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2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛(含详解)


2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷
(考试时间:2010 年 9 月 4 日 9:00—11:30) 本试卷共 12 小题,满分 150 分; 填空题( 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 f ( x) = 2 x 4 x x 的值域是
2

.

2.函数 y =

的图象与 y = e x 的图象关于直线 x + y = 1 对称. . .

3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 4.设椭圆

x2 y2 + = 1 与双曲线 xy = 1 相切,则 t = t +1 t 1

5.设 z 是复数,则 | z 1| + | z i | + | z + 1| 的最小值等于
3 2

.

6.设 a , b , c 是实数,若方程 x + ax + bx + c = 0 的三个根构成公差为 1 的等差数列,则 a ,

b , c 应满足的充分必要条件是

.

7. 设 O 是 ABC 的 内 心 , AB = 5 , AC = 6 , BC = 7 , OP = xOA + yOB + zOC ,

0 ≤ x, y, z ≤ 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于
8.从正方体的八个顶点中随机选取三点,构成直角三角形的概率是 解答题( 二、解答题(共 86 分) 9.(20 分)设数列 {an } 满足 a1 = 0 , an =

. .

2 , n ≥ 2 .求 an 的通项公式. 1 + an 1

10.(22 分)求最小正整数 n 使得 n + n + 24 可被 2010 整除.
2

11.(22 分)已知 ABC 的三边长度各不相等, D , E , F 分别是 ∠A , ∠B , ∠C 的平分线 与边 BC , CA , AB 的垂直平分线的交点.求证: ABC 的面积小于 DEF 的面积.

12.(22 分)桌上放有 n 根火柴,甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取,第一次可取走至多 n 1 根火柴,此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后 一根火柴者获胜.问:当 n = 100 时,甲是否有获胜策略?请详细说明理由.

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2010 年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 参考答案及评分标准
一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.答案: 4 2 5,8 .





提示:因 0 ≤ x ≤ 4 ,设 x 2 = 2 cos α ( 0 ≤ α ≤ π ) , 则 y = 4 cos α 2sin α + 4 = 2 5 cos(α + ) + 4 (其中 cos = 锐角) , 所以当 α = 0 时, ymax = 8 ,当 α + = π 时, ymin = 4 2 5 ,故 y ∈ 4 2 5,8 .

2 1 , sin = , 为 5 5





2. 答案: 1 ln(1 x) 提示:因两函数图象关于直线 x + y = 1 对称,所以 x → y 1 , y → 1 x , ∴1 x = e 3. 答案:
1 y

,解得 y = 1 ln(1 x ) .

1 3

提示:正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成,所以 任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角

α 的 两 倍 . ∵ tan α = 2 , ∴ cos 2 α =
1 cos 2α = 2 cos 2 α 1 = . 3
4. 答案: 5

1 1 = ,则 2 1 + tan α 3

提示:由椭圆方程

x2 y2 + = 1 知, t > 1 , t +1 t 1
( θ 为参数) 代入双曲线方程 xy = 1 , sin 2θ = 得

设其参数方程为

x = t + 1 cos θ y = t 1sin θ
2 t 1
2

2 t 2 1

.

因两曲线相切,∴

= 1 ,故 t = 5 .

5. 答案: 1 + 3 提 示 : 在 复 平 面 上 , 设 A( 1, 0) , B (1, 0) , C (0,1) , 则 当 Z 为 ABC 的 费 马 点 时 ,

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| z 1| + | z i | + | z + 1| 取得最小值,最小值为 1

3 2 3 2 3 + + = 1+ 3 . 3 3 3

a2 a3 a 1且 c = . 6. 答案: b = 3 27 3
提示:设三个根为 α 1 , α , α + 1 ,则 x3 + ax 2 + bx + c = ( x α + 1)( x α )( x α 1) , 右 边 展 开 与 左 边 比 较 得 a = 3α , b = (α 1)α + α (α + 1) + (α + 1)(α 1) = 3α 1 ,
2

a2 b = 1 3 c = (α 1)α (α + 1) , 消去 α 得 , 这就是所求 a3 a c = 27 3
的充要条件. 7. 答案: 12 6 提示:如图,根据向量加法的几何意义,知点 P 在图中 的三个平形四边形及其内部运动, 所以动点 P 的轨迹所覆盖 的平面区域的面积等于等于 ABC 面积的 2 倍,即 12 6 .

8. 答案:

6 7
3 3

提示: 从正方体的八个顶点中随机选取三点, 共有 C8 个三角形, 其中直角三角形有 12 × C4 个,所求“构成直角三角形”的概率是 二、解答题(共 86 分) 9. 解:特征根法. 又 an + 2 =
3 12 × C4 6 = . C83 7

4 + 2an 1 1 an 1 , an 1 = ,…………(10 分) 1 + an 1 1 + an 1



an + 2 a +2 a +2 (2) n + 2 = (2) n 1 = (2) 2 n 2 = = (2) n ,于是 an = .…(20 分) an 1 an 1 1 an 2 1 (2) n 1

n 2 + n + 24 = 0 mod 2 n 2 + n = 0 mod 3 2 n + n + 24 = 0 mod 3 10. 解: 2010 | n 2 + n + 24 2 n 2 + n = 1mod 5 …… (10 分) n + n + 24 = 0 mod 5 n 2 + n = 43mod 67 n 2 + n + 24 = 0 mod 67
又 n + n = 0 mod 3 n = 0 或 2 mod 3 , n + n = 1mod 5 n = 2 mod 5 ,
2 2

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n 2 + n = 43mod 67 n = 10 或 56 mod 67 , 故所求最小正整数 n = 77 .………… (22 分)
11. 证明:由题设可证 A , B C , D , E , F 六点共圆. …………(10 分) 不 妨 设 圆 半 径 为 1 , 则 有

1 S ABC = (sin 2 A + sin 2 B + sin 2C ) , 2

S DEF =

1 (sin A + sin B + sin C ) . 2 由于 sin 2 A + sin 2 B + sin 2C 1 1 1 = (sin 2 A + sin 2 B ) + (sin 2 B + sin 2C ) + (sin 2C + sin 2 A) 2 2 2 = sin( A + B )sin( A B ) + sin( B + C ) sin( B C ) + sin(C + A) sin(C A) < sin( A + B ) + sin( B + C ) + sin(C + A) = sin A + sin B + sin C
∴ ABC 的面积小于 DEF 的面积. …………(22 分)

12. 解:把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为: n1 , n2 , n3 ,…, 不难发现其前 4 项分别为 2,3,5,8. (1) {ni } 满足 ni +1 = ni + ni 1 ; (2)当 n = ni 时,乙总可取到最后一根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ≤ ni 1 ; (3)当 ni < n < ni +1 时,甲总可取到最后一根火柴,并且甲此时所取的火柴数目 ≤ ni . ……………………………………(10 分) 设 k = n ni ( i ≥ 4 ) ,注意到 ni 2 < 当1 ≤ k < 当 下面我们用数学归纳法证明:

ni < ni 1 . 2

ni 时,甲第一次时可取 k 根火柴,剩余 ni > 2k 根火柴,乙无法获胜. 2

ni ≤ k < ni 1 时, ni 2 < k < ni 1 ,根据归纳假设,甲可以取到第 k 根火柴,并且甲此时 2

所取的火柴数目 ≤ ni 2 ,剩余 ni > 2ni 2 根火柴,乙无法获胜. 当 k = ni 1 时,设甲第一次时取走 m 根火柴,若 m ≥ k ,则乙可取走所有剩小的火柴;若

m < k ,则根据归纳假设,乙总可以取到第 k 根火柴,并且乙此时所取的火柴数目 ≤ ni 2 ,剩
余 ni > 2ni 2 根火柴,甲无法获胜. 综上可知, ni +1 = ni + ni 1 . 因为 100 不在数列 {ni } ,所以当 n = 100 时,甲有获胜策略. …………(22 分)

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