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近三年全国文科高考题分类汇编及解答


近三年全国文科高考题分类汇编及解答
统计员:廖丽兴

高考数学考点解析考点分布表
序号 考点一 考点 集合及其运算 考点分布(选择,填空) (2012 全国大纲,文 1) (2012 新课标全国,文 1) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 1) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 1) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 1) (2014 新课标全国

Ⅱ ,文 1) (2012 新课标全国,文 2) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 2) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 2) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 3) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 2) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 5) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 3) (2012 新课标全国,文 6) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 7) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 7) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 9) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 8) (2012 新课标全国,文 7) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 11) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 9) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 8) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 6) (2012 全国大纲,文 6) (2012 新课标全国,文 12) (2012 新课标全国,文 14) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 6) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 5) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 16) (2012 全国大纲,文 18) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 17) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 17) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 17) 考点分布(解答题)

考点二

复数

考点三 考点四

简易逻辑 程序框图

考点五

三视图

考点六

数列

考点七

三角函数, 正 余弦定理

(2012 全国大纲,文 3) (2012 全国大纲,文 4) (2012 全国大纲,文 15) (2012 新课标全国,文 9) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 9) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 10) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 16) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 4) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 6) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 16) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 2) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 7) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 16) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 13) (2012 全国大纲,文 9) (2012 新课标全国,文 15) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 13) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 14) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 6) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 4) (2012 全国大纲,文 14) (2012 新 课 标 全 国 , 文 5) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 14) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 3) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 11) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 9) (2012 全国大纲,文 3) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 3) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 13) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 13) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 14) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 13) (2012 全国大纲,文 8) (2012 全国大纲,文 16) (2012 新课标全国,文 8) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 15) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 15) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 7) (2012 新课标全国,文 11) (2012 新课标全国,文 16) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 12) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 11) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 12) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 5)

(2012 全国大纲,文 17) (2012 新课标全国,文 17) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 17)

考点八

向量

考点九

线性规划

考点十

排列组合, 概率 统计

(2012 全国大纲,文 20) (2012 新课标全国,文 18) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 18) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 19) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 18) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 19) (2012 全国大纲,文 19) (2012 新课标全国,文 19) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 19) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 18) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 19) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 18)

考点十 一

立体几何

考点十 二

函数性质, 函数 图象

(2014 新课标全国Ⅰ ,文 15) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 15) 考点十 三 考点十 四 圆锥曲线 (2012 全国大纲,文 10) (2012 新课标全国,文 4) (2012 新课标全国,文 10) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 4) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 8) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 5) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 10) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 4) 2014 新课标全国Ⅰ ,文 10) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 10) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 12) (2012 新课标全国,文 13) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 12) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 11) (2012 全国大纲,文 22) (2012 新课标全国,文 20) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 21) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 20) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 20) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 20) 比较大小 (2012 全国大纲,文 11) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 8)

考点十 五

导数及其应用

(2012 全国大纲,文 21) (2012 新课标全国,文 21) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 20) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 21) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 21) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 21) (2012 新课标全国,文 23) (2013 新课标全国Ⅰ ,文 23) (2013 新课标全国Ⅱ ,文 23) (2014 新课标全国Ⅰ ,文 23) (2014 新课标全国Ⅱ ,文 23)

考点十 六

极坐标与参数 方程

一、集合及其运算:

C ? {x | x 1. (2012 全国大纲, 文 1)已知集合 A ? {x | x 是平行四边形 } ,B ? {x | x 是矩形 } ,
是正方形 } , D ? {x | x 是菱形 } ,则 (A) A ? B (B) C ? B (C) D ? C (D) A ? D )

【解析】根据四边形的定义和分类可知选 B. 2.(2012 课标全国,文 1)已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,则( A. A C. A ? B

B

B. B

A

D. A

B ??

【解析】因为 A ? {x | ?1 ? x ? 2} , B ? {x | ?1 ? x ? 1} ,所以 B

A ,故选择 B。
).

3.(2013 课标全国Ⅰ ,文 1)已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈ A},则 A∩B=( A.{1,4} B.{2,3}
2

C.{9,16}

D.{1,2}

【解析】∵ B={x|x=n ,n∈ A}={1,4,9,16},∴ A∩B={1,4}.答案:A 4.(2013 课标全国Ⅱ ,文 1)已知集合 M={x|-3<x<1},N={-3,-2,-1,0,1},则 M∩N =( ).

A.{-2,-1,0,1} B.{-3,-2,-1,0} C.{-2,-1,0} D.{-3,-2,-1} 解析:由题意可得,M∩N={-2,-1,0}.故选 C. 5. (2014 课标全国Ⅰ , 文 1) 已知集合 M ? ? x ?1 ? x ? 3? , N ? ? x ?2 ? x ? 1? , 则M A. ( N? )

(?2,1)

B. (?1,1)

C. (1,3)

D. (?2,3)

【解析】: 在数轴上表示出对应的集合,可得 M
2

N ? (-1,1),选B

6.(2014 课标全国Ⅱ ,文 1)已知集合,B=﹛ x | x - x - 2 ? 0 ﹜,则 A ? B= A. ? B.

?2?

C.

?0?

D.

??2?

【解析】把 A=﹛-2,0,2﹜中的数,代入等式,经检验 x=2 满足。所以选 B. 二、复数部分 1.(2012 课标全国,文 2)复数 z ? A. 2 ? i

?3 ? i 的共轭复数是( 2?i
C. ? 1 ? i

) D. ? 1 ? i

B. 2 ? i

【解析】因为 z ?

(?3 ? i)(2 ? i) ?5 ? 5i ? ? ?1 ? i ,所以 z ? ?1 ? i ,故选择 D。 (2 ? i)(2 ? i) 5 1 ? 2i =( ). ?1 ? i ?2 1 1 B. ? 1 ? i C. 1 ? i 2 2

2. (2013 课标全国Ⅰ ,文 2) A. ? 1 ? 【解析】

1 i 2

D. 1 ?

1 i 2

1 1 ? 2i 1 ? 2i ?1 ? 2i ?i ?2 ? i = ?1+ i .答案:B ? ? ? 2 2 ?1 ? i ? ?2i 2 2

3. (2013 课标全国Ⅱ ,文 2) A. 2 2 【解析】∵ B.2

2 =( 1? i
C. 2

). D.1

2 2 =1-i,∴ =|1-i|= 2 .答案:C 1? i 1? i 1 ? i ,则 | z |? 4.(2014 课标全国Ⅰ ,文 3) z ? 1? i
A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D. 2
2 2

【解析】 :z ?

2 1 1? i 1 1 ?1? ?1? ?i ? ?i ? ? i, z ? ? ? ?? ? ? ,选 B 1? i 2 2 2 2 ?2? ?2?
1 ? 3i ? 1? i B. ?1 ? 2i C. 1-2i

5.(2014 课标全国Ⅱ ,文 2) A. 1 ? 2i 【解析】?

D.

? 1-2i

1+ 3i (1+ 3i )(1+ i ) - 2 + 4i = = = -1+ 2i ∴ 选B. 1- i 2 2

三、简易逻辑部分 1.(2013 课标全国Ⅰ ,文 5)已知命题 p:? x∈ R,2x<3x;命题 q:? x∈ R,x3=1-x2,则下列 命题中为真命题的是( ). ? A.p∧ q B. p∧ q C.p∧? q D. ? p∧? q 0 0 3 2 【解析】由 2 =3 知,p 为假命题.令 h(x)=x -1+x , ∵ h(0)=-1<0,h(1)=1>0,∴ x3-1+x2=0 在(0,1)内有解. ∴ ? x∈ R,x3=1-x2,即命题 q 为真命题.由此可知只有 ? p∧ q 为真命题.故选 B. 2.(2014 课标全国Ⅱ ,文 3 )函数 f ( x ) 在 x ? x? 处导数存在,若 p: f ?( x0 ) ? 0 ;q:x=x0 是 f ( x ) 的极值点,则 (A) p 是 q 的充分必要条件

(B) p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 (C) p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件
? 命题p不是q的充分条件 ; 【解析】? 若f ?( x0 ) ? 0, 则x0不一定是极值点 ? 若x0是极值点, 则f ?( x0 ) ? 0 ∴命题p是q的必要条件 .所以, 选C.

四、程序框图 1. (2012 课标全国, 文 6)若执行右边和程序框图, 输入正整数 N( N ? 2 ) 和实数 a1 , ?, a2 ,

aN ,输出 A,B,则(
B.

) 开始 输入 N , a1 , a2 ,?, aN

A. A ? B 为 a1 , a2 ,?, aN 的和

A? B 为 a1 , a2 ,?, aN 的算术平均数 2

C. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, aN 中最大的数和最小的数 D. A 和 B 分别是 a1 , a2 ,?, aN 中最小的数和最大的数 【解析】由程序框图可知, A 表示 a1 , a2 ,?, aN 中最大的数, B 表示 a1 , a2 ,?, aN 中最小的数,故选择 C。

k ? 1 , A ? a1 , B ? a1

x ? ak
x ? A?
否 是

k ? k ?1

A? x



x ? B?


B?x

k ? N? 否
是 输出 A,B 结束

2.(2013 课标全国Ⅰ,文 7)执行下面的程序框图,如果输入的 t∈[-1,3], 则输出的 s 属于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 【解析】 当-1≤t<1 时,s=3t,则 s∈[-3,3). 当 1≤t≤3 时,s=4t-t2. ∵该函数的对称轴为 t=2,

∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. ∴smax=4,smin=3. ∴s∈[3,4].综上知 s∈[-3,4].故选 A.

3.(2013 课标全国Ⅱ, 文 7)执行下面的程序框图, 如果输入的 N=4, 那么输出的 S=(

).

1 1 1 1+ ? ? A. 2 3 4 1 1 1 1 1+ ? ? ? 2 3 4 5 C.

1 1 1 1+ ? ? B. 2 3 ? 2 4 ? 3 ? 2 1 1 1 1 1+ ? ? ? D. 2 3 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? 4 ? 3 ? 2

【解析】由程序框图依次可得,输入 N=4, T=1,S=1,k=2;

1 1 , S ? 1+ ,k=3; 2 2 1 1 1 T? ,S= 1+ ? ,k=4; 3? 2 2 3? 2 1 1 1 1 T? ? , S ? 1? ? ,k=5; 4 ? 3? 2 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 ? 输出 S ? 1 ? ? .答案:B 2 3? 2 4 ? 3? 2 T?
4.(2014 课标全国Ⅰ, 文 9)执行下图的程序框图, 若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3, 则输出的 M =( ).

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

【解析】 :输入 a ? 1, b ? 2, k ? 3 ; n ? 1 时: M ? 1 ?

1 3 3 ? , a ? 2, b ? ; 2 2 2 2 8 3 8 3 3 15 8 15 n ? 2 时: M ? 2 ? ? , a ? , b ? ; n ? 3 时: M ? ? ? , a ? , b ? ; 3 3 2 3 2 8 8 3 8 15 n ? 4 时:输出 M ? . 选 D. 8

5.(2014 课标全国Ⅱ,文 8)执行右面的程序框图,如果如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( ). (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 【解析】

x = 2, t = 2, 变量变化情况如下: M S K 1 2 2 故选D. 3 5 7 1 2 3

五、三视图、 1.(2012 课标全国,文 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三 视图,则此几何体的体积为( ) A.6 B.9 C.12 D.15 【解析】由三视图可知,该几何体为 A 三棱锥 A-BCD, 底面△BCD 为 底边为 6,高为 3 的等腰三角形, 侧面 ABD⊥底面 BCD, AO⊥底面 BCD, B D O 因此此几何体的体积为

1 1 V ? ? ( ? 6 ? 3) ? 3 ? 9 ,故选择 B。 3 2

C

2.(2013 课标全国Ⅰ,文 11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体. V 半圆柱=

).

1 π×22× 4=8π, 2

V 长方体=4× 2× 2=16. 所以所求体积为 16+8π.故选 A. 3.(2013 课标全国Ⅱ,文 9)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面, 则得到的正视图可以为( ).

解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为 下图:

则它在平面 zOx 的投影即正视图为 ,故选 A. 4. (2014 课标全国Ⅰ,文 8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体 的三视图,则这个几何体是( )

A.三棱锥

B.三棱柱

C.四棱锥

D.四棱柱

【解析】 :根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选 B

5.(2014 课标全国Ⅱ,文 6) 如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切 削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 (A)

17 27

(B)

5 10 (C) 9 27

(D)

1 3

【解析】

? 加工前的零件半径为 3,高6, ∴体积v1 = 9π ? 6 = 54π. ? 加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴体积v2 = 4 π ? 4 + 9π ? 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体 积之比=
六、数列部分 1.(2012 全国大纲,文 6)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

【 解 析 】 因 为 an?1 ? S n?1 ? S n , 所 以 由 S n ? 2an?1 得 , S n ? 2(S n?1 ? S n ) , 整 理 得

3S n ? 2S n?1 ,所以
3 2

S n ?1 3 3 ? ,所以数列 {S n } 是以 S1 ? a1 ? 1为首项,公比 q ? 的等比 2 Sn 2

n ?1 数列,所以 S n ? ( ) ,选 B.

2.(2012 全国大纲,文 18)已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。

n?2 an 。 3

3. (2012 课标全国, 文 12)数列{ an }满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , 则{ an }的前 60 项和为 ( A.3690
n



B.3660

C.1845

D.1830

【解析】因为 an?1 ? (?1) an ? 2n ?1 , 所以 a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 3 , a4 ? a3 ? 5 , a5 ? a4 ? 7 , a6 ? a5 ? 9 , a7 ? a6 ? 11 , ??, a58 ? a57 ? 113 , a59 ? a58 ? 115 , a60 ? a59 ? 117 。 由 a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 3 可得 a1 ? a3 ? 2 ; 由 a6 ? a5 ? 9 , a7 ? a6 ? 11 可得 a5 ? a7 ? 2 ; ??

由 a58 ? a57 ? 113 , a59 ? a58 ? 115 可得 a57 ? a59 ? 2 ; 从而 a1 ? a3 ? a5 ? a7 ?

? a57 ? a59 ? (a1 ? a3 ) ? (a5 ? a7 ) ? ? a60 ) ? (a1 ? a3 ? a5 ? ? a59 )

? (a57 ? a59 ) ? 2 ?15 ? 30 。

又 a2 ? a1 ? 1 , a4 ? a3 ? 5 , a6 ? a5 ? 9 ,?, a58 ? a57 ? 113 , a60 ? a59 ? 117 , 所以 (a2 ? a4 ? a6 ?

? (a2 ? a1 ) ? (a4 ? a3 ) ? (a6 ? a5 ) ? 30 ? 118 ? ? 1770 。 2
从而 a2 ? a4 ? a6 ?

? (a60 ? a59 ) ? 1 ? 5 ? 9 ?

? 117

? a60 ? a1 ? a3 ? a5 ?

? a59 ? 1770 ? 30 ? 1770 ? 1800 。 ? a59 ) ? (a2 ? a4 ? ? a60 )

因此 S60 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?

? a59 ? a60 ? (a1 ? a3 ?

? 30 ? 1800 ? 1830 。故选择 D。
4 . (2012 课标全国,文 14) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 3S2 ? 0 ,则公比

q ? ___________。
【解析】由已知得 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1q ? a1q2 , 3S2 ? 3a1 ? 3a2 ? 3a1 ? 3a1q , 因为 S3 ? 3S2 ? 0 ,所以 4a1 ? 4a1q ? a1q2 ? 0 而 a1 ? 0 ,所以 q2 ? 4q ? 4 ? 0 ,解得 q ? ?2 。 5. (2013 课标全国Ⅰ, 文 6)设首项为 1, 公比为 A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2

2 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则( 3
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an

).

2 1 ? an n a ?1 ? q ? a1 ? an q 3 =3-2a ,故选 D. 【解析】 Sn ? 1 ? ? n 2 1? q 1? q 1? 3
6.(2013 课标全国Ⅰ,文 17)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?
n(n ? 1) d. 2

【解析】(1)设{an}的公差为 d,则 Sn= na1 ? 由已知可得 ?

?3a1 ? 3d ? 0, 解得 a1=1,d=-1. ?5a1 ? 10d ? 5,

故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知

1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a2 n?1a2 n?1 ?3 ? 2n ??1 ? 2n? 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ?

从而数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?1 1 1 3 n = . 1 ? 2n

?

1 1 ? ? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?

7.(2013 课标全国Ⅱ,文 17)已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成 等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2.
2 【解析】(1)设{an}的公差为 d.由题意, a11 =a1a13,

即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等差数列. 从而 Sn=

n n (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n. 2 2

8.(2014 课标全国Ⅱ,文 5)等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 a2 , a4 , a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn = (A) n ? n ? 1? 【解析】 (B) n ? n ?1?

(C)

n ? n ? 1? 2

(D)

n ? n ? 1? 2

? d ? 2, a2 , a4 , a8成等比? a4 ? a2 a8,即(a2 ? 2d ) 2 ? a2 (a2 ? 6d ), 解得a2 ? 4, a1 ? 2. ? S2 ? 6.经验证,仅A正确.选A.
9.(2014 课标全国Ⅰ,文 17)已知 ?an ? 是递增的等差数列,a2 ,a4 是方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的
2

2

根。 (I)求 ?an ? 的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ? ?2 ?

【解析】 : (I)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的两根为2,3,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 ,设数列 ?an ? 的
2

3 1 a1 ? 公差为 d,,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d= ,从而 2, 2
所以 ?an ? 的通项公式为: an ? (Ⅱ)设求数列 ? 则: S n ?

1 n ?1 2

????6 分

a n?2 ? an ? ? n ?1 , 的前 n 项和为Sn,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

3 4 5 n ?1 n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 3 4 5 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2

两式相减得

1 3 ?1 1 Sn ? ? ? 3 ? 4 ? 2 4 ?2 2
所以 S n ? 2 ?

?

1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 ? n? 2 ? ? ?1 ? n?1 ? ? n?2 n ?1 ? 2 ? 2 4 4? 2 ? 2
???12 分

n?4 2n ?1

10.(2014 课标全国Ⅱ,文 16)数列 ?an ? 满足 a n?1?

1 , a2 =2,则 a1 =_________. 1 ? an

【解析】? a2 ? 2, an?1 ?

1 1 1 ? a2 ? 解得a1 ? . 1 - an 1 - a1 2

七、三角函数、正余弦定理的应用

x ?? (? ? [0, 2? ]) 是偶函数,则 ? ? ( ) 3 ? 2? 3? 5? (A) (B) (C) (D) 3 2 3 2 x ?? x ? x ? ? sin( ? ) ,因为函数 f ( x) ? sin( ? ) 为偶函数,所 【解析】函数 f ( x) ? sin 3 3 3 3 3 ? ? 3? 3? ? 3k? , k ? Z ,又 ? ? [0,2? ] ,所以当 k ? 0 时, ? ? 以 ? ? k? ,所以 ? ? , 3 2 2 2
1.(2012 全国大纲,文 3)若函数 f ( x) ? sin 选 C. 2.(2012 全国大纲,文 4)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? (A) ?

24 25

(B) ?

12 25

3 ,则 sin 2? ? 5 12 24 (C) (D) 25 25

2 【解析】因为 ? 为第二象限,所以 cos ? ? 0 ,即 cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ?

4 ,所以 5

4 3 12 sin 2? ? 2 sin ? cos ? ? ? ? ? ? ,选 B. 5 5 25
3 . (2012 全 国 大 纲 , 文 15) 当 函 数 y ? sin x ?

3 cos x (0 ? x ? ?2 取 )得 最 大 值 时 ,
) ,当 0 ? x ? 2? 时,

x ? ___________.
【解析】函数为 y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ?

?
3

3 5? 所以 x ? . 6

?

?
3

? x?

?

?

5? ? ? 5? ,由三角函数图象可知,当 x ? ? ,即 x ? 时取得最大值, 3 3 2 6

4.(2012 课标全国,文 9)已知 ? ? 0 , 0 ? ? ? ? ,直线 x ?

?
4

和x ?

5? 是函数 4

f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 ? ? ( ) ? ? ? 3? A. B. C. D. 4 4 3 2 ? 5? 【解析】由直线 x ? 和 x ? 是函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴, 4 4 5? ? ? ) ? 2? ,从而 ? ? 1 。 得 f ( x) ? sin(? x ? ? ) 的最小正周期 T ? 2( 4 4 ? 由此 f ( x) ? sin( x ? ? ) ,由已知 x ? 处 f ( x) ? sin( x ? ? ) 取得最值, 4 ? ? 所以 sin( ? ? ) ? ?1 ,结合选项,知 ? ? ,故选择 A。 4 4
5.(2013 课标全国Ⅰ ,文 9)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π,π]的图像大致为( ).

【解析】由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈? 0, ? 时,f(x)>0,排除 2

? ?

π? ?

A. 当 x∈ (0, π)时, f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.令 f′(x)=0, 得x ? 故极值点为 x ?

2 π. 3

6. (2013 课标全国Ⅰ, 文 10)已知锐角△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 23cos2A +cos 2A=0,a=7,c=6,则 b=( ). A.10 B.9 C.8 D.5 【解析】由 23cos2A+cos 2A=0,得 cos2A=

2 π ,可排除 D,故选 C. 3

1 . 25

1 π? ? ,∴cos A= 5 . 2? 13 36 ? b 2 ? 49 ∵cos A= ,∴b=5 或 b ? ? (舍).故选 D. 5 2 ? 6b
∵A∈ ? 0, 7.(2013 课标全国Ⅰ ,文 16)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ= ______. 【解析】∵ f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ),

? ?

2 5 5 ,cos φ= . 5 5 π 当 x-φ=2kπ+ (k∈ Z)时,f(x)取最大值. 2 π π 即 θ-φ=2kπ+ (k∈ Z),θ=2kπ+ +φ(k∈ Z). 2 2 2 5 ?π ? ∴ cos θ= cos ? ? ? ? =-sin φ= ? . 5 ?2 ?
其中 sin φ= 8. (2013 课标全国Ⅱ, 文 4)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 已知 b=2,B ? π ,
6

π C ? ,则△ABC 的面积为( 4

). C. 2 3 ? 2 D. 3 ? 1

A. 2 3+2

B. 3+1

【解析】A=π-(B+C)= π ? ?

? π π ? 7π , ? ?? ? 6 4 ? 12

a b b sin A ? 由正弦定理得 ,则 a ? ? sin A sin B sin B
∴S△ABC=

2sin

7π 12 ? 6 ? 2 , π sin 6

1 1 2 ab sin C ? ? 2 ? ( 6 ? 2) ? ? 3 ? 1 .答案:B 2 2 2 2 π? 2? 9.(2013 课标全国Ⅱ ,文 6)已知 sin 2α= ,则 cos ? ? ? ? =( ). 3 4? ? 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 π? ? 2 1 ? cos ? 2? ? ? 1? π? 2 ? 1 ? sin 2? ? 2? 3 ? 1 .答 ? ? 【解析】由半角公式可得, cos ? ? ? ? = 2 2 2 6 4? ?
案:A 10.(2013 课标全国Ⅱ ,文 16)函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平移 与函数 y= sin ? 2 x ?

π 个单位后, 2

π? ? 的图像重合,则 φ=__________. 3? π ? ? π? ? 【解析】y=cos(2x+φ)向右平移 个单位得, y ? cos ? 2? x ? ? ? ? ? =cos(2x-π+φ)= 2 2? ? ? ?

? ?

π? π? π? ? ? ? sin ? 2 x ? π+? + ? =sin ? 2 x ? ? ? ? ,而它与函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像重合, 2? 2? 3? ? ? ? π π 5π +2kπ ,k∈Z. 令 2x+φ- =2x+ +2kπ,k∈ Z, 得 ? ? 2 3 6 5π 又-π≤φ<π,∴? ? . 6
11.(2014 课标全国Ⅰ ,文 2)若 tan ? ? 0 ,则 A. sin ? ? 0 B. cos ? ? 0 C. sin 2? ? 0 D. cos 2? ? 0

【解析】 :由tan????0可得:k??????? k ????

? (k?Z),故2k???2???2 k?????(k?Z), 2

正确的结论只有 sin 2????0. 选 C
12.(2014 课标全国Ⅰ ,文 7)在函数① y ? cos | 2 x | ,② y ?| cos x | ,③ y ? cos( 2 x ? ④ y ? tan( 2 x ? A.① ② ③

?
6

),

?
4

) 中,最小正周期为 ? 的所有函数为
C. ② ④ D. ① ③

B. ① ③ ④

【解析】 :由 y ? cos x 是偶函数可知 y ? cos 2x ? cos2x ,最小正周期为 ? , 即① 正确; y =| cos x |的最小正周期也是 ? ,即② 也正确; y ? cos ? 2 x ?

? ?

??

正确; ? 最小正周期为 ? ,即③ 6?

y ? tan(2 x ? ) 的最小正周期为 T ? ,即④ 不正确. 4 2
即正确答案为① ② ③ ,选A 13.(2014 课标全国Ⅰ ,文 16)如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量 M 点 的 仰 角 ?MAN ? 60? , C 点 的 仰 角 ?CAB ? 45? 以 及 观测点.从 A 点测得 ?MAC ? 75? ; 从 C 点 测 得 ?MCA ? 60? . 已 知 山 高 BC ? 100m , 则 山 高 MN ? ________ m .

?

?

【解析】在直角三角形 ABC 中,由条件可得 AC ? 100 2 ,在△ MAC 中,由正弦 定理

可得

AM AC 3 ,故 AM ? AC ? 100 3 ,在直角△ MAN 中, ? 0 0 0 0 sin 60 sin ? 180 ? 60 ? 75 ? 2

MN ? AM sin 600 ? 150.
14.(2014 课标全国Ⅱ ,文 13)函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) - 2 sin ? cos x 的最大值为_________.

【解析】

f ( x) ? sin(x ? ? ) - 2 sin ? cos x ? sin x cos? ? cos x sin ? - 2 sin φ cos x ? sin x cos? - cos x sin ? ? sin(x - ? ) ? 1.故最大值为 1

15.(2012 全国大纲,文 17) ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 成等差数列,其对边 a 、 b 、 c 满 足 2b ? 3ac ,求 A 。
2

【解析】

16 . (2012 课标全国,文 17) 已知 a , b , c 分别为 △ ABC 三个内角 A ,B,C 的对边,

c ? 3a sin C ? c cos A 。
(1)求 A; (2)若 a ? 2 ,△ ABC 的面积为 3 ,求 b , c 。 【解析】 (1)根据正弦定理

a c ? ? 2 R ,得 a ? 2 R sin A , c ? 2 R sin C , sin A sin C

因为 c ? 3a sin C ? c cos A , 所以 2R sin C ? 3(2R sin A)sin C ? 2R sin C ? cos A , 化简得 3 sin A sin C ? cos A sin C ? sin C ,

因为 sin C ? 0 ,所以 3 sin A ? cos A ? 1,即 sin( A ?

?

6 5? ? ? ? 而0 ? A ? ? ,? ? A? ? ,从而 A ? ? ,解得 A ? 。 3 6 6 6 6 6

)?

?

?

1 , 2

(2)若 a ? 2 ,△ ABC 的面积为 3 ,又由(1)得 A ?

?

3



? ?1 bc sin ? 3 ? ?bc ? 4 ?2 3 则? ,化简得 ? 2 , 2 ?b ? c ? 8 ?b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? a 2 ? 4 ? 3 ? 从而解得 b ? 2 , c ? 2 。
17.(2014 课标全国Ⅱ ,文 17)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3, CD=DA=2. (I)求 C 和 BD; (II)求四边形 ABCD 的面积。 【解析】

(1)设x ? BD, 分别在ΔABD,ΔBCD中,对角A, C用余弦定理, 则 1 ? 4 - x2 9 ? 4 - x2 , cosC ? . ? A ? C ? π ∴ cos A ? cosC ? 0 2?2 2? 2?3 1 π 联立上式解得 x ? 7 , cosC ? , 所以, C ? ,BD ? 7 2 3 cos A ?

π 3 (2)? A ? C ? π,C ? ∴ sinA ? sin C ? 3 2 四边形ABCD面积S ABCD ? SΔABD ? SΔBCD ? ? 2 3.所以,四边形 ABCD面积为2 3
八、平面向量部分 1.(2012 全国大纲,文 9) ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 ,

1 1 3 AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? sin C ? (1 ? 3) 2 2 2

| a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?
(A) a ? b (D)

1 3 3 3 a? b 5 5

1 3

(B)

2 2 a? b 3 3

(C)

4 4 a? b 5 5

【 解 析 】 如 图 , 在 直 角 三 角 形 中 ,

CB ? 1 ,CA ? 2,AB ? 5 ,则 CD ?

2 5

,





AD ? CA 2 ? CD 2 ? 4 ?

4 4 ? 5 5

,





AD 4 ? AB 5

,



AD ?

4 4 4 4 AB ? (a ? b) ? a ? b ,选 D. 5 5 5 5

2.(2012 课标全国,文 15)已知向量 a , b 夹角为 45°,且 | a |? 1 , | 2a ? b |? 10 ,则

| b |? _________。
【解析】由已知 a ? b ?| a | ? | b | ? cos45? ?

2 |b|。 2

因为 | 2a ? b |? 10 ,所以 4 | a |2 ?4a ? b? | b |2 ? 10 ,即 | b |2 ?2 2 | b | ?6 ? 0 , 解得 | b |? 3 2 。 3.(2013 课标全国Ⅰ,文 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b· c =0,则 t=______. 【解析】∵b· c=0,|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60° ,∴a· b= 1? 1? ∴b· c=[ta+(1-t)b]· b=0,即 ta· b+(1-t)b2=0. ∴

1 1 ? . 2 2

1 t +1-t=0. ∴t=2. 2

4.(2013 课标全国Ⅱ,文 14)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =__________. 【解析】以 AB, AD 为基底,则 AB ? AD ? 0 ,

?

?

1 AB ? AD , BD ? AD ? AB , 2 1 ∴ AE ? BD ? ( AB ? AD) ? ( AD ? AB) 2 2 2 1 1 ? ? AB ? AD ? ? ? 22 ? 22 ? 2 . 2 2
而 AE ? 5 . (2014 课标全国Ⅰ,文 6) 设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则

EB ? FC ?
A. AD B.

1 AD 2

C.

1 BC 2

D. BC

【解析】 : EB ? FC ? EC ? BC ? FB ? BC ? EC ? FB =

?

? ?

?

1 1 1 AB ? AC ? AB ? AC ? AD , 2 2 2

?

?

选 A.

6.(2014 课标全国Ⅱ,文 4)设向量 a , b 满足 |a+b|= 10 , |a-b|= 6 ,则 a·b= (A)1 【解析】 (B) 2
2 2

(C)3

(D) 5
2 2

?| a + b |= 10 ∴ a + b + 2ab = 10.?| a - b |= 6 ∴ a + b - 2ab = 6.两式相减,则 ab = 1.选A.

九、线性规划部分

? x ? y ?1 ? 0 ? 1.(2012 全国大纲,文 14)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
____________.

【解析】做出做出不等式所表示的区域如图

,由 z ? 3x ? y 得

y ? 3x ? z ,平移直线 y ? 3x ,由图象可知当直线经过点 C (0,1) 时,直线 y ? 3x ? z 的截
距最 大,此时 z 最小,最小值为 z ? 3x ? y ? -1 .【答案】 - 1 2.(2012 课标全国,文 5)已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ,B(1,3) ,顶 点 C 在第一象限,若点( x , y )在△ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是( A. ( 1 ? 3 ,2) B. (0,2) C. ( 3 ? 1 ,2) D. (0, 1 ? 3 ) )

【解析】正△ABC 内部如图所示, A(1,1) ,B(1,3) ,C( 1 ? 3 ,2) 。

将目标函数 z ? ? x ? y 化为 y ? x ? z ,显然在 B(1,3)处, zmax ? ?1 ? 3 ? 2 ;在 C (1? 3 , 2) 处,zmin ? ?(1 ? 3) ? 2 ? 1 ? 3 。 因为区域不包括端点, 所以 1 ? 3 ? z ? 2 , 故选择 A。 3.(2013 课标全国Ⅰ,文 14)设 x,y 满足约束 条件

?1 ? x ? 3 , 则 z = 2x - y 的 最 大 值 为 ? ??1 ? x ? y ? 0 ,
______. 解析:画出可行域如图所示. 画出直线 2x-y=0,并平移, 当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大值, 且最大值为 z=2×3-3=3.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 4.(2013 课标全国Ⅱ,文 3)设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z=2x-3y 的最小值是 ? x ? 3, ?
( ). A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分, 而目标函数可化为 y ? 先画出 l0:y=

2 z x? , 3 3

2 x ,当 z 最小时, 3

直线在 y 轴上的截距最大, 故最优点为图中的点 C,由

? x ? 3, 可得 C(3,4), ? ? x ? y ? 1 ? 0,
代入目标函数得,zmin=2× 3-3× 4=-6.

5. (2014 课标全国Ⅰ,文 11)设 x , y 满足约束条件 ? 则a ? (A)-5 (C)-5 或 3 【答案】 :B

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小值为 7, ? x ? y ? ?1,

(B)3 (D)5 或-3

【解析】 :画出不等式组对应的平面区域, 如图所示. 在平面区域内, 平移直线 x ? ay ? 0 , 可知在点 A ? 处,z 取得最值,故 舍去,答案为a ??3.

? a ?1 a ? 1 ? , ? 2 ? ? 2

a ?1 a ?1 ?a ? 7, 解之得a ???5或a ??3.但a ???5时,z取得最大值,故 2 2
选B.

?x ? y ?1 ? 0 ? 6.(2014 课标全国Ⅱ,文 9)设 x,y 满足的约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? 2y 的最大值 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
为 (A)8 【解析】 (B)7 (C)2 (D)1

画可行区域知为三角形 ,可以代值 .两两求解,得三点坐标 (1,0), (3,2), (0,1). 代入z = x + 2 y, 则最大值为 7.故选B.
十、概率、统计部分

1.(2012 课标全国,文 3)在一组样本数据( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,?, ( xn , yn ) (n ? 2, ( i =1,2,?, n ) x1 , x2 ,?, xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点( xi , yi ) 1 都在直线 y ? x ? 1 上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) 2 1 A.-1 B.0 C. D.1 2 1 1 【解析】 因为 y ? x ? 1 中,k ? ? 0 , 所以样本相关系数 r ? 0 , 又所有样本点 ( xi , y i ) 2 2 1 ( i =1,2,?, n )都在直线 y ? x ? 1 上,所以样本相关系数 r ? 1 ,故选择 D。 2 2.(2013 课标全国Ⅰ,文 3)从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对 值为 2 的概率是( ).

1 A. 2

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 6 1 .答案:B 3

解析:由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满 足条件的事件数是 2,所以所求的概率为

3.(2013 课标全国Ⅱ,文 13)从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 __________. 解析:该事件基本事件空间 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)}共有 10 个,记 A=“其和为 5”={(1,4),(2,3)}有 2 个,∴P(A)=

2 =0.2. 10

4.(2014 课标全国Ⅰ ,文 13)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为________. 【解析】设数学书为 A,B,语文书为 C,则不同的排法共有(A,B,C) , (A, C,B) , (B,C,A) , (B,A,C) , (C,A,B) , (C,B,A)共 6 种排列方法,其中 2 本数学书 相邻的情况有 4 种情况,故所求概率为 P ?

4 2 ? . 6 3

5.(2014 课标全国Ⅰ ,文 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A 、 B 、 C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. 【解析】∵ 丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过 B 城市,乙说:我没去过 C 城市 ∴ 三人同去过同一个城市应为A,∴ 乙至少去过A,若乙再去城市 B,甲去过的城市至多两 个,不可能比乙多,∴ 可判断乙去过的城市为A. 6.(2014 课标全国Ⅱ,文 13)甲、已两名元动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动 服种选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的概率为_______. 【解析】

1 1 1 1 ?甲乙均选择红色的概率 为 ? .同理,均选择红、或蓝 色的概率也是 ? 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ? 他们选择相同颜色的概 率为 ? + ? + ? = . 3 3 3 3 3 3 3 7.(2012 全国大纲,文 20)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续

发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换。每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分。设在 甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6 ,各次发球的胜负结果相互独立。 甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球时,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ)求开始第 5 次发球时,甲得分领先的概率。 【答案】

8.(2012 课标全国,文 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以 每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1) 若花店一天购进 17 枝玫瑰花, 求当天的利润 y (单位: 元) 关于当天需求量 n(单 位:枝, n ? N )的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 14 15 16 17 18 19 20

频数

10

20

16

16

15

13

10

①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日利润(单位:元)的 平均数; ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率, 求当天的利润不少于 75 元的概率。 【解析】 (1)当日需求量 n ? 17 时,利润 y ? 17 ? 5 ? 85 ; 当日需求量 n ? 16 时,利润 y ? 5n ? 5(17 ? n) ? 10n ? 85 。 所以当天的利润 y 关于当天需求量 n 的函数解析式为 y ? ? (n? N ) 。 (2)①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花, 则这 100 天的日利润(单位:元)的平均数为

?10n ? 85(n ? 16) (n ? 17) ?85

y?

1 ? [10 ? (140 ? 85) ? 20 ? (150 ? 85) ? 16 ? (160 ? 85) ? 16 ? 85 ? 15 ? 85 ? 13 ? 85 ? 10 ? 85] 100 ? 76 .4 (元) 。
故当天的利润不少于 75 元的概率为

②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝。

p ? 0.16 ? 0.16 ? 0.15 ? 0.13 ? 0.10 ? 0.7 。
9.(2013 课标全国Ⅰ,文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服 用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y .由观测结果可得

x=

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 20 1 (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4 20

+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3,

y=

+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有 验结果有

7 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试 10

7 的叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 10

10.(2013 课标全国Ⅱ,文 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度 内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率.

解:(1)当 X∈[100,130)时, T=500X-300(130-X)=800X-39 000. 当 X∈[130,150]时,T=500× 130=65 000. 所以 T ? ?

?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7, 所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. 11.(2014 课标全国Ⅰ ,文 18) 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的一 项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: 质量指标值分组 频数 [75,85) 6 [85,95) 26 [95,105) 38 [105,115) 22 [115,125) 8

(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:

(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表) ; (III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低 于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 【解析】 : (I)

????4分 (II)质量指标值的样本平均数为

x ? 80 ? 0.06 ? 90 ? 0.26 ? 100 ? 0.38 ? 110 ? 0.22 ? 120 ? 0.08 ? 100 .
质量指标值的样本方差为

s 2 ? ? ?20 ? ? 0.06 ? ? ?10 ? ? 0.26 ? 0 ? 0.38 ? ?10 ? ? 0.22 ? ? 20 ? ? 0.08 ? 104 …10 分
2 2 2 2

(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值 小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品 80%”的规定. …………….12 分

12.(2014 课标全国Ⅱ,文 19) 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市 民。根据这 50 位市民

(I)分别估计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (II)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分做于 90 的概率; (III)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价。 【解析】 (1)两组数字是有序排列的,50 个数的中位数为第 25,26 两个数。由给出的数据 可知道,市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66+68)/2=77 所以,市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,77 (2)甲部门评分数高于 90 共有 5 个、乙部门评分数高于 90 共有 8 个,部门的评分做于 90 的 概率。因此,估计市民对甲、乙部门的评分小于 90 的概率分别为

p甲 =

5 8 = 0.1, p乙 = = 0.16 50 50

所以,市民对甲、乙部门的评分大于 90 的概率分别为 0.1,0.16 十一、立体几何部分

AB ? 2 ,CC1 ? 2 2 , E 1.(2012 全国大纲,文 8)已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1中 ,
为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 (A) 2 (B) 3 (C) 2 (D)1

【 解 析 】 连 结 AC, BD 交 于 点 O , 连 结 OE , 因 为 O, E 是 中 点 , 所 以 OE // AC1 , 且

OE ?

1 AC 1 ,所以 AC1 // BDE ,即直线 AC1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 2

的距离,过 C 做 CF ? OE 于 F ,则 CF 即为所求距离.因为底面边长为 2,高为 2 2 ,所以

AC ? 2 2 , OC ? 2, CE ? 2 , OE ? 2 , 所 以 利 用 等 积 法 得 CF ? 1 , 选 D.

E 、 F 分别为 BB1、CC1 的 2.(2012 全国大纲,文 16)已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
中点,那么异面直线 AE 与 D1F 所成角的余弦值为____________.

【解析】

如图连接 DF, D1 F ,则 DF // AE ,所以 DF 与

D1 F 所成的角即为异面直线所成的角, 设边长为 2, 则 DF ? D1 F ? 5 , 在三角形 DD1 F
中 cos D1 FD ?

5?5?4 2? 5 ? 5

?

3 3 .【答案】 5 5

3.(2012 课标全国,文 8)平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 ? 的 距离为 2 ,则此球的体积为( A. 6? C. 4 6? B. 4 3? D. 6 3? )

【解析】如图所示,由已知 O1 A ? 1, OO1 ? 2 , 在 Rt ?OO1 A 中,球的半径 R ? OA ? 3 , 所以此球的体积 V ?

4 ? R 3 ? 4 3? ,故选择 B。 3

4.(2013 课标全国Ⅰ,文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为 π,则球 O 的表面积为______.

解析:如图, 设球 O 的半径为 R, 则 AH=

又∵π·EH2=π,∴EH=1. ∵在 Rt△OEH 中,R2= ? ∴S 球=4πR2=

2R R ,OH= . 3 3

9 ?R? 2 2 ? +1 ,∴R = 8 . ?3?

2

9π . 2

5.(2013 课标全国Ⅱ,文 15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 以 O 为球心,OA 为半径的球的表面积为__________. 解析:如图所示,在正四棱锥 O-ABCD 中, VO-ABCD=

3 2 ,底面边长为 3 ,则 2

1 1 3 2 × S 正方形 ABCD· |OO1|= ×( 3)2 × |OO1|= , 3 3 2

∴|OO1|=

3 2 6 ,|AO1|= , 2 2
2 2
2 2

在 Rt△OO1A 中,

?3 2 ? ? 6 ? OA= | OO1 | ? | AO1 | = ? ,即 R ? 6 , ? ? 2 ? ? ?? ? ? ? 6 ? ? ? 2 ?
∴S 球=4πR2=24π. 6.(2014 课标全国Ⅱ,文 7) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1DC1 的体积为

(A)3 【

(B) 解

3 2

(C)1

(D) 析

3 2


? B1C1 // BD∴ BD // 面AB1C1 , 点B和D到面AB1C1的距离相等 1 1 ∴VD- AB1C1 = VB- AB1C1 = VC1 - ABB1 = ? ? 2 ? 3 ? 3 = 1.故选C. 3 2
7. (2012 全国大纲, 文 19)如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD , AC ? 2 2 , PA ? 2 , E 是 PC 上 的一点, PE ? 2 EC 。 (Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的
E B C A D P

大小。 【答案】

8.(2012 课标全国,文 19)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, ?ACB ? 90? , AC=BC=

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点。 2

C1 A1

B1

(1)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比。 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC , 得: ?ADC ? 45 , 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90 , 得: DC1 ? DC 。 由题设知 BC⊥CC1,BC⊥AC, CC1 所以 BC ? 平面 ACC1 A 1。 又 DC1 ? 平面 ACC1 A 1 ,所以 DC1 ? BC 而 DC
? ?
?

D C A B

AC ? C ,

BC ? C ,所以 DC1 ? 平面 BDC 。

又 DC1 ? 平面 BDC1 ,故平面 BDC1⊥平面 BDC。 (2)由已知 AC=BC=

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点, 2

设 AA1 ? 2a , AC ? BC ? AD ? a ,则 VABC ? A1B1C1 ?

1 2 a ? 2a ? a 3 。 2

由(1) , BC ? 平面 ACC1 A 1 ,所以 BC 为四棱锥 B ? ACC1D 的高, 所以 VB ? ACC1D ?

1 1 1 ? ( ? 3a ? a) ? a ? a 3 。 3 2 2

因此平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为

VABC ? A1B1C1 ? VB ? ACC1D VB ? ACC1D

1 a3 ? a3 2 ?1 ? 1 3 1 a 2

9.(2013 课标全国Ⅰ,文 19)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB, AB=AA1,∠BAA1=60° . (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 解析: (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60° , 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C2=OC2+ OA12 , 故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC× OA1=3. 10.(2013 课标全国Ⅱ,文 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点. (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB= 2 2 ,求三棱锥 C-A1DE 的体积. 解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A,于是 CD⊥平面 ABB1A1. 平面 A1CD,

由 AA1=AC=CB=2, AB ? 2 2 得∠ACB=90° ,

CD ? 2 , A1D ? 6 , DE ? 3 ,A1E=3,
故 A1D2+DE2=A1E2,即 DE⊥A1D. 所以 VC-A1DE= ?

1 1 ? 6 ? 3 ? 2 =1. 3 2

11. (2014课标全国Ⅰ,文19)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的 中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C . (I)证明: B1C ? AB; (II)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1,
?

求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高. 【解析】 : (I)连结 BC1 ,则 O 为 BC1 与 B1C 的交点,因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以 B1C ? BC1 , 又 AO ? 平面 BB1C1C ,故 B1C ? AO 故 B1C ? AB

B1C ? 平面 ABO ,由于 AB ? 平面 ABO ,
………6 分

(II)作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H, 由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC. 又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC. 因为 ?CBB1 ? 60? , ,BC 所以△ ? 1,CBB1 为等边三角形,又BC=1,可得

OD=

1 1 3 ,由于 AC ? AB1 ,所以 OA ? B1C ? ,由 2 2 4
2 2

OH· AD=OD· OA,且 AD ? OD ? OA ?

7 21 ,得OH= 4 14 21 21 ,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为 7 7

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为

12.(2014 课标全国Ⅱ,文 18) 如图,四棱锥 p—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA 上面 ABCD,E 为 PD 的点。

(I)证明:PP//平面 AEC; (II)设置 AP=1,AD= 3 ,三棱锥

P-ABD 的体积 V=

3 ,求 A 到平面 PBC 的距离。 4

【解析】 (1)设 AC 的中点为 G, 连接 EG。 在三角形 PBD 中, 中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上, 所以 PB//平面 AEC. (2)

? PA⊥ 面ABCD∴ PA⊥ BC, PA是三棱锥P - ABD的高.设x = AB, A到面PBD的距离为h 3 1 1 1 3 , VP - ABD = S ΔABD ? PA = ? ? 3 ? x ? 1, ∴ x = 4 3 3 2 2 ? AB ⊥ BC, PA⊥ BC, AB∩P A = A ∴ BC ⊥ 面P AB,BC ⊥ P B,BC为三棱锥C - P AB的高, ?VP - ABD = ?VP - ABC = VA- PBC ? PA? AB ? BC = BC ? PB ? h,由勾股定理解得 PB2 = 所以,A到面PBC的距离为
十二、函数图象及其性质 1.(2012 课标全国,文 11)当 0 ? x ?

13 3 13 ∴h = 4 13

3 13 13

1 时, 4x ? log a x ,则 a 的取值范围是( 2



A. (0,

2 ) 2

B. (

2 ,1) 2

C. (1, 2 )

D. ( 2 , 2)

【解析】显然要使不等式成立,必有 0 ? a ? 1 。 在同一坐标系中画出 y ? 4 与 y ? log a x 的图象。
x

若0 ? x ?

1 时, 4x ? log a x , 2

?0 ? a ? 1 ? 当且仅当 ? , 1 log a ? 2 ? ? 2
解得

?0 ? a ? 1 ?0 ? a ? 1 ? ? ,即 ? 2 1 。 ? 1 2 log a ? log a a a ? ? ? ? 2 ? 2

2 ? a ? 1,故选择 B。 2

2.(2012 课标全国,文 16)设函数 f ( x) ?

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 x2 ? 1

M ? m ? ____________。
【解析】 f ( x) ? 令 g ( x) ?

2x sin x ( x ? 1)2 ? sin x x 2 ? 1 ? 2 x ? sin x ? 1? 2 ? 2 ? 。 2 2 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

2x sin x ? 2 ,则 f ( x) ? g ( x) ? 1 。 x ?1 x ?1
2

因为 g ( x) 为奇函数,所以 g ( x)max ? g ( x)min ? 0 。 所以 M ? m ? [ g ( x)max ? 1] ? [ g ( x)min ? 1] ? g ( x)max ? g ( x)min ? 2 ? 2 【答案】2。

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, 3.(2013 课标全国Ⅰ,文 12)已知函数 f(x)= ? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围 ?ln( x ? 1), x ? 0.
是( ). A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 解析:可画出|f(x)|的图象如图所示. 当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x2+2x|相切为界限, 由?

∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2. ∴a∈[-2,0].故选 D.

? y ? ax, 得 x2-(a+2)x=0. 2 y ? x ? 2 x , ?

4.(2013 课标全国Ⅱ,文 11)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( A.? x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 解析:若 x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大致如图所示, 则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不正确.答案:C 5.(2013 课标全国Ⅱ,文 12)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
x

).

).

C.(0,+∞)

D.(-1,+∞)

?1? 解析:由题意可得, a ? x ? ? ? (x>0). ?2?
令 f(x)= x ? ?

?1? ? ,该函数在(0,+∞)上为增函数,可知 f(x)的值域为(-1,+∞),故 a>- ?2?

x

1 时,存在正数 x 使原不等式成立.答案:D

6.(2014 课标全国Ⅰ ,文 5) 设函数 f ( x), g ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,则下列结论中正确的是( A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) | g ( x) | 是奇函数 ) B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | f ( x) g ( x) | 是奇函数

【解析】 :设 F ( x) ? f ( x) g ( x) ,则 F (?x) ? f (?x) g ( ?x) ,∵ f ( x) 是奇函数, g ( x) 是 偶函数,∴ F (? x) ? ? f ( x) g ( x) ? ?F ( x) , F ( x) 为奇函数,选 C.

?e x ?1 , x ? 1, ? 7.(2014 课标全国Ⅰ ,文 15) 设函数 f ? x ? ? ? 1 则使得 f ? x ? ? 2 成立的 x 的取值 3 ? ? x , x ? 1,
范围是________. 【解析】当x ?1时,由 e
1 3

x ?1

? 2 可得x ?1??ln 2,即x ??ln 2?1,故x ?1;

当x ?1时,由f (x) ? x ??2可得x ??8,故1??x ??8,综上可得x ??8
8 . (2014 课标全国Ⅱ,文 15) 已知函数 f ( x) 的图像关于直线 x=2 对称, f (3) =3 ,则
f (?1) ? _______.

? f ( x)为偶函数? f (-1) ? f (1) ? f ( x)图像关于x ? 2对称∴ f (1) ? f (3) ? 3 【解析】 ∴ f (-1) ? 3
十三、比较大小 1.(2012 全国大纲,文 11)已知 x ? ln ? , y ? log5 2 , z ? e (A) x ? y ? z (B) z ? x ? y
1
? 1 2

,则 (D) y ? z ? x

(C) z ? y ? x

【解析】 x ? ln ? ? 1 , y ? log5 2 ?

? 1 1 1 1 1 ? 1 ,所以 , ? ? ,z?e 2 ? 2 log2 5 2 e e

y ? z ? x ,选 D.
2.(2013 课标全国Ⅱ,文 8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( ). A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b 解析:∵log25>log23>1,∴log23>1>

1 1 > >0, log 2 3 log 2 5

即 log23>1>log32>log52>0,∴c>a>b. 答案:D 十四、圆锥曲线 1. (2012 全国大纲, 文 10)已知 F 右焦点, 点 P 在 C 上, 1 、F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、
2 2

| PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ?

(A)

1 4

(B)

3 5

(C)

3 4

(D)

4 5

【解析】双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,所以 a ? b ? 2, c ? 2 ,因为|PF1|=|2PF2|,所以点 2 2

P 在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得|PF2|= 2 2 ,|PF1|= 4 2 ,所以根据 余弦定理得 cos F1 PF2 ?

(2 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 14 2? 2 2 ? 4 2

?

3 ,选 C. 4

2.(2012 课标全国,文 4) 设 F 1 、 F2 是椭圆 E: 为直线 x ? A.

x2 y 2 ? ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,P a 2 b2


1 2

3a 上一点, ?F2 PF1 是底角为 30°的等腰三角形,则 E 的离心率为( 2 2 3 4 B. C. D. 3 4 5

【解析】如图所示, ?F2 PF1 是等腰三角形,

?F2 F1P ? ?F2 PF1 ? 30? , | F2 P |?| F1F2 |? 2c , ?PF2Q ? 60? , ?F2 PQ ? 30? , | F2Q |? c , 3a 3a 3 ? c ,所以 ? c ? c ,解得 c ? a , 又 | F2Q |? 4 2 2 c 3 因此 e ? ? ,故选择 C。 a 4
3. (2012 课标全国, 文 10)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16 x
2

的准线交于 A,B 两点, | AB |? 4 3 ,则 C 的实轴长为( A. 2 B. 2 2 C.4

) D.8

【解析】设等轴双曲线 C 的方程为
2 2 2 即 x ? y ? a (a ? 0) ,

x2 y 2 ? ? 1, a2 a2

抛物线 y ? 16 x 的准线方程为 x ? ?4 ,
2

联立方程 ?

? x2 ? y 2 ? a2 2 2 ,解得 y ? 16 ? a , ? x ? ?4

因为 | AB |? 4 3 , 所以 | AB | ? (2 | y |) ? 4 y ? 48 ,从而 y ? 12 ,
2 2 2 2

2 2 所以 16 ? a ? 12 , a ? 4 , a ? 2 ,

因此 C 的实轴长为 2a ? 4 ,故选择 C。

x2 y2 5 4.(2013 课标全国Ⅰ,文 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C a b 2
的渐近线方程为( ).

1 1 1 x ? x ? x A.y= 4 B.y= 3 C.y= 2 D.y=± x 2 2 b 1 c 5 b 1 c 5 5 解析:∵ e ? ,∴ ? ,即 2 ? .∵c2=a2+b2,∴ 2 ? .∴ ? . a 2 a 4 a 4 a 2 2 b 1 ∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,∴渐近线方程为 y ? ? x .故选 C. a 2 5.(2013 课标全国Ⅰ,文 8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2= 4 2 x 的焦点,P 为 C 上一 点,若|PF|= 4 2 ,则△POF 的面积为( ). A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.4 ?
解析:利用|PF|= xP ? 2 ? 4 2 ,可得 xP= 3 2 .∴yP= ?2 6 . ∴S△POF=

1 |OF|· |yP|= 2 3 .故选 C. 2

x2 y 2 6.(2013 课标全国Ⅱ,文 5)设椭圆 C: 2 ? 2 =1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b
P 是 C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30° ,则 C 的离心率为( ).

3 A. 6

1 B. 3

1 C. 2

3 D. 3

解析:如图所示,在 Rt△PF1F2 中,|F1F2|=2c, 设|PF2|=x,则|PF1|=2x, 由 tan 30° =

2 3 | PF2 | x 3 ,得 x ? c. ? ? 3 | F1F2 | 2c 3

而由椭圆定义得,|PF1|+|PF2|=2a=3x, ∴a ?

3 c c 3 x ? 3c ,∴ e ? ? .答案:D ? 2 a 3c 3

7.(2013 课标全国Ⅱ,文 10)设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 l 过 F 且与 C 交于 A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则 l 的方程为( ). A.y=x-1 或 y=-x+1 C. y ? 3( x ?1) 或 y ? ? 3( x ?1) B. y ?

3 3 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) 3 3 2 2 ( x ? 1) 或 y ? ? ( x ? 1) D. y ? 2 2

解析:由题意可得抛物线焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. 当直线 l 的斜率大于 0 时,如图所示,过 A,B 两点分别向准 线 x=-1 作垂线,垂足分别为 M,N,则由抛物线定义可得, |AM|=|AF|,|BN|=|BF|. 设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,

t x | NB | | BK | ,得 ? , ? 3t x ? 4t | AM | | AK | | NB | t 1 解得 x=2t,则 cos∠NBK= ? ? , | BK | x 2
在△AMK 中,由 ∴∠NBK=60° ,则∠GFK=60° ,即直线 AB 的倾斜角为 60° . ∴斜率 k=tan 60° = 3 ,故直线方程为 y= 3( x- 1) . 当直线 l 的斜率小于 0 时,如图所示,同理可得直线方程为 y= ? 3( x- 1) ,故选 C.

8.(2014 课标全国Ⅰ,文 4)已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2,则 a ? a2 3
D. 1

A. 2

B.

6 2

C.

5 2

a2 ? 3 【解析】 :由双曲线的离心率可得 ? 2 ,解得 a ? 1 ,选 D. a
9.(2014 课标全国Ⅰ,文 10)已知抛物线 C: y 2 ? x 的焦点为 F , A( xo , yo ) 是 C 上一点,

| AF |?

5 xo ,则 xo ? ( 4
B. 2

) C. 4 D. 8

A. 1

【解析】 :根据抛物线的定义可知 AF ? x0 ?

1 5 ? x0 ,解之得 x0 ? 1 . 选 A. 4 4
2
°

10.(2014 课标全国Ⅱ, 文 10)设 F 为抛物线 C : y =3x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 于 C 于 A, B 两点,则 AB =

(A) 【解析】

30 3

(B)6

(C)12

(D) 7 3

3 设AF = 2m, BF = 2n,F ( ,0).则由抛物线的定义和直 角三角形知识可得, 4 3 3 3 3 2m = 2 ? + 3m,2n = 2 ? - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 AB = AF + BF = 2m + 2n = 12.故选C.
11.(2014 课标全国Ⅱ,文 12) 设点 M (x0 ,1),若在圆 O : x ? y =1 上存在点 N ,使得
2 2

?OMN ? 45°,则 x 0 的取值范围是

(A) ??1,1? 【解析】

(B) ? ? , ? 2 2

? 1 1? ? ?

(C) ? ? 2, 2 ? (D)

?

?

? 2 2? , ? ?? ? 2 2 ?

在坐标系中画出圆 O和直线y ? 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故选A.
12.(2012 全国大纲,文 22) 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1)2 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ?
2

1 2 ) ? r 2 (r ? 0) 有一个公共点 A ,且在 2

点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、 n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的 距离。

【答案】

13.(2012 课标全国,文 20)设抛物线 C: x 2 ? 2 py ( p ? 0 )的焦点为 F,准线为 l ,A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点。 (1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2 ,求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m , n 距离的比值。 【解析】 (1)若∠BFD=90°,则△BFD 为等腰直角三角形, 且|BD|= 2 p ,圆 F 的半径 r ?| FA |? 2 p , 又根据抛物线的定义可得点 A 到准线 l 的距离

d ?| FA |? 2 p 。
因为△ABD 的面积为 4 2 , 所以

1 1 ? | BD | ?d ? 4 2 ,即 ? 2 p ? 2 p ? 4 2 , 2 2

2 所以 p ? 4 ,由 p ? 0 ,解得 p ? 2 。

从而抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y , 圆 F 的圆心 F(0,1) ,半径 r ?| FA |? 2 2 , 因此圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8 。
2 2

(2)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上, 则 AB 为圆 F 的直径,∠ADB=90°, 根据抛物线的定义,得 | AD |?| FA |? 所以 ?ABD ? 30? , 从而直线 m 的斜率为

1 | AB | , 2

3 3 或? 。 3 3

当直线 m 的斜率为

3 3 p 时,直线 m 的方程为 y ? x? , 3 3 2
p 2 3 1 ? ( )2 3

原点 O 到直线 m 的距离 d1 ?



依题意设直线 n 的方程为 y ?

3 x ?b, 3

? 3 x?b 2 3 ?y ? 2 联立 ? ,得 x ? px ? 2 pb ? 0 , 3 3 ? x 2 ? 2 py ?
因为直线 n 与 C 只有一个公共点,所以 ? ?

p 4 p2 ? 8 pb ? 0 ,从而 b ? ? 。 6 3

所以直线 n 的方程为 y ?

3 p x ? ,原点 O 到直线 n 的距离 d 2 ? 3 6

p 6 1? ( 3 2 ) 3



p d1 2 因此坐标原点到 m , n 距离的比值为 ? ?3。 d2 p 6
当直线 m 的斜率为 ? 为 3。 14.(2013 课标全国Ⅰ,文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2 +y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求|AB|. 解:由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.

3 时,由图形的对称性可知,坐标原点到 m , n 距离的比值也 3

由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭 圆(左顶点除外),其方程为

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若 l 的倾斜角为 90° ,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90° ,由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为 Q,则 可求得 Q(-4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得

| QP | R ? , | QM | r1

| 3k | 1? k 2

=1,解得 k= ?

2 . 4

当 k=

x2 y2 2 2 时,将 y ? x ? 2 代入 ? =1 ,并整理得 7x2+8x-8=0, 4 3 4 4

解得 x1,2=

?4 ? 6 2 , 7
18 . 7

所以|AB|= 1 ? k 2 |x2-x1|= 当 k= ?

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4
18 . 7

综上,|AB|= 2 3 或|AB|=

15.(2013 课标全国Ⅱ,文 20)(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 在 y 轴上截得线段长为 2 3 . (1)求圆心 P 的轨迹方程; (2)若 P 点到直线 y=x 的距离为

2 ,求圆 P 的方程. 2

解:(1)设 P(x,y),圆 P 的半径为 r. 由题设 y2+2=r2,x2+3=r2. 从而 y2+2=x2+3. 故 P 点的轨迹方程为 y2-x2=1. (2)设 P(x0,y0).由已知得

| x0 ? y0 | 2

?

2 . 2

又 P 点在双曲线 y2-x2=1 上,从而得 ? 由?

?| x0 ? y0 |? 1, 2 2 ? y1 ? x0 ? 1.

? x0 ? y0 ? 1, ? x0 ? 0, 得? 此时,圆 P 的半径 r= 3. 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? ?1.

由?

? x0 ? y0 ? ?1, ? x0 ? 0, 得? 此时,圆 P 的半径 r ? 3 . 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ? y0 ? 1.

故圆 P 的方程为 x2+(y-1)2=3 或 x2+(y+1)2=3. 16.(2014 课标全国Ⅰ,文 20)已知点 P(2,2) ,圆 C : x 2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与 圆 C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (I)求 M 的轨迹方程; (II)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积
2 【解析】 : (I)圆C的方程可化为 x ? ? y ? 4 ? ? 16 ,所以圆心为 C(0,4),半径为 4. 2

设M(x,y),则 CM ? ( x, y ? 4) , MP ? (2 ? x, 2 ? y) ,,由题设知 CM MP ? 0 ,故

x ? 2 ? x ? ? ? y ? 4?? 2 ? y ? ? 0 ,即 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2
2 2

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是 ? x ? 1? ? ? y ? 3? ? 2 ………… 6 分
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半 径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在 圆N 上,从而ON⊥PM. 因为ON 的斜率为3,所以 l 的斜率为 ? 为: y ? ?

1 ,直线 l 的方程 3

1 8 x? 3 3

又 OM ? OP ? 2 2 , O 到 l 的距离为 所以 ?POM 的面积为:

4 10 4 10 , PM ? , 5 5
?????12 分

16 . 5

17.(2014 课标全国Ⅱ ,文 20) 设 F1 ,F2 分别是椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左,右焦 a 2 b2

点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N。 (I)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(II)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且|MN|=5|F1N|,求 a,b。 【解析】 (1)

MF1 3 b 2 1 3 ?由题知, = ∴ ? = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2
(2)

b2 ? 4.设F1 N ? m,由题可知MF1 ? 4m. a 3 由两直角三角形相似, 可得M , N两点横坐标分别为 c,- c. 2 3 c 由焦半径公式可得: MF1 ? a ? ec, NF1 ? a ? e(- c),且MF1 : NF1 ? 4 : 1, e ? , 2 a 2 2 2 a ? b ? c .联立解得a ? 7, b ? 2 7 . 由三角形中位线知识可 知,MF2 ? 2 ? 2,即 所以,a ? 7, b ? 2 7
十五、导数及其应用 1.(2012 课标全国,文 13)曲线 y ? x(3ln x ? 1) 在点(1,1)处的切线方程为_________。 【解析】由已知 y ' ? 3ln x ? 4 ,根据导数的几何意义知切线斜率 k ? y ' |x?1 ? 4 , 因此切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 。 【答案】 4 x ? y ? 3 ? 0 。
3 2 2.(2014 课标全国Ⅰ ,文 12) 已知函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,

且 x0 ? 0 ,则 a 的取值 范围是( (A) ? 2, ??? (B) ?1, ?? ?

) (C) ? ??, ?2? (D) ? ??, ?1?

2 【解析 1】 :由已知 a ? 0 , f ?( x) ? 3ax ? 6 x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ?

2 , a

当 a ? 0 时, x ? ? ??,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? , ?? ? , f ?( x) ? 0 ; a? ?a ?

且 f (0) ? 1 ? 0 , f ( x) 有小于零的零点,不符合题意。 当 a ? 0 时, x ? ? ??,

? ?

2? ?2 ? ? , f ?( x) ? 0; x ? ? ,0 ? , f ?( x) ? 0; x ? ? 0, ?? ? , f ?( x) ? 0 a? ?a ?
2 a
2

要使 f ( x) 有唯一的零点 x0 且 x0 >0,只需 f ( ) ? 0 ,即 a ? 4 , a ? ?2 .选 C
3 2 【解析 2】 :由已知 a ? 0 , f ( x) = ax ? 3x ? 1 有唯一的正零点,等价于 a ? 3

1 1 ? x x3

有唯一的正零根,令 t ?

1 3 ,则问题又等价于 a ? ?t ? 3t 有唯一的正零根,即 y ? a 与 x

y ? ?t 3 ? 3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧,记 f (t ) ? ?t 3 ? 3t f ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ,由 f ?(t ) ? 0 , t ? ?1 , t ? ? ??, ?1? , f ?(t ) ? 0; t ? ? ?1,1? , f ?(t ) ? 0; ,

t ??1, ??? , f ?(t ) ? 0 ,要使 a ? ?t 3 ? 3t 有唯一的正零根,只需 a ? f (?1) ? ?2 ,选 C
3.(2014 课标全国Ⅱ,文 11)若函数 f ( x) ? kx ? ln x 在区间(1,+ ? )单调递增,则 k 的 取值范围是( ) (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

(A) ? ??, ?2? 【解析】

? f ( x)在(1,+ ∞)上递增, ∴ f ′( x) ≥0恒成立? f ( x) = kx - ln x ∴ f ′( x) = k 1 即k ≥ 1> .所以k ∈[1,+∞ ), 选D. x
4.(2012 全国大纲,文 21)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

1 ≥ 0. x

1 3 x ? x 2 ? ax 3

(Ⅱ)设 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x 2 ,若过两点 ( x1 , f ( x1 )) , ( x2 , f ( x2 )) 的直线 l 与 x 轴的 交点在曲线 y ? f ( x) 上,求 a 的值。 【答案】

5.(2012 课标全国,文 21)设函数 f ( x) ? e ? ax ? 2 。
x

(1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 a ? 1 , k 为整数,且当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ?1 ? 0 ,求 k 的最大值。
x 【解析】 (1)函数 f ( x) 的定义域为(-∞,+∞) ,且 f '( x) ? e ? a 。

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x) 在(-∞,+∞)上是增函数;
x 当 a ? 0 时,令 f '( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a 。 x 令 f '( x) ? e ? a ? 0 ,得 x ? ln a ,所以 f ( x) 在 (ln a, ??) 上是增函数,

令 f '( x) ? e x ? a ? 0 ,得 x ? ln a ,所以 f ( x) 在 (??,ln a) 上是减函数, (2)若 a ? 1 ,则 f ( x) ? ex ? x ? 2 , f '( x) ? e x ?1 。 所以 ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e x ?1) ? x ? 1 , 故当 x ? 0 时, ( x ? k ) f '( x) ? x ? 1 ? 0 等价于

k?

xe x ? 1 x(e x ? 1) ? x ? 1 x ?1 ? ? x? x , x x e ?1 e ?1 e ?1
x ?1 ?x(x ? 0) 。 ex ?1


即当 x ? 0 时, k ? 令 g ( x) ?

x ?1 ? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) ? x ,则 。 g '( x ) ? ? 1 ? ex ?1 (e x ? 1)2 (e x ? 1)2

由(1)知,函数 h( x) ? e x ? x ? 2 在 (0, ??) 单调递增, 而 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 4 ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 存在唯一的零点。 故 g '( x ) 在 (0, ??) 存在唯一的零点。设此零点为 ? ,则 ? ? (1, 2) 。 当 x ? (0, ? ) 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? (? , ??) 时, g '( x) ? 0 。 所以 g ( x) 在 (0, ??) 的最小值为 g (? ) 。 又由 g '(? ) ? 0 ,可得 e ? ? ? 2 ,所以 g (? ) ?
?

? ?1
e? ? 1

? ? ? ? ? 1 ? (2,3) ,

由于①式等价于 k ? g (? ) ? ? ? 1? (2,3) , 故整数 k 的最大值为 2。 6.(2013 课标全国Ⅰ,文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. (2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,

x f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)· ?e ?

? ?

1? ?. 2?

令 f′(x)=0 得,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e 2).


7.(2013 课标全国Ⅱ,文 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2e-x. (1)求 f(x)的极小值和极大值; (2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=-e-xx(x-2).① 当 x∈(-∞,0)或 x∈(2,+∞)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,2)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递减,在(0,2)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(0)=0; 当 x=2 时,f(x)取得极大值,极大值为 f(2)=4e 2.


(2)设切点为(t,f(t)), 则 l 的方程为 y=f′(t)(x-t)+f(t). 所以 l 在 x 轴上的截距为 m(t)= t ?

f (t ) t 2 ?t? ? t ?2? ? 3. f '(t ) t ?2 t ?2

由已知和①得 t∈(-∞,0)∪(2,+∞). 令 h(x)= x ?

2 (x≠0),则当 x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[ 2 2 ,+∞); x

当 x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3). 所以当 t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 综上,l 在 x 轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[ 2 2 ? 3 ,+∞). 8.(2014 课 标 全 国 Ⅰ , 文 21) 设 函 数 f

? x? ?

1? a a ln x ? 2

2

x?

a, 曲 线 ?b x ? ?1

y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切线斜率为 0
(I)求 b; (II)若存在 x0 ? 1, 使得 f ? x0 ? ?

a ,求 a 的取值范围。 a ?1

a ? (1 ? a ) x ? b , 由题设知 f ?(1) ? 0 ,解得 b ?1. ……………4 分 x 1? a 2 x ?x, (Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??),由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ? 2
【解析】 ( :I)f ?( x) ?

f ?( x) ?

a 1? a ? a ? ? (1 ? a) x ? 1 ? ?x? ? ? x ? 1? x x ? 1? a ?

1 a ? 1 ,故当x?(1,??)时, f '(x) ??0 , f (x)在(1,??)上单调递增. ,则 2 1? a a a 1? a a ?1 ? 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f (1) ? ,即 1? a 1? a 2 1? a

(i)若 a ?

所以? 2 ?1 ??a ?? 2 ?1;

1 a a a ? a ? 1,则 ? 1 ,故当x?(1, , ?? ) )时, f '(x) <?0 , x?( 2 1? a 1? a 1? a a a , ?? 单调递增. 时, f ?( x) ? 0 ,f (x)在(1, )上单调递减,f (x)在 1? a 1? a a a a )? 所以,存在 x0 ?1, 使得 f ( x0 ) ? 的充要条件为 f ( ,而 1? a 1? a 1? a
(ii)若

a a a2 a a ,所以不和题意. f( ) ? a ln ? ? ? 1? a 1 ? a 2 ?1 ? a ? 1 ? a 1 ? a
(ⅲ) 若 a ? 1 ,则 f (1) ?

综上,a 的取值范围为: ? 2 ? 1, 2 ? 1 ? ?1, ?? ?
3 2 9.(2014 课标全国Ⅱ,文 21) 已知函数 f(x)= x ? 3x ? ax ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)

?

1? a ?1 ? a a ?1 ? ? 。 2 2 a ?1

?

处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2. (I) 求 a; (II)证明:当时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点。 【解析】 (1)

? f ( x) = x 3 - 3x 2 + ax+ 2 ∴ f ′( x) = 3x 2 - 6 x + a,f ′(0) = a 设切点A(0,2),切线与x轴交点为B(-2,0),则k AB = f ′(0),即 所以, a = 1
(2)

2-0 = a (2) 0+ 2

当k < 1时,令f ( x) - kx + 2 = x 3 - 3 x 2 + x - kx + 4 = 0.则x 2 - 3 x + 1+ 4 4 2 x 3 - 3x 2 - 4 令g ( x) = x 2 - 3 x + 1+ .则g ′( x) = 2 x - 3 - 2 = . x x x2 令h( x) = 2 x 3 - 3 x 2 - 4,则h′( x) = 6 x 2 - 6 x = 6 x( x - 1) ∴当x ∈ (0,1)时,h′( x) < 0, h( x)递减.

4 = k, x ≠ 0 x

当x ∈ (-∞ , 0),或(1, +∞ )时,h′( x) > 0, h( x)递增;且h(0) < 0, h(2) = 0. ∴ 当x < 2时,h( x) < 0, g ′( x) < 0, g ( x)在(-∞ , 0), (0,2)上递减; 当x > 2时,h( x) > 0, g ′( x) > 0, g ( x)在(0, +∞ )上递增; ∴ 当x ∈ (0,2)∪(0, +∞ )时,g ( x) ≥g (2) = 1 当x ∈ (-∞ , 0)时,单调递减,且 g ( x) ∈ (-∞ ,+ ∞ ) ∴当k < 1时,g ( x) = k仅有一个根点 ,图像如图所示 所以, 当k < 1时,y = f ( x)与y = kx - 2仅有一个交点

十六、坐标系与参数方程 1.(2012 课标全国,文 23)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原 ? y ? 3 sin ?

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,

且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标;

? ) 。 3

(2)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围。

? x ? 2 cos? x2 y 2 ? ? 1, 【解析】 (1)曲线 C1 的参数方程 ? 化为直角坐标方程为 4 9 ? y ? 3 sin ?
曲线 C2 的极坐标方程 ? ? 2 化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 因为点 A 的极坐标为(2, 点 C 的极坐标为(2,

4? ) , 3 11? 点 D 的极坐标为(2, ) , 6

? 5? ) ,所以点 B 的极坐标为(2, ) , 6 3

因此点 A 的直角坐标为(1, 3 ) , 点 B 的直角坐标为( ? 3 ,1) , 点 C 的直角坐标为(-1,- 3 ) , 点 D 的直角坐标为( 3 ,-1) 。 (2)设 P( 2 cos ? , 3sin ? ) , 则 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2

? (2cos? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ?(2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ? (2cos? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2 ?(2cos ? ?1)2 ? (3sin ? ? 3)2 ? (2cos ? ? 3)2 ? (3sin ? ?1)2
? 20sin 2 ? ? 32 ?[32,52] 。
因为 0 ? sin 2 ? ? 1 ,因此 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围为[32,52]。

2.(2013 课标全国Ⅰ,文 23)已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标 ? y ? 5 ? 5sin t

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将 ?

即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0.

? x ? 4 ? 5cos t , 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y ? 5 ? 5sin t

将?

? x ? ? cos ? , 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. ? y ? ? sin ?

所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0,
2 2

?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? y ? 1 ? y ? 2. ?
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

3.(2013 课标全国Ⅱ,文 23)已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应 ? y ? 2sin t

参数分别为 t=α 与 t=2α(0<α<2π),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解:(1)依题意有 P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α), 因此 M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α<2π). ? y ? sin ? ? sin 2? ,

(2)M 点到坐标原点的距离
2 2 d= x ? y ?

2 ? 2cos? (0<α<2π).

当 α=π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

?x ? 2 ? t x2 y2 ? ? 1 ,直线 l : ? 4.(2014 课标全国Ⅰ,文 23)已知曲线 C : ( t 为参数) 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A ,求 PA 的最大值与最 小值. 【解析】 :(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

???5 分

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
????10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

5.(2013 课标全国Ⅱ,文 23)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? =2cosθ,θ ? [0, (I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3 x+2 垂直,根据(I)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标。

? ]。 2


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