山东省冠县武训高中2012届高三高考模拟考试(文数)

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冠县武训高中 2012 届高三高考模拟考试数学（文）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 8 页，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式： 柱体的体积公式： v = sh ，其中 s 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：

s = cl ，其中 c 是圆柱的底面周长， l 是圆柱的母线长. 球的体积公式 V= 4 π R 3 , 其中 R 是球的半径. 3 球的表面积公式：S=4π R ,其中 R 是球的半径. 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ?
b=
2

∑ x y ? nx ? y
i =1 n i i

n

∑x
i =1

2

i

? nx

2

? . ? , a = y ? bx

如果事件 A、B 互斥，那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) .

第 I 卷 （选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．设集合 M = {x ∈ R | x 2 ? 3x ? 10 < 0} ， N = {x ∈ Z || x | ? 2} ，则 M I N 为
A. (?2,2) 2．若复数 z =
A ． ?3

（

）

B. (1,2)

C.{-1，0，1}

D. {?2,?1,0,1,2}

x + 3i ( x ∈ R ) 是实数，则 x 的值为 1? i
B ．3 C ．0 D. 3

（

）

3． 曲线 C： = x2 + x 在 x = 1 处的切线与直线 ax－y+1= 0 互相垂直， y 则实数 a 的值为 （ A． 3 B．－3 C．

）

1 3

D．－

1 3

?x ? y ≤ 1 ? 4．已知变量 x，y 满足 ?2 x + y ≤ 5, 则z = 3 x + y 的最大值为 ?x ≥ 1 ?
A．5 B ．6 C ．7 D．8

（

）

5．如 图 是 一 个 几 何 体 的 三 视 图 ， 则 此 三 视 图 所 描 述 几 何 体 的 表 面 积 为

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（ A． (12 + 4 3 )π C． (20 + 4 3 )π 6．下列命题中：

） B．20 π D．28 π

①若 p，q 为两个命题，则“p 且 q 为真”是“p 或 q 为真”的必要不充分条件. ②若 p 为： ?× ∈ R, x 2 + 2 x ≤ 0 ，则 ?p 为： ?× ∈ R, x 2 + 2 x > 0 . ③命题“ ?x , x 2 ? 2 x + 3 > 0 ”的否命题是“ ?x , x 2 ? 2 x + 3 < 0 ”. ④命题“若 ?p, 则 q”的逆否命题是“若 p，则 ?q ”. 其中正确结论的个数是 A．1 7．双曲线 B．2 C．3 D.4 （ D． y = ± ） （ ）

x2 y2 ? = 1 的离心率为 3 ,则它的渐近线方程是 a 2 b2
B． y = ±

A． y = ± 2 x 8．将函数 y = cos x + （

2 x 2

C． y = ±2 x

1 x 2

π
3

） 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左
（ C．4π
n

π
平移 个单位，所得函数的最小正周期为 ）

6
A．π
2

B．2π

D．8π

9．数列 {a n } 的前 n 项和 sn = n + n + 1 ； bn = (?1) an （n∈N*） ；则数列 {bn } 的前 50 项和 为 A．49 B．50 C．99 D．100 （ D． ? ） 10． ?ABC 中,三边之比 a : b : c = 2 : 3 : 4 ，则最大角的余弦值等于 A． （ ）

1 4

B．

7 8

C． ?

1 2

1 4
（ ）

11．数列 {an } 中， a3 = 2, a5 = 1, 如果数列 { A． 0 B．

1 } 是等差数列，则 a11 = an + 1
C． ?

1 11

1 13

D． ?

1 7

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12．已知 f ( x) = ?

? 2 ? x ? 2, x ≤ 0 ,若 | f ( x) |≥ ax 在 x ∈ [?1,1] 上恒成立,则实数 a 的取值范围是（ ?3x ? 2, x > 0 ?

）

A． (?∞ ? 1] U [0,+∞)

B． [?1,0]

C． [0,1]

D． [?1,0)

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第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 4 分,共 16 分。) 13． α 是第四象限角， cos α =

3 π ，则 cos(α ? ) ___________________. 5 4

14．已知向量 a = (1,?2), b = ( x,4), 且 a // b, 则 | a + b | 的值是___________. 15．过抛物线 y = 4 x 的焦点，且被圆 x 2 + y 2 ? 4 x + 2 y = 0 截得弦最长的直线的方程是
2

__________________。 16． {an } 为等比数列，若 a 3 = 2，a 2 + a 4 =

20 ，则数列 {an } 的通项 a n =_____________. 3

三、解答题：(本大题共 6 小题，共 74 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤．) 17.（本题满分 12 分） 已知向量 a =（ cos ω x,sin ω x ） b =（ cos ω x , 3 cos ω x ） ， ，其中（ 0 < ω < 2 ） ．函数

r

r

f ( x) = a ? b ?

1 π ，其图象的一条对称轴为 x = ． 2 6

（I）求函数 f ( x ) 的表达式及单调递增区间； （Ⅱ）在∴ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，S 为其面积，若 f ( ) =1，b=l， S∴ABC= 3 ，求 a 的值．

A 2

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18． （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P - ABCD 中， PD ⊥底面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， PD = DC ，

E ， F 分别是 AB ， PB 的中点． （I）求证： EF // 平面 PAD ； （II）求证： EF ⊥ CD ；
（III）设 PD=AD=a, 求三棱锥 B-EFC 的体积.

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19． （本小题满分 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1，2，3，4． （I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为 a ，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取 一个球，将其编号记为 b ．求关于 x 的一元二次方程 x + 2ax + b = 0 有实根的概
2 2

率； （II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一 个球， 该球的编号为 n． 若以 (m, n) 作为点 P 的坐标， 求点 P 落在区域 ? 内的概率．
?x ? y ≥ 0 ?x + y ? 5 < 0

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20． （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）= 3ax ? 2 x + ln x ， a 为常数。
2

（I）当 a =1 时，求 f（x）的单调区间； （II）若函数 f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求 a 的取值范围。

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21． （本小题满分 12 分）

x2 y2 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长 已知椭圆 C : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0) 的离心率为 a b 2
为半径的圆与直线 x ? y + 2 = 0 相切． （I）求椭圆 C 的方程； （II）若过点 M （2，0）的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ，设 P 为椭圆上一点，且满足

OA + OB = t OP （O 为坐标原点） | PA ? PB | ＜ ，当
围．

2 5 时，求实数 t 的取值范 3

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22． （本小题满分 14 分） 已知数列 {a n } 满足 a n > 0 且对一切 n ∈ N ,
?

有 a1 + a 2 + L + a n = S n , a1 + a 2 + L + a n = S n ,
3 3 3 2

（Ⅰ）求证：对一切 n ∈ N 有a n +1 ? a n +1 = 2 S n
2

?

（Ⅱ）求数列 {a n } 通项公式. （Ⅲ）求证：

1 2 3 n + 2 + 2 +L+ 2 < 3 2 a1 a2 a3 an

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文科数学
一.CADCB, 16. a n AACBD, AB 二．13． ?

2 10

；

14.

5；

15．x+y-1=0

= 2 ? 3 n ?3 , 或 a n = 2 ? 3 3? n ,

由余弦定理得 a

2

= 42 + 12 ? 2 × 4 × 1cos 60° = 13 ，……11 分故 a = 13 ………12 分

19． （1）基本事件（a，b）有： （1,2） （1,3） （1,4） （3,4） （4,1） （4,2） （4,3）共 12 种。 ∵x
2

（2,1）

（2,3）

（2,4）

（3,1）

（3,2）

+ 2ax + b 2 = 0 有实根，
2 2

∴∴=4a2-4b2≥0，即 a2≥b2。 （3,1） （3,2） （4,1） （4,2）

记“ x + 2ax + b （4,3） 共 6 种。 ∴PA.=

= 0 有实根”为事件 A， A 包含的事件有： 2,1） 则 （
…………………6 分 （1,3） （1,4）

6 1 = 。 12 2

（2）基本事件（m，n）有： （1，1） （1,2）

（2,1） （2，2） （2,3）

（2,4）

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（3,1） （3,2） （3，3） 记 “点 P 落在区域 ? x ? y ≥ 0

? ?x + y ? 5 < 0

（3,4） （4,1） （4,2） （4,3） 内”为事件 B，则 B 包含的事件有：

（4，4）共 16 种。

（1，1） （2,1）

（2，2） （3,1） 共 4 种。∴PB.=

4 1 = 。 16 4

…………………12 分

1 。若函数 f（x）在区间[1，2]上为单调函数， x 1 1 ≥ 0 ，或 3a ? 4 x + ≤ 0 在 则 f ′( x ) ≥ 0, 或 f ′( x ) ≤ 0 在区间[1，2]上恒成立。∴ 3a ? 4 x + x x 1 1 区间[1，2]上恒成立。即 3a ≥ 4 x ? ，或 3a ≤ 4 x ? 在区间[1，2]上恒成立。 x x 1 15 又 h（x）= 4 x ? 在区间[1，2]上是增函数。h（x）max=（2）= ，h（x）min=h（1）=3 x 2 15 5 即 3a ≥ ，或 3a ≤ 3 。 ∴a ≥ ，或 a ≤ 1 。……………12 分 2 2
（2）

f ′( x) = 3a ? 4 x +

（2）由题意知直线

AB 的斜率存在. 设 AB ： y = k ( x ? 2) ， A( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ， P ( x, y ) ，

? y = k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 + 2k ) x ? 8k x + 8k ? 2 = 0 . 2 ? + y = 1. ?2

y1 + y2 1 ?4k = [k ( x1 + x2 ) ? 4k ] = . t t t (1 + 2k 2 ) 2 2 2 2 2 (?4k )2 ∵点 P 在椭圆上，∴ (8k ) ．．．．． +2 = 2 ，∴ 16k = t (1 + 2k ) ．．．．． 8 分 y=
t 2 (1 + 2k 2 )2 t 2 (1 + 2k 2 )2

∵

PA ? PB

＜

2 5 2 5 2 ，∴ 1 + k x1 ? x2 < 3 3

，∴ (1 + k

2

)[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] <

20 9

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22.解:

(1) 证明:
3

a1 + a2 + L + an = S n
3 3 3 3 3

2

………. ① …………②

3 a1 + a2 + L + an + an+1 = S n+1

2

② - ①： S n +1 ? S n = a n +1
2 2 3
3 an +1 (2 S n + an +1 ) = an +1 ;

3 ( S n+1 ? S n )( S n+1 + S n ) = a n+1 2 an +1 ≠ 0. ∴ a n+1 ? a n+1 = 2 S n

(n∈ N )

?

Q n = 1,2时, 易得a1 = 1, a 2 = 2, a n+1 ? a n = 1
(3) 证明: ∵ an = n

(n ≥ 1) ∴ {an } 是等差数列,

an = n .

1 2 ∴ n= n= 1 < = 2 2 3 an n (n ? 1)n(n + 1) (n ? 1)(n + 1) ? 2 n n

∴ Sn = 1 + 2 + 3 + L + n 22 32 n2
< 1 + (1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )+( ? )+( ? ) +L + ( ? )+( ? ) 3 2 4 3 5 n?2 n n ?1 n +1

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