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2013届高三理科数学解答题前四题训练4


2013 届高三理科数学解答题训练 14 班别_________座号_______姓名___________成绩_________
1.(本小题 12 分)已知向量 O A ? (c o s ? , sin ? ) , 0 ? ? ? 且 m ? (O A ? n ) .
??? ?
??? ?

?
2

.向量 m ? ( 2 ,1) , n ? (0 , 5 ) ,

??? ?

(Ⅰ) 求向量 O A ;

(Ⅱ) 若 s in ( ? ?

?
2

)?

2 10

, 0 ? ? ? ? ,求 2 ? ? ? 的值.

2.(本小题 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 6 0 名学生, 将其数学成绩 (均为整数)分成六段 ?40 , 50 ? , ?50 , 60 ? … ?90 ,100 ? 后得到如下部分频率分布直方图.观察 图形的信息,回答下列问题: (Ⅰ)求分数在 ? 7 0 , 8 0 ? 内的频率,并补全这个 频率分布直方图; (Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组 区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的 平均分; (Ⅲ)若从 6 0 名学生中随机抽取 2 人,抽到 的学生成绩在 ?40 , 60 ? 记 0 分,在 ?60 ,80 ? 记 1 分, 在 ?80 ,100 ? 记 2 分,用 ? 表示抽取结束后的总记分, 求 ? 的分布列和数学期望.

第 2 题图

1

3(本小题 14 分)如图所示的长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, 底面 A B C D 是边长为 2 的正方形,
O 为 A C 与 B D 的交点, B B1 ?

2 , M 是线段 B 1 D 1 的中点.

(Ⅰ)求证: B M // 平面 D 1 A C ; (Ⅱ)求证: D 1O ? 平面 A B1 C ; (Ⅲ)求 AB 与平面 AB 1C 所成角的余弦值.

第 3 题图

2

4.(本小题 12 分)设数列 ? a n ? 的前项和为 S n , S n ? 2 ? 且
a 2 ( b 2 ? b1 ) ? a 1

1 2
n ?1

, b n ? 为等差数列, a 1 ? b1 , 且 ?

(Ⅰ)求数列 ? a n ? 和 ? b n ? 通项公式; (Ⅱ)设 c n ?
bn an

,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 T n .

3

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) O A ? n ? (co s ? , sin ? ?
5), ………………1 分 ?? ??? ? ? 又? m ? ( O A ? n ) ,∴ 2 co s ? ? sin ? ? 5 ? 0 ,即 sin ? ? 5 ? 2 co s ? ,① ??? ? ?

…2 分

又 sin ? ? co s ? ? 1
2 2


2 5 5

将①代入②中,可得 c o s ? ? 将③代入①中,得 s in ? ?
??? ? 2 5 5 OA ? ( , ) 5 5 5 5



……………………………4 分 …………………………5 分∴ ……………………………………6 分

(Ⅱ) 方法一 ∵ s in ( ? ? ∴ sin ? ?
1 ? cos ? ?
2

?
2 7

)? 2

2 10

, 0 ? ? ? ? ,∴ c o s ? ?
s in ? cos ?
4 3

2 10

,且 0 ? ? ?

?
2

…7 分

,从而 ta n ? ?
2 ta n ? 1 ? ta n ?
2

? 7.

8分 ……9 分

10

由(Ⅰ)知 ta n ? ? ∴ ta n ( 2 ? ? ? ) ? 又∵ 0 ? ? ? 综上可得
?
2

1 2

, ta n 2 ? ?

?

; ………………………10 分

ta n 2 ? ? ta n ? 1 ? ta n 2 ? ta n ?

? ?1 .

,∴ 0 ? 2? ? ? , 又 0 ? ? ?
3? 4

?
2

,∴ 0 ? 2 ? ? ? ?

3? 2

…11 分

2? ? ? ?

……………………12 分
2

方法二∵ s in ( ? ? ∴ sin ? ?

?
2
2

)?

, 0 ? ? ? ? ,∴ c o s ? ?
2

2 10

,且 0 ? ? ?

?
2

……7 分

10 7

1 ? cos ? ?
2

.
3 5

……………8 分 , s in 2 ? ?
4 5

10

由(Ⅰ)知 c o s 2 ? ? 2 c o s ? ? 1 ?

.
2 2
4 5

…………9 分 ……………10 分

∴ c o s ( 2 ? ? ? ) ? c o s 2 ? c o s ? ? s in 2 ? s in ? ? ? ∵0 ? ? ?
?
2

,且注意到 c o s 2 ? ?
?
2

3 5

? 0 , s in 2 ? ?

? 0,

∴ 0 ? 2? ? 综上可得

,又 0 ? ? ?
3? 4

?
2

,∴ 0 ? 2? ? ? ? ?

…………………11 分

2? ? ? ?

…………………12 分

4

(若用 s in ( 2 ? ? ? ) ? s in 2 ? c o s ? ? c o s 2 ? s in ? ?
2? ? ? ? 3? 4

2 2

,又∵ 0 ? 2? ? ? ? ? ∴

,酌情扣 1 分.)

17. (本题满分 12 分) (Ⅰ)设分数在 ? 7 0 , 8 0 ? 内的频率为 x ,根据频率分布直方图, 则有 (0 .0 1 ? 0 .0 1 5 ? 2 ? 0 .0 2 5 ? 0 .0 0 5) ? 1 0 ? x ? 1 , 可得 x ? 0 .3 ,所以频率分布直方图如右图所示. ……………………………4 分 (求解频率 3 分,画图 1 分) (Ⅱ)平均分为:
x ? 4 5 ? 0 .1 ? 5 5 ? 0 .1 5 ? 6 5 ? 0 .1 5 ? 7 5 ? 0 .3 ? 8 5 ? 0 .2 5 ? 9 5 ? 0 .0 5 ? 7 1 . ………7 分

(Ⅲ)学生成绩在 ?40 , 60 ? 的有 0 .2 5 ? 6 0 ? 1 5 人,在 ?60 ,80 ? 的有 0 .4 5 ? 6 0 ? 2 7 人, 在

?80 ,100 ?


C 15 C 60
2 1 1 2



0

? .

3?

6 人 0
1 1

. 1 并8 且
27 118 ? 51 590

?




1


1


2





0,1, 2, 3, 4 .

…………………………8 分
? 7 118 ? 81 295

则 P (? ? 0 ) ?
P ( ? ? 3) ?

; P ( ? ? 1) ?

C 15C 27 C 60
2 2

?

; P (? ? 2 ) ?

C 15C 18 ? C 27 C 60
2

?

207 590



C 27 C 18 C 60
2

; P (? ? 4 ) ?

C 18 C 60
2

.

所以 ? 的分布列为
?
P

0
7 118 7 118 27 118 207 590

1
27 118 81 295

2
207 590 51 590

3
81 295

4
51 590

………………………11 分
E? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 2 .1

………………………12 分

18. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)连接 D 1 O ,如图,∵ O 、 M 分别是 B D 、 B 1 D 1 的中点, B D 1 D 1 B 是矩形, ∴四边形 D 1 O B M 是平行四边形,∴ D 1 O // B M . ∵ D 1 O ? 平面 D 1 A C , B M ? 平面 D 1 A C , ∴ B M // 平面 D 1 A C .…………… 4 分
5

………………………2 分

(Ⅱ)连接 O B 1 ,∵正方形 A B C D 的边长为 2 , B B1 ? ∴ B1 D 1 ? 2 2 , O B1 ? 2 , D 1 O ? 2 , 则 O B1 ? D 1O ? B1 D 1 ,∴ O B1 ? D 1O .
2 2 2

2 ,

……………6 分

∵在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A C ? B D ,
A C ? D1 D ,

∴ A C ? 平面 B D D 1 B1 ,又 D 1 O ? 平面 B D D 1 B1 , ∴ A C ? D 1 O ,又 A C ? O B1 ? O , ∴ D 1O ? 平面 A B1 C . …………………………8 分

(Ⅲ)在平面 A B B 1 中过点 B 作 B E ? A B 1 于 E ,连结 E C , ∵ C B ? A B , C B ? B B1 , ∴ C B ? 平面 A B B 1 ,又 A B1 ? 平面 A B B 1 , ∴ C B ? A B 1 ,又 B E ? A B 1 ,且 C B ? B E ? B , ∴ A B1 ? 平面 E B C ,而 E C ? 平面 E B C , ∴ A B1 ? E C . ∴ ? B E C 是二面角 B ? A B1 ? C 的平面角. 在 R t ? B E C 中, B E ?
2 3 3

……………………………9 分

………………………………10 分

…………………………12 分

, BC ? 2

∴ ta n ? B E C ?

3 , ? BEC ? 60 ,
?

?

∴二面角 B ? A B1 ? C 的大小为 6 0 .

………………………………………14 分

解法 2(坐标法) (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系.连接 D 1 O ,则点 O (1,1, 0 ) 、 :
D 1 (0, 0, ???? ? 2) ,

∴ O D 1 ? ( ? 1, ? 1, 2 ) 又点 B ( 2 , 2 , 0 ) , M (1,1, 2 ) , ∴ B M ? ( ? 1, ? 1, 2 )
6

???? ?

∴ O D 1 ? B M ,且 O D 1 与 B M 不共线, ∴ O D 1 // B M . 又 D 1 O ? 平面 D 1 A C , B M ? 平面 D 1 A C , ∴ B M // 平面 D 1 A C .
???? ???? ? ????

???? ?

???? ?

…………………………………4 分
???? ???? ?

(Ⅱ)∵ O D 1 ? O B1 ? ( ? 1, ? 1, 2 ) ? (1,1, 2 ) ? 0 , O D 1 ? A C ? ( ? 1, ? 1, 2 ) ? ( ? 2, 2, 0 ) ? 0 ∴ O D 1 ? O B1 , O D 1 ? A C ,即 O D 1 ? O B1 , O D 1 ? A C , 又 O B1 ? A C ? O ,∴ D 1O ? 平面 A B1 C . …………………………………………8 分
???? ? ???? ? ????

(Ⅲ)∵ C B ? A B , C B ? B B1 ,∴ C B ? 平面 A B B 1 , ∴ B C ? ( ? 2, 0, 0 ) 为平面 A B B 1 的法向量. ∵ O D 1 ? O B1 , O D 1 ? A C , ∴ O D 1 ? ( ? 1, ? 1, 2 ) 为平面 A B1 C 的法向量. ∴ c o s ? B C , O D1 ? ?
????
???? ???? ? 1 2
? ?

????

???? ?

????

???? ?

????

???? ?

, ………14 分

∴ B C 与 O D 1 的夹角为 6 0 ,即二面角 B ? A B1 ? C 的大小为 6 0 .
S ?AB B
1

???? ?

(Ⅲ) (法三)设二面角 B ? A B1 ? C 的大小为 ? , ? A B1 C 在平面 A B1 B 内的射影就是
? A B1 B , 根 据 射 影 面 积 公 式 可 得 c o s ? ?

S ?AB C
1

, S ?AB B ?
1

1 2

? A B ? B1 B ?

2 ,

S ?AB C ?
1

1 2

? A C ? B1O ? 2
1

2

∴ cos ? ?

S ?AB B S ?AB C
1

? 2

2 2

?

1 2

,∴二面角 B ? A B1 ? C 的大小为 6 0

?

………14 分

18.解: (1) a 1 ? 1 ………1 分
n ? 2, a n ? ( 2 ?
n ? 1 时也成立.

1 2
n ?1

) ? (2 ? 2

1
n?2

) ? 2

1
n ?1

,………3 分

? an ?

1 2
n ?1

………4 分
a1 a2 1 1 2
7

? b 1 ? a 1 ? 1, b 2 ? b 1 ?

?

? 2 ,? d ? 2

? b n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 ………7 分

(2) c n ?

2n ? 1 1 2
n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

n ?1

………8 分

Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2T n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2
2

2

? ? ? ( 2 n ? 1) ? 2
3

n ?1 n ?1

? 5 ? 2 ? ? ? ( 2 n ? 3) ? 2
n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

n

? Tn ? 1 ? 2(2 ? 2 ? ? ? 2
2

) ? ( 2 n ? 1) ? 2
n

n

?1? 2 ?1? 2

2 (1 ? 2
n ?1

n ?1

)

1? 2

? ( 2 n ? 1) ? 2
n

? 4 ? ( 2 n ? 1) ? 2
n

? ? 3 ? ( 2 n ? 3) ? 2
n

? T n ? 3 ? ( 2 n ? 3 ) ? 2 ………14 分

8


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