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广东省深圳市宝安中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题


宝安中学 2015—2016 学年第一学期期中考试

高一数学试题
命题:许世清 审题:罗崇文 2015.11.09 选择题(1—12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 M ? {0? 1} ,则其真子集有 A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

2.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y

?x

B. y ? ? x3

C. y ?

1 x

D.

y ? ( )x

1 2

3. 下列四个图形中不可能是函数 y

? f ( x) 图象的是
y y

.

y

y

.

o

.

.

.

x

o

x

o C D 3a-a2

x

o D

x

A B a 4.若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为 A a-2 B 3a-(1+a)2 C 5a-2 5. 函数 y ? x 3 的大致图像是
y y
4

y

y

O

x

O

x

O

x

O

x

A
3

B

C

D

6. 函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 3x ? 2) 的单调递增区间为 A. (-∞,1)
x

B. (2,+∞)

C. (-∞,

3 3 ) D. ( ,+∞) 2 2

7. 函数 f ( x) ? e (e 是自然对数的底数) ,对任意的实数 x, y ? R 都有 A f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) C f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) B f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ) D f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y )

8.右图给出了红豆生长时间 t (月)与枝数 y (枝)的散点图:那么 “红豆生南国,春来发几枝.”的红豆生长时间与枝数的关系用下列 哪个函数模型拟合最好? A.指数函数: y ? 2 t C.幂函数: y ? t 3 B.对数函数: y ? log 2 t D.二次函数: y ? 2t 2

x 9. 函数 y ? a ?

1 (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

A

B

C

D

10.若集合 M ? {( x, y) | x ? y ? 0}, N ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 0, x ? R, y ? R} ,则有 A、M∪N=M B、M∪N=N C、M∩N=M D、M∩N= ?

?2 x , x ? (??,2] 11.设函数 f ( x) ? ? ,则满足 f ( x) ? 4 的 x 的值是 ?log2 x, x ? (2,??)
A.2 B.16 C .2 或 16 D.-2 或 16

2 12.若函数 f ( x) ? ln(ax ? 2ax ? 1) (a ? 0) 在其定义域内存在最小值, 则实数 a 的取值范围是

A (1, ??)

B (??, 0) ? (1, ??)

C (??, 0)

D (0,1)

填空题(13—16 题,每小题 5 分,共 20 分)
2 13. 设 f ( x) ? x ? 2mx ? 3, 若 f ( x) 在 (??,3] 上 是 减 函 数 , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是

______________. 14. 不等式 log1 ( x ? 1) ? log1 ( x ? 5) 的解集是
3 9

. .

2 15. 已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ?

16.已知实数 a 满足 (a ? 5)

2015

? ? a2015 ? 2a ? 5 ? 0 ,则 2016 ( ? a) 2016 ? 2

(保留小数点后

两位。其中 ? ? 3.1416 ). 解答与证明题(17—21 题,共 70 分) 17. (本小题共 10 分)计算:

1 3 0 9 1 ?2 3 (1) (2 ) ? 2 ? | ?0.064 | ?( ) 2 5 4

(2) 27

2 3

1 ? 2log2 3 ? log 2 ? 2lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 8

18. (本小题共 12 分)求下列不等式的解集: (1) |

x ? 2 | ?2 x ? 3

1 x ? x6 ?1 ?1 (2) ( ) 2

19. (本小题共 12 分)已知幂函数 f ( x) ? x 的图象经过点 ( 3, ) . (1)求函数 f ( x) 的解析式,并判断奇偶性; (2)判断函数 f ( x) 在 (??,0) 上的单调性,并用单调性定义证明. (3)作出函数 f ( x) 在定义域内的大致图像(不必写出作图过程).

?

1 3

20. ( 本 小 题 共 12 分 ) 设 集 合 M ? {x | (2

x ?1

?1)(2x?3 ?1) ? 0} . 当 x ? M 时 , 函 数

f ( x) ? log1 x ? log3
3

x 3 3

的值域为 N .

(1)求集合 M;

(2)求集合 N.

21. (本小题共 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,一次函数 y = kx + b + 2(k < 0, b > 0) 的图像与 x 轴、y 轴的正半轴分 别交于点 A、B,且使得 SD AOB = | OA | + | OB | + 3 ( S ?AOB 指 ?AOB 的面积.|OA|,|OB|分别表 示线段的长度). (1)用 b 表示 k; (2)求 D AOB 面积的最小值.

22. (本小题共 12 分) 已知函数 f ( x) ? x | x ? 2a | (a ? R). (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性; (2)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在区间 [1, ] 上的最大值; (3)求函数 f ( x) 在区间 [0,1] 上的最大值 g (a ) .

3 2

高一数学答案
选择题(1—12 题,每小题 5 分,共 60 分) CBCA AACA DACD

填空题(13—16 题,每小题 5 分,共 20 分) 13. [3, + ? ) 14. (1,4) 15. -1 16. 0.93

解答与证明题(17—21 题,共 70 分) 17. (本小题共 10 分) 解: (1)原式= 1 ?

1 3 ? 0 .4 ? 4 2 2 = ? ……………………………………………………5 分 5
2 3 3

(2)原式= (3 ) ? 3 ? log2 2?3 ? lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 ) 2 = 9 ? 9 ? lg10 =19…………………………………………………………10 分 18. (本小题共 12 分) 解: (1)原不等式可化为:

?x ? 2 ?x ? 2 或? ? ? x ? 2 ? 2 x ? 3 ?2 ? x ? 2 x ? 3 解得: x ? 2 或 1 ? x ? 2 即 x ?1 所以,原不等式的解集为 (1,??) ……………………………………6 分
(2)原不等式可化为: ( )

1 2

x?

6 x ?1

1 ? ( )0 2

?x?

6 ? 0 …………………………………………………………8 分 x ?1

变形为:

x2 ? x ? 6 ?0 x ?1



( x ? 2)( x ? 3) ?0 x ?1

等价于, ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? 0 ……………………………………10 分 解得, x ? ?2 或 1 ? x ? 3 所以原不等式的解集是 (??,?2) ? (1,3) …………………………12 分 19. (本小题共 12 分)

解: (1)依题得:

1 = ( 3)? , \ ? = - 2. 3

故 f ( x) = x- 2 .………………2 分

f ( x) 的定义域是 {x | x ? 0} .……………………3 分

f (- x) = (- x)- 2 =

1 1 = 2 = x- 2 = f ( x ) , 2 (- x) x

所以, f ( x) 是偶函数……………………………………4 分 (2)假设任意 x1 < x2 < 0,

f ( x1 ) - f ( x2 ) = x1- 2 - x2- 2 =
\ f ( x1 ) < f ( x2 )

2 x2 - x12 ( x2 + x1 )( x2 - x1 ) 1 1 = = <0 2 2 2 x12 x2 x12 x2 x12 x2

y

\ f ( x) 在 (??,0) 上是增函数.……………………………………8 分
(3)如图.…………………………………………………………12 分 O x

20.(本小题共 12 分) 解: (1)集合 M 中的表达式可以化为: (2 ? 2)(2 ? 8) ? 0 ,
x x

? 2 ? 2 x ? 8 ,解得, 1 ? x ? 3 , M ? [1,3] .………………………………4 分
(2)由(1)知, 1 ? x ? 3 ,?0 ? log3 x ? 1 .………………………………6 分

f ( x) ? log1 x ? log3
3

x 3 3

= ? log 3 x(log 3 x ? ) …………………………8 分

3 2

记 log3 x ? t ?[0,1] ? f ( x) ? g (t ) ? ?t (t ? ) , 根据二次函数的图像, f ( x) ? [0, 故 N ? [0,

3 2

9 ]. 16

9 ] .………………………………………………………………12 分 16

21. (本小题共 12 分) 解: (1)令 x=0,得 y = b + 2 ; 令 y=0,得 x = -

b+ 2 . k

b+ 2 1 b+ 2 , 0), B(0, b + 2) , SD AOB = (b + 2)() …………3 分 k 2 k 1 b+ 2 b+ 2 )= + b+ 2+ 3, 由题意得 (b + 2)(2 k k
点 A(解得 k = -

b 2 + 2b .………………………………………………6 分 2(b + 5)

(2)由(1)得

SD AOB =

1 b+ 2 (b + 2)() 2 k (b + 2)(b + 5) = b 2 b + 7b + 10 = b 10 = b+ +7 b = ( b10 2 ) + 7 + 2 10 b
……………………………………10 分

当 b=

10 ,即 b = 10 时, SD AOB 有最小值 7 + 2 10 .……………………12 分 b

22. (本小题共 12 分)
0 解: (1) 1 当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x | x | ,则 f (? x) ? ? x | x |? ? f ( x) ,所以 f ( x ) 为奇函数.

…………………………2 分

2 0 当 a ? 0 时, f (1) ?| 1 ? a | , f (?1) ? ? | 1 ? a |

?| 1 ? a | ? | 1 ? a |? 0,? f (?1) ? f (1) ,故 f ( x) 不是偶函数;……………………3 分

| 1 ? a |?| 1 ? a |,? f (?1) ? ? f (1) ,故 f ( x) 不是奇函数. 又 a ? 0 时,?
总之,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是非奇非偶函数. 综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 为奇函数;当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 是非奇非偶函数.………4 分 (2) a ? 1 时, f ( x) ? x | x ? 2 | , 又因为 x ? [1, ],? f ( x) ?| x( x ? 2) | . 作出函数 f ( x ) 的图像,可知在 [1, ] 上单调递减,……6 分 ,? f ( x) 的最大值为 f (1) ? 1. ……………………7 分

3 2

3 2

2 2 2 (3) x ??0,1? 时, f ( x) ? x x ? 2a ? x ? 2ax ? ( x ? a ) ? a .

记 h( x) ? x2 ? 2ax ? ( x ? a)2 ? a2 . (1)当 a ? 0 时, h( x) 在区间 ?0,1? 上为增函数,且 h( x) ? 0 . 因此 a ? 0 时, g (a) ? h(1) ? 1 ? 2a …………………………………………9 分 (2)当 a ? 1 时, h( x) 在区间 ?0,1? 上为减函数,且 h( x) ? 0 . 因此 a ? 1 时, g (a) ? ?h(1) ? 2a ? 1 …………………………………………10 分 (3)当 0 ? a ? 1 时, h( x) 在区间 ? 0, a ? 上为减函数,在 ? a,1? 上为增函数. 因为 h(0) ? 0 , h(a) ? ?a , h(1) ? 1 ? 2a , g (a ) 是 h(a) ? a 与 h(1) ? 1 ? 2a 中较大者.
2

2

由 (a2 )2 ? (1 ? 2a)2 ? (a2 ? 2a ? 1)(a2 ? 2a ?1)

? (a ?1)2 (a2 ? 2a ?1) ,
以及 0 ? a ? 1 知: 当0? a ?

2 ? 1 时, (a2 )2 ? (1 ? 2a)2 ? 0, a2 ? 1 ? 2a ? 1 ? 2a;
2 2 2

当 2 ? 1 ? a ? 1 时, (a ) ? (1 ? 2a) ? 0, a ? 1 ? 2a .
2

所以,当 0 ? a ?

2 ? 1 时, g (a) ? 1 ? 2a ;当 2 ?1 ? a ? 1 时, g (a) ? a 2 .……11 分

综合(1) 、 (2) 、 (3)得,

?1 ? 2a, a ? 2 ? 1 ? ? g (a) ? ?a 2 , 2 ? 1 ? a ? 1 ………………………………………………12 分 ?2a ? 1, a ? 1 ? ?


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