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山东省冠县武训高中2012届高三高考模拟考试(文数)


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冠县武训高中 2012 届高三高考模拟考试数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 8 页,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 柱体的体积公式: v = sh ,其中 s 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式:

s = cl ,其中 c 是圆柱的底面周长, l 是圆柱的母线长. 球的体积公式 V= 4 π R 3 , 其中 R 是球的半径. 3 球的表面积公式:S=4π R ,其中 R 是球的半径. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ?
b=
2

∑ x y ? nx ? y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx

2

? . ? , a = y ? bx

如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) .

第 I 卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 M = {x ∈ R | x 2 ? 3x ? 10 < 0} , N = {x ∈ Z || x | ? 2} ,则 M I N 为
A. (?2,2) 2.若复数 z =
A . ?3





B. (1,2)

C.{-1,0,1}

D. {?2,?1,0,1,2}

x + 3i ( x ∈ R ) 是实数,则 x 的值为 1? i
B .3 C .0 D. 3





3. 曲线 C: = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax-y+1= 0 互相垂直, y 则实数 a 的值为 ( A. 3 B.-3 C.



1 3

D.-

1 3

?x ? y ≤ 1 ? 4.已知变量 x,y 满足 ?2 x + y ≤ 5, 则z = 3 x + y 的最大值为 ?x ≥ 1 ?
A.5 B .6 C .7 D.8





5.如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 , 则 此 三 视 图 所 描 述 几 何 体 的 表 面 积 为

第 1 页

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( A. (12 + 4 3 )π C. (20 + 4 3 )π 6.下列命题中:

) B.20 π D.28 π

①若 p,q 为两个命题,则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件. ②若 p 为: ?× ∈ R, x 2 + 2 x ≤ 0 ,则 ?p 为: ?× ∈ R, x 2 + 2 x > 0 . ③命题“ ?x , x 2 ? 2 x + 3 > 0 ”的否命题是“ ?x , x 2 ? 2 x + 3 < 0 ”. ④命题“若 ?p, 则 q”的逆否命题是“若 p,则 ?q ”. 其中正确结论的个数是 A.1 7.双曲线 B.2 C.3 D.4 ( D. y = ± ) ( )

x2 y2 ? = 1 的离心率为 3 ,则它的渐近线方程是 a 2 b2
B. y = ±

A. y = ± 2 x 8.将函数 y = cos x + (

2 x 2

C. y = ±2 x

1 x 2

π
3

) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左
( C.4π
n

π
平移 个单位,所得函数的最小正周期为 )

6
A.π
2

B.2π

D.8π

9.数列 {a n } 的前 n 项和 sn = n + n + 1 ; bn = (?1) an (n∈N*) ;则数列 {bn } 的前 50 项和 为 A.49 B.50 C.99 D.100 ( D. ? ) 10. ?ABC 中,三边之比 a : b : c = 2 : 3 : 4 ,则最大角的余弦值等于 A. ( )

1 4

B.

7 8

C. ?

1 2

1 4
( )

11.数列 {an } 中, a3 = 2, a5 = 1, 如果数列 { A. 0 B.

1 } 是等差数列,则 a11 = an + 1
C. ?

1 11

1 13

D. ?

1 7

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12.已知 f ( x) = ?

? 2 ? x ? 2, x ≤ 0 ,若 | f ( x) |≥ ax 在 x ∈ [?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是( ?3x ? 2, x > 0 ?



A. (?∞ ? 1] U [0,+∞)

B. [?1,0]

C. [0,1]

D. [?1,0)

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。) 13. α 是第四象限角, cos α =

3 π ,则 cos(α ? ) ___________________. 5 4

14.已知向量 a = (1,?2), b = ( x,4), 且 a // b, 则 | a + b | 的值是___________. 15.过抛物线 y = 4 x 的焦点,且被圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y = 0 截得弦最长的直线的方程是
2

__________________。 16. {an } 为等比数列,若 a 3 = 2,a 2 + a 4 =

20 ,则数列 {an } 的通项 a n =_____________. 3

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.) 17.(本题满分 12 分) 已知向量 a =( cos ω x,sin ω x ) b =( cos ω x , 3 cos ω x ) , ,其中( 0 < ω < 2 ) .函数

r

r

f ( x) = a ? b ?

1 π ,其图象的一条对称轴为 x = . 2 6

(I)求函数 f ( x ) 的表达式及单调递增区间; (Ⅱ)在∴ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为其面积,若 f ( ) =1,b=l, S∴ABC= 3 ,求 a 的值.

A 2

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18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PD ⊥底面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, PD = DC ,

E , F 分别是 AB , PB 的中点. (I)求证: EF // 平面 PAD ; (II)求证: EF ⊥ CD ;
(III)设 PD=AD=a, 求三棱锥 B-EFC 的体积.

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19. (本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (I)从袋中随机抽取一个球,将其编号记为 a ,然后从袋中余下的三个球中再随机抽取 一个球,将其编号记为 b .求关于 x 的一元二次方程 x + 2ax + b = 0 有实根的概
2 2

率; (II)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一 个球, 该球的编号为 n. 若以 (m, n) 作为点 P 的坐标, 求点 P 落在区域 ? 内的概率.
?x ? y ≥ 0 ?x + y ? 5 < 0

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20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 3ax ? 2 x + ln x , a 为常数。
2

(I)当 a =1 时,求 f(x)的单调区间; (II)若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求 a 的取值范围。

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21. (本小题满分 12 分)

x2 y2 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率为 a b 2
为半径的圆与直线 x ? y + 2 = 0 相切. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

OA + OB = t OP (O 为坐标原点) | PA ? PB | < ,当
围.

2 5 时,求实数 t 的取值范 3

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22. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足 a n > 0 且对一切 n ∈ N ,
?

有 a1 + a 2 + L + a n = S n , a1 + a 2 + L + a n = S n ,
3 3 3 2

(Ⅰ)求证:对一切 n ∈ N 有a n +1 ? a n +1 = 2 S n
2

?

(Ⅱ)求数列 {a n } 通项公式. (Ⅲ)求证:

1 2 3 n + 2 + 2 +L+ 2 < 3 2 a1 a2 a3 an

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文科数学
一.CADCB, 16. a n AACBD, AB 二.13. ?

2 10



14.

5;

15.x+y-1=0

= 2 ? 3 n ?3 , 或 a n = 2 ? 3 3? n ,

由余弦定理得 a

2

= 42 + 12 ? 2 × 4 × 1cos 60° = 13 ,……11 分故 a = 13 ………12 分

19. (1)基本事件(a,b)有: (1,2) (1,3) (1,4) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3)共 12 种。 ∵x
2

(2,1)

(2,3)

(2,4)

(3,1)

(3,2)

+ 2ax + b 2 = 0 有实根,
2 2

∴∴=4a2-4b2≥0,即 a2≥b2。 (3,1) (3,2) (4,1) (4,2)

记“ x + 2ax + b (4,3) 共 6 种。 ∴PA.=

= 0 有实根”为事件 A, A 包含的事件有: 2,1) 则 (
…………………6 分 (1,3) (1,4)

6 1 = 。 12 2

(2)基本事件(m,n)有: (1,1) (1,2)

(2,1) (2,2) (2,3)

(2,4)

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(3,1) (3,2) (3,3) 记 “点 P 落在区域 ? x ? y ≥ 0

? ?x + y ? 5 < 0

(3,4) (4,1) (4,2) (4,3) 内”为事件 B,则 B 包含的事件有:

(4,4)共 16 种。

(1,1) (2,1)

(2,2) (3,1) 共 4 种。∴PB.=

4 1 = 。 16 4

…………………12 分

1 。若函数 f(x)在区间[1,2]上为单调函数, x 1 1 ≥ 0 ,或 3a ? 4 x + ≤ 0 在 则 f ′( x ) ≥ 0, 或 f ′( x ) ≤ 0 在区间[1,2]上恒成立。∴ 3a ? 4 x + x x 1 1 区间[1,2]上恒成立。即 3a ≥ 4 x ? ,或 3a ≤ 4 x ? 在区间[1,2]上恒成立。 x x 1 15 又 h(x)= 4 x ? 在区间[1,2]上是增函数。h(x)max=(2)= ,h(x)min=h(1)=3 x 2 15 5 即 3a ≥ ,或 3a ≤ 3 。 ∴a ≥ ,或 a ≤ 1 。……………12 分 2 2
(2)

f ′( x) = 3a ? 4 x +

(2)由题意知直线

AB 的斜率存在. 设 AB : y = k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) ,

? y = k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 + 2k ) x ? 8k x + 8k ? 2 = 0 . 2 ? + y = 1. ?2

y1 + y2 1 ?4k = [k ( x1 + x2 ) ? 4k ] = . t t t (1 + 2k 2 ) 2 2 2 2 2 (?4k )2 ∵点 P 在椭圆上,∴ (8k ) ..... +2 = 2 ,∴ 16k = t (1 + 2k ) ..... 8 分 y=
t 2 (1 + 2k 2 )2 t 2 (1 + 2k 2 )2



PA ? PB



2 5 2 5 2 ,∴ 1 + k x1 ? x2 < 3 3

,∴ (1 + k

2

)[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] <

20 9

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22.解:

(1) 证明:
3

a1 + a2 + L + an = S n
3 3 3 3 3

2

………. ① …………②

3 a1 + a2 + L + an + an+1 = S n+1

2

② - ①: S n +1 ? S n = a n +1
2 2 3
3 an +1 (2 S n + an +1 ) = an +1 ;

3 ( S n+1 ? S n )( S n+1 + S n ) = a n+1 2 an +1 ≠ 0. ∴ a n+1 ? a n+1 = 2 S n

(n∈ N )

?

Q n = 1,2时, 易得a1 = 1, a 2 = 2, a n+1 ? a n = 1
(3) 证明: ∵ an = n

(n ≥ 1) ∴ {an } 是等差数列,

an = n .

1 2 ∴ n= n= 1 < = 2 2 3 an n (n ? 1)n(n + 1) (n ? 1)(n + 1) ? 2 n n

∴ Sn = 1 + 2 + 3 + L + n 22 32 n2
< 1 + (1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )+( ? )+( ? ) +L + ( ? )+( ? ) 3 2 4 3 5 n?2 n n ?1 n +1

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