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【高考聚焦】2014届高三数学(理)一轮复习对点训练 第62讲 圆锥曲线的综合问题 Word版含解析


第62讲 圆锥曲线的综合问题

1.已知 λ∈R,则不论 λ 取何值,曲线 C:λx2-x-λy+1=0 恒过定点( D ) A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1) 解析:由 λx2-x-λy+1=0,得 λ(x2-y)-(x-1)=0. 2 ? ? ?x -y=0 ?x=1 依题设? ,即? , ?x-1=0 ?y=1 ? ? 可知

不论 λ 取何值,曲线 C 过定点(1,1). 2.若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 在抛物线上移动,为使|PA| +|PF|取最小值,P 点的坐标为( B ) A.(3,3) B.(2,2) 1 C.( ,1) D.(0,0) 2 解析: 如图, 根据抛物线的定义可知|PF|等于点 P 到准线 l 的距离|PQ|.则当 A、 P′、 Q′ 三点共线时|PA|+|PF|最小,此时,可求得 P′(2,2).

x2 y2 3.(2012· 山东省高考冲刺预测)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点 P,引与实轴 a b → → 平行的直线,交两渐近线于 M、N 两点,则PM· NP为定值( D ) A.a2b2 B.2ab C.a2 D.-a2 a a 解析:设 P(x,y),则 M( y,y),N(- y,y), b b a → → a 于是PM· PN=( y-x,0)· (- y-x,0) b b a a =( y-x)(- y-x) b b 1 2 2 = 2(b x -a2y2) b a2b2 = 2 =a2, b → → → → 所以PM· NP=-PM· PN=-a2,故选 D. x2 y2 4.(2012· 山东省莱芜市上期末)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 9 5 → → 点 P 为椭圆上任意一点,则OP· FP的最小值为( A ) 11 A. B.3 4 C.8 D.15 解析:设 P(x,y),由题意得 F(-2,0), → → 所以OP· FP=(x+2,y)· (x,y) 2 =x +2x+y2 4 = x2+2x+5 9

4 9 11 = (x+ )2+ (-3<x<3), 9 4 4 11 所以最小值为 ,故选 A. 4 2 5.双曲线 x -y2=4 上一点 P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为 Q,已知 O 为 坐标原点,则△POQ 的面积为定值 1 .

解析:如图,双曲线 x2-y2=4 的两条渐近线为 y=± x, 即 x± y=0,设 P 在另一条渐近线上的射影为 R,则 |x0-y0| |PQ|= , 2 |x0+y0| |PR|= , 2 2 |x2 1 0-y0| 所以 S△POQ= |PQ||PR|= =1. 2 4 x2 y2 6.椭圆 + =1 和圆 x2+y2-4x+3=0 上最近两点之间的距离为 2 , 最远两点间 25 16 的距离为 8 . 解析:由题设知圆的圆心为(2,0),半径为 1,本题可转化为求椭圆上的点 P(x0,y0)到定 点 A(2,0)的最近、最远距离;易求得|PA|min=3,|PA|max=7,从而知所求的最近距离为 2,最 远距离为 8. 7.(2012· 柳州市第一次模拟)如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、D 为椭圆的两个 焦点,其余 4 个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率是 3-1 .

解析:设正六边形的边长为 2c,则焦距为 2c,连接 EA,AD, 则在三角形 EAD 中,|EA|+|ED|=2a,DE⊥AE, 1 所以 DE2+AE2=AD2,DE= AD,解得 AE= 3c, 2 所以 3c+c=2a,所以 e= 3-1. x2 y2 → → 8.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且OP· OQ=0(O 为 a b 坐标原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值; a b 3 2 (2)若椭圆离心率 e∈[ , ]时,求椭圆长轴长的取值范围. 3 2 ?b2x2+a2y2=a2b2 ? 解析:(1)证明:由? ? ?x+y-1=0 2 2 2 2 ?(a +b )x -2a x+a2(1-b2)=0.① 由 Δ>0?a2b2(a2+b2-1)>0, 因为 a>b>0,所以 a2+b2>1.

x2 y2 9.(2012· 山东省淄博市第一学期期中)已知点 F1,F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 的左、右焦点,点 P 为椭圆上任意一点,P 到焦点 F2 的距离的最大值为 2+1,且△PF1F2 的最大面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; 5 (2)点 M 的坐标为( ,0),过点 F2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.对 4 → → 于任意的 k∈R,MA· MB是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由. 解析:(1)由题意可知: 1 a+c= 2+1, ×2c×b=1, 2 因为 a2=b2+c2,所以 a2=2,b2=1,c2=1, x2 所以所求椭圆的方程为 +y2=1. 2 (2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 5 A(x1,y1),B(x2,y2),M( ,0), 4 2 x ? ? 2 +y2=1 联立? ,消去 y,得

设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,x2 是①的两根, a2?1-b2? 2a2 所以 x1+x2= 2 , x x = .② a +b2 1 2 a2+b2 → → 由OP· OQ=0 得,x1x2+y1y2=0, 即 2x1x2-(x1+x2)+1=0,③ 1 1 将②代入③得,a2+b2=2a2b2,所以 2+ 2=2,为定值. a b (2)由(1)a2+b2=2a2b2 得 2-e2=2a2(1-e2), 2-e2 1 1 2 所以 a = = + , 2?1-e2? 2 2?1-e2? 3 2 5 6 又 ≤e≤ ,所以 ≤a≤ ,长轴 2a∈[ 5, 6]. 3 2 2 2

?y=k?x-1? ?
x1+x2=
1 2

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,

? 2k -2 则? xx= 1+2k ?Δ>0
2 2

4k2 1+2k2 .

5 5 → → 因为MA=(x1- ,y1),MB=(x2- ,y2), 4 4 5 5 → → MA· MB=(x1- )(x2- )+y1y2 4 4 5 25 =- (x1+x2)+x1x2+ +y1y2 4 16 5 25 2 =- (x1+x2)+x1x2+ +k (x1-1)(x2-1) 4 16 5 2 25 =(- -k )(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+ 4 16 7 =- . 16

7 → → 对任意 x∈R,有MA· MB=- 为定值. 16


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