a ? x0 , PF右 ? e( a ? x0 ) ? a ? ex0
c x 即 | MF |? 0 (ex0 ? a) , 右 | x0 |
c

类似可推导 | MF |? x0 (ex0 ? a) 左
| x0 |

例 11.命题甲:动点 P 到两定点 A、B 的距离之差的绝对值等于 2a(a>0);命题 乙: 点 P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不 必要条件


例 12.到定点的距离与到定直线的距离之比等于 log23 的点的轨迹是( 线 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线




x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线的方程是 例 13. 过点(2 , -2) 且与双曲线 2 ( ) 2 x y2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 (A) (B) (C) (D) 4 2 4 2 2 4 2 4 例 14. 如果双曲线的焦距为 6,两条准线间的距离为 4,那么双曲线的离心率 为( ) 3 6 3 (A) (B) (C) (D)2 2 2 2 x2 y 2 ? 1 上一点 P 到它的左焦点的距离是 8, 例 15. 如果双曲线 ? 那么点 P 到 64 36 它的右准线的距离是( ) 128 32 64 96 (A) (B) (C) (D) 5 5 5 5 2 x ? y 2 ? 1(n ? 1) 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , P 在 双 曲 线 上 , 且 满 足 例 16. 双 曲 线 n 双 PF ? PF ? 2 n ? 2 ,则 PF F 的面积为( ) 1 2 1 2


?

线

( A)1

( B)

1 2

(C )2
1 2

( D)4

例 17. 设 ?ABC 的顶点 A(?4,0) , B(4,0) ,且 sin A ? sin B ? sin C ,则第三个顶 点 C 的轨迹方程是________. x2 y2 y2 x2 例 18. 连结双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的四个顶点的四边形 a b b a S 面积为 S1 ,连结四个焦点的四边形的面积为 S 2 ,则 1 的最大值是________. S2 例 19.根据下列条件,求双曲线方程: x2 y 2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点(-3, 2 3 ); 9 16 x2 y 2 ⑵与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2). 16 4 例 20. 设双曲线 x 2 ?
y2 ? 1 上两点 A、B,AB 中点 M(1,2) 2

⑴求直线 AB 方程; ⑵如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 是否共圆,为什么?

抛 物 线 知 识 关 系 网

1.抛物线的定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 l 上).定点 F 叫做抛物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0) x2 ? 2 py( p ? 0) x2 ? ?2 py( p ? 0) 图形
抛 物 线

对称轴 焦点 顶点 准线 离心率 点 P(x0,y0) 的焦半径 公式

x轴
p F ( , 0) 2

x轴
F (? p , 0) 2

y轴
p F (0, ) 2

y轴
p F (0, ? ) 2

原点 (0, 0)
x?? p 2 x? p 2 y?? p 2 y? p 2

e ?1
用到焦半径自己推导一下即可 如:开口向右的抛物线上的点 P(x0,y0)的焦半径等于 x0+
p . 2

注: 1.通径为 2p,这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦.
? x ? 2 pt 2 ? x ? 2 pt 2. y ? 2 px (或 x ? 2 py )的参数方程为 ? (或 ? )( t 为参数). 2 ? y ? 2 pt ? y ? 2 pt
2 2

例 21. 顶点在原点,焦点是 (0, ?2) 的抛物线方程是( (A)x2=8y (B)x2= ?8y (C)y2=8x

) (D)y2=??8x )

例 22. 抛物线 y ? 4 x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1, 则点 M 的纵坐标是( (A) 17
16

(B) 15
16

(C) 7
8

(D)0 ) (D)1 条

例 23.过点 P(0,1)与抛物线 y2=x 有且只有一个交点的直线有( (A)4 条 (B)3 条 (C)2 条

例 24. 过抛物线 y ? ax 2 (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线 段 PF 与 FQ 的长分别为 p、q,则 (A)2a (B)
1 1 ? 等于( p q

)

1 4 (C) 4a (D) 抛 2a a 2 物 例 25. 若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y =2x 的焦点,点 P 在抛物线上移 线 动,为使|PA|+|PF|取最小值,P 点的坐标为( ) 1 (A)(3,3) (B)(2,2) (C)( ,1) (D)(0,0) 2 例 26. 动圆 M 过点 F(0, 2)且与直线 y=-2 相切,则圆心 M 的轨迹方程 是 .

例 27. 过抛物线 y2=2px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点, 设这两点的纵 坐标为 y1、y2,则 y1y2=_________. 例 28. 以 抛 物 线 x 2 ? ?3 y 的 焦 点 为 圆 心 , 通 径 长 为 半 径 的 圆 的 方 程 是 _____________.

例 29. 过点(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点, 则直线 l 的倾斜角的范围 是 . 例 30 设 p ? 0 是一常数,过点 Q(2 p, 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相异两点 A、B,以线段 AB 为直经作圆 H(H 为圆心) 。 (Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆 H 的圆周上; (Ⅱ)求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方程.

上一章已经复习过解析几何的基本问题之一: 迹 如何求曲线(点的轨迹)方程,它一般分为两类基本题型:一是已知轨迹类 问 型求其方程,常用待定系数法,如求直线及圆的方程就是典型例题;二是未 题 知轨迹类型,此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外,通常 设法利用已知轨迹的定义解题,化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。 因此在求动点轨迹方程的过程中,一是寻找与动点坐标有关的方程(等量 关系),侧重于数的运算,一是寻找与动点有关的几何条件,侧重于形,重视 图形几何性质的运用。 求轨迹方程的一般步骤:建、设、现(限) 、代、化. ???? ? ???? 例 31. 已知两点 M(-2,0) ,N(2,0) ,点 P 满足 PM ? PN =12,则点 P 的


轨迹方程为(
( A) x2 ? y2 ? 1 16


( B) x 2 ? y 2 ? 16 (C ) y 2 ? x 2 ? 8 ( D) x 2 ? y 2 ? 8

例 32.⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 1 和 2,|O1O2|=4,动圆与⊙O1 内切而与⊙O2 外切,则动圆圆心轨迹是( ) (A)椭圆 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)双曲线的一支 例 33. 动点 P 在抛物线 y2=-6x 上运动,定点 A(0,1),线段 PA 中点的轨迹方程是( ) (A)(2y+1)2=-12x(B)(2y+1)2=12x (C)(2y-1)2=-12x(D)(2y-1)2=12x 例 34. 过点 A (2,0)与圆 x 2 ? y 2 ? 16 相内切的圆的圆心 P 的轨迹是( (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆 ) )

轨 迹 方 程

例 35. 已知 ?ABC 的周长是 16, A(?3,0) ,B (3,0) 则动点的轨迹方程是( (A)
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1( y ? 0) 25 16 25 16

(C)

x2 y2 ? ?1 16 25

(D)

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 16 25

例 36. 椭圆

4 x2 y2 ? ? 1 中斜率为 的平行弦中点的轨迹方程为 4 3 3

.

例 37. 已知动圆 P 与定圆 C: (x+2) 2 +y 2 =1相外切,又与定直线 l:x= 1相切,那么动圆的圆心 P 的轨迹方程是______________.
uu u r 例 38. 在直角坐标系中, A(?3, 2), AB ? (3 ? 5cos ? , ?2 ? 3sin ? )(? ? R) ,则 B 点的

轨迹方程是______. 直线与圆锥曲线的位置关系 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程 , 圆锥曲线方程是二元二次方程 ,由它们组成的方程 组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分 圆 必要条件分别是 ? ? 0 、 ? ? 0 、 ? ? 0 .

锥 曲 线 综 合 问 题

⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k , 直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,
2 则它的弦长 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ? ?( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ? ? 1?

1 y1 ? y2 k2

注 : 实质上是由两点间距离公式推导出来的 , 只是用了交点坐标设而不求 的技巧而已(因为 y1 ? y2 ? k( x1 ? x2 ) ,运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则 AB ? y1 ? y2 . 注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法, 二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运 算。 2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理;二是点 差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考 :一是建立函数, 用求值域的方法求范围;二是建立不等式,通过解不等式求范围。
x2 y2 例 39. AB 为过椭圆 2 ? 2 =1 中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB a b

圆 锥 曲 线 综 合 问 题

的面积最大值是( (A)b2

) (B)ab

(C)ac

(D)bc

例 40. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点, 则 k 的取 值范围是(
( A) ( ?


( B) ( 0 ,

15 15 , ) 3 3

15 ) 3

(C ) ( ?

15 , 0) 3

( D) ( ?

15 , ? 1) 3

例 41.若双曲线 x2-y2=1 右支上一点 P(a, b)到直线 y=x 的距离为 2 ,则 a+b 的值是( ). 1 1 1 1 (D)2 或-2 ( A) ? ( B) (C ) ? 或 2 2 2 2 例 42.抛物线 y=x2 上的点到直线 2x- y =4 的距离最近的点的坐标是( ) 3 9 1 1 (B)(1,1) (C) ( , ) (D) (2,4) ( A)( , ) ) 2 4 2 4 例 43. 抛物线 y2=4x 截直线 y ? 2 x ? k 所得弦长为 3 5 ,则 k 的值是( (A)2 例 44. 把曲线 C1 : (B)-2 (C)4 (D)-4 )

? x2 y2 ? ? 1 按向量 a ? (1, 2) 平移后得曲线 C2 , 曲线 C2 有一条 4 k

准线方程为 x ? 5 ,则 k 的值为( ( B) ? 2 圆 ( A) ? 3
锥 曲 线 综 合 问 题


(C )3 ( D) ? 3

例 45. 如果直线 y ? k ( x ? 1) 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 没有交点,则 k 的取值范围 是 .

例 46. 已知抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 关于直线 y ? x ? m 对称,
1 且 x1 x 2 ? ? ,那么 m 的值为 2

.

数学基础知识与典型例题(第 答案 例 1. D 例 2. B 例 3. C M+m=2a,然后用验证法.

例 47. 以双曲线

x2 -y2=1 左焦点 F,左准线 l 为相应焦点、准线的椭圆截直 3

八章圆锥曲线) 先 考 虑

线 y=kx+3 所得弦恰被 x 轴平分,则 k 的取值范围是___________.

4 ,P 点到左 5 2.5,它到左焦点的距离是 2, 右焦点的距离是 8, ∴P 点到 与到左焦点的距离之比是 4 : 例 5. B ∵
例 4. B 提示:e=

准线的距离为 2a=10, P 点到 右焦点的距离 1;

例 48. 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线 y=2x 对称的两点 A、B?若存在, 试求出 A、B 两点的坐标;若不存在,说明理由.

2c 1 6 | PF1 | | PF2 | 2c | PF1 | ? | PF2 | 2a ,∴ ? e ? . ? ? ? ? ? 2a sin15? sin 75? 1 sin15? ? sin 75? sin15? ? cos15? 2 sin 60? 3

| PF | 1 1 , 设椭圆上的 P 点到右准线的距离为 d,则 = , ∴|AP|+2|PF|=|AP|+d, ∴当 AP 平行于 2 2 d x 轴且 P 点在 A 点与右准线之间时,|AP|+d 为一直线段,距离最小,此时 P 点纵坐标等于 3 ,∴P 点坐标是(2 3 , 3 ) 例 7. (3, ? 4) 或(-3, ? 4)
例 6. C 提示:椭圆 3x2+4y2=48 中,a=4, c=2, e=

x2 y2 x2 y2 x2 y2 (2) ? ? 1或 ? ? 1; ? ? 1; 25 16 16 25 6 3 x2 x2 y2 x2 x2 y2 2 2 ? y ? 1或 ? y ? 1或 (3) (4) ? ? 1; ? ? 1. 9 4 9 81 4 16 | PF1 | ? | PF2 | 2 例 9. | PF1 | ? | PF2 | ≤ ( ) ? a2 ? 4 2 2 x y2 例 10. 解:设椭圆方程为 2 + 2 =1,(a>b>0) a b b2 b2 5 ?1 3 ⑴PQ⊥x 轴时,F(-c,0),|FP|= ,又|FQ|=|FP|且 OP⊥OQ,∴|OF|=|FP|,即 c= ∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e= 与题设 e= 不符,所以 PQ 2 2 a a
例 8. (1) 不垂直 x 轴. ⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=

所以椭圆方程可化为:3x2+12y2-4c2=0,将 PQ 方程代入,
2 2 2 2 2 2

3 4 1 ,∴a2= c2,b2= c2, 2 3 3

? 24 k 2 c 12 k 2 c 2 ? 4c 2 得(3+12k )x +24k cx+12k c -4c =0,∴x1+x2= ,x1x2= 3 ? 12 k 2 3 ? 12 k 2 24 k 2 c 2 4(12 k 2 c 2 ? 4c 2 ) 20 20 2 ) ? 由|PQ|= 得 1? k · ( = ① 3 ? 12 k 2 3 ? 12 k 2 9 9 y y ∵OP⊥OQ,∴ 1 · 2 = -1 即 x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0② x2 x1 4 4 2 2 把 x1 ? x2 , x1 x 2 代入,解②得 k = ,把 k 2 ? 代入①解得 c =3 11 11 x2 2 ∴a2=4,b2=1,则所求椭圆方程为 +y =1. 4
例 11. B 例 12. C 例 13. D 例 14. C 例 15. C 例 16. A 假设 PF1 ? PF2 ,由双曲线定义 PF1 ? PF2 ? 2 n 且 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 , 解得 PF1 ? n ? 2 ? n , PF2 ? n ? 2 ? n 而 F1 F2 ? 2 n ? 1 由勾股定理得 S? PF F ? 1 PF1 ? PF2 ? 1 1 2 2 [点评]考查双曲线定义和方程思想.

x2 y2 1 ? ? 1( x ? ?2) 例 18. 4 12 2 2 2 2 x y (?3) (2 3) 2 1 ? ?? ∴ ? ? , ? ? ? (λ ≠0),∴ 例 19.⑴设双曲线方程为 9 16 9 16 4
例 17.

∴ 双曲线方程为

?16 ? k ? 0 ? x2 y2 (3 2) 2 22 x2 y 2 ∴ ? ? 1 , 解 之 得 k=4, ∴ 双 曲 线 方 程 为 ? ?1 ? ? ? 1 ;⑵设双曲线方程为 ? 9 16 ? k 4 ? k 16 ? k 4 ? k 4 ?4? k ? 0 ? 4

x2 y 2 ? ?1 12 8
评注:与双曲线

x2 y2 x2 y 2 共渐近线的双曲线方程为 ? ? 1 ? ? ? (λ ≠0),当λ >0 时,焦点在 x 轴上;当λ <0 时,焦点在 y 轴上。与双曲线 a 2 b2 a 2 b2 x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 (a2+k>0,b2-k>0)。比较上述两种解法可知,引入适当的参数可以提高解题质量,特别是充 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线为 2 2 a ?k b ?k a b

分利用含参数方程的几何意义,可以更准确地理解解析几何的基本思想. 例 20. 解题思路分析:

? y ? kx ? 2 ? k ? 法一:显然 AB 斜率存在设 AB:y-2=k(x-1) 由 ? 2 y 2 得:(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0 ?1 ?x ? ? 2 x ? x k (2 ? k ) 当△>0 时,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 则 ? ? 1 2 ? ∴ k=1,满足△>0∴ 直线 AB:y=x+1 2 2 ? k2 ? 2 y12 x ? ?1 ? ? 1 1 2 法二:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)则 ? 两式相减得:(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2) 2 2 ? x 2 ? y2 ? 1 2 ? ? 2 y2 y ? y 2( x1 ? x2 ) 2 ?1 ? 1 得:△>0 ∵ x1≠x2∴ 1 2 ? ∴ k AB ? ? 1 ∴ AB:y=x+1 代入 x 2 ? 2 x1 ? x2 y1 ? y2 2
评注:法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用点差法时,必须检验条件△>0 是否成立。 (2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和 定半径这两定为中心 设 A、B、C、D 共圆于⊙OM,因 AB 为弦,故 M 在 AB 垂直平分线即 CD 上;又 CD 为弦,故圆心 M 为 CD 中点。因此只需证 CD 中点 M 满 足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

? y ? x ?1 ? 由 ? 2 y2 得:A(-1,0) ,B(3,4)又 CD 方程:y=-x+3 x ? ? 1 ? ? 2 ? y ? ?x ? 3 ? 由 ? 2 y2 得:x2+6x-11=0 设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,CD 中点 M(x0,y0) x ? ? 1 ? ? 2 x ? x4 ? ?3, y0 ? ? x0 ? 3 ? 6 ∴ M(-3,6) 则 x0 ? 3 2
∴ |MC|=|MD|=
1 |CD|= 2 10 又|MA|=|MB|= 2 10 ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 2

∴ A、B、C、D 在以 CD 中点,M(-3,6)为圆心, 2 10 为半径的圆上 评注:充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视. p 例 21. B( ? ?2, p ? ?4即x 2 ? 2 py ? ?8 y ) 例 22. B 2 例 23. B(过 P 可作抛物线的切线两条,还有一条与 x 轴平行的直线也满足要求。) 例 24. C 作为选择题可采用特殊值法,取过焦点,且垂直于 p,q, 则 p=q=|FK| 而 | FK |?

对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为

1 , 2a

?

1 1 2 2 ? ? ? ? 4a p q p (1) 2a
例 26.
2

例 25. 解析:运用抛物线的准线性质.答案:B 例 28. x ? ( y ? ) ? 9
2

x2=8y

例 27. -p2

6 6 ] ? [? ? arctan ,? ) 2 2 例 30. 解:由题意,直线 AB 不能是水平线, 故可设直线方程为: ky ? x ? 2 p . ?k y ? x ? 2 p , 又设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则其坐标满足 ? 2 ? y ? 2 px.
例 29. [0, arctan 由此得 ? ?
y A ? y B ? 2 pk ,
2 ? y A y B ? ?4 p .

3 4

消去 x 得 y ? 2 pky ? 4 p ? 0
2 2

x A ? xB ∴? ?

? 4 p ? k ( y A ? y B ) ? ( 4 ? 2k 2 ) p,

因此 OA ? OB ? x A xB ? y A yB ? 0 ,即 OA ? OB . 故 O 必在圆 H 的圆周上.

??? ? ??? ?

? ( y A yB )2 ? 4 p2 ?x A xB ? (2 p) 2 ?

又由题意圆心 H( x H , y H )是 AB 的中点,

x A ? xB ? x ? ? ( 2 ? k 2 ) p, H ? ? 2 故? 由前已证 y ? y A B ?y ? ? k p. B ? 2 ?
OH 应是圆 H 的半径, 且 | OH |?
2 2 xH ? yH ? k 4 ? 5k 2 ? 4 p .从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小.此时,直线 AB 的方程为:x=2p.

注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题,一般方法是联立方程组,消元得一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式△,利用韦达定理寻 找两根之和与两根之积之间的关系.求解有时借助图形的几何性质更为简洁.此题设直线方程为 x=ky+2p;因为直线过 x 轴上是点 Q(2p,0), 通常可以这样设,可避免对直线的斜率是否存在讨论.2.凡涉及弦的中点及中点弦问题,利用平方差法;涉及垂直关系往往也是利用韦达定理, 设而不求简化运算.3.在引入点参数(本题中以 AB 弦的两个端点的坐标作为主参数)时,应尽量减少参数的个数,以便减少运算量.由 OA⊥ OB 得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用.4.列出目标函数,|OH|= k ? 5k ? 4 P,运用函数思想解决解析几何中的最值问题
4 2

是解决此类问题的基本思路,也可利用基本不等式 a2+b2≥2ab 当且仅当 a=b 时“=”成立求解. 例 31. B 例 32. D 例 33. C 例 37. y =-8x


例 34. 例 38.

A 例 35. B

例 36. 9x+16y=0 (椭圆内部分

x2 y 2 ? ?1 25 9

例 39. 解析:∵S△AFB=2S△AOF,∴当点 A 位于短轴顶点处面积最大.答案:D 例 40. D41. B 42. B 数形结合估算出 D 例 43. D 例 40. C∵由已知得曲线 C1 的准线为 x ? 4 ,∴焦点在 x 轴上且 ∴ a ? 2, c ? 1 ,∴ k ? b2 ? 3

a2 ? 4 , a2 ? 4 , c

例 45.k< ?

2 3 2 3 或k ? 3 3

例 46.

3 2

例 47. (0,

3 ) 2

例 48. 解:设 AB:y=?

1 x+m,代入双曲线方程得 11x2+4mx?4(m2+1)=0, 2

这里△=(4m)2?4×11[?4(m2+1)]=16(2m2+11)>0 恒成立,

1 2m 12 m 4m ,∴x0=? ,y0=? x0+m= , 11 2 11 11 若 A、B 关于直线 y=2x 对称,则 M 必在直线 y=2x 上,
设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0,y0),则 x1+x2=?



1 12 m 4m =? 得 m=1,由双曲线的对称性知,直线 y=? x 与双曲线的交点的 A、B 必关于直线 y=2x 对称. 2 11 11

∴存在 A、B 且求得 A(

2 11

,?

1 11

),B(?

2 11



1 11

)


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