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高三数学数列的通项公式及求和


数列的通项公式及求和

通项的求法



特殊数列



等差数列 等比数列

S1 (n=1), an= S -S (n≥2). n n-1
累加 若 an - an-1= f(n) n 累积 = f (n)

一般数列

a an ?1

凑等比

an=pan-1+q

猜想、归纳

等差数列 等比数列 特殊数列
数列前n项 和的求法




一般数列

1 1 ? 2 ? ? ? n ? n?n ? 1??2n ? 1? 6 1 2 2 3 3 3 1 ? 2 ? ? ? n ? n ?n ? 1? 4
2 2 2

1 1 ? 2 ? ? ? n ? n?n ? 1? 2

分组求和 错位相减 裂项相消 倒序相加

典例
Sn-1 1.在数列 {an} 中, a1=1, Sn= 2S +1 (n≥2), 求 an. n-1

2.在数列 {an} 中, a1=1, an 求 an.

? 2an ?1 ? 1

(n≥2),

1 1 1 1 1 3.数列 1 , ?2n ? 1? ? n , 3 , 5 , 7 , ?, ? 的前n项之和 2 4 8 16 2
为Sn,则Sn的值等于( )

1 (A) n ? 1 ? n 2 1 2 (C) n ? 1 ? n -1 2
2

(B)
(D)

1 2n ? n ? 1 ? n 2 1 2 n ? n ?1? n 2
2

4.求数列a,2a2,3a3,…,nan,…(a为常数)的前n项的和. 解 :若a=0, 则Sn=0 解题分析 :利用错位相减法求和 ,并注意对a的讨论. n( n ? 1) 若a=1, 则Sn=1+2+3+…+n= 2 若a≠0且a≠1, 则Sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 +nan ∴ a Sn = ∴
n ?1

a2+2a3+3a4+………+(n-1)an +nan+1 –nan+1
n ?1

a?a na ? Sn ? ? 2 (1 ? a ) 1 ? a a=0时 ,也成立 bn ? 为等比数列, 总结:此数列特征 ?an ? 为等差数列,?


(1-a)Sn=a+a2+a3+…+an

a?a n ?1 ? ? na 1? a

n ?1

?

anbn?

可用错位相减法

5.求下列数列前n项的和Sn:

1 1 1 1 , , , ?, , ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n?n ? 1?
1 1 1 ?( ? ) n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 1 ? ( ? ) n( n ? k ) k n n ? k

总结:通项

1 1 ? ( a ? b) a ? b a ?b

0 1 2 6.求证: Cn +3Cn +5Cn +?+(2n+1)Cnn =(n+1)?2n.

总结:用于等差数列、等差数列与二 项式系数相关联的数列求和

思考:在数列 ?a n ? 的前项和 S n 满足,



?bn ? 中, a1 ? 1, b1 ? 4 ,数列 ? an ?
n? N *

nSn?1 ? ?n ? 3?S n ? 0


2a n ?1

bn



bn ?1 的等比中项

Ⅰ)求a 2 , b2 的值;

{an } (Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设 n
a1

与 {bn }的通项公式;
a2 an *

T ? (?1) b1 ? (?1) b2 ?? ? ? ?(?1) bn , n ? N
n

证明: |T

|? 2n , n ? 3
2

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房这边摆两把长条凳,咱们先把它架在上面,以后再慢慢收拾哇!”耿英答应着赶快上前打开南房杂物间的门,秀儿这时候也 进院儿里来了。耿英招呼秀儿帮着从里边搬出两把长条凳来,不远不近地搁在东房的前面。门外边,董家成和二壮、耿憨和青 海、耿老爹和耿正、耿直、李尚武八个男人一起动手,将那个用大红色篷布包裹着的寿棺抬进来架在长条凳上。耿老爹直起腰 来拍拍寿棺,说:“好了,先就这样搁着哇!”耿英说:“两挂大骡车可怎么办啊?”耿老爹说:“是啊,这两挂骡车还真有 点儿没有地方搁呢!”再看一看自家原来的那个驴圈,说:“两骡子拴这个驴圈里也不行啊!”耿憨适才正和董家成在那里仔 细琢磨刚才大家伙儿吃力抬进来的这个大怪物呢!听了耿老爹父女俩的对话,就说:“不碍事,都赶到粉坊院儿里去哇,那儿 的马厩、车棚里宽着呢!”董家成也说:“大壮养的骡子和车一直都在那里呢!让二壮和青海赶去卸了就行了!”耿正说: “俺也去哇,这两头骡子还得伺候呢!”耿憨说:“放心,大壮养骡车都七、八年了,二壮和青海都会伺候着呢!”说着话, 吩咐二壮和青海各赶一挂骡车去粉坊院儿里卸了车,给两头骡子喂上草料照顾好了再回来说话。两个小伙子高兴地答应着出门 去了,其余人都鱼贯进了堂屋。堂屋里,耿兰忙着烧水准备泡茶。热泪高兴地流淌在每一个人的脸上??耿正、耿英和耿直围 在姥爷的身边,轮番为老人家擦拭着不断涌流出来的眼泪。耿老爹满怀内疚地说:“俺对不起您老人家??”老岳父摆摆手说: “别说了,都回来了就好啦!好在俺还能看到你们回来??”耿正兄妹三人几乎同时说:“俺姥娘身体还好哇?俺们一会儿就 去看她!”老人家又摆摆手,嗓音儿沙哑地说:“你们见不着姥娘了!”“怎么,姥娘没了?”兄妹三人都哭了。郭氏和弟弟 也哭了。耿老爹难过地问:“什么时候没的啊?”妻弟妹红着眼圈说:“刚过了三周年。”大家唏嘘感叹了好一会儿??耿老 爹再次把李尚武介绍给还不认识的亲人们,并且说:“如果没有他和他的哥哥姐姐陪着俺,没有他父母的照顾,俺活不到今天, 更不可能再返回故乡了!”李尚武一一施礼见过姥爷、舅舅、舅母和表弟表妹,以及伯伯大娘叔叔婶子弟弟妹妹,大家伙儿万 分感激地说一些感谢的话,李尚武不好意思地说:“哪里啊,义父不但救了我的命,而且这些年又帮了我们家天大的忙,是我 和全家人应该好好地感谢我的义父呢!”郭氏却只管左一把右一把地擦眼泪,说:“俺倒是不再想说那些个感谢的话了,只高 兴俺又多了一个三儿子!大家伙儿看看,俺这老儿子和他的二哥长得有多像啊,简直就像青山和青海一样,是一对双胞胎呢!” 董家成细细看了,高兴地说:“可不是耶,这不又增加了一对


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