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2016届高三文科数学函数(2)


2016 届超越高三周末作业文科数学(2)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

一选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
1.函数 f(x)= A. (﹣∞,0]
x

的定义域为( B. (﹣∞,0)
2

) D. (﹣∞, )

>C. (0, )

2.指数函数 y=( ) 与二次函数 y=ax +2bx(a∈R,b∈R)在同一坐标系中的图象可能的是 ( )

A. 3.已知函数 f ( x) ? ? A. (??, 0]

B.

C.

D. )

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ,若 | f ( x) |? kx ,则 k 的取值范围是( ? ln( x ? 1), x ? 0
C. [?2,1] D. [?2, 0] ) D. c ? a ? b

B. (??,1]

1.1 3.1 4.设 a ? log3 7 , b ? 2 , c ? 0.8 ,则(

A. b ? a ? c

B. a ? c ? b

C. c ? b ? a

? ?5 sin x , 0 ? x ? 2 ? ?4 4 5.已知函数 y ? f ( x) 是定义域为 R 的偶函数. 当 x ? 0 时, f ( x) ? ? , 1 ? ( )x ? 1 , x ? 2 ? ? 2
若关于 x 的方程 [ f ( x)]2 ? af ( x) ? b ? 0( a, b ? R ) ,有且仅有 6 个不同实数根,则实数 a 的取 值范围是( )

5 9 9 A. (? , ? ) ? (? , ?1) 2 4 4
3 2

5 9 B. (? , ? ) 2 4

5 C. (? , ?1) 2

9 D. ( ? , -1) 4

6.函数 f ? x ? ? ax ? 3x ?1 ,若 f ? x ? 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 ? 0 ,则 a 的取值范围为 A. ? 2, ??? B. ? ??, ?2? C. ?1, ?? ? D. ? ??, ?1?

7.已知函数f(x﹣1)是定义在R上的奇函数,若对于任意两个实数x1≠x2,不等式

恒成立,则不等式f(x+3)<0 的解集为( ) A. (﹣∞,﹣3) B. (4,+∞) C. (﹣∞,1) D. (﹣∞,﹣4) 8.设函数 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的 x∈[a,b], 都有|f(x)﹣g(x)|≤1,则称 f(x)与 g(x)在[a,b]上是“密切函数”,区间[a,b] 称为“密切区间”,设函数 f(x)=lnx 与 g(x)= 实数 m 的取值范围是( ) 在[ ,e]上是“密切函数”,则

A. [e﹣1,2] B. [e﹣2,2] C. [ ﹣e,1+e] D. [1﹣e,1+e]

第Ⅱ卷(非选择题共 60 分)
二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
9.已知函数 f ( x ) 满足:x ? 4,则 f ( x) ? 2 x ;当 x<4 时 f ( x ) = f ( x ? 1) ,则

f (2 ? log 1 3) ?
2
x+1

. .

10.函数 f(x)=2a ﹣3(a>0 且 a≠1)的图象经过的定点坐标是
2 11. 函数 f ? x ? ? log 2 4 ? x 的值域为_______.

?

?

12.下图展示了一个由区间 ? 0,1? 到实数集 R 的映射过程:区间 ? 0,1? 中的实数 m 对应数轴 上的点 ? ,如图 1 ;将线段 ?? 围成一个圆,使两端点 ? 、 ? 恰好重合,如图 2 ;再将这 个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在 y 轴上,点 ? 的坐标为 ? 0,1? ,如图 3 .图 3 中直 线 ?? 与 x 轴交于点 ? ? n,0? ,则 m 的象就是 n ,记作 f ? m? ? n .

?1? 方程 f ? x? ? 0 的解是
? 2 ? 下列说法中正确命题的序号是
?1? ?4?

; . (填出所有正确命题的序号)

① f ? ? ? 1 ;② f ? x ? 是奇函数;③ f ? x ? 在定义域上单调递增;④ f ? x ? 的图象关于点

?2 ? ?1 ? ? , 0 ? 对称;⑤ f ? x ? ? 3 的解集是 ? ,1? . ?3 ? ?2 ?

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9. .10. .11. .12. ?1? . ? 2? .

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分.
13.(本小题满分 13 分)已知函数 y ? f ? x ? 定义在 R 上,对任意实数

x, y, f ( x ? y) ? f ? x ? ? f ? y ? 恒成立,且当 x ? 0 时,有 0 ? f ? x ? ? 1
(1)判断函数 f ? x ? 的单调性; (2)求不等式 f ( x ? 1) f ( ) ? 1 的解集。

1 x

14.(本小题 13 分)已知函数 f ? x ? ? x2 ? ? a ? 4? x ? 3 ? a . (I)若 f ? x ? 在区间 ?0,1? 上不单调,求 a 的取值范围; (II)若对于任意的 a ? (0, 4) ,存在 x0 ? ?0,2? ,使得 f ? x0 ? ? t ,求 t 的取值范围.

15.(本题满分 14 分)已知函数

f ( x) ? x2 ? a ln x ? 1(a ? R)

( I)判断函数 f(x)的单调性;(Ⅱ)若对于任意的 不等式

x ? ?1, e? ,任意的 a ? ? ?2, ?1? ,

ma ?

1 f ( x) ? a 2 成立,求实数 m 的取值范同. 2

试卷答案
1.A

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数 f(x)的解析式,列出不等式,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)= ∴lg(1﹣2x)≥0, 即 1﹣2x≥1, 解得 x≤0; ∴f(x)的定义域为(﹣∞,0]. 故选:A. 点评:本题考查了根据函数的解析式,求函数定义域的问题,是基础题目. 2.C ,

考点:函数的图象;二次函数的性质. 分析:根据二次函数的对称轴首先排除 B 选项,再根据 与 1 关系,结合二次函数和指数函 数的性质逐个检验即可得出答案 解答: 解:根据指数函数的解析式为 y=( ) ,∴ >0, ∴﹣ <0, 故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ 位于 y 轴的左侧,故排除 B. 对于选项 A, 由二次函数的图象可得 a>0, 故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ >﹣1, ∴ <1,则指数函数应该单调递减,故 A 不正确. 对于选项 C, 由二次函数的图象可得 a<0, 故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ <﹣1, ∴ >1,则指数函数应该单调递增,故 C 正确. 对于选项 C, 由二次函数的图象可得 a>0, 故二次函数 y=ax +bx 的对称轴 x=﹣ <﹣1, ∴ >1,则指数函数应该单调递增,故 D 不正确
2 2 2 2 x

故选:C 点评: 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系, 根据指数函数图象确 定出 a、b 的正负情况是求解的关键,属于基础题 3.D

4.D

5.A

6.B

7.D

【考点】 : 函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用.

【分析】 : 对于任意两个实数x1≠x2,不等式

恒成立,可得函数f

(x)在R上单调递增.由函数f(x﹣1)是定义在R上的奇函数,可得f(﹣1)=0,即可解出.

解:∵对于任意两个实数x1≠x2,不等式 ∴函数f(x)在R上单调递增. ∵函数f(x﹣1)是定义在R上的奇函数, ∴f(﹣1)=0, ∴不等式f(x+3)<0=f(﹣1)化为x+3<﹣1, 解得x<﹣4, ∴不等式的解集为: (﹣∞,﹣4) . 故选:D.

恒成立,

【点评】 : 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力,属于中档题. 8.B

【考点】 : 函数的最值及其几何意义. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 由题意知|lnx+ ﹣m|≤1,变形得 m﹣1≤lnx+ ≤m+1,令 h(x)=lnx+ ( ) ,则问题转化为函数 h(x)的值在[m﹣1,m+1],对函数 h(x)求导即可得 h

(x)在[ ,e]上的最值情况,对比后即可答案. 解:∵函数 f(x)=lnx 与 g(x)= 在[ ,e]上是“密切函数”,

∴对任意的 x∈[a,b],都有|f(x)﹣g(x)|≤1, 即|lnx+ ﹣m|≤1,从而 m﹣1≤lnx+ ≤m+1,

令 h(x)=lnx+



) ,则 h′(x)=

=



从而当 x>1 时,h′(x)>0;当 x<1 时,h′(x)<0; 当 x=1 时,h(x)取极小值,也就是最小值, 故 h(x)在[ ,e]上的最小值为 1,最大值为 e﹣1, 所以 m﹣1≤1 且 m+1≥e﹣1, 从而 e﹣2≤m≤2, 故选:B. 【点评】 : 本题考查新定义函数,其本质仍是通过变形,求导讨论函数的单调性,属于中档 题. 9.

64 3

10.(﹣1,﹣1)

【考点】 : 指数函数的单调性与特殊点. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 利用 a =1(a≠0) ,取 x=﹣1,得 f(﹣1)的值,即可求函数 f(x)的图象所过 的定点. 解:当 x=﹣1 时,f(﹣1)=2a
1﹣1 0

﹣3=﹣1,

∴函数 f(x)=2a ﹣3 的图象一定经过定点(﹣1,﹣1) . 故答案为: (﹣1,﹣1) 【点评】 : 本题考查了含有参数的函数过定点的问题, 自变量的取值使函数值不含参数即可 求出其定点. 11. ? ??, 2?

x+1

12.

13.

14.(I)2<a<4(II) t ? 1 【知识点】单元综合 B14 (I)解: 0 ? ? (II)解法 1: (i)当 0 ?

a?4 ? 1 ? 2 ? a ? 4 ??5 分 2

4?a ? 1 时,即 2 ? a ? 4 时, 2

? 4?a ? f? ? ? f ? x ? ? f ? 2? ? 2 ?
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ? 2? ? a ?1 ? a ?1 , f ? ? ?? 4 4 ? 2 ?
2 ? 4 ? a ? ? a ? 8a ? 8 ? ? a ? 4 ? ? 8 f ? 2? ? f ? ? ?0 ?? 4 4 ? 2 ? 2

所以 | f ? x ? |max ? a ?1 ?????????????????9 分

(ii)当 1 ?

4?a ? 2 时,即 0 ? a ? 2 时, 2
2

2 ? 4 ? a ? ? a ? 4a ? 4 ? a ? 2 ? f ?0? ? 3 ? a ? 3 ? a , f ? ? ? ? 4 4 ? 2 ?

? 4?a ? 8?a f ? 0? ? f ? ? 0 , | f ? x ? |max ? 3 ? a , ??13 分 ?? 4 ? 2 ?
2

综上, | f ? x ? |max ? ?

?a ? 1, 2 ? a ? 4 , ?3 ? a , 0 ? a ? 2
??????????????15 分
2

故 | f ? x ? |max ? 1 ,所以 t ? 1

解法 2:解法 2: | f ? x ? |? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?

? ? x ? 1? ? ? a ? 2 ?? x ? 1?
2

???????????9 分

? 1? a ? 2

??????????????????13 分

等号当且仅当 x ? 0 或 2 时成立, 又 1? a ? 2

?

?

min

? 1 ,所以 t ? 1

???????15 分

解法 3: | f ? x ? |? ? ?? x ? 1? ? ? a ? 2 ? ? ? ? x ? 1? ? x ? 1 x ? a ? 3 ??9 分

Q x0 ?1 ? 1 , x0 ? a ? 3 ? max ? a ? 1 , 3 ? a ?

?????13 分

且上述两个不等式的等号均为 x ? 0 或 2 时取到,故

?a ? 1, 2 ? a ? 4 | f ? x ? |max ? ? ?3 ? a , 0 ? a ? 2

故 | f ? x ? |max ? 1,所以 t ? 1 ??15 分

【思路点拨】根据函数的单调性求出 a 的范围,讨论 a 的范围求出最大值求出 t 的范围。 15.


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