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新课标高三数学理科综合测试题与参考答案(一)


2015 届高三理科数学综合测试题(一)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
2 1.设集合 M ? ? x | x ? 1? ,P ? x | x ? 1 则下列关系中正确的是

?

?





A. M ? P

B. P ? M

C. M ? P ? R

D. M ? P )

2. 已知向量 OA 和向量 OC 对应的复数分别为 3 ? 4i 和 2 ? i ,则向量 AC 对应的复数为( A. ?1 ? 5i B. 1 ? 5i C. 5 ? 3i D. ?5 ? 3i 3. 若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-4 B.4
2 2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2
C.-2 D.2





4.“ a ? 1 ”是“函数 y ? cos ax ? sin ax 的最小正周期为 ? ”的 ( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B =(



1 2 D 4 4 6.等比数列 ?an ? 前 n 项的积为 Tn ,若 a3a6 a18 是一个确定的常数,那么数列 T10 , T13 , T17 , T25 中也
A B

3 4

2 3

C

是常数的项是( A. T17

) B. T13

C . T10

D. T25

7.如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f (x)≥M(M 为常数) ,称 M 为 f (x)的下界,下界 M 中的最大值叫做 f(x)的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是( ) ① f ( x) ? sin x A.① ② f ( x) ? lg x B.④ ③ f ( x) ? e C.②③④
x

?1 ( x ? 0) ? ④ f ( x) ? ?0 ( x ? 0) ?? 1 ( x ? ?1) ?
D.①③④
? x 2 -x,x ? [0,1) 若 x ? [-4,-2] 时, |x-1.5| ,x ? [1,2) ?-(0.5)

8、定义域为 R 的函数 f (x) 满足 f (x +2)=2 f (x) ,当 x ?[0,2)时, f (x)= ?

t 1 ) f (x) ? - 恒成立,则实数 t 的取值范围是( 4 2t A.[-2,0) (0,l) B.[-2,0) [l,+∞) C.[-2,l] D.( -? ,-2] (0,l] 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,其中 9-13 为必做题,14-15 为选做题,共 30 分. )

9、数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 1 ,则 ?an ? 的通项公式 an ? _ 10.曲线 y ?

_.

1 3 x 在 x=1 处切线的倾斜角为 3
x



11. 函数 f ( x) ? xe ? a 有两个零点,则实数 a 的取值范围是____________ 12.已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ,以下程序框图 表示的是给定 x 值,求其相应函数值的 算法,请将该程度框图补充完整。其中 ①处应填 , ②处应填 。

1

13.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 为实常数,等号右边的运算是通常 意义的加,乘运算,现已知 1? 2 ? 3, 2*3 ? 4 ,且有一个非零实数 m ,使得对任意实数 x ,都有 。 x ? m ? x ,则 m ? (选做题,从下面的 2 道题中任选 1 道题作答,若 1 题都做,则按前 1 题计分) 14.直线 ?

? x ? t sin100 ? 3 ? y ? ?t cos10
0

?t是参数? 的倾斜角是
A

C F O D B

15.如图,圆 O 的割线 PBA 过圆心 O,弦 CD 交 PA 于点 F, 且△COF∽△PDF,PB = OA = 2,则 PF = 。

P

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题 12 分)已知 f (x)= a · b -1,其中向量 a =( 3 sin2x,cosx) , b =(1,2cosx) (x∈R) ⑴求 f (x)的单调递增区间; ⑵在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,f (A)=2,a= 3 ,b=3,求边长 c 的值。

17. (本题 12 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲.乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为 中将可以获得 2 分;方案乙的中奖率为

2 , 3

2 ,中将可以得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机 5

会,每次抽奖中将与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X ? 3 的概率; (2)若小明.小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计的得分的数学 期望较大?

2

1 3 a 2 x ? x ? bx ? c ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 3 2 (1)求 b, c 的值; (2)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ,且 g ( x) 在区间 (?2, ?1) 内存在单调递减区间,求实数 a 的取值范围。
18. (14 分)设函数 f ( x) ?

19.(本题 14 分) 如图,长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,AA 1 = 2 ,AB=1,AD= m ,E 为 BC 中点,且∠AEA 1 恰为二面角 A 1 -ED-A 的平面角. (1)求证:平面 A 1 DE⊥平面 A 1 AE; (2)求异面直线 A 1 E、CD 所成的角; (3)设△A 1 DE 的重心为 G,问是否存在实数 ? ,使得 AM = ? AD , B1 且 MG⊥平面 A 1 ED 同时成立?若存在,求出 ? 的值; 若不存在,说明理由. A B E C A1 C1 D1

D

3

20.( 14 分)设抛物线 C : x2 ? 2 py ? p ? 0? 的焦点为 F , A ? x0 , y0 ?? x0 ? 0? 是抛物线 C 上的一定点. (1)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 F ,且与 C 的对称轴垂直, l 与 C 交于 Q, R 两点, S 为 C 的准线上一 点,若 ?QRS 的面积为 4 ,求 p 的值; (2)过点 A 作倾斜角互补的两条直线 AM , AN ,与抛物线 C 的交点分别为 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? .若 直线 AM , AN 的斜率都存在,证明:直线 MN 的斜率等于抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A 1处 的切线的斜率.

21. (14 分)已知曲线 C: f ( x) ? x 2 , C上点A, An 的横坐标分别为 1 和 a n (n ? 1,2,3,?) ,且 a1=5, 数列{xn}满足 xn+1=tf(xn-1)+1(t>0),且( t ?

1 , t ? 1).设区间 D n ? [1, an ](an ? 1), 当 x ? Dn 时, 2

曲线 C 上存在点 Pn ( xn , f ( xn )),使得点 Pn 处的切线与直线 AAn 平行. (1)证明: {logt ( xn ? 1) ? 1} 是等比数列; (2)当 Dn?1 ? Dn 对一切 n ? N * 恒成立时,求 t 的取值范围; ≠ 1 (3)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,当 t ? 时,试比较 Sn 与 n+7 的大小,并证明你的结论.

4

4

参考答案: 一、选择题:1~5DABAB 6~8ADD 二、填空题:9. an ? 2n?1 三、解答题: 16:解:⑴f (x)= a · b -1=( 3 sin2x,cosx) · (1,2cosx)-1 = 3 sin2x+2cos x-1
2

10.

? 4

11.

12.x<3?;y=x-3

13.4

14.100 ;

O

15.3

????1 分 ????2 分 ????3 分 kπ -

= 3 sin2x+cos2x

? ) 6 ? ? ? 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + 得 2 6 2
=2sin(2x+

? ? ≤x≤kπ + 3 6
????6 分

? ? )=2 ∴sin(2A+ )=1 ????7 分 6 6 ? ? ? ∴2A+ = ∴A= ????9 分 6 2 6 2 2 2 2 2 由余弦定理得 a =b +c -2bccosA 3=9+c ―3 3 c 即 c ―3 3 c+6=0 ????11 分 (c-2 3 ) (c- 3 )=0 ∴c=2 3 或 c= 3 ????12 分 2 2 17.解:(Ⅰ)由已知得:小明中奖的概率为 ,小红中奖的概率为 ,两人中奖与否互不影响,记“这 2 人 3 5 的累计得分 X ? 3 ”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“ X ? 5 ”,
⑵f (A)=2sin(2A+

∴f (x)的递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k∈z) ? 3 6? ? ?

?

?

P( X ? 5) ?

2 2 4 11 ? ? ,? P( A) ? 1 ? P( X ? 5) ? 3 5 15 15

? 这两人的累计得分 X ? 3 的概率为

11 . 15

(Ⅱ)设小明.小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1 ,都选择方案乙抽奖中奖的次数为 X 2 ,则这两人 选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E (2 X 1 ) ,选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E (3 X 2 ) , 由

2 4 2 2 4 已知: X 1 ~ B(2, ) , X 2 ~ B(2, 2 ) ? E ( X 1 ) ? 2 ? ? , E ( X 2 ) ? 2 ? ? 5 5 3 3 3 5

8 12 ? E (2 X 1 ) ? 2 E ( X 1 ) ? , E (3 X 2 ) ? 3E ( X 2 ) ? 。 E (2 X 1 ) ? E (3 X 2 ) 3 5 ? 他们都在选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望最大.

5

19.解:如图建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0), A1 (0,0, 2 ), B(1,0,0) D(0, m,0), E (1, (1)? ?AEA 1 为二面角 A 1 -ED-A 的平面角.

m ,0) 2

? A1 E ? ED, AE ? ED

? A1 E ? AE ? E,? ED ? 面A AE

4分 ? ED ? 面A1 ED ,? 平面A1 ED ? 平面A1 AE m m m (2) A1 E ? (1, ,? 2 ), ED ? (?1, ,0), AE ? (1, ,0) 2 2 2 ? ?AEA 1 为二面角 A 1 -ED-A 的平面角.? AE ? ED ,即 AE ? ED ? 0 ? m ? 2 ,取 AD 中点 F,则 F (0,1,0)

EA1 ? (?1,?1, 2 ), EF ? (?1,0,0) ,? cos ? EA1 , EF ?? EA1 ? EF ? 1 EA1 ? EF 2
所以? ?A1 EF ? 60 ,即异面直线 A 1 E、CD 所成的角为 60
0
0

9分

(3)依题意 G( ,1,

2 ), AM ? ? ? AD,? M (0,2? , ,0) 3 假设存在 ? 满足题设条件,则 MG ? EA 1 ? 0 且 MG ? ED ? 0
? 1 2 ?0 ?? 1 ? ? (?1) ? (1 ? 2? ) ? 2 ? 3 3 即? ? ?? 1 ? 1 ? 1 ? (1 ? 2? ) ? 0 ? 2 ? 0 ? 3 3 ?

1 3

?? ?

1 3

14 分

p? p? ? ? p? 20 解: (1)由题设 F ? ? 0, ? ,设 Q ? x1 , ? , 则 R ? ? x1 , ? ????1 分 2? ? 2? ? ? 2?
QR ?
2 p p? ? x1 ? ? ? x1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2? ? 2

? 2 x12 ? 2 2 p ?

p ? 2p. 2

????2 分

6

1 ? 由 ?QRS 的面积为 4 ,得: ? 2 p ? p ? 4 ,得: p ? 2. ????4 分 2 (2)由题意 A ????5 分 1 ? ? x0 , y0 ?
首先求抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率. 解法一:设抛物线在 A1 处的切线的斜率为 k ,则其方程为

y ? k ? x ? x0 ? ? y0

????6 分 得 x2 ? 2 pkx ? 2 px0k ? 2 py0 ? 0

联立 ?

? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 ? 2 ? ? x ? 2 py
2

将 2 py0 ? x02 代入上式得: x2 ? 2 pkx ? 2 px0k ? x02 ? 0 ????7 分

? ? ? ?2 pk ? ? 4 ? 2 px0 k ? x0 2 ? ? 0

????8 分
2

即 p2k 2 ? 2 px0k ? x02 ? 0

即 ? pk ? x0 ? ? 0 得 k ? ?

x0 . p x0 . ????9 分 p

即抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率为 ? 解法二:由 x2 ? 2 py 得 y ?

1 2 x , 2p

????6 分 ????7 分

? y' ?

x p

? 抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 ? ?x0 , y0 ? 处的切线的斜率为 ?

x0 . p

????9 分

再求直线 MN 的斜率. 解法一:设直线 AM 的斜率为 k1 ,则由题意直线 AN 的斜率为 ? k1 .????10 分

直线 AM 的的方程为 y ? y0 ? k1 ? x ? x0 ? ,则直线 AN 的的方程为 y ? y0 ? ?k1 ? x ? x0 ? .

? x 2 ? 2 py ? 联立 ? 得 x2 ? 2 pk1x ? 2 pk1x0 ? x02 ? 0 ????(1) y ? k x ? x ? y ? 1? 0? 0 ?
方程(1)有两个根 x0 , x1 ,? ? ? ? ?2 pk1 ? ? 4 2 px0 k1 ? x0
2

????11 分

?

2

? ? 0? x

0,1

?

x0 ? x1 ? 2 pk1 ,即 x1 ? 2 pk1 ? x0 ,同理可得 x2 ? ?2 pk1 ? x0 ????12 分

2 pk1 ? ? 2

x2 2 x12 ? x y2 ? y1 2 p 2 p x1 ? x2 ?2 x0 ? ? ? 0 . ????13 分 直线 MN 的斜率 kMN ? ? ? 2p p x2 ? x1 x2 ? x1 2p ? 直线 MN 的斜率等于抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率.????14 分

k AM ? ?k AN y ?y y ? y2 ? 0 1 ?? 0 x0 ? x1 x0 ? x2
解法二:

???10 分 ????11 分

7

x0 2 x12 x0 2 x2 2 ? ? x0 x x2 2p 2p 2p 2p 将 y0 ? 分别代入上式得: , , y1 ? , y2 ? ?? 2p 2p 2p x0 ? x1 x0 ? x2 整理得 2 x0 ? x1 ? x2 . ????12 分
2 2 1 2

x2 2 x12 ? x y2 ? y1 2 p 2 p x1 ? x2 ?2 x0 ? ? ? 0 . ????13 分 ? ? ? 直线 MN 的斜率 kMN ? 2p p x2 ? x1 x2 ? x1 2p ? 直线 MN 的斜率等于抛物线 C 在点 A 关于对称轴的对称点 A1 处的切线的斜率. ???14 分
21.解(Ⅰ)∵由曲线在点 Pn 的切线与直线 AAn 平行,
2 an ?1 a ?1 ∴ 2 xn ? ,即xn ? n . 由 xn?1 ? tf ( xn ? 1) ? 1, 得xn?1 ? 1 ? t ( xn ? 1) 2 ∴ an ? 1 2 logt ( xn?1 ? 1) ? 1 ? 2 logt ( xn ? 1), 即 logt ( xn?1 ? 1) ? 1 ? 2[logt ( xn ? 1) ? 1]. ∴ {logt ( xn ? 1) ? 1} 是首项为 logt 2+1 为首项,公比为 2 的等比数列. ??4 分 n-1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 logt ( xn ? 1) ? 1 =( logt 2+1) ·2 , 1 2 n ?1 ∴ x n ? 1 ? (2t ) t 2 2n 2 n ?1 2 n ?1 从而 an=2xn-1=1+ ( 2t ) 由 Dn+1 ? Dn,得 an+1<an,即(2t) <(2t) . t ≠ 1 ∴0<2t<1,即 0<t< . ??8 分 2 1 1 2 n ?1 1 1 1 1 n ?1 . ∴ S n ? n ? 8[ ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? ? ? ( ) 2 ] (Ⅲ)当 t ? 时, a n ? 1 ? 8( ) 2 2 2 2 2 4

不难证明:当 n≤3 时,2 ≤n+1;当 n≥4 时,2 >n+1.

n-1

n-1

1 1 2 1 13 ? ( ) ? ( ) 4 ] ? n ? ? n ? 7; 2 2 2 2 1 1 2 1 4 1 5 1 6 1 n ?1 当 n≥4 时, S n ? n ? 8[ ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ( ) ] 2 2 2 2 2 2 1 ? n ? 7 ? ( ) n ? 2 ? n ? 7. 2 综上所述,对任意的 n ? N*,都有S n ? n ? 7. ??14 分
∴当 n≤3 时, S n ? n ? 8[

8


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