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【广东省某重点中学2013届高三数学理二轮复习之概率统计专题一 ]


2013 届高三二轮复习 概率统计专题一 2013-3-28 温馨提示: (1)本专题重点是区分超几何分布与二项分布; (2)高考要求及本节课目标:理解超几何分布于二项分布,并会区分两种分布以及会应用 基础知识整理: 1、超几何分布 一般地,在含由 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰由 X 件次品 数, 则事件 { X ? k} 发生的概率为 P( X ? k )

?
k n?k CM CN ?M n CN
*

, k ? 0,1,2, m ,

其中 m ? {M , n}, 且n ? N , M ? N ,n,M,N ? N , 则称 X 的分布为超几何分布,称随机变量 X 服从超几何分布 2、二项分布——如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生 k 次的概率是 P( X ? k ) ? _________________,

k ? 0,1, 2,..., n
? ?
n

其中 k=0,1,?,n,q=1-p,于是得到随机变量ξ 的概率分布如下:
ξ P
0

0 Cn p q
0 n

1 Cn p q
1
1 n-1

? ?
k

k Cn p q
k n-k

n Cn p q
n 0

我们称这样的随机变量ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p) ,其中 n、p 为参数, 注:若 ξ~B(n,p) ,则 Eξ=_________, D? =________________ 3、超几何分布和二项分布的区别: ①本质区别:二项分布是独立重复试验,每一次发生的概率都一样,而超几何分布则会改 变 如常见两种模型:有放回和无放回抽取 (注解: 有放回抽样时, 每次抽取时的总体没有改变, 因而每次抽到某物的概率都是相同的, 可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽样时,当总体容量 比较小时,从中取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此 种抽样为超几何分布模型) ②透过现象看本质:在统计中的区别 (1)超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要; (2)当总体的容量非常大时,采用二项分布; 注解:当总体样本非常大时,虽说取出一个少一个,但对于总体的影响小之又小,故 可以看做对概率没有影响,所以采用二项分布 (3)如果用样本的频率估计为总体的概率,一般采用二项分布 解答题解题过程特别注意: 明确什么是样本,什么是总体,也就是分清楚来源。 基础自测

1、100 个乒乓球中,有 5 个是不合格的,从中抽取 10 个,用 X 表示次品数, 则 P ? X ? 2? =____________________ (只用列式不用计算) 2、小王通过英语听力测试的概率是

1 ,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概 3

是_______________

二、解答训练 1、袋中有 8 个白球、2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球. 求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.

Ks5u

2、 (2010 广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 的 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为 (490,495] , (495,500],??,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4

(1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品, 求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。

3、沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收 获时,该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg) ,获得 的所有数据按照区间 40, 45 ? ? , 50,55? ? , 55, 60 ? ? 进行分组,得到频率分布 ? , 45,50 ? 直方图如图 3.已知样本中产量在区间 45, 50 ? ? 上的果树株数是产量在区间 50, 60 ? ? 上的

?

?

?

?

?

?

果树株数的

4 倍. 3

(1)求 a , b 的值; (2)从样本中产量在区间 50,60 ? ? 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 55,60 ? ? 上的果树至少有一株被抽中的概率. (3)若在这片土地的所有砂糖桔上任取 3 株,求产量在区间 50,60 ? ? 上的果树株 数 ? 的分布列和数学期望
a

?

?

频率 组距

?

0.06 b 0.02 O 40 45 图3 50 55 60 产量/kg

2013 届高三二轮复习 概率统计专题一 2013-3-28 1、袋中有 8 个白球、2 个黑球,从中随机地连续抽取 3 次,每次取 1 个球.求: (1)有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列; (2)不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列. 解: (1)有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3. ? 1? 又由于每次取到黑球的概率均为,3 次取球可以看成 3 次独立重复试验,则 X ~ B ? 3, ? . ? 5?
64 ?4? 0 ?1? ∴ P( X ? 0) ? C3 ; ? ? ?? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125
0 3

48 ?4? 1?1? P( X ? 1) ? C3 ; ? ? ?? ? ? ? 5 ? ? 5 ? 125

1

2

12 ?1? ? 4? P( X ? 2) ? C32 ? ? ? ? ? ? ; 5 5 125 ? ? ? ?

2

1

1 ?4? 3?1? P( X ? 3) ? C3 . ? ? ?? ? ? 5 5 125 ? ? ? ?

3

0

因此, X 的分布列为

X P

0

1

2

3

64 125

48 125

12 125

1 125

2.不放回抽样时,取到的黑球数Y可能的取值为0,1,2,且有:
P(Y ? 0) ?
0 3 C2 C8 C 1C 2 7 C 2 C1 1 7 ? ; P(Y ? 1) ? 2 3 8 ? ; P(Y ? 2) ? 2 3 8 ? . 3 C10 15 C10 15 C10 15

因此, Y 的分布列为

Y P

0

1

2

7 15

7 15

1 15

辨析:通过此例可以看出:有放回抽样时,每次抽取时的总体没有改变,因而每次抽到 某物的概率都是相同的,可以看成是独立重复试验,此种抽样是二项分布模型.而不放回抽 样时,取出一个则总体中就少一个,因此每次取到某物的概率是不同的,此种抽样为超几何 分布模型. 因此, 二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放 回抽样.所以,在解有关二项分布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目条件是非常重 要的. 超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别: 超几何分布需要知道总体的容量,而二项分布不需要;Ks5u

超几何分布是不放回抽取,而二项分布是放回抽取(独立重复) 当总体的容量非常大时,超几何分布近似于二项分布.........

2、 (2010 广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上 的 40 件产品作为样 本称出它们的 重量(单位:克 ) ,重量的分组区间为 (490,495] , (495,500],??,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 (4)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (5)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量,求 Y 的分布列; (6)从该流水线上任取 5 件产品, 求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。

解: (1)所抽取的 40 件样本中,超过 505 克的食品件数为 40 ? 0.3 ? 12 (2)记“重量超过 505 克的产品数量”为 X,则 X 的可能取值为 0,1,2

P? X ? 0 ? ?
则 X 的分布列为 X P

2 1 1 2 C28 C28 C12 C12 63 28 11 , , ? ? ? ? ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? 2 2 2 65 C40 1 3 0 C40 C40 130

0

1

2

63 130 28 11 39 3 ? ? ? 则 X 的期望为 EX ? 0 ? 65 65 65 5
品数量”为 ? ,则 ? ~ B?5,0.3?

28 65

11 130

(3) 若用样本的频率作为总体的概率,记“从流水线上任取 5 件产品中重量超过 505 克的产

? ” 恰 有

2

件 产 品 的 重 量 超 过
2 3

505

克 的 概 率 ” 为

2 P?? ? 2? ? C5 ? ?0.3? ? ?1 ? 0.3? ? 0.3087

3、沙糖桔是柑桔类的名优品种,因其味甜如砂糖故名.某果农选取一片山地种植沙糖桔,收 获时,该果农随机选取果树 20 株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位:kg) ,获得 的所有数据按照区间 40, 45 ? ? , 50,55? ? , 55, 60 ? ? 进行分组,得到频率分布 ? , 45,50 ? 直方图如图 3.已知样本中产量在区间 45, 50 ? ? 上的果树株数是产量在区间 50, 60 ? ? 上的 果树株数的

?

?

?

?

?

?

4 倍. 3

(1)求 a , b 的值; (2)从样本中产量在区间 50,60 ? ? 上的果树随机抽取两株,求产量在区间 55,60 ? ?

?

?

上的果树至少有一株被抽中的概率. (3)若在这片土地的所有砂糖桔上任取 3 株,求产量在区间 50,60 ? ? 上的果树株 数 ? 的分布列和数学期望
a

频率 组距

?

0.06 b 0.02 O 40 45 图3 50 55 60 产量/kg

(1)解:样本中产量在区间 45, 50 ? ,????1 分 ? 上的果树有 a ? 5 ? 20 ? 100a (株) 样本中产量在区间 ? 50, 60 ? (株) , ? 上的果树有 ? b ? 0.02 ? ? 5 ? 20 ? 100 ? b ? 0.02 ? ?????2 分 依题意,有 100a ?

?

4 4 ? 100 ? b ? 0.02 ? ,即 a ? ? b ? 0.02 ? .①????3 分 3 3

根据频率分布直方图可知 0.02 ? b ? 0.06 ? a ? 5 ? 1 , 解①②得: a ? 0.08,b ? 0.04 .

?

?

② ????4 分 ?????6 分

(2)解:样本中产量在区间 50,55 ? ? 上的果树有 0.04 ? 5 ? 20 ? 4 株, 产量在区间 55,60 ? ? 上的果树有 0.02 ? 5 ? 20 ? 2 株,

?

?

记“从样本中产量在区间 50,60 ? ? 上的果树随机抽取两株,产量在区间 55,60 ? ?上 的 果树至少有一株被抽中”为事件 M ,
2 C4 3 则 P ? M ? ? 1? 2 ? C6 5

?

?

(3)由样本知产量在区间 50,60 ? ? 上的果树频率为 ?0.02 ? 0.04? ? 5 ? 0.3 依样本估计总体,则 ? ~ B?3,0.3?
k 则 ? 的分布列为 P?? ? k ? ? C3 ?0.3? ?0.7? k 3?k

?

, ?k ? 0,1,2,3?

所以 ? 的分布列为:

Ks5u

? 数学期望 E? ? 3 ? 0.3 ? 1


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