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2014年3月安徽省“江南十校”高三联考数学(文科)试卷答案


2014 年安徽省“江南十校”高三联考 数学(文科)试卷答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.A 解析: A ? B ? ?2?,则 CU ( A ? B ) ? {1,3, 4} 2.D 解析:复数 z 化简得 z ? 2 ? i ,虚部为 1
2 2 3.B 解析:

由 x ? 3 x ? 0 得 x ? 3 或 x ? 0 ,所以 x ? 3 x ? 0 是 x ? 4 的必要而不充分条件

4.C 解析:将抛物线化为标准方程 x ?
2

1 1 y ,从而 p ? 4 2

5.B 解析:值域 ?? 2,1? , b ? a ? 3 6.D 解析:由 2a 6 ? 6 ? a 7 得 a 5 ? 6 ,所以 S 9 ? 9a5 ? 54 7.C 解析:

S ?ABC ?

,由余弦定理得 BC ? 13 . 1 AB ? AC ? sin A ? 3 ? AC ? 4 2

8.C 解析:由三视图知该几何体是一个四棱柱被截去一个三棱柱后剩下的几何体 9.C 解析:根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示,即 ?ABC 的边界及其内部, 代数式 x ? y 表示的几何意义是可行域内动点与原点之间距离的平方.
2 2

10.B 解析:由解析式知函数 f ( x) 在(﹣∞,2)上是增函数,在[2,+∞)上也是增函数.由于 故函数 f ( x) 在 (﹣∞, +∞) 上不是增函数. 当 x ? 2 时,f ( x) ? ?0,2e ? ; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a?x1 ? x2 ? , 当 x ? 2 时, f ( x) ? f (2) ? 1 ,即 f ( x) ? ?1,?? ? 。由题意可得直线 y ? a 和函数 f ( x) 的图象有 2 个交点,故有 1 ? a ? 2e 。 11. ?0,2? 解析:有 1 ? 2 log 4 x ? 0 ? log 4 x ? 12. 3 2 ? 2 13. 60 0 解析:
0 a ? ? a ? b ? ? 0 得 a ? b ? 1 ,从而 cos? ? 1 ,夹角为 60 2

1 ?0? x?2 2

14. ? 1 或 3 ,解析:半径 r ? 2 ,半弦长 2 ,从而圆心到直线距离 d ? 式可得 a ? ?1或 a ? 3
第 1 页 共 4 页

2 ,由圆心到直线距离公

15①②③④ 解析: ① AB ? AC ? OB ? OA ? OC ? OA ? OA ? OA ? 0 知 A 为锐角, 同理 B, C 也是锐角;②由题意知 OB ⊥ 平面 OAC,从而 OB ? AC ,同理可得: OA ? BC, OC ? AB ; ③以点 O 为长方体的一个顶点,OA、OB、OC 为长方体的三棱作长方体,则四面体 OABC 的外接球 就是长方体的外接球且 R ?

?

??

?

2

2

1 a 2 ? b 2 ? c 2 .④连结 AH ,并延长交 BC 于 D ,连结 OD , 2

OH ? 平 面 ABC, OA ? BC ,所以 BC ? AH ,同理, CH ? AB ,所以 H 是 ?ABC 的垂心。
⑤在直角 ?AOD 中, AO ? OD ? OH ? AD, AO ? OD ? OH ? AO ? OD
2 2 2 2

?

2

?,

A

1 1 1 ? ? 2 2 OH OA OD 2
所以

,同理,在 ?BOC 中,

1 1 1 ? ? 2 2 OD OB OC 2

,

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2. 2 OH a b c

O

H C D

16.解

?? 1 3 ? f ( x) ? cos? 2 x ? ? ? cos 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 3? 2 2 ?
3 3 ?? ? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin? 2 x ? ? ? 1 2 2 3? ?

B

……………2 分

……………4 分 (Ⅰ)? f ( x) ?

3 sin(2 x ?

?
3

) ? 1,

?T ? ? ,

……………6 分 ……………8 分 ……………12 分

(Ⅱ)因为 0 ≤ x ≤ 所以当 2 x ?

?
3

?

?
2

? ? ? 4? , 所以 ? 2 x ? ? . 2 3 3 3

,即 x ?

?

12

时, f ( x) 有最大值 3 ? 1 .

? EO 是 ?BB1C 的 7 (Ⅰ) 如图, 连接 EO、OA.? E、O 分别为 CB1、BC 的中点,
中位线,? EO / / BB1 且 EO ?

1 BB1 .又 DA / / BB1 , AA1 ? BB1 ,故 2

DA ?

1 BB1 ? EO,? DA // EO 且 DA ? EO ,?四边形 AOED 是平行四边形,即 2

DE / /OA , 又 DE ? 平面ABC, OA ? 平面ABC,? DE / / 平面ABC .……6 分
( Ⅱ ) ? AB ? AC, BC 为 直 径 , ? AO ? BC , 又 BB1 为 圆 柱 OO1 的 母 线 , BB1 ? AO , 从 而

AO ? 平 面 BB1C,DE // AO, DE ? 平 面 BB1C,DE ? 平 面 B1 DC ? 平 面 B1 DC ? 平 面 BB1C
第 2 页 共 4 页

……………12 分

18





(Ⅰ)

































f 7 ? 1 ? ?0.004 ? 0.012 ? 0.016 ? 0.03 ? 0.02 ? 0.006 ? 0.004 ? ? 10 ? 0.08
直方图如右。 ( Ⅱ ) 该 校 这 次 考 试 的 平 均 成

………2 分 ………4 分 绩 为 : ……8 分

65 ? 0.04 ? 75 ? 0.12 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.3 ? 105 ? 0.2 ? 115 ? 0.06 ? 125 ? 0.08 ? 135 ? 0.04 ? 97
分 (Ⅲ)第六组有学生 3 人,分别记作 A1,A2,A3,第八组有学生 2 人, 分别记作 B1, B2; 则从中任取 2 人的所有基本事件为 (A1,B1), (A1, B2), (A2, B1), (A2 ,B2), (A3 ,B1), (A3 ,B2), (A1, A2), (A1 ,A3), A2 ,A3), (B1 ,B2) 共 10 个.分差在 10 分以上,表示所选 2 人来自不同组,其基本事件 有 6 个:(A1, B1),(A1, B2),(A2, B1),(A2 ,B2), (A3 ,B1),(A3 ,B2), 所 以从中任意抽取 2 人,分差在 10 分以上的概率

P?

6 3 ? 10 5

………12 分

19 解: (Ⅰ)由题意知 a 解得: a ? 2, b ?

? 2c, bc ? 3
3, c ? 1

……………2 分 ……………4 分

所以椭圆 ? 的标准方程是

x2 y2 ? ? 1。 4 3

……………5 分

(Ⅱ)设 M ? x0 , y0 ? ,右焦点 F ?1,0 ? , 则圆 M 的半径 r ?

? x0 ? 1?
? x0 ,

2

2 ,圆心 M 到 y 轴距离 ? y0

d ? x0 , 圆 M 与 y 轴相切,则有 r ? d 即
2

?x0 ? 1?2 ? y0 2

…………8 分 …………9 分 …………10 分

2 化简得: y 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0 ,又 M 为椭圆上的点 ? y0 ? 3 ?

两式联立消去 y0 得 3 x 0

2

3 2 x0 , 4 4 ? 8 x0 ? 16 ? 0 ,解得 x0 ? ?4 或 x0 ? , 3

又 ? 2 ? x 0 ? 2 ,所以 x 0 ?

4 15 , y0 ? ? 3 3

,即点 M 坐标是 ? ,?

?4 ?3 ?

15 ? ? 3 ? ?

…………12 分

20 解: (Ⅰ) 依题意, f ( x ) 的定义域为 ? 0, ?? ? ,

f ' ( x) ? x ? ?m ? 1? ?

m x 2 ? ?m ? 1?x ? m ?x ? m ??x ? 1? ? ? x x x

┅┅┅┅┅┅2 分 ┅┅┅┅┅┅3 分 ┅┅┅┅┅┅4 分 ┅┅┅┅┅┅5 分

令 f ' ( x) ? 0 得 x ? m 或 x ? 1 ①当 0 ? m ? 1时, f ( x) 在 ?0, m ? 递增, ?m,1? 递减, ?1,?? ? 递增; ②当 m ? 1 时, f ' ( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 ?0,?? ? 递增;
第 3 页 共 4 页

③当 m ? 1 时,, f ( x) 在 ?0,1? 递增, ?1, m ? 递减, ?m,?? ? 递增;

┅┅┅┅┅┅6 分

( Ⅱ ) 因 为 函 数 f ( x ) 在 点 A( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率 大 于 ? 1 , 所 以 当 x0 ? ?1,?? ? 时 ,

f ' ( x) ? x0 ? ?m ? 1? ?

m 2 ? ?1 恒成立,即当 x0 ? ?1,?? ? 时, x 0 ? mx 0 ? m ? 0 恒成立. ┅┅8 分 x0
2
2

因 x0 ? mx 0 ? m ? 0 ? x0 ? m?x0 ? 1? ,当 x 0 ? 1 时 x 0 ? m? x 0 ? 1? 等价于 m ?
2

x0 。10 分 x0 ? 1

2

设 g ?x0 ? ?

?x ? 1? ? 2?x0 ? 1? ? 1 x0 1 ? 0 ? ?x0 ? 1? ? ? 2 ? 4 ( x 0 ? 2 时取等号) x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1
2 2

则在 ?1,?? ? 上,当 0 ? m ? 4 时,在函数 f ( x ) 的图象上任意一点 A 处的切线的斜率恒大于 ? 1 .

m 与 1 的大小也可得 0 ? m ? 4 。 ┅┅┅┅┅┅13 分 2 1 21 解: (Ⅰ)由 a1=S1=2-3a1 得 a1= , ……………1 分 2 2 2 2 2 由 Sn=2-( +1)an 得 Sn-1=2-( +1)an-1,于是 an=Sn- Sn-1=( +1) an?1 -( +1)an, ……………3 n n ?1 n ?1 n
注:构造二次函数,比较 分 整理得

a n 1 a n ?1 a 1 = × (n≥2), 所以数列{ n }是首项及公比均为 的等比数列. n 2 n ?1 n 2
n

……………5 分

a n ?1? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 n ? ? ? ,即 a n ? n 2 n ?2?
令数列 ?

代入已知得

Sn ? 2 ?

n?2 2n

……………6 分

?n ? 2? 的 前 n 项 和 为 An , 则 n ? ? 2 ?
n?4 , 2n

An ?

3 4 5 n?2 ? 2 ? 3 ??? n , 由 错 位 相 减 法 得 2 2 2 2
……………9 分

An ? 4 ?

所以数列 ?S n ? 的前 n 项和 Tn ? 2n ? ? 4 ? (III)由 S n ? 2 ? 分 所以 ,当 n ? 1 时, T1 ? S1 ;

? ?

n? 4? n?4 ? 2n ? n ? 4 。 n ? 2 ? 2

……………10 分

n?2 n ? 2 n ? 3 n ?1 得 S n ?1 ? S n ? ? n?1 ? n?1 ? 0 知数列 ?S n ? 为递增数列,…12 n 2 2n 2 2
……………13 分 ……………14 分

当 n ? 2 时, Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ? S n ? S n ? ? ? S n ? nSn 。

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