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河北省清河县清河中学高三数学《排列与组合》课件


高三总复习

人教A版 · 数学(理)

第二节 排列与组合

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1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.

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数学(理)

1.排列. 从n个不同元素中,任取m个元素(m≤n,被 (1)排列: 取出的元素互不相同),按照一定的顺序排成一列 , 叫 做 从 n 个 不同元素中取出m个元素的一个排列.

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(2)排列数:从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)的所有排列

的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Anm
表示Anm= n(n-1)(n-2)……(n-m+1).

自然数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示,规定 0!=1, 排列数公式可以写成 Anm= n! , m=n 时, 个不同元素全部取 当 n ?n-m?!

出的一个排列,叫做 n 个不同元素的全排列,全排列数公式为:Ann= n!

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2.组合.

(1)组合:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

(2)组合数:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合
的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 Cnm

表示.

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组合数公式为
Anm n?n-1??n-2???n-m+1? Cnm=A m= m! m 这里,m、n∈N*,并且 m≤n,组合数公式还可以写成 n! Cn = ,且规定 Cn0= 1. m!?n-m?!
m

(3)组合数的性质: ①Cn = ② Cn+1
m
m

Cnn-m




=Cnm+Cnm 1.

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1.从4台甲型与5台乙型电视机中任选出3台,其中至少有 甲、乙型电视机各一台,则不同的取法共有( A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 解析:从4台甲型机中选2台,5台乙型机中选1台或从4台甲型 机中选1台,5台乙型机中选2台,有C42C51+C41C52=70种选法. 答案:C )

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2.2008年9月25日晚上4点30分,“神舟七号”载人飞船发射

升空,某校全体师生集体观看了电视实况转播,观看后组织全体
学生进行关于“神舟七号”的论文评选,若三年级文科共4个班,

每班评出2篇优秀论文(其中男女生各1篇)依次排成一列进行展览,
若规定男女生所写论文分别放在一起,则不同的展览顺序有( A.576种 C.720种 B.1152种 D.1440种 )

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解析:女生论文有A44 种展览顺序,男生论文也有A44 种展览

顺序,男生与女生论文可以交换顺序,有A22种方法,故总的展览
顺序有A44A44A22=1152种.

答案:B

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3.高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节

目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同
排法的种数是( )

A.1800
C.4320

B.3600
D.5040

解析:A55A62=120×30=3600. 答案:B

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4.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡镇至少一

名,则不同的分配方案有________种(用数字作答).
解析:依题意得满足题意的分配方案共有C31·C42·A22 =36 种.(注:其中C31表示从3个乡镇中任选定1个乡镇,且让其中某2 名大学生去的方法数;C42表示从4名大学生中任选2名到前一步所

选定的乡镇去的方法数;A22表示将剩下的2名大学生分配到另两个
乡镇去的方法数) 答案:36

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5.参加海地地震救援的中国救援队一小组共有8人,其中男 同志5人,女同志3人.现从这8人中选出3人参加灾后防疫工作,

要求在选出的3人中男、女同志都有,则不同的选法共有________
种.(用数字作答)

解析:从3名女同志和5名男同志中选出3人,分别参加灾后防
疫工作,若这3人中男、女同志都有,则从全部方案中减去只选派

女同志的方案数,再减去只选派男同志的方案数,合理的选派方
案共有C83-C33-C53=45. 答案:45

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热点之一

排列数、组合数公式的应用

1.排列数公式:右边第一个因数为 n,后面每个因数都比它前面 那个因数少 1,最后一个因数是 n-m+1,共 m 个因数.公式 Anm= n! 主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证. ?n-m?! 2.组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种,与排列数公式的应用 一样,前者多用于数字计算,后者多用于对含有字母的组合数的式子进 n! 行变形和论证. 还应注意组合数公式的逆用, 即用 写出 Cnm. m!?n-m?!

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[例1]

(1)解不等式:A9x>6A6x-2;

9! 6! [课堂记录] (1)原不等式化为 >6× . ?9-x?! ?6-x+2?! 9! 6! >6× ?x>-75. ?9-x??8-x?! ?8-x?!

?x-2≥0, ? 又?x≤9, 得 2≤x≤8,又 x 为整数, ?6≥x-2, ?

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原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7,8}.

(2)原方程可化为x2-x=5x-5或x2-x=16-(5x-5),
即x2-6x+5=0或x2+4x-21=0.

解得x=1,x=5或x=-7,x=3,
经检验x=5和x=-7不合题意,

故原方程的根为1,3.
[思维拓展] 排列数、组合数公式中的上标是自然数,下标是

正整数,且上标不大于下标,解题时要注意这些约束条件.

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即时训练

m+1 m+1 m 证明:(1)Cn = Cn ; n-m

(2)kCnk=nCn-1k-1. m+1 m+1 m+1 n! 解:( 1 ) C = · = n-m n n-m ?m+1?!?n-m-1?!
n! =Cnm. m!?n-m?! 所 原成 . 以 式立 2 ) ( kCnk=k n! = k!?n-k?!

?n-1?! n =nCn-1k-1. ?k-1?![?n-1?-?k-1?]!

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热点之二

排列应用题

求排列应用题的主要方法有:
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算. 2.特殊元素(或位置)优先安排的方法.即先排特殊元素或特 殊位置. 3.排列、组合混合问题先选后排的方法.

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4.相邻问题捆绑处理的方法.即可以把相邻元素看作一个整 体参与其他元素排列,同时注意捆绑元素的内部排列. 5.不相邻问题插空处理的方法.即先考虑不受限制的元素的 排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中.

6.分排问题直排处理的方法.
7.“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法. 8.定序问题除法处理的方法.即可以先不考虑顺序限制,排 列后再除以定序元素的全排列.

9.正难则反,等价转化的方法.

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[例2] 7名师生站成一排照相留念,其中老师1人,男生4人,

女生2人,在下列情况下各有多少种不同站法?
(1)2名女生必须相邻而站.

(2)4名男生互不相邻.
(3)若4名男生身高各不相等,按从高到低的一种顺序站. (4)老师不站中间,女生不站两端.

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[课堂记录]

(1)2名女生站在一起有站法A22种,将2名女生视

为一个元素与其他5人全排列,有A66 种排法,所以共有不同站法
A22A66=1440(种).

(2)老师和女生先站,有站法A33种,再在老师和女生站位的间
隔(含两端)处插入男生,每空1人有插入方法A44种.所以共有不同

站法A33×A44=144(种).

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7 3 ) (

人排中 全 列,

4 名生 考 身 的 法 男不 虑高站 有

A44 种 而 高 , 由到 A77 2× 4= A4

低 从到 或右左种 同站, 共不 站 有 左 右 从 到两 不 的 法 以有 同 法 所 420(种).

(4)中间和两端是特殊位置,应优先考虑,可分类求解:(1)老师站 两侧之一,另一侧由男生站,有 A21A41A55 种站法;(2)两侧全由男生站, 老师站除两端和正中间外的 4 个位置之一,有 A42A41A44 种站法.所以 不同的站法共有 A21A41A55+A42A41A44=2112(种).

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[思维拓展]

(1)相邻问题“捆绑法”;(2)不相邻问题“插空

法”;(3)定序问题“相除法”;(4)特殊位置、特殊元素“优先
法”.

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即时训练 (1)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师 从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不 同调整方法总数是( )

A.C82A32 B.C82A66 C.C82A62 D.C82A52
(2)在数字7,8,9与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列 中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( A.6 B.12 C.18 D.24 )

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解析:(1)从后排8人中选2人有C82种,这2人插入前排4人中且 前排人的顺序不变,则先从4人中的5个空位插一人有5种;余下的 一人则要插入前排5人的空档有6种,故为A62.∴所求总数为C82A62. (2)在数字7,8,9与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列 中,先排“+”,“-”两个符号,有A22 =2种方法;“+”, “-”这两个符号排好后就产生三个空位,再将7,8,9插入这三个

空位中,有A33=6(种)排法,共有A33·A22=12(种)方法.
答案:(1)C (2)B

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热点之三

组合应用题

组合问题常有以下两类题型: 1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则 先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些 元素剔除,再从剩下的元素中去选取. 2.“至少”或“最多”含有几个元素的题型:解这类题必须

十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与
漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂 时,考虑逆向思维,用间接法处理.

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[例3]

在7名男生5名女生中选取5人,分别求符合下列条件的

选法总数有多少种?
(1)A,B必须当选;

(2)A,B必不当选;
(3)A,B不全当选; (4)至少有2名女生当选;

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(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同

的工作,但体育委员必须由男生担任,班长必须由女生担任.
[课堂记录] (1)由于A,B必须当选,那么从剩下的10人中选

取3人即可,∴有C103=120种.
(2)从除去的A,B两人的10人中选5人即可,

∴有C105=252种.
(3)全部选法有C125种,

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A,B全当选有C103种,
故A,B不全当选有C125-C103=672种.

(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女
生,故可用间接法进行, ∴有C125-C51·C74-C75=596种选法. (5)分三步进行: 第一步:选1男1女分别担任两个职务为C71·C51;

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第 二步:选2男1女补足5人有C62·C41种;
第三步:为这3人安排工作有A33.

由分步乘法计数原理共有
C71·C51·C62·C41·A33=12600种选法. [思维拓展] 在解组合问题时,常遇到至多、至少问题,此时

可考虑用间接法求解以减少运算量,如果同一个问题涉及排列组 合问题应注意先选后排的原则.

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即时训练 从10名大学毕业生中选3人担任村长助 ?2009· 湖南高考?

理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为
( )

A.85 B.56 C.49 D.28
解析:由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只有一人入 选,选法有C21·C72=42;另一类是甲、乙都入选,选法有C22·C71 =7.所以共有42+7=49(种)选法,故选C.

答案:C

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热点之四

排列、组合的综合应用

解排列、组合的综合应用问题,要按照“先选后排”的原 则进行,即一般是先将符合要求的元素取出(组合),再对取出的元 素进行排列,常用的分析方法有:元素分析法、位置分析法、图 形分析法.要根据实际问题探索分类分步的技巧,做到层次清 楚,条理分明.

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[例4]

7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益

活动.若每天安排3人,则不同的安排方法共有________种(用数字 作答).

[课堂记录] 法一: 先从 7 人中任取 6 人, 共有 C76 种不同的取法. 再 C63C33 把 6 人分成两部分,每部分 3 人,共有 A 2 种分法.最后排在周六和 2 周日两天,有 A22 种排法, C63C33 ∴C76× A 2 ×A22=140 种. 2

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法二:先从7人中选取3人排在周六,共有C73种排法.再从剩

余4人中选取3人排在周日,共有C43种排法,∴共有C73×C43=140
种.故填140种.

[思维拓展]

在本例解法一中利用平均分组,而分组后再排列

最容易出现重复,因此应用平均分组法时一定要将重复的情况去

掉.解法二中利用了组合知识,更简单,注意题意的理解与方法
选择.

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即时训练

将数字1,2,3,4,5,6拼写一列,记第i个数为ai(i=

1,2,…,6),若a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5,则不同的排列方法 有________种.(用数字作答) 解析:分两步:①因a1≠1,a3≠3,a5≠5,a1<a3<a5 ,故先排 a1,a3,a5共有5种;②再排a2,a4,a6共有A33种.故不同的排列方 法种数为5×A33=30.

答案:30

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排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一.从近三年
的高考试题统计分析来看,对排列与组合知识的考查均以应用题

的形式出现,题型为选择题、填空题,题量多是一道,分值为4~
5分,难度属于中档题.内容以考查排列组合的基础知识、基本能

力为主.题目难度与课本习题难度相当,但也有个别题目难度较
大,重点考查分析问题、解决问题的能力及分类讨论的数学思想 方法.

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[例5]

(1)(2010·山东高考)某台小型晚会由6个节目组成,演

出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第

一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排
方案共有( )

A.36种
C.48种

B.42种
D.54种

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(2)(2010·北京高考)8名学生和2位老师站成一排合影,2位老
师不相邻的排法种数为( )

A.A88A92 B.A88C92
C.A88A72 D.A88C72 [解析] (1)若乙排在第二位,则有A33种方案;若乙不排在第

二位,则乙只能排在第三、四、五位,此时共有A31A21A33种方 案,故共有A33+A31A21A33=42(种).

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(2)运用插空法,8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙),先

把老师排在9个空隙中,有A92种排法,再把8名学生排列,有A88种
排法,共有A88·A92种排法.

[答案]

(1)B

(2)A

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1.(2010·湖南高考)在某种信息传输过程中,用4个数字的一
排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所

用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同
的信息个数为( )

A.10 B.11

C.12 D.15

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解析:分类讨论:分有两个对应位置、有一个对应位置及没

有对应位置上的数字相同,可得N=11.
答案:B

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2.(2009·浙江高考)甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,

若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不
同的站法种数是________(用数字作答).

解析:分两类:每级台阶上一人共有A73种站法;
一级二人,一级一人,共有C32·A72种站法,

故共有A73+C32·A72=336(种).
答案:336

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