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巴蜀中学高2012级11-12学年(上)一诊模拟——数学理


重庆巴蜀中学高 2012 级高三(上)第一次诊断性模拟考试

数学试题卷(理科)
考试时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷

(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备 选项中只有一项符合题

目要求。 1、 “ ln x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的( )
A 充分不必要条件
2 2、已知集合 A ? x x ? 1 ? 2 与集合 B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? (CR B) ? (

?

B 必要不充分条件

?

?

C 充要条件

?

D 既不充分也不必要条件 )

A x ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3? C

?

B D

?x ? 1 ? x ? 3? ?x ? 1 ? x ? 2 或 0 ? x ? 3?
) D 等腰梯形 )

?x ? 1 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3?
B 菱形

3、在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC ? BD ? 0 ,则四边形 ABCD 是( A 矩形 C 直角梯形

b ? 0, 4、 已知 a ? 0 , 如果不等式
A 10 B 9

2 1 m ? ? 恒成立, 那么 m 的最大值等于 ( a b 2a ? b C 8 D 7

2, 5、 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,a2 ? 3 ,an?1 ? (2n ? ? )an (n ? 1 , ?), 则 a3 等于 (
A 15 B 10 C 9 D 5



6 、 已 知 减 函 数 f ( x) 的 定 义 域 是 实 数 集 R , m 、 n 都 是 实 数 , 如 果 不 等 式

f (m) ? f (n) ? f (?m) ? f (?n) 成立,那么在下列给出的四个不等式中,正确的不等式是
( ) A m?n?0 B m?n ?0 C m?n?0 D m?n ?0

2 2 7 、 过 直 线 y ? x 上 一 点 P 引 圆 x ? y ? 6x ? 7 ? 0 的 切 线 , 则 切 线 长 的 最 小 值 为

( A



2 2

B

3 2 2
/

C

10 2

D

2
1 , b ? log3 2 ,则 2

/ 8、函数 f ( x) ? sin x ? 2 xf ( ) , f ( x) 为 f ( x) 的导函数,令 a ? ?

?

3

下列关系正确的是( A f (a) ? f (b)

) B f (a) ? f (b) C f (a) ? f (b) D f ( a ) ? f (b)

数学(理科)试题 第 1 页(共 4 页)

9 、椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点的对称点为 B , F 为其右焦点,若 a2 b2


?? ? ? AF ⊥ BF ,设 ?ABF ? ? ,且 ? ? ? , ? ,则该椭圆离心率的取值范围为( ?12 4 ?
A ?

? 2 ? , 1? ? 2 ? ?

B ?

? 2 6? , ? 2 3 ? ?

C ?

? 6 ? , 1? ? 3 ? ?

D ?

? 2 3? , ? 2 2 ? ?

10、定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 3) 的图象关于 (3,0) 成中心对 称,若 s 、 t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ? s ? 4 时, 3t ? s 的取值范围是 ( ) A ?? 2,10? B ?4,16 ? C ?4,10 ? D ?? 2,16?

第Ⅱ卷

(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把问题的答案填写在答题 卷相应位置上。
11 、已知函数 f ( x) 的反函数 f 点 12、已知 lim
x?m

?1

( x) 的图象过 (1,0) 点,则函数 y ? f ( x ? 1) 的图象必过

.

x( x ? 1)( x ? 2) ? 2 ,则实数 m 的值为 x?m

.

13、奇函数 f ( x) 的图象按向量 a 平移得到函数 y ? cos( 2 x ?

?
3

) ? 1 的图象,当满足条件的

a 最小时, a ?

.
o

14、 设 a 、b 、c 是单位向量,a 、b 的夹角为 60 , 则 (a ? b ? c) ? c 的最大值为

.

15、已知数列 A : a1 , a2 ,?, an (0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? 3) 具有性质 P:对任意 i 、

j (1 ? i ? j ? n) ,a j ? ai 与 a j ? ai 两数中至少有一个是该数列中的一项。现给出以下四个
命题:①数列 0 , 1 , 3 具有性质 P; ②数列 0 , 2 , 4 , 6 具有性质 P;

③若数列 A 具有性质 P,则 a1 ? 0 ; ④若数列 a1 , a2 , a3 (0 ? a1 ? a2 ? a3 ) 具有性质 P,则 a1 ? a3 ? 2a2 。 其中真命题有 (填上所有正确命题的序号).

数学(理科)试题 第 2 页(共 4 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。若无具体要求,解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 ? 1 16、 (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x sin( ? x) ? . 2 2
(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? ?0,

? ?? ? 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. ? 2?

17、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x ) ? ln x ? (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;

a . x

(2)若 f ( x) 在 ?1, e? 上的最小值为 1 ,求实数 a 的值(其中 e 为自然对数的底数).

18、 (本小题满分 13 分)已知椭圆 C :

3 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,过点 (1, ) ,且离心率为 2 2 a b

1 . 2
(1)求椭圆方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m (k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂直平 分线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围.

1 8

2 19、 (本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? x ? ax .设 x1 ? ( ?? ,? ) , 记曲线 y ? f ( x)

a 2

在点 M ( x1 , f ( x1 ) 处的切线为 l , l 与 x 轴的交点是 N ( x2 ,0) , O 为坐标原点. (1)证明: x2 ?
2 x1 ; 2x1 ? a

(2)若对于任意的 x1 ? ( ?? ,? ) ,都有 OM ? ON ?

a 2

9a 成立,求 a 的取值范围. 16

数学(理科)试题 第 3 页(共 4 页)

20 、 (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 a2 b2

F1 (?c,0) 、 F1 (c,0) ,Q 是椭圆外的动点,满足 F1Q ? 2a ,点 P 是线段 F1Q 与椭圆的交点,
点 T 在线段 F2 Q 上,并且满足 PT ? TF2 ? 0 , TF2 ? 0 . (1)设 x 为点 P 的横坐标,证明: F1 P ? a ? (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3) 试问: 在点 T 的轨迹 C 上, 是否存在点 M , 使 ?F1 MF2 面积 S ? b , 若存在, 求 ?F1 MF2
2

c x; a

的正切值;若不存在,请说明理由.

21、 (本小题满分 12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a n ?1 (1)用数学归纳法证明: an ? 1 , n ? N ; (2)求证:当 a1 ?
?

2 2a n ?1 ,它的前 n 项和为 S n . ? 2 an ? 2

4 ? 时, n ? S n ? n ? 1 , n ? N . 3

数学(理科)试题 第 4 页(共 4 页)


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