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专题检测卷(十六) 专题五 第三讲


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专题检测卷(十六)
用空间向量的方法解立体几何问题 (40 分钟) 1.(2013·江门模拟)如图,直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC=2, CD=1+错误! 未找到引用源。 ,过 A 作 AE⊥CD,垂足为 E.F,G 分别是 CE,AD 的中点. 现将△ADE 沿 AE 折起,使二面角 D-AE-C 的平面角为 135°. (1)求证:平面 DCE⊥平面 ABCE. (2)求直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值.

2.(2013·天津高考)如图,四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB∥ DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1 的中点.

(1)证明:B1C1⊥CE.
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(2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值. (3)设点 M 在线段 C1E 上,且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值为错误!未找 到引用源。,求线段 AM 的长. 3.如图,PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面 PDCE⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC=90°, AB=AD=错误!未找到引用源。CD=a,PD=错误!未找到引用源。a.

(1)若 M 为 PA 的中点,求证:AC∥平面 MDE. (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小. 4.已知四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,G,H 分别是 CE,CF 的中点.

(1)求证:平面 AEF∥平面 BDGH. (2)若平面 BDGH 与平面 BCD 所成的角为 60°,求直线 CF 与平面 BDGH 所成的角的 正弦值. 5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中 点,AA1=AC=CB=错误!未找到引用源。AB.
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(1)证明:BC1∥平面 A1CD. (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值. 6.(2013·山东高考)如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ, D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH. (1)求证:AB∥GH. (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值.

7. (2013·辽宁高考)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.

(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC. (2)若 AB=2,AC=1,PA=1,求二面角 C-PB-A 的余弦值. 8.(2013 ·盐城模拟) 如图 , 已知三棱锥 O-ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直 ,且
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OA=1,OB=OC=2,E 是 OC 的中点. (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值. (2)求二面角 A-BE-C 的余弦值.

9.如图,已知在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且 AB=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点.求证:

(1)DE∥平面 ABC. (2)B1F⊥平面 AEF. 10.(2013·徐州模拟)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AA1=6,AB=2,M,N 分别 是棱 BB1,CC1 上的点,且 BM=4,CN=2. (1)求异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值. (2)求二面角 M-AN-A1 的正弦值.

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答案解析
1.【解析】(1)因为 DE⊥AE,CE⊥AE,DE∩CE=E,DE,CE ? 平面 CDE, 所以 AE⊥平面 DCE, 因为 AE ? 平面 ABCE, 所以平面 DCE⊥平面 ABCE. (2)以 E 为原点,错误! 未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 的方向分别为 x,y 轴的正方向,建立空间直角坐标系. 因为 DE⊥AE,CE⊥AE, 所以∠DEC 是二面角 D-AE-C 的平面角,即∠DEC=135°. 因为 AB=1,BC=2,CD=1+错误!未找到引用源。, 所以 A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),E(0,0,0),D(0,-1,1). 因为 F,G 分别是 CE,AD 的中点, 所以 F 错误!未找到引用源。,G 错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 =(-2,0,0), 由(1)知错误!未找到引用源。是平面 DCE 的法向量, 设直线 FG 与平面 DCE 所成角为α, 则 sinα=错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 =错误! 未找到引用源。 , 故直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值为错误!未找到引用源。. 2. 【 解 析 】 如 图 , 以 点 A 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 依 题 意 得 A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1), B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).
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(1)易得错误!未找到引用源。=(1,0,-1),错误!未找到引用源。 =(-1,1,-1), 于是错误!未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。=0,所以 B1C1⊥CE. (2)错误!未找到引用源。=(1,-2,-1), 设平面 B1CE 的法向量 m=(x,y,z),
???? ? ? ?m?B1C ? 0, 则错误!未找到引用源。 ? ??? 即错误!未找到引用源。消去 x,得 y+2z=0, ? m ? CE ? 0, ? ?

不妨设 z=1,可得一个法向量为 m=(-3,-2,1). 由(1)知 B1C1⊥CE,又 CC1⊥B1C1,可得 B1C1⊥平面 CEC1,故错误!未找到引用源。 =(1,0,-1)为平面 CEC1 的一个法向量.
????? m ?B1C1 ????? =错误! 于是 cos<m,错误!未找到引用源。>=错误!未找到引用源。 m | B1C1 |

未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,从而 sin<m,错误!未找到引用源。>= 错误!未找到引用源。. 所以二面角 B1-CE-C1 的正弦值为错误!未找到引用源。. (3)错误!未找到引用源。=(0,1,0),错误!未找到引用源。=(1,1,1),设错误! 未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=(λ,λ
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+1,λ).可取错误!未找到引用源。=(0,0,2)为平面 ADD1A1 的一个法向量. 设θ为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成的角,则 sinθ=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 于是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,解得λ=错误!未找到引用 源。,所以 AM=错误!未找到引用源。. 3.【解析】(1)连结 PC,交 DE 于 N,连结 MN,△PAC 中,M,N 分别为两边 PA,PC 的中 点.

所以 MN∥AC, 因为 MN ? 平面 MDE,又 AC?平面 MDE,所以 AC∥平面 MDE. (2)设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为θ,以 D 为空间坐标系的原点,分别 以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 P(0,0,错误!未找到 引用源。a),B(a,a,0),C(0,2a,0),错误!未找到引用源。=(a,a,-错误!未找到 引用源。a),错误!未找到引用源。=(-a,a,0). 设平面 PAD 的一个单位法向量为 n1, 则可取 n1=(0,1,0), 设平面 PBC 的一个法向量为 n2=(x,y,1),
??? ? ? n ? PB ? ? x, y,1?? (a, a, ? 2a) ? 0, 2 应有错误!未找到引用源。 ? ? ? ??? ? ?a, a, 0 ? ? 0. ? ?n2 ?BC ? ? x, y,1??
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即:错误!未找到引用源。解得:错误!未找到引用源。 所以 n2=错误!未找到引用源。, 所以 cosθ= 到引用源。. 所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 60°. 4.【解题提示】(1)根据三角形中位线定理可直接得到 EF∥GH,连结 AC 与 BD 交 于点 O,在△ACE 中利用中位线定理可证明线线平行. (2)建立空间直角坐标系,先根据面面角确定点 F 的位置,再求线面角的正弦值. 【解析】(1)G,H 分别是 CE,CF 的中点,所以 EF∥GH, 连结 AC 与 BD 交于 O,因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 O 是 AC 的中点. 连结 OG,OG 是三角形 ACE 的中位线,OG∥AE, 又 EF∩AE=E,GH∩OG=G,则平面 AEF∥平面 BDGH.
n1 ? n2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找 n1 n 2

(2)BF⊥BD,平面 BDEF⊥平面 ABCD, 所以 BF⊥平面 ABCD, 取 EF 的中点 N,连结 ON,则 ON∥BF, 所以 ON⊥平面 ABCD,
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建立空间直角坐标系如图,设 AB=2,BF=t, 则 B(1,0,0),C(0,错误! 未找到引用源。 ,0),F(1,0,t),H 错误! 未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。=(1,0,0),错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 设平面 BDGH 的法向量为 n1=(x,y,z),
??? ? ?n1 ?OB ? x ? 0, ? ? ???? 1 3 t y ? z ? 0, ?n1 ?OH ? x ? ? 2 2 2

取 n1=(0,-t,错误!未找到引用源。). 平面 BCD 的法向量 n2=(0,0,1), |cos<n1,n2>|=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 t2=9,t=3. 所以错误!未找到引用源。=(1,-错误!未找到引用源。,3). 设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为θ, sinθ=|cos<错误!未找到引用源。,n1>|=错误!未找到引用源。=错误!未找到 引用源。. 5.【解析】(1)连结 AC1,交 A1C 于点 F,连结 DF,则 F 为 AC1 的中点.因为 D 为 AB 的中点.所以 DF∥BC1.又因为 FD ? 平面 A1CD,BC1?平面 AC1D,所以 BC1∥平面 A1CD.

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(2)由 AA1=AC=CB=错误!未找到引用源。AB,可设:AB=2a, 则 AA1=AC=CB=错误!未找到引用源。a,所以 AC⊥BC,又因为 ABC-A1B1C1 为直三棱 柱,所以以点 C 为坐标原点,分别以直线 CA,CB,CC1 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图 所示的空间直角坐标系. 则 C(0,0,0),A1(错误!未找到引用源。a,0,错误!未找到引用源。a),D 错误! 未找到引用源。, E 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。a,0, 错误!未找到引用源。a), 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误! 未找到引用源。. 设平面 A1CD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n〃错误!未找到引用源。=0 且 n〃错误! 未 找 到 引 用 源 。 =0, 可 解 得 y=-x=z, 令 x=1, 得 平 面 A1CD 的 一 个 法 向 量 为 n=(1,-1,-1), 同理可得平面 A1CE 的一个法向量为 m=(2,1,-2), 则 cos<n,m>=错误!未找到引用源。,所以 sin<n,m>=错误!未找到引用源。, 所以二面角 D-A1C-E 的正弦值为错误!未找到引用源。. 6.【解析】(1)因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,所以 EF∥AB,DC∥AB. 所以 EF∥DC. 又 EF?平面 PCD,DC ? 平面 PCD,所以 EF∥平面 PCD. 又 EF ? 平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH, 所以 EF∥GH,又 EF∥AB,
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所以 AB∥GH. (2)由 AQ=2BD,D 为 AQ 的中点可得,△ABQ 为直角三角形, 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BC,BP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),设 A(2,0,0),P(0,0,2),Q(0,2,0),则 E(1,0,1),F(0,0,1), D(1,1,0),C(0,1,0),所以错误!未找到引用源。=(0,1,-2), 错误!未找到引用源。=(-1,0,0),错误!未找到引用源。=(1,0,0),错误!未找 到引用源。=(1,-2,1).
??? ? ? ?n1 ?PC ? 0, 设平面 GCD 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1),则 ? ???? 错误!未找到引用源。得 n ? DC ? 0, ? ? 1

错误!未找到引用源。取 n1=(0,2,1),
??? ? ?n 2 ?FE ? 0, 设平面 EFG 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),则 ? ??? 错误!未找到引用源。得 ? n ? QE ? 0, ? ? 2

错误!未找到引用源。取 n2=(0,1,2), 可得 cos<n1,n2>=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 因为二面角 D-GH-E 为钝角, 所以二面角 D-GH-E 的余弦值为-错误!未找到引用源。. 7.【解析】(1)由 AB 是圆的直径,得 AC⊥BC; 由 PA 垂直于圆所在的平面,得 PA⊥平面 ABC; 由 BC ? 平面 ABC,得 PA⊥BC; 又 PA∩AC=A,PA ? 平面 PAC,AC ? 平面 PAC, 所以 BC⊥平面 PAC. 又因为 BC ? 平面 PBC, 所以平面 PAC⊥平面 PBC.
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(2)过点 C 作 CM∥AP,由(1)知 CM⊥平面 ABC. 如图所示,以点 C 为坐标原点,分别以直线 CB,CA,CM 为 x,y,z 轴,建立空间直角 坐标系.

在直角三角形 ABC 中,AB=2,AC=1, 所以 BC=错误!未找到引用源。, 又 PA=1,所以 A(0,1,0),B(错误!未找到引用源。,0,0),P(0,1,1). 故错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。,0,0),错误!未找到引用源。 =(0,1,1). 设平面 PBC 的法向量为 n1=(x1,y1,z1),
??? ? ? n ? CB ? 0, 1 则错误!未找到引用源。 ? ? 错误!未找到引用源。 ? ? ??? n ? CP ? 0. ? ? 1

? 错误!未找到引用源。

不妨令 y1=1,则 z1=-1. 故 n1=(0,1,-1). 设平面 PAB 的法向量为 n2=(x2,y2,z2),
??? ? ? n ? AB ? 0, 2 由错误!未找到引用源。 ? 同理可得 n2=(1,错误!未找到引用源。,0). ? ? ??? n ? AP ? 0. ? ? 2

于是 cos<n1,n2>=错误!未找到引用源。

n1 ? n2 n1 n 2

=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
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结合图形和题意,二面角 C-PB-A 的余弦值为错误!未找到引用源。. 8.【解析】(1)以 O 为原点,OB,OC,OA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.

则有 A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0). 错误!未找到引用源。=(2,0,0)-(0,1,0)=(2,-1,0), 错误!未找到引用源。=(0,2,-1),cos<错误!未找到引用源。,错误!未找到引 用源。>=错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。. 由于异面直线 BE 与 AC 所成的角是锐角,故其余弦值是错误!未找到引用源。. (2)错误!未找到引用源。=(2,0,-1),错误!未找到引用源。=(0,1,-1),设平面 ABE 的法向量为 n1=(x,y,z),则由 n1⊥错误!未找到引用源。,n1⊥错误!未找到 引用源。,得错误!未找到引用源。 取 n1=(1,2,2), 平面 BEC 的一个法向量为 n2=(0,0,1), cos<n1,n2>=错误!未找到引用源。 到引用源。. 由于二面角 A-BE-C 的平面角是 n1 与 n2 的夹角的补角,其余弦值是-错误! 未找到 引用源。. 9.【证明】如图建立空间直角坐标系,令 AB=AA1=4,
n1 ?n 2 =错误!未找到引用源。=错误!未找 n1 ?n 2

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则 A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4). (1)取 AB 的中点为 N,连结 CN,则 N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2), 所以错误!未找到引用源。=(-2,4,0),错误!未找到引用源。=(-2,4,0), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 所以 DE∥NC. 又 NC 在平面 ABC 内,DE 不在平面 ABC 内,故 DE∥平面 ABC. (2)错误!未找到引用源。=(-2,2,-4),错误!未找到引用源。=(2,-2,-2),错误! 未找到引用源。=(2,2,0), 错误! 未找到引用源。 〃 错误! 未找到引用源。 =(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, 则错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,所以 B1F⊥EF, 因为错误!未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0, 所以错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,即 B1F⊥AF. 又因为 AF∩FE=F,所以 B1F⊥平面 AEF. 10.【解析】(1)以 AC 的中点为原点 O,分别以 OA,OB 所在直线为 x,z 轴,建立如 图所示的空间直角坐标系.

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则 O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),B(0,0,错误!未找到引用源。), N(-1,2,0),M(0,4,错误!未找到引用源。),A1(1,6,0),C1(-1,6,0). 所以错误!未找到引用源。=(-1,4,错误!未找到引用源。),错误!未找到引用 源。=(-2,0,0). 所以 cos<错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。>=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。, 所以异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值为错误!未找到引用源。. (2)平面 ANA1 的一个法向量为 m=(0,0,1). 设平面 AMN 的法向量为 n=(x,y,z), 因为错误!未找到引用源。=(-1,4,错误!未找到引用源。),错误!未找到引用 源。=(-2,2,0),
???? ? ? ?n?AM ? 0, 由错误!未找到引用源。 ? ???? ? ?n?AN ? 0

得错误!未找到引用源。令 x=1,则 y=1,z=-错误!未找到引用源。. 所以 n=(1,1,-错误!未找到引用源。). 所以 cos<m,n>= 未找到引用源。, 所以二面角 M-AN-A1 的正弦值=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
m ?n 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=-错误! m n

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