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【志鸿优化】2015届高三数学(文)一轮课时作业:11.2 合情推理与演绎推理]


第2讲
基础巩固
1.下列表述正确的是( )

合情推理与演绎推理

①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ 答案:D 解析:归纳推理是由部分到整体的推理,

演绎推理是由一般到特殊的推理,类比推理是由特殊到特殊的推理. 2.下列推理是归纳推理的是( ) A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆+=1 的面积 S=π ab D.以上均不正确 答案:B 解析:从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 项是归纳推理. 3.观察下列各式:7 =49,7 =343,7 =2 401,?,则 7 A.01 B.43 C.07 答案:B 解析:(法一)由题意得,7 =7 =(7 ) ·7 ,由于 7 =2 401 末位为 1,倒数第二位为 0,因此 2 401 的末两 3 4 502 3 位定为 01.又 7 =343,∴(7 ) ·7 的末两位定为 43. (法二)用归纳法:∵7 =49,7 =343,7 =2 401,7 =16 807,7 =117 649,7 =823 543,?,由上知末两位有周期 性且 T=4. 又 7 =7 ,∴7 的末两位与 7 的末两位一样为 43. 4.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”; ③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“(a·b)·c=a·(b·c)”; ④“t≠0,mt=xt? m=x”类比得到“p≠0,a·p=x·p? a=x”; ⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”. 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( A.1 C.3 答案:B 解析:①②正确;③④⑤错误. 5.根据图中 5 个图形及相应圈的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有 个圈.( ) B.2 D.4 )
2 011 502×4+3 2 011 3 2 3 4 5 6 7 2 011 502×4+3 4 502 3 4 502 2 3 4 2 011 2 2 2 2

D.①③⑤

的末两位数字为(

)

D.49

A.n +1 B.n -n C.n+1 2 D.n -n+1 答案:D 解析:第(2)个图形,中间有 1 个圈,另外的圈指向两个方向,每个方向一个圈,共有 2×(2-1)+1 个圈; 第(3)个图形,中间有 1 个圈,另外的圈指向三个方向,每个方向两个圈,共有 3×(3-1)+1 个圈; 第(4)个图形,中间有 1 个圈,另外的圈指向四个方向,每个方向三个圈,共有 4×(4-1)+1 个圈; 第(5)个图形,中间有 1 个圈,另外的圈指向五个方向,每个方向四个圈,共有 5×(5-1)+1 个圈; ?? 由上面的变化规律,可猜测,第 n 个图形中心有 1 个圈,另外的圈指向 n 个方向,每个方向 n-1 个圈,共有 2 n(n-1)+1=n -n+1 个圈. 6.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b 等于( A.28 C.123 答案:C 解析:利用归纳 法:a+b=1,a +b =3,a +b =4=3+1,a +b =4+3=7,a +b =7+4=11,a +b =11+7=18,a +b =18+11=29,a +b =29+18=47,a +b
9 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 2

2

)

B. 76 D.199

=47+29=76,a +b =76+47=123. 规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和. .

10

10

7.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 外接圆半径 r=.运用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互 相垂直且长度分别为 a,b,c,则其外接球的半径 R= 答案: 解析:(构造法)通过类比可得 R=.证明:作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的长方体,则这个长方体的体 对角线的长度是,故这个长方体的外接球的半径是,这也是所求的三棱锥的外接球的半径. 8.在平面内有 n(n∈N ,n≥3)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,若这 n 条直线把平面分成 f(n)个平面区域,则 f(5)的值是 答案:16 f(n)= ,f(n)的表达式是 .
*

解析:由题意,n 条直线将平面分成+1 个平面区域,故 f(5)=16,f(n)=. 9.下图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行;数字 7,8,9,10 出现在第 4 行;依次类推,则第 63 行从左至右的第 8 个数字 为 .

答案:2 009 解析:由每行的行号数和这一行的数字的个数相同可求出第 63 行最左边的一个数是=2 016,从左至右的第 8 个 数应是 2 016-7=2 009. 10.已知等式:sin 5°+cos 35°+sin 5°cos 35°=; sin 15°+cos 45°+sin 15°cos 45°=;
2 2 2 2

sin 30°+cos 60°+sin 30°cos 60°=;?. 由此可归纳出对任意角度 θ 都成立的一个等式,并予以证明. 证明:归纳已知可得: 2 2 sin θ +cos (θ +30°)+sin θ cos(θ +30°)=. 证明如下: ∵sin θ +cos (θ +30°)+sin θ cos(θ +30°) =sin θ ++sin θ 2 =sin θ + =sin θ +cos θ -sin θ =, ∴等式成立. 11.已知椭圆具有性质:若 M,N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点,点 P 是椭圆上任意一点,当直线 PM,PN 的斜 率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值.试对双曲线-=1 写出具有类似特性 的性质,并加以证明. 解:类似的性质为:若 M,N 是双曲线-=1 上关于原点对称的两个点,点 P 是双曲线上任意一点,当直线 PM,PN 的 斜率都存在,并记为 kPM,kPN 时,那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值. 证明:设点 M,P 的坐标分别为(m,n),(x,y), 则点 N 的坐标为(-m,-n). 因为点 M(m,n)在已知双曲线上, 所以 n =m -b .同理 y =x -b . 故 kPM·kPN=·==·=(定值). 12.已知函数 f(x)=,先分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明. 解:f(0)+f(1)=+=+ =+=. 同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=. 由此猜想 f(x)+f(1-x)=. 证明:f(x)+f(1-x)=+ =+=+ ==.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

拓展延伸
13.设 f(n)=n +n+41,n∈N ,计算 f(1),f(2),f(3),f(4),?,f(10)的值,同时作出归纳推理,并用 n=40 验证猜 想是否正确. 解:f(1)=1 +1+41=43, f(2)=2 +2+41=47, f(3)=3 +3+41=53, 2 f(4)=4 +4+41=61, f(5)=5 +5+41=71, f(6)=6 +6+41=83, f(7)=7 +7+41=97, 2 f(8)=8 +8+41=113, f(9)=9 +9+41=131, f(10) =10 +10+41=151. ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数, * 2 ∴归纳猜想:当 n∈N 时,f(n)=n +n+41 的值都为质数. ∵n=40 时,f(40)=40 +40+41=40(40+1)+41=41×41, ∴f(40)是合数. 因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 *


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